02 边际思维与激励

这一讲要回答两个问题：

1. 现实里的决定，为什么往往不是"要不要"，而是"再多一点，值不值"？
2. 人为什么会"对激励做出反应"？为什么这件事听上去简单，用起来却很容易出岔子？

上一讲，我们学会了把"被放弃的东西"算清楚，这叫机会成本。这一讲，我们要把这个工具磨得更锋利：不是算整件事的代价，而是算"多做一点"的代价。

一、晚上九点，你要不要再多学一小时？

明天要期末考试。今晚你有 7 个小时，可以用来复习。你也可以去做家教，每小时 40 块。

现在是晚上九点，你已经复习了 3 个小时。你坐在桌前，看着时钟，在想：还要不要再学一小时？

先停一下。注意你面对的是什么问题。

你不是在问"我要不要复习"，这个问题早就有答案了：当然要。你也不是在问"复习这件事划不划算"。你问的是：在已经学了 3 个小时的基础上，再多学一个小时，值不值？

这是现实里大部分决定的真实样子。你不会在"完全不吃"和"吃到撑"之间一次性选一个，你是一口一口地吃，每一口都在问"再来一口吗"。你不会在"完全不运动"和"每天练 3 小时"之间选，你是在"今天要不要再跑一公里"这种小问题上一次次做选择。

为了把问题讲清楚，我们给每个小时标一个数：这一小时让你多得到的价值，折成钱是多少。 学得越多，边际上能再提高的地方越少，所以这个数是递减的：

为什么递减？因为你会先复习最重要的内容。第 1 个小时，你学的是最容易丢分、也最容易学会的重点，收获最大。越到后面，剩下的都是边边角角，一小时的收获越来越少。

先猜一猜。 每多学一小时，你就少做一小时家教，要放弃 40 块。你今晚应该学几个小时？

先想一个答案，再往下看。

二、边际：多一点，会怎样

2.1 一小时一小时地想

我们顺着时间，一小时一小时地问：多学这一小时，得到的比放弃的多吗？

所以答案是 4 个小时。学到第 4 个小时，每一小时还是划算的；从第 5 个小时开始，多学一小时的收获，已经不够抵你放弃的 40 块了。

把它画出来：每根柱子是这一小时的边际收益，橙色横线是每小时的机会成本。柱子比橙线高的小时值得学（蓝色），比橙线低的不值得（灰色）。

图里的红色虚线是一个对照：如果兼职时薪涨到 65 元，只有前 3 根柱子比它高，你就只该学 3 小时。这一点后面第五节会用到。

这个"多出来的那一点"，在经济学里有一个名字：边际（marginal）。

边际收益（marginal benefit）：多做一单位，多得到的好处。 边际成本（marginal cost）：多做一单位，多付出的代价。

上面表格的第二列是边际收益，第三列是边际成本。这里的边际成本，就是你上一讲学的机会成本：多学一小时，要放弃的那一小时家教。

2.2 一条决策规则

把上面的做法总结成一句话：

只要多做一单位的边际收益大于边际成本，就继续；一旦边际收益不再大于边际成本，就停下。

在连续的情形里（比如你可以学 3.7 小时），最优点就是边际收益恰好等于边际成本的地方。我们这里是一小时一小时的整数，所以说成"只要大于就继续"。

2.3 为什么这条规则是对的

你可能会问：为什么不去算"总共"？学得越多，总收益越高啊（7 个小时共 390 元），为什么不学满 7 个小时？

因为你要看的不是总收益，是总收益减去总成本（净收益）。我们把每种学法的净收益算出来：

净收益一路涨到 4 小时（170），然后开始下降。涨的时候，是因为每一小时多得到的比多放弃的多；降的时候，是因为每一小时多得到的比多放弃的少。 峰顶，恰好就是边际收益刚好不再大于边际成本的地方。

画出来更直观：

曲线先上升、后下降，最高点在 4 小时。上升的那一段，对应上图里蓝色的柱子（每多学一小时都在净赚）；下降的那一段，对应灰色的柱子（每多学一小时都在净亏）。 两张图说的是同一件事，一张看"每一小时"，一张看"累计起来"。

2.4 让代码替你算一遍

我们用两种方法求最优学习时间：一种是"暴力"，把每种学法的净收益都算出来取最大值；另一种是上面的边际规则。两种方法应该给出同样的答案。然后我们让兼职时薪变一变，看最优学习时间怎么变。

import numpy as np

# 复习：第 1、2、3…小时，各自"多带来"的价值（元，已折算成钱）
mb = np.array([120, 90, 70, 50, 30, 20, 10])      # 边际收益：一小时比一小时少

def best_hours(wage):
    """每多学一小时，就少兼职一小时，机会成本是 wage 元。返回 (净收益最大的小时数, 学 0~7 小时的净收益)。"""
    total_benefit = np.concatenate([[0], np.cumsum(mb)])         # 学 0~7 小时的总收益
    net = total_benefit - wage * np.arange(len(mb) + 1)          # 总收益 - 总机会成本
    return int(np.argmax(net)), net

h, net = best_hours(40)
print("兼职时薪 40 元：学 0~7 小时的净收益 =", net.astype(int).tolist())
print(f"净收益最大：学 {h} 小时")

# 边际规则：只要"多学一小时的收益 > 多学一小时的成本"，就继续学
rule = int(np.sum(mb > 40))
print(f"边际规则的答案：{rule} 小时，和上面一致：{rule == h}")

print("\n兼职时薪 -> 最优学习小时数（暴力求最大 / 边际规则）")
for wage in [25, 45, 65, 85, 115, 130]:
    print(f"{wage:>4} 元      {best_hours(wage)[0]} / {int(np.sum(mb > wage))}")

输出：

兼职时薪 40 元：学 0~7 小时的净收益 = [0, 80, 130, 160, 170, 160, 140, 110]
净收益最大：学 4 小时
边际规则的答案：4 小时，和上面一致：True

兼职时薪 -> 最优学习小时数（暴力求最大 / 边际规则）
  25 元      5 / 5
  45 元      4 / 4
  65 元      3 / 3
  85 元      2 / 2
 115 元      1 / 1
 130 元      0 / 0

两件事值得看：

• 两种方法每一行都一致。 边际规则不是一个经验口诀，它和"把所有方案都算一遍"得到的结果完全相同，只是省事得多。你不用把所有方案摆出来，只需要一小时一小时地问。
• 时薪越高，你学得越少。 兼职时薪 25 元时学 5 小时；涨到 65 元，只学 3 小时；涨到 130 元，一小时都不值得学了。你的"学习意愿"一点没变，变的是多学一小时要放弃的东西。这个想法，我们在第五节会用到。

2.5 一个容易觉得别扭的地方

第一次读到这里，你可能会问：我已经学了 3 个小时了，吃了那么多苦，这些难道不该算进"要不要再学"的决定里吗？

不该。因为不管你接下来学不学第 4 个小时，前 3 个小时都已经过去了，它们不会因为你的新决定而改变。这和上一讲沉没成本是同一个道理：决策只看"接下来会怎样"，不看"已经怎样了"。 你要比较的，永远是"多做这一点"和"不多做这一点"之间的差别。

小结： 边际 = 多做一单位带来的变化。决策规则：边际收益大于边际成本就继续，不再大于就停。最优点在边际收益刚好不再大于边际成本的地方。

三、为什么看"边际"，不看"平均"：一个航班

边际思维最实用的地方，是它能帮你避开一个很常见的错误：用平均数做决定。

3.1 一个收益经理的难题

假设你是一家航空公司的收益经理。一趟航班的账是这样的（数字为示意）：

• 这趟航班只要起飞，不管坐多少人，都要花 90,000 元（燃油、机组、起降费……）
• 每多载一位乘客，额外多花 100 元（餐食、行李、少量燃油……）
• 现在已经卖出了 150 个座位

平均每位乘客的成本是多少？(90,000 + 100 × 150) ÷ 150 = 700 元。

这时，一个旅行团来找你：他们想包下 10 个空座位，每个座位出 300 元。

先猜一猜。 你接不接？

很多人的第一反应是：“300 比 700 低，亏本，不接。”

3.2 对的算法

我们换一种问法：接这 10 个座位，会让航班多花多少钱？多赚多少钱？

• 多花的：10 个人 × 每人 100 元 = 1,000 元（边际成本）
• 多赚的：10 个人 × 每人 300 元 = 3,000 元（边际收益）
• 净多出：2,000 元

接。因为那 90,000 元的固定成本，不管你接不接这个团，都已经确定要花了。它是平均成本 700 元里的大头，却和"要不要多载这 10 个人"这个决定无关。如果你拒绝，而且这个时候也没有别的乘客会来买这 10 个座位（这是例子的前提），它们就会空着飞走，一分钱也赚不到。

# ── 航班：起飞前还有空座，一个旅行团想包下 10 个，每个座位出 300 元 ──
fixed   = 90_000      # 这趟航班不管坐多少人都要花的钱（燃油、机组、起降费…）
per_pax = 100         # 多载一位乘客，额外多花的钱（餐食、行李、少量燃油…）
sold    = 150         # 已经卖出的座位
offer   = 300

avg_cost = (fixed + per_pax * sold) / sold
print(f"平均每位乘客的成本：{avg_cost:.0f} 元；多载一位乘客的边际成本：{per_pax} 元")
print(f"拿平均成本比：{offer} < {avg_cost:.0f}，拒绝？  拿边际成本比：{offer} > {per_pax}，接受。")
print(f"接受这 10 个座位，航班利润多出 {(offer - per_pax) * 10} 元")

# ── 销售提成：同一个客户，销售员可以报 100，也可以打八折报 80 ──
unit_cost, rate = 60, 0.05
options = {"报价 100": (100, 0.40), "报价 80": (80, 0.70)}      # (价格, 客户肯成交的概率)
print()
for name, (price, prob) in options.items():
    profit = (price - unit_cost) * prob                          # 公司的期望利润
    by_sales  = rate * price * prob                              # 按销售额提成：销售员的期望提成
    by_profit = rate * profit                                    # 按利润提成：销售员的期望提成
    print(f"{name}：公司期望利润 {profit:5.2f} | 销售员期望提成：按销售额 {by_sales:.2f}，按利润 {by_profit:.2f}")

输出：

平均每位乘客的成本：700 元；多载一位乘客的边际成本：100 元
拿平均成本比：300 < 700，拒绝？  拿边际成本比：300 > 100，接受。
接受这 10 个座位，航班利润多出 2000 元

报价 100：公司期望利润 16.00 | 销售员期望提成：按销售额 2.00，按利润 0.80
报价 80：公司期望利润 14.00 | 销售员期望提成：按销售额 2.80，按利润 0.70

（代码的后半段留到第五节再解释。）

3.3 但这不等于"所有座位都可以卖 300"

这里我要提醒一个很容易被带偏的地方。边际思维回答的是"多做一单位，值不值"，不回答"这件事整体，值不值得做"。

如果这趟航班的 180 个座位全部按 300 元卖掉：收入是 180 × 300 = 54,000 元，成本是 90,000 + 100 × 180 = 108,000 元，亏 54,000 元。航空公司长期必须让总收入覆盖总成本，否则这条航线就开不下去。

所以，两个层面的问题要分开看：

另外，现实里的机票定价还要更复杂：临近起飞的机票有时反而更贵，因为这时买票的往往是赶时间的商务旅客，愿意付更高的价格。这涉及怎么对不同的人收不同的价钱，我们在第 15 讲会专门讲。这里的例子只是想说明一件事：一个决定要不要"多做一点"，看的是边际，不是平均。

小结： 平均成本里混着已经确定要花的钱，它不适合用来判断"多做一单位"。判断"多做一点"，要看边际。

四、钻石与水：边际决定价值

边际思维还解开了经济学史上一个很有名的谜。

4.1 一个让人困惑的问题

水对生命来说，比什么都重要。没有水，你活不过几天。钻石呢？除了好看，几乎没什么实际用处。

可是在大多数地方，水几乎不要钱，钻石却贵得惊人。为什么？

4.2 答案：看边际，不看总量

关键是要分清两个问题：

• 水整体对你有多重要？（总价值）非常重要。
• 再多一杯水，对你有多重要？（边际价值）取决于你已经有多少水。

在城市里，你一天用掉几十杯水：喝、做饭、洗澡、冲厕所、浇花。最后多出来的那一杯水，大概只是用来拖地。它的边际价值很低，所以价格很低。

在沙漠里，你手里只剩最后一杯水。这一杯水可能关系到你能不能走出沙漠。它的边际价值极高，价格也就极高。同样是水，价格差了几十倍，不是因为水变了，而是因为你"已经有多少"变了。

钻石呢？它稀少，每个人拥有的数量很少，多一颗钻石的边际价值很高，所以贵。

价格反映的是边际价值，不是总价值。

4.3 一段历史

这个问题常被称作"水与钻石的悖论"，通常和亚当·斯密（1776 年的《国富论》）联系在一起。

1871 年，Carl Menger 和 William Stanley Jevons 分别出版了书，用"边际"的想法重新讲价值；1874 年，Léon Walras 也提出了类似的想法。三个人是各自独立想到的。这件事后来被称为"边际革命"。

需要说明的是：有史学研究认为，斯密本人未必把这当成一个"悖论"，“悖论"的说法是后人塑造出来的。但不管历史上谁想到了什么，它是理解"价格看边际、不看总量"的最好例子。

到第 7 讲，你会看到这个想法在市场里长什么样：决定价格范围的，正是"边际上"的买家和卖家，也就是刚好买得起的那个人、刚好愿意卖的那个人。

4.4 边际成本也会越来越高

边际成本通常也不是固定的。想想上一讲那座小岛：让第 1 个人从打鱼改种稻，只少 3 担鱼；让第 8 个人改种稻，要少 16 担鱼。每多种一担稻要放弃的鱼，越来越多。那条越来越陡的生产可能性边界，说的就是边际成本递增。

边际收益往往递减（你越学越吃力），边际成本往往递增（你越做越顾不上别的）。两条线迟早会相交，那个交点，就是你该停下的地方。这也是为什么现实里没有人会无限地做某件事，哪怕那件事本身是好事。

五、激励：改变边际，就改变行为

5.1 激励就是边际的变化

回到学习这个例子。刚才我们看到，兼职时薪从 25 元涨到 130 元，最优学习时间从 5 小时降到 0 小时。你的"学习意愿"没有变，变的是多学一小时要放弃什么。

这就是经济学里的激励（incentive）：

激励：任何改变"做某件事的边际收益或边际成本"的东西。

做家教的时薪涨了，是改变了"多学一小时"的成本。考试对你突然变得更重要了，是改变了"多学一小时"的收益。激励不是什么神秘的东西，它就是边际变了。

经济学说”人会对激励做出反应"，意思是：当边际变了，人们会调整自己的选择。这不等于"人只为钱行动"。激励可以是钱，也可以是时间、名誉、舒适、风险、面子。凡是改变了"做这件事的好处或代价"的东西，都是激励。

5.2 但激励常常带来设计者没想到的结果

激励听上去简单：想让人多做什么，就奖励什么。可是真正麻烦的地方在于：人会对"你实际奖励的东西"做出反应，而你实际奖励的，常常不是你真正想要的。

我们看一个例子。你是一家公司的老板，销售员每卖出一件商品，拿销售额的 5% 作为提成。商品的成本是 60 元，标价 100 元。

现在，销售员面对一个客户，有两种报价：

• 报价 100 元：客户肯买的概率是 40%
• 打八折，报价 80 元：客户肯买的概率是 70%

先猜一猜。 销售员会报哪个价？你作为老板，希望他报哪个价？

我们回头看代码的后半段（输出里的最后两行）：

• 报价 100 元：公司期望利润 (100 − 60) × 0.4 = 16.00；销售员期望提成 5% × 100 × 0.4 = 2.00。
• 报价 80 元：公司期望利润 (80 − 60) × 0.7 = 14.00；销售员期望提成 5% × 80 × 0.7 = 2.80。

销售员会选打折（2.80 > 2.00），公司却更希望他不打折（16.00 > 14.00）。

问题出在哪？销售员的提成，按销售额算，而不是按利润算。打折虽然让每件的利润变少，但销量上去了，销售额（也就是他的提成）反而更高了。他没有做错，他只是对你给他的激励做出了反应。

如果你把提成改成按利润算（5% 的利润）：报价 100 时是 0.80，报价 80 时是 0.70，销售员的偏好就和公司对齐了。

不过，按利润提成也不是万能的：销售员往往影响不了成本，利润也可以被"做账"左右，他可能因此回避那些利润不确定的新客户。没有完美的激励，只有"更少偏离你的目标"的激励。 这类问题，经济学里叫"委托—代理问题"，第 21 讲会系统讲。

小结： 激励不是魔法，它就是边际的变化。人会对激励做出反应，但反应的是"你实际奖励的"，不一定是"你想要的"。设计激励的第一个问题，是问：我奖励的东西，和我想要的东西，是同一个吗？

六、证据、局限与争议

6.1 当罚款变成价格

“人会对激励做出反应”，最直接的推论是：对一件事收费或罚款，这件事就会变少。 这条推论大体成立，但有一个很有名的反例。

Uri Gneezy 和 Aldo Rustichini 在 2000 年发表于 Journal of Legal Studies 的一项研究，在以色列海法的 10 家托儿所做了实验（1998 年 1 月到 6 月）。当时的问题是：总有家长接孩子迟到，让老师不得不留下来等。

实验分三个阶段：

1. 前 4 周：只记录迟到的家长数量。
2. 中间 12 周：10 家托儿所里的 6 家，开始对迟到的家长收取一笔小额罚款；另外 4 家不收（作对照）。
3. 最后 4 周：取消罚款。

结果出人意料：收了罚款之后，迟到的家长反而明显增加了。 更奇怪的是，取消罚款之后，迟到的人数也没有降回去。

怎么解释？研究者的解释是：在没有罚款的时候，迟到会让家长觉得对不起老师，这是一种社会性的责任感。罚款一出现，这件事的性质变了：迟到变成了"花钱买老师多照看一会儿"，一笔明码标价的交易。既然付了钱，心理负担就没有了。而且，当罚款被取消后，这件事已经被当成"可以买的服务"了，责任感回不来。

这个例子告诉我们两件事：

• 激励不只是"价格"。给一件事加上价格，可能会改变这件事在人们心里的意义。
• “对激励做出反应"是对的，但你要先搞清楚人们是怎么理解这个激励的。

需要诚实地说一句：这项研究只有 10 家托儿所，解释也不是唯一的。但它至少提醒我们，把"罚款"当成一个简单的"加成本"是不够的。

6.2 边际思维的局限

边际思维很有用，但它不是万能的：

• 有些决定不能拆成"一点一点”。 要不要读研究生？要不要买房？这种决定是"全有或全无"的，你没法"读 0.3 个研究生"。这时你要比较的是整体，而不是边际。不过，机会成本的思路依然成立：你要问的还是"放弃了什么"。
• 边际量很难精确估计。 我们的复习例子里，每小时值 120、90、70 元，这些数字是编出来说明问题的。现实里，你不知道第 4 小时到底值多少钱，只能有个大概的感觉。边际思维是一种问法，帮你把问题想清楚，不是一台精确的计算器。
• 人并不总是这样想。 研究发现，人们常常忽视机会成本，也常常被沉没成本绊住。这是第 39 讲行为经济学要讲的内容。

6.3 常见的误用

七、小结

这一讲有五个想法，请带走：

1. 边际：多做一单位带来的变化。现实里大部分决定，是"再多一点，值不值"。
2. 决策规则：边际收益大于边际成本，就继续；不再大于，就停。最优点在两者刚好相交的地方。
3. 看边际，不看平均：平均成本里混着已经确定要花的钱，用它判断"多做一单位"会出错。但边际思维不等于整体值得：长期还要覆盖总成本。
4. 价格反映边际价值：水之所以便宜、钻石之所以贵，是因为"多一杯水"和"多一颗钻石"的边际价值不同。
5. 激励就是边际的变化：人会对激励做出反应，但反应的是你实际奖励的东西，不一定是你想要的。激励有时还会改变事情本身的意义。

下一讲，我们要把这两个工具（机会成本和边际）用到一个更大的问题上：为什么两个人各自做自己最擅长的事、再互相交换，比每个人什么都自己做，结果更好？ 这就是比较优势，也是人类为什么会有分工和贸易的根本原因。

思考题

1. 一家自助餐厅，每位 98 元，随便吃。你已经付了钱。你应该吃到什么时候停？为什么自助餐厅敢这样定价，不怕亏本？

提示：98 元已经付了，无论你吃多少都收不回来，这是沉没成本，不影响你吃不吃下一盘。多吃一盘的边际成本（食物本身）对你是 0，但吃得越多越撑，边际收益会递减，最后变成负的。你应该吃到"再吃一盘让你更难受"为止。餐厅敢这样定价，是因为每个人的边际收益都会很快递减，没有人能无限地吃下去。

2. 回到复习的例子。如果这次考试对你特别重要，每一个小时带来的价值都变成原来的 1.5 倍（即 180、135、105、75、45、30、15），兼职时薪仍是 40 元。你应该学几个小时？

提示：只要某一小时的价值 > 40 就学：180、135、105、75、45 都大于 40，30 和 15 小于 40。所以学 5 个小时，比原来多 1 小时。注意：变的只是边际收益，规则没变。

3. 一家工厂生产 100 件产品的总成本是 10,000 元（平均每件 100 元）。现在有一个一次性的特殊订单，要求再生产 1 件，生产这第 101 件的边际成本是 70 元，客户愿意出 90 元。你接不接？

提示：接。边际收益 90 > 边际成本 70，多赚 20 元。平均成本 100 元不应该成为拒绝的理由。前提是：这单不会拉低你对其他客户的价格，而且产能够用。

4. 一家公司按代码行数给程序员发奖金。你觉得会发生什么？你会怎么重新设计？

提示：程序员对激励做出反应：每多写一行有奖金，边际收益变高。他会倾向于把一行拆成多行、复制粘贴、写冗长的代码。公司想要的是"好用的软件"，奖励的却是"行数"，两者不一致。重新设计没有完美方案：按交付的功能、按用户使用情况、按团队整体成果……每一种都有新的问题，这正是第 21 讲要讨论的难题。

5. 如果有一天，人们发现了一个巨大的钻石矿，钻石的数量变得像沙子一样多，钻石的价格会怎样？注意，钻石"好看"这个特性并没有变。

提示：价格会暴跌。钻石的总价值（它的用途）没有变，但多一颗钻石的边际价值大大下降了，因为每个人手里已经有很多。用后面（第 7 讲）会讲的话说，这是供给大幅增加，价格下降、数量上升。

参考与延伸

• Gneezy, U., & Rustichini, A. (2000). A Fine Is a Price. Journal of Legal Studies, 29(1), 1–17.
• Menger, C. (1871). Grundsätze der Volkswirtschaftslehre；Jevons, W. S. (1871). The Theory of Political Economy；Walras, L. (1874). Éléments d’économie politique pure。