这一讲要回答六个问题：
- 长期里，为什么有的国家变富很快，有的几乎没变？
- 资本积累为什么不能让人均产出永远增长？
- 储蓄率高，为什么只让收入的"水平"变高，不让它的"增长率"变高？储蓄是不是越多越好？
- 什么才能带来持续的人均增长？
- 落后国家会不会追上富国？（趋同）
- 真实数据里，这些预测对不对？
上一讲，我们量了 GDP 的增长。这一讲问：增长是怎么来的？ 这是宏观经济学里最重要的问题之一。因为长期里，增长率的一点点差别，会累积成巨大的差距（第 27 讲：按 7.7% 增长，9 年多就翻一番；按 4.9%，要 14 年多）。
一、1990 年和 2024 年
下面是几个国家，1990 年和 2024 年的人均 GDP（按购买力平价、2021 年不变价的国际元计算，来源：世界银行 World Development Indicators）：
- 中国：1,667 → 23,841，涨到了 14.3 倍，年均增长 7.8%；
- 越南：2,468 → 14,396，5.8 倍；
- 韩国：14,378 → 55,071，3.8 倍；
- 美国：44,384 → 75,698，1.7 倍；
- 巴西：12,633 → 19,652，1.6 倍；
- 刚果（金）：2,404 → 1,602，反而下降了。
先停一下：同样是三十多年，为什么有的国家变成了 14 倍，有的几乎没变，有的反而变穷了？你觉得，是什么决定了一个国家的人均收入？
你可能会想到：存的钱多不多、有没有工厂和机器、工人受没受过教育、技术怎么样、政府靠不靠谱……这些，都对。经济学家想问的是：这些东西，哪个最重要？它们怎么互相作用？有没有一个简单的框架，把它们放在一起？ 1956 年，Robert Solow（《对经济增长理论的一个贡献》，Quarterly Journal of Economics，70 卷 1 期）给出了这样一个框架；同一年，Trevor Swan 也独立地得到了类似的模型。Solow 因为这项工作，获得了 1987 年的诺贝尔经济学奖。
二、生产函数：资本、劳动和技术
一个经济，用资本 K（机器、厂房、道路）和劳动 L（工人），生产产出 Y。再加上技术 A：同样的工人，用更好的技术，能生产更多。写成：
Y = K^α × (A × L)^(1 − α)，其中 α 在 0 和 1 之间
A × L 叫有效劳动（工人的数量，乘上每个工人的"效率"）。这个形式叫柯布–道格拉斯函数。α 是资本在收入里的份额，经常取约三分之一。（这是一个常用的取值，不同的国家、不同的估计，会有差别。）
这个函数，有两个重要的性质：
- 规模报酬不变：资本、有效劳动都翻一倍，产出也翻一倍。直觉：复制一个工厂，雇一批一样的工人，就能生产一样多（第 11 讲）。
- 资本的边际报酬递减：工人不变，不断增加机器，每多一台机器，增加的产出越来越少（第 11、12 讲）。（一个工人，第一台电脑很有用，第十台电脑，没有用了。）
把一切除以有效劳动，得到"每个有效劳动力"的量：人均资本 k = K ÷ (A × L)，人均产出 y = k^α。（后面说的"人均"，都是这个意思。）因为 α < 1，k 增加时，y 增加得越来越慢。
三、资本是怎么积累的
3.1 增加的与流失的
资本每年增加多少？取决于两件事：
- 增加：投资。经济里，一个比例 s 的产出被储蓄起来，变成投资，s 叫储蓄率。（简单起见，先不考虑国外的储蓄，储蓄等于投资。）投资 = s × y。
- 流失：（1）折旧：机器会磨损，每年损耗 δ（比如 5%）；（2）稀释：工人在增加（人口增长率 n），技术也在进步（技术进步率 g，使有效劳动增加），同样多的资本，要分给更多的有效劳动，所以人均资本被"稀释"。合起来，每年人均资本流失的比例是 n + g + δ。
人均资本的变化：
k 的变化 = s × k^α − (n + g + δ) × k
3.2 稳态
当投资正好等于流失时，k 不再变化：这叫稳态（steady state）。
- k 很小时：k^α 增加得快，投资大于流失，k 在增加；
- k 很大时：流失（和 k 成正比）大于投资，k 在减少；
- 所以，不管从哪出发，k 都会走向稳态 k*。
解出稳态：k* = (s ÷ (n + g + δ))^(1 ÷ (1 − α))，稳态产出 y* = (k*)^α。
用数字：α = 1/3，δ = 5%，n = 1%，g = 2%（n + g + δ = 8%）。储蓄率 s = 0.3：k* = (0.3 ÷ 0.08)^1.5 ≈ 7.26，y* ≈ 1.94。
import math
# Solow 模型（每个"有效劳动力"的人均量）：产出 y = k^alpha，k 是人均资本。
# 储蓄率 s，折旧 delta，人口增长 n，技术进步 g（劳动效率每年提高的速度）。资本积累：k 的变化 = s k^alpha - (n + g + delta) k
alpha, delta, n, g = 1 / 3, 0.05, 0.01, 0.02
D = n + g + delta # 每年"稀释"掉资本的速度：0.08
def steady_state(s):
k = (s / D) ** (1 / (1 - alpha)) # s k^alpha = D k
y = k ** alpha
return k, y, (1 - s) * y # 稳态的人均资本、产出、消费
print(f"alpha={alpha:.3f}（资本的份额），delta={delta}，n={n}，g={g}：每年稀释资本的速度 n+g+delta={D}")
print("不同储蓄率下的稳态（单位：每个有效劳动力）：")
base = steady_state(0.2)[1]
for s in (0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5):
k, y, c = steady_state(s)
print(f" s={s:.1f}：k*={k:5.2f}，y*={y:4.2f}（是 s=0.2 时的 {y / base:.2f} 倍），消费 c*={c:4.2f}")
print(f"储蓄率翻倍（0.2 → 0.4）：稳态产出只是原来的 {steady_state(0.4)[1] / steady_state(0.2)[1]:.3f} 倍（理论值 2^(alpha/(1-alpha)) = {2 ** (alpha / (1 - alpha)):.3f}）")
# 黄金律：消费最大的储蓄率
best_s = max((i / 1000 for i in range(1, 1000)), key=lambda s: steady_state(s)[2])
print(f"\n稳态消费最大的储蓄率（每 0.001 试一遍）：s={best_s:.3f}（黄金律：s = alpha = {alpha:.3f}），此时 c*={steady_state(best_s)[2]:.3f}")
print(f" s=0.5 时消费 {steady_state(0.5)[2]:.3f}，比黄金律低；储蓄太多，把消费牺牲掉了")
# 动态：从一个穷国出发（k 只有稳态的 10%），每年按公式更新
def path(s, k0, years):
ks = [k0]
for _ in range(years): ks.append(ks[-1] + s * ks[-1] ** alpha - D * ks[-1])
return ks
s = 0.3
k_star = steady_state(s)[0]
ks = path(s, 0.1 * k_star, 130)
print(f"\ns={s}：从稳态的 10% 出发，人均产出 y 随时间变化：")
for t in (0, 10, 20, 30, 50, 80, 120):
y = ks[t] ** alpha
growth = (ks[t + 1] ** alpha / y - 1) + g # 每个工人的产出增速 ≈ 有效劳动力人均产出增速 + 技术进步 g（近似）
print(f" 第 {t:>3} 年：y={y:.3f}（稳态的 {y / steady_state(s)[1]:.0%}），每个工人的产出增速约 {growth:.2%}")
y_star = steady_state(s)[1]
def half_life(k_start):
"""从 k_start 出发，产出与稳态之间的（对数）差距缩小一半，用了几年"""
kk = path(s, k_start, 400)
gap0 = math.log(y_star) - alpha * math.log(kk[0])
return next(t for t in range(len(kk)) if math.log(y_star) - alpha * math.log(kk[t]) <= 0.5 * gap0)
lam = (1 - alpha) * D
print(f" 理论速度（离稳态不远时）lambda=(1-alpha)(n+g+delta)={lam:.3f}，差距的半衰期 ln2/lambda={math.log(2) / lam:.1f} 年")
k_near = 0.8 ** (1 / alpha) * k_star # 产出刚好是稳态的 80% 时的人均资本
print(f" 从产出为稳态的 80% 出发（离稳态近），差距缩小一半用了 {half_life(k_near)} 年；从产出只有稳态的 46%（k 只有稳态的 10%）出发，用了 {half_life(0.1 * k_star)} 年：离稳态越远，追得越快")
# 储蓄率从 0.2 突然升到 0.4：从原来的稳态出发
k0 = steady_state(0.2)[0]
ks2 = path(0.4, k0, 100)
y0 = k0 ** alpha
print(f"\n储蓄率在第 0 年从 0.2 升到 0.4：")
for t in (1, 10, 20, 50, 100):
print(f" 第 {t:>3} 年：人均产出是原来的 {ks2[t] ** alpha / y0:.3f} 倍")
extra = (ks2[10] ** alpha / y0) ** (1 / 10) - 1
print(f" 前 10 年，每年多增长约 {extra:.2%}（之后慢慢回到每年 g = {g:.0%}）；最后稳态只高 {steady_state(0.4)[1] / y0 - 1:.0%}")
输出：
alpha=0.333（资本的份额），delta=0.05，n=0.01，g=0.02：每年稀释资本的速度 n+g+delta=0.08
不同储蓄率下的稳态（单位：每个有效劳动力）：
s=0.1：k*= 1.40，y*=1.12（是 s=0.2 时的 0.71 倍），消费 c*=1.01
s=0.2：k*= 3.95，y*=1.58（是 s=0.2 时的 1.00 倍），消费 c*=1.26
s=0.3：k*= 7.26，y*=1.94（是 s=0.2 时的 1.22 倍），消费 c*=1.36
s=0.4：k*=11.18，y*=2.24（是 s=0.2 时的 1.41 倍），消费 c*=1.34
s=0.5：k*=15.62，y*=2.50（是 s=0.2 时的 1.58 倍），消费 c*=1.25
储蓄率翻倍（0.2 → 0.4）：稳态产出只是原来的 1.414 倍（理论值 2^(alpha/(1-alpha)) = 1.414）
稳态消费最大的储蓄率（每 0.001 试一遍）：s=0.333（黄金律：s = alpha = 0.333），此时 c*=1.361
s=0.5 时消费 1.250，比黄金律低；储蓄太多，把消费牺牲掉了
s=0.3：从稳态的 10% 出发，人均产出 y 随时间变化：
第 0 年：y=0.899（稳态的 46%），每个工人的产出增速约 10.90%
第 10 年：y=1.424（稳态的 74%），每个工人的产出增速约 4.22%
第 20 年：y=1.658（稳态的 86%），每个工人的产出增速约 2.96%
第 30 年：y=1.781（稳态的 92%），每个工人的产出增速约 2.48%
第 50 年：y=1.886（稳态的 97%），每个工人的产出增速约 2.15%
第 80 年：y=1.927（稳态的 99%），每个工人的产出增速约 2.03%
第 120 年：y=1.935（稳态的 100%），每个工人的产出增速约 2.00%
理论速度（离稳态不远时）lambda=(1-alpha)(n+g+delta)=0.053，差距的半衰期 ln2/lambda=13.0 年
从产出为稳态的 80% 出发（离稳态近），差距缩小一半用了 11 年；从产出只有稳态的 46%（k 只有稳态的 10%）出发，用了 8 年：离稳态越远，追得越快
储蓄率在第 0 年从 0.2 升到 0.4：
第 1 年：人均产出是原来的 1.026 倍
第 10 年：人均产出是原来的 1.191 倍
第 20 年：人均产出是原来的 1.290 倍
第 50 年：人均产出是原来的 1.391 倍
第 100 年：人均产出是原来的 1.413 倍
前 10 年，每年多增长约 1.77%（之后慢慢回到每年 g = 2%）；最后稳态只高 41%
四、储蓄率：水平，不是增长率
4.1 储蓄翻倍
从代码的结果里，可以读出几件事：
- 储蓄率越高，稳态的人均产出越高：s 从 0.1 到 0.5，y* 从 1.12 到 2.50。
- 但是，高得没有那么多：储蓄率翻倍（0.2 → 0.4），稳态产出只是原来的 1.41 倍，不是 2 倍。（公式：2^(α/(1−α)) = 2^0.5。）原因是资本的边际报酬递减：多存的钱，投到越来越不那么有用的机器上。
- 储蓄率提高之后，增长是暂时的：储蓄率在第 0 年从 0.2 升到 0.4，产出用了很长时间，才爬到新的稳态：10 年后是原来的 1.19 倍，20 年后 1.29 倍，50 年后 1.39 倍，100 年后 1.41 倍。前 10 年，每年多增长约 1.8 个百分点，之后慢慢回到原来的每年 2%。储蓄率改变的是"水平"，不是长期的"增长率"。
4.2 储蓄是不是越多越好：黄金律
储蓄率越高，产出越高，可是，人们要的，是消费，不是产出。储蓄多了，消费的比例就少了。稳态的人均消费 c* = (1 − s) × y*。
代码里，稳态消费最大的储蓄率是 s = α = 1/3：叫黄金律（Edmund Phelps 1961 年，American Economic Review，51 卷 4 期）。储蓄率比这还高（比如 0.5），稳态消费反而更低（1.25，比黄金律的 1.36 低）：存得太多，把消费牺牲掉了。
注意：黄金律比较的是稳态的消费。一个国家，如果储蓄率比黄金律低，要提高到黄金律，当代人要先少消费，换取以后的更多（要不要这样做，是当代人和后代人之间的取舍，第 36 讲讲折现时会回来）；如果储蓄率比黄金律高，降低储蓄率，反而让所有时期的消费都更高（没有人吃亏）。
小结： Solow 模型：资本的积累，等于储蓄的投资，减去折旧和稀释。k 会走向稳态，投资正好等于流失。储蓄率高，稳态的人均产出高，但因为边际报酬递减，翻倍的储蓄率，只带来 41% 的提高；增长是暂时的。人们要的是消费，黄金律：储蓄率等于资本份额时，稳态消费最大。
五、追赶：离稳态越远，追得越快
5.1 穷国和富国
两个国家，参数一样（储蓄率、折旧、人口增长），可是一个起点穷（k 只有稳态的 10%），一个起点富（k 是稳态的 2 倍）。会怎么样？
- 穷国追上来：产出从稳态的 46% 出发，10 年后到了 74%，20 年后 86%，30 年后 92%。前面几年，每个工人的产出增速很高（第 0 年约 10.9%），慢慢降到 2% 左右。
- 富国回落：起点高于稳态，慢慢降下来。
- 两个国家，最后到了同一个稳态：参数相同，起点不同，会趋同。 这叫条件趋同（conditional convergence）：是"在参数相同的条件下"才趋同。
- 速度：离稳态不远时，每年缩小差距的比例大约是 λ = (1 − α)(n + g + δ) = 0.053，也就是约 5.3%，差距缩小一半，约要 13 年。（代码里，从离稳态近的地方出发，用了 11 年；离得远，用了 8 年，离得越远，追得越快。）
5.2 不是所有穷国，都会追上富国
如果两个国家的参数不同（比如，一个储蓄率高，一个低；一个制度好，一个差），它们会走向不同的稳态，穷国可能永远追不上。Solow 模型预测的，不是"穷国一定追上富国"，而是"穷国会走向它自己的稳态"。 穷国的稳态低，可能是因为储蓄率低、人口增长快、技术水平低、制度差……（这些，是第 29 讲的内容。）
六、什么能带来持续的增长
稳态里，人均资本 k 不再变化，人均产出 y 也不再变化。可是，每个工人的产出，是 y 乘上 A（技术）：A 在增长，每个工人的产出，就以速度 g 增长。稳态里：
- 总产出增长 n + g（人口增长加技术进步）；
- 每个工人的产出增长 g。
这是 Solow 模型最重要的结论：
资本积累（储蓄、投资）不能带来永久的人均增长（边际报酬递减）。持续的人均增长，只能来自技术进步。
如果 g = 0 呢？储蓄再多，最后也会停在稳态上，人均收入不再增长。可是，Solow 模型里，g 是外生的：它从天上掉下来，模型没解释它从哪来。技术进步从哪里来？人力资本呢？制度呢？ 这是第 29 讲的问题。
小结： 离稳态越远，变化越快：穷国追得快，富国回落。参数相同的国家，会趋同（条件趋同）；参数不同的国家，走向不同的稳态。持续的人均增长，只能来自技术进步；资本积累，只能让水平变高。
七、真实数据，对不对
7.1 用 48 个国家检验
Solow 模型有两个可以检验的预测：
- 其他条件相同时，起点越低的国家，增长越快（趋同）；
- 储蓄（投资）率更高、人口增长更慢的国家，稳态更高；在向稳态移动的过程中，增长更快。
我们用世界银行的数据来看。样本：人口在 2024 年不少于 3000 万、1990 年和 2024 年都有数据的 48 个国家（这是一个按规则选出的样本，不是随机样本）。
import math
import numpy as np
# 真实数据：人口在 2024 年不少于 3000 万、1990 年和 2024 年的数据都有的 48 个国家。
# 每项：(1990 年人均 GDP, 2024 年人均 GDP, 1990–2024 年总投资率平均(% GDP), 1990–2024 年人口年均增长(%))
# 人均 GDP 按购买力平价、2021 年不变价国际元；来源：世界银行 World Development Indicators（2026 年 10 月 8 日更新的版本）。None = 缺数据。
data = {
"AGO": (8366, 8753, None, 3.54),
"ARG": (17007, 26772, 17.4, 0.98),
"BGD": (2070, 8487, 25.6, 1.31),
"BRA": (12633, 19652, 18.5, 1.04),
"CAN": (40475, 57534, 22.1, 1.18),
"CHN": (1667, 23841, 40.6, 0.64),
"CIV": (5256, 6747, 17.3, 2.87),
"COD": (2404, 1602, 19.2, 3.26),
"COL": (9999, 18482, 20.8, 1.45),
"DEU": (42355, 62655, 21.8, 0.15),
"DZA": (11729, 15502, 36.1, 1.82),
"EGY": (8007, 16798, 18.8, 2.05),
"ESP": (31773, 48460, 23.4, 0.67),
"ETH": (874, 2892, 13.0, 3.05),
"FRA": (38656, 54799, 21.8, 0.48),
"GBR": (33531, 53412, 18.6, 0.56),
"GHA": (2786, 7073, 20.0, 2.4),
"IDN": (4873, 14471, 29.7, 1.29),
"IND": (2140, 9416, 31.9, 1.53),
"IRN": (9656, 17484, 37.7, 1.33),
"IRQ": (10735, 12725, 23.5, 2.87),
"ITA": (42657, 53285, 20.5, 0.11),
"JPN": (36138, 47480, 28.6, 0.01),
"KEN": (4177, 5842, 19.1, 2.69),
"KOR": (14378, 55071, 33.3, 0.56),
"MAR": (4419, 9163, 28.8, 1.32),
"MDG": (1968, 1659, 21.0, 2.91),
"MEX": (17170, 21970, 22.5, 1.35),
"MMR": (775, 5276, None, 0.93),
"MOZ": (548, 1501, 34.4, 2.9),
"MYS": (12014, 34116, 27.1, 2.05),
"NGA": (5424, 7994, None, 2.6),
"PAK": (3200, 5502, 16.6, 2.3),
"PER": (6316, 15709, 21.1, 1.31),
"PHL": (4504, 10378, 21.0, 1.81),
"POL": (12821, 45153, 21.3, -0.12),
"RUS": (29644, 41891, 23.4, -0.09),
"SAU": (65197, 63194, 24.1, 3.59),
"SDN": (2460, 1861, 14.2, 2.47),
"THA": (8703, 21882, 28.1, 0.8),
"TUR": (12184, 36154, 27.9, 1.25),
"TZA": (1794, 3713, 27.9, 2.88),
"UGA": (1080, 2880, 21.6, 3.12),
"UKR": (22816, 16371, 21.1, -0.93),
"USA": (44384, 75698, 21.4, 0.91),
"UZB": (4240, 10997, 26.9, 1.7),
"VNM": (2468, 14396, 32.2, 1.28),
"ZAF": (10811, 13598, 16.7, 1.34),
}
names = {"CHN": "中国", "IND": "印度", "KOR": "韩国", "VNM": "越南", "BGD": "孟加拉国", "ETH": "埃塞俄比亚", "USA": "美国", "JPN": "日本",
"BRA": "巴西", "ARG": "阿根廷", "MEX": "墨西哥", "NGA": "尼日利亚", "COD": "刚果（金）", "POL": "波兰", "TUR": "土耳其", "SAU": "沙特阿拉伯"}
T = 34 # 1990 到 2024 年
growth = {c: (math.log(v[1]) - math.log(v[0])) / T * 100 for c, v in data.items()} # 年均增长率（%）
ly = {c: math.log(v[0]) for c, v in data.items()}
def ols(y, X):
X = np.column_stack([np.ones(len(y))] + X)
b = np.linalg.lstsq(X, y, rcond=None)[0]
resid = y - X @ b
r2 = 1 - (resid ** 2).sum() / ((y - y.mean()) ** 2).sum()
return b, r2
# 一、无条件趋同：起点越穷，增长是不是越快？
cs = list(data)
b, r2 = ols(np.array([growth[c] for c in cs]), [np.array([ly[c] for c in cs])])
print(f"48 个国家，1990–2024 年均增长率（%）对 ln(1990 年人均 GDP) 做回归：斜率 {b[1]:.2f}，R² {r2:.2f}")
print(f" 起点每高 1 倍（ln 差 0.69），年均增长率低约 {-b[1] * math.log(2):.2f} 个百分点")
for drop in (("CHN", "IND"),):
cs2 = [c for c in cs if c not in drop]
b2, r22 = ols(np.array([growth[c] for c in cs2]), [np.array([ly[c] for c in cs2])])
print(f" 去掉中国和印度后：斜率 {b2[1]:.2f}，R² {r22:.2f}（没有它们，趋势还在）")
poor = sorted(cs, key=lambda c: data[c][0])[:16]; rich = sorted(cs, key=lambda c: data[c][0])[-16:]
print(f" 1990 年最穷的 16 个国家，年均增长率的平均 {np.mean([growth[c] for c in poor]):.2f}%，最低 {min(growth[c] for c in poor):.2f}%，最高 {max(growth[c] for c in poor):.2f}%")
print(f" 1990 年最富的 16 个国家，年均增长率的平均 {np.mean([growth[c] for c in rich]):.2f}%，最低 {min(growth[c] for c in rich):.2f}%，最高 {max(growth[c] for c in rich):.2f}%")
# 二、有条件趋同：控制投资率和人口增长（Solow 说，稳态由它们决定）
cs3 = [c for c in cs if data[c][2] is not None]
b3, r23 = ols(np.array([growth[c] for c in cs3]), [np.array([ly[c] for c in cs3]), np.array([data[c][2] for c in cs3]), np.array([data[c][3] for c in cs3])])
print(f"\n控制了投资率和人口增长（{len(cs3)} 个国家有投资率数据）：")
print(f" ln(初始人均 GDP) 的系数 {b3[1]:.2f}，投资率每高 1 个百分点 {b3[2]:+.3f}，人口增长每高 1 个百分点 {b3[3]:+.2f}，R² {r23:.2f}")
slope = -b3[1] / 100
lam = -math.log(1 - slope * T) / T
print(f" 由系数反推的收敛速度：约每年 {lam:.1%}（文献里常见的估计是每年 2% 左右；Solow 模型在 alpha=1/3 时预测约 5%）")
# 三、几个国家的故事
print("\n几个国家（1990 → 2024 的人均 GDP，年均增长率，平均投资率）：")
for c in ("CHN", "VNM", "KOR", "IND", "BGD", "ETH", "USA", "JPN", "POL", "BRA", "ARG", "MEX", "NGA", "COD"):
v = data[c]
inv = f"{v[2]:.1f}%" if v[2] is not None else "缺数据"
print(f" {names[c]}：{v[0]:,} → {v[1]:,}，年均 {growth[c]:+.2f}%，投资率 {inv}")
输出：
48 个国家，1990–2024 年均增长率（%）对 ln(1990 年人均 GDP) 做回归：斜率 -0.66，R² 0.21
起点每高 1 倍（ln 差 0.69），年均增长率低约 0.46 个百分点
去掉中国和印度后：斜率 -0.51，R² 0.16（没有它们，趋势还在）
1990 年最穷的 16 个国家，年均增长率的平均 2.77%，最低 -1.19%，最高 7.82%
1990 年最富的 16 个国家，年均增长率的平均 1.24%，最低 -0.98%，最高 3.95%
控制了投资率和人口增长（45 个国家有投资率数据）：
ln(初始人均 GDP) 的系数 -0.84，投资率每高 1 个百分点 +0.108，人口增长每高 1 个百分点 -0.65，R² 0.51
由系数反推的收敛速度：约每年 1.0%（文献里常见的估计是每年 2% 左右；Solow 模型在 alpha=1/3 时预测约 5%）
几个国家（1990 → 2024 的人均 GDP，年均增长率，平均投资率）：
中国：1,667 → 23,841，年均 +7.82%，投资率 40.6%
越南：2,468 → 14,396，年均 +5.19%，投资率 32.2%
韩国：14,378 → 55,071，年均 +3.95%，投资率 33.3%
印度：2,140 → 9,416，年均 +4.36%，投资率 31.9%
孟加拉国：2,070 → 8,487，年均 +4.15%，投资率 25.6%
埃塞俄比亚：874 → 2,892，年均 +3.52%，投资率 13.0%
美国：44,384 → 75,698，年均 +1.57%，投资率 21.4%
日本：36,138 → 47,480，年均 +0.80%，投资率 28.6%
波兰：12,821 → 45,153，年均 +3.70%，投资率 21.3%
巴西：12,633 → 19,652，年均 +1.30%，投资率 18.5%
阿根廷：17,007 → 26,772，年均 +1.33%，投资率 17.4%
墨西哥：17,170 → 21,970，年均 +0.73%，投资率 22.5%
尼日利亚：5,424 → 7,994，年均 +1.14%，投资率 缺数据
刚果（金）：2,404 → 1,602，年均 -1.19%，投资率 19.2%
逐段看：
- 无条件趋同：1990 年人均 GDP 越低，1990 到 2024 年的年均增长越快：斜率 −0.66（起点每高一倍，年均增速低约 0.46 个百分点）。但是，R² 只有 0.21：离散很大。1990 年最穷的 16 个国家，平均增长 2.77%，可是最低的是 −1.19%（刚果（金）），最高的是 7.82%（中国）。“平均来说，穷国追得快"和"哪个穷国会追上”，是两回事。
- 去掉中国和印度，趋势还在（斜率 −0.51）。我另外用有数据的全部 183 个国家，算过同样的回归，斜率是 −0.40，方向一样（这一步没放进代码）。
- 有条件趋同：控制了投资率和人口增长后，初始人均 GDP 的系数变成 −0.84（更强了），投资率每高 1 个百分点，年均增速高约 0.11 个百分点，人口增长每高 1 个百分点，低约 0.65 个百分点。R² 到了 0.51。这些符号，都和 Solow 模型的预测一致。
- 收敛速度：由系数反推，约每年 1%；文献里常见的估计是每年 2% 左右（据文献转述）；而我们的模型，在 α = 1/3 时，预测约 5%。模型的速度，比数据里快得多。
- 要小心的地方：（1）这是三十多年的平均，样本里，投资率不是外生的：增长快的国家，投资率也会更高（因果可以反过来）；（2）48 个国家，是大国，不是全部；（3）一个回归，不能证明因果。
7.2 文献怎么说
- Mankiw、Romer 和 Weil 1992 年（Quarterly Journal of Economics，107 卷 2 期）：用 Solow 模型，加上人力资本（教育）的积累，来解释各国人均收入的差别。他们发现，扩展的模型，能解释各国人均收入差异的大约 80%；并且，不控制储蓄和人口增长时，不应该期待无条件趋同；控制之后，趋同的速度，和模型的预测大致一致。他们还指出，不加人力资本的 Solow 模型，高估了储蓄率和人口增长的影响，隐含的资本份额，约 0.6，比常用的三分之一高得多。
- Barro 和 Sala-i-Martin 1992 年（Journal of Political Economy，100 卷 2 期）：研究美国 48 个州，发现明显的趋同，速度据文献转述，约每年 2%。
- 新的发现：Dev Patel、Justin Sandefur 和 Arvind Subramanian 2021 年（Journal of Development Economics，152 卷）认为，从 1990 年代中期起，无条件趋同出现了：穷国平均追上了富国（虽然慢），原因主要是发展中国家的增长加快，同时变得更稳定。这和我们 48 个国家、183 个国家的结果，一致。
所以，更准确的说法是：Solow 模型的核心预测（条件趋同，资本积累的报酬递减，储蓄率影响水平）和数据大致吻合；但是，它没有解释"为什么参数不同"，也低估了趋同的缓慢。
八、一个有争议的问题：中国的高投资率
中国 1990 到 2024 年，平均投资率（总资本形成占 GDP 的比例）是 40.6%，美国是 21.4%，日本 28.6%，韩国 33.3%，印度 31.9%（世界银行，代码的输出）。中国的高增长，主要是靠资本积累，还是靠效率的提高？这能不能持续？ 这是一个有争议的问题。按"理论预测 → 证据与局限 → 分歧在哪 → 价值判断留给读者"来写。
理论预测什么：Solow 模型说，资本积累有递减报酬：投资率再高，只能抬高水平，长期的增长，要靠技术进步（效率）。如果中国的增长，主要靠投资，那么，随着资本的积累，增速会放缓；如果效率的提高，贡献很大，放缓的原因，是别的。
证据怎么说：
- Alwyn Young 1995 年（Quarterly Journal of Economics，110 卷 3 期）研究东亚的"新兴工业化经济体"（中国香港、新加坡、韩国、中国台湾），发现：考虑到投资率翻倍、翻三倍，推算出来的全要素生产率增长，在经合组织国家和拉美国家长期经历的范围之内，并不特别：增长，主要是要素（资本、劳动、教育）积累的结果。
- 对中国，有不同的估计：据我读到的二手转述，Xiaodong Zhu 2012 年（Journal of Economic Perspectives，26 卷 4 期）认为，1978 到 2007 年，全要素生产率的增长，贡献了人均增长的大部分（我没有读原文，请核对）；Young 后来对中国的研究，据转述，得到了更低的估计，后来又有研究，用更新的数据，把估计改高了；不同的数字，来自不同的数据和方法。
局限：增长核算对数据和假设很敏感：价格指数怎么选、资本存量怎么估、α 取多少（取 1/3，还是别的）、人力资本怎么算，结果都会变。所以不同的研究，得到不同的数字，不奇怪。
分歧在哪：
- 事实上的分歧：中国的增长，多少来自资本积累、多少来自效率？近年来的增速下降（第 27 讲：2010 年代平均 7.7%，2020 到 2025 年 4.9%），有多少是资本报酬递减、人口结构、外部环境，有多少是效率提升放慢？不同的研究者，有不同的看法。
- 价值上的分歧：下面的问题，数据回答不了。
价值判断（留给你）：
- 储蓄和消费：高储蓄、高投资，意味着当代人少消费，换取未来更高的产出。这个取舍，该偏向当代还是未来？ 黄金律告诉你，存得太多，对所有人都不好；但"多少算太多"，要看你怎么看当代人和后代人的权重。
- 谁承担：高投资率的成本，由谁承担（家庭、企业、政府）？收益由谁享受？
- 要不要把更多的资源，转向消费、教育、创新？ 这是在问：增长的目标，除了产出，还有什么。
经济学能告诉你，每一种储蓄率、每一种资源配置，会带来什么样的稳态和过渡路径；该选哪一种，是你的价值判断。
九、局限、常见误用
9.1 局限
- g 是外生的：模型没有解释技术进步从哪里来（第 29 讲）。
- 只有一种资本、一种产品：没有人力资本、没有自然资源、没有制度、没有国际贸易和资本流动。
- 假设储蓄率不变：现实里，储蓄率会随收入、年龄结构、制度变化。
- 预测的收敛速度，比数据快。
- 回归不能证明因果：投资率和增长，互相影响。
- 用的是总量和平均数：看不见分配。
9.2 常见的误用
| 误用 | 正确的想法 |
|---|---|
| “多存钱，经济就能永远高速增长” | 储蓄率改变的是水平，长期的人均增长，靠技术进步（g） |
| “穷国一定会追上富国” | 条件趋同：只有参数相近的国家才趋同；参数不同，稳态不同 |
| “投资越多越好” | 边际报酬递减；储蓄率高于黄金律，消费反而更低 |
| “Solow 模型说，技术进步不重要” | 恰恰相反：长期的人均增长，只来自技术进步 |
| “中国的增长，只是靠投资” | 这是有争议的事实问题；不同的估计，差别很大 |
| “增长率下降，说明出了问题” | 模型里，离稳态越近，增速越慢，是正常的；要看是什么原因 |
| “模型里的 α = 1/3，是自然常数” | 它是一个常用的取值，因国家、因估计而不同 |
十、小结
这一讲有六个想法，请带走：
- 生产函数：Y = K^α (AL)^(1−α)，规模报酬不变，资本的边际报酬递减。
- 资本积累：k 的变化 = s k^α − (n + g + δ) k；k 走向稳态，投资等于流失。
- 储蓄率：改变稳态的水平，不改变长期增长率；储蓄率翻倍，产出只高 41%；黄金律：s = α 时，稳态消费最大。
- 持续的人均增长，只来自技术进步（g）：资本积累有递减报酬。
- 条件趋同：参数相同的国家，穷国追得快，离稳态越远，追得越快；参数不同，稳态不同，追不上。
- 真实数据：48 个大国里，起点越低，平均增长越快（斜率 −0.66），但离散很大；控制投资率和人口增长后，趋同更强；与 Solow 模型的方向一致，速度比模型慢；中国的高投资率，是一个有争议的问题。
Solow 模型留下了一个大问题：技术进步从哪来？ 为什么有的国家技术进步快，有的慢？教育、创新、制度，在增长里，起什么作用？下一讲：第 29 讲：增长的来源：技术、人力资本与制度。 你会看到增长核算怎么把增长拆开，内生增长理论怎么把"技术"放进模型里，以及为什么越来越多的经济学家，认为制度是穷国和富国之间最深的差别。实验 77，会让你亲手跑一个 Solow 模拟，再用真实数据校准。
思考题
1. α = 1/3，δ = 6%，n = 1%，g = 2%，储蓄率 s = 0.25。求稳态的人均资本 k*、人均产出 y* 和人均消费 c*。
提示：n + g + δ = 0.01 + 0.02 + 0.06 = 0.09。k* = (0.25 ÷ 0.09)^1.5 = 2.778^1.5 ≈ 4.63；y* = (k*)^(1/3) = 2.778^0.5 ≈ 1.667；c* = (1 − 0.25) × 1.667 = 1.25。
2. 第 1 题的国家，如果储蓄率从 0.25 提高到 0.35，稳态的人均产出，会提高百分之几？为什么没有提高 40%？
提示：稳态产出和 s 的关系是 y* ∝ s^(α/(1−α)) = s^0.5。所以 (0.35 ÷ 0.25)^0.5 = 1.183，提高约 18.3%。储蓄率提高了 40%，产出只提高了 18.3%，因为边际报酬递减：指数 0.5 小于 1。
3. 如果 α = 0.4，δ = 5%，n = 1%，g = 2%：黄金律的储蓄率是多少？比较 s = 0.2、0.4、0.6 时的稳态消费。
提示：黄金律的储蓄率 = α = 0.4。稳态消费 c* = (1 − s)(s ÷ 0.08)^(α/(1−α)) = (1 − s)(s ÷ 0.08)^(2/3)：s = 0.2：0.8 × 2.5^(2/3) ≈ 1.47；s = 0.4：0.6 × 5^(2/3) ≈ 1.75（最大）；s = 0.6：0.4 × 7.5^(2/3) ≈ 1.53。储蓄率高于黄金律（0.6），消费反而比 0.4 时低。
4. 5.1 节的收敛速度 λ = (1 − α)(n + g + δ)：α = 1/3 时，差距缩小一半要多少年？如果 α = 0.5 呢？为什么 α 越大，追得越慢？
提示：λ = (1 − α)(n + g + δ)：α = 1/3：λ = 0.667 × 0.08 ≈ 0.053，半衰期 ln 2 ÷ 0.053 ≈ 13 年；α = 0.5：λ = 0.04，半衰期 ≈ 17.3 年。α 越大，资本的边际报酬递减得越慢，离开稳态之后，把差距拉回去的"回力"更弱，所以追得更慢。（反过来，α 很小，报酬递减很快，穷国很快就追到稳态。）
5. 刚果（金）1990 到 2024 年的人均 GDP 下降了，而 Solow 模型预测"穷国追得快"。这和模型矛盾吗？用"条件趋同"来解释。
提示：不矛盾。Solow 模型的预测是条件趋同：只有当参数（储蓄率、人口增长、技术、制度……）相同，穷国才追上；参数不同，稳态不同。刚果（金）的稳态，可能很低（甚至在下降）：按模型，人口增长越快，稳态越低，代码的数据里，刚果（金）1990 到 2024 年的人口年均增长 3.26%，在 48 个国家里属于最高的几个，回归里人口增长的系数为负；再加上冲突、制度和人力资本等没有出现在这个简单模型里的因素，稳态本身就很低。更完整的解释，是第 29 讲的内容。
参考与延伸
- Solow, R. M. (1956). A Contribution to the Theory of Economic Growth. Quarterly Journal of Economics, 70(1), 65–94.
- Swan, T. W. (1956). Economic Growth and Capital Accumulation. Economic Record, 32, 334–361.
- Phelps, E. S. (1961). The Golden Rule of Accumulation: A Fable for Growthmen. American Economic Review, 51(4), 638–643.
- Mankiw, N. G., Romer, D., & Weil, D. N. (1992). A Contribution to the Empirics of Economic Growth. Quarterly Journal of Economics, 107(2), 407–437.
- Barro, R. J., & Sala-i-Martin, X. (1992). Convergence. Journal of Political Economy, 100(2), 223–251.
- Patel, D., Sandefur, J., & Subramanian, A. (2021). The New Era of Unconditional Convergence. Journal of Development Economics, 152, 102687.
- Young, A. (1995). The Tyranny of Numbers: Confronting the Statistical Realities of the East Asian Growth Experience. Quarterly Journal of Economics, 110(3), 641–680.
- Zhu, X. (2012). Understanding China’s Growth: Past, Present, and Future. Journal of Economic Perspectives, 26(4), 103–124.
- 世界银行：World Development Indicators（本讲的数据，2026 年 10 月 8 日更新的版本）。