36 时间价值与贴现

import math

# 一、复利和贴现：钱有"时间价值"
def fv(pv, r, n): return pv * (1 + r) ** n            # 终值：今天的 pv，按年利率 r，存 n 年
def pv_of(fv_, r, n): return fv_ / (1 + r) ** n       # 现值：n 年后的 fv_，按年利率 r，折成今天

print("一、今天的 100 元，存 10 年、30 年、50 年（年利率 3%、5%、7%）：")
for r in (0.03, 0.05, 0.07):
    print(f"  r = {r:.0%}：10 年 {fv(100, r, 10):7.2f}，30 年 {fv(100, r, 30):8.2f}，50 年 {fv(100, r, 50):9.2f}（30 年是本金的 {fv(1, r, 30):.2f} 倍）")

print("\n二、反过来：10 年后的 1000 元，今天值多少？")
for r in (0.02, 0.05, 0.08):
    print(f"  折现率 r = {r:.0%}：现值 {pv_of(1000, r, 10):7.2f}")

print("\n三、'72 法则'：翻一番，大约要 72 ÷ (利率的百分数) 年。核对：")
for r in (0.02, 0.03, 0.06, 0.09, 0.12):
    exact = math.log(2) / math.log(1 + r)
    print(f"  r = {r:.0%}：精确 {exact:5.2f} 年，72 法则 {72 / (r * 100):5.2f} 年")

print("\n四、名义和实际：折现，要'配套'（第 31 讲：名义 ≈ 实际 + 通胀）")
r_real, infl = 0.02, 0.03
r_nom = (1 + r_real) * (1 + infl) - 1
real_flow = 100.0                                         # 每年 100 元的购买力（按今天的价格算）
pv_real = sum(real_flow / (1 + r_real) ** t for t in range(1, 11))
pv_nom = sum(real_flow * (1 + infl) ** t / (1 + r_nom) ** t for t in range(1, 11))   # 名义现金流：每年按通胀涨，用名义利率折现
bad = sum(real_flow / (1 + r_nom) ** t for t in range(1, 11))                         # 错误：用实际现金流，配了名义利率
print(f"  实际利率 {r_real:.0%}，通胀 {infl:.0%}，名义利率 {r_nom:.2%}")
print(f"  10 年，每年 100 元购买力：实际现金流 ÷ 实际利率 = {pv_real:.2f}；名义现金流 ÷ 名义利率 = {pv_nom:.2f}（一样）；配错了（实际现金流 ÷ 名义利率）= {bad:.2f}（低估了 {pv_real - bad:.1f}）")

print("\n五、你中了奖：今天 100 万，还是一年后 110 万？隐含的利率是 10%：")
for alt in (0.03, 0.08, 0.12):
    print(f"  如果你把钱放到别处，一年能赚 {alt:.0%}：今天 100 万放一年 = {100 * (1 + alt):.0f} 万，{'小于' if 100 * (1 + alt) < 110 else '大于'} 110 万，{'等一年更好' if 100 * (1 + alt) < 110 else '拿今天的更好'}")

一、今天的 100 元，存 10 年、30 年、50 年（年利率 3%、5%、7%）：
  r = 3%：10 年  134.39，30 年   242.73，50 年    438.39（30 年是本金的 2.43 倍）
  r = 5%：10 年  162.89，30 年   432.19，50 年   1146.74（30 年是本金的 4.32 倍）
  r = 7%：10 年  196.72，30 年   761.23，50 年   2945.70（30 年是本金的 7.61 倍）

二、反过来：10 年后的 1000 元，今天值多少？
  折现率 r = 2%：现值  820.35
  折现率 r = 5%：现值  613.91
  折现率 r = 8%：现值  463.19

三、'72 法则'：翻一番，大约要 72 ÷ (利率的百分数) 年。核对：
  r = 2%：精确 35.00 年，72 法则 36.00 年
  r = 3%：精确 23.45 年，72 法则 24.00 年
  r = 6%：精确 11.90 年，72 法则 12.00 年
  r = 9%：精确  8.04 年，72 法则  8.00 年
  r = 12%：精确  6.12 年，72 法则  6.00 年

四、名义和实际：折现，要'配套'（第 31 讲：名义 ≈ 实际 + 通胀）
  实际利率 2%，通胀 3%，名义利率 5.06%
  10 年，每年 100 元购买力：实际现金流 ÷ 实际利率 = 898.26；名义现金流 ÷ 名义利率 = 898.26（一样）；配错了（实际现金流 ÷ 名义利率）= 769.93（低估了 128.3）

五、你中了奖：今天 100 万，还是一年后 110 万？隐含的利率是 10%：
  如果你把钱放到别处，一年能赚 3%：今天 100 万放一年 = 103 万，小于 110 万，等一年更好
  如果你把钱放到别处，一年能赚 8%：今天 100 万放一年 = 108 万，小于 110 万，等一年更好
  如果你把钱放到别处，一年能赚 12%：今天 100 万放一年 = 112 万，大于 110 万，拿今天的更好

# 二、年金、房贷、债券。先写三个函数。
def annuity_pv(c, r, n): return c * (1 - (1 + r) ** -n) / r        # 每期 c，共 n 期，每期利率 r：现值
def payment(P, r_annual, years):                                   # 等额本息：借 P，月利率 = 年利率 ÷ 12，共 12 × years 个月，每月还多少
    i = r_annual / 12; n = 12 * years
    return P * i / (1 - (1 + i) ** -n)
def bond_price(face, coupon, y, n):                                # 年付息一次的债券：面值 face，息票率 coupon，收益率 y，剩 n 年
    return sum(coupon * face / (1 + y) ** t for t in range(1, n + 1)) + face / (1 + y) ** n

print("一、借 100 万元买房，30 年，等额本息：年利率不同，月供和总利息不同")
for r in (0.03, 0.04, 0.0485, 0.06):
    p = payment(1_000_000, r, 30)
    print(f"  年利率 {r:.2%}：月供 {p:9.2f} 元，30 年共还 {p * 360:11,.0f} 元，其中利息 {p * 360 - 1_000_000:10,.0f} 元")
print("  （4.85%：第 31 讲里，2019 年 8 月首次公布的 5 年期以上 LPR；这里只是一个例子，不是现在的房贷利率）")
p4 = payment(1_000_000, 0.04, 30)
print(f"  验证：月供 {p4:.2f} 元，按月利率 4%÷12 折现 360 个月的现值，应当等于借款：{annuity_pv(p4, 0.04 / 12, 360):,.2f}")

print("\n二、永续年金：每年 c，永远。现值 = c ÷ r。每年 5 万元的租金，永远：")
for r in (0.02, 0.04, 0.08):
    print(f"  r = {r:.0%}：现值 {5 / r:6.1f} 万元")

print("\n三、债券：10 年期，息票 3%，面值 100：收益率变了，价格怎么变？")
for y in (0.02, 0.03, 0.04, 0.05, 0.06):
    print(f"  收益率 {y:.0%}：价格 {bond_price(100, 0.03, y, 10):6.2f}")
print("  利率上升，债券价格下降：收益率在 3% 附近，每涨 1 个百分点，价格约跌 8%（这和债券的'久期'有关：越长，越敏感）")

print("\n四、期限越长，对利率越敏感：同样是息票 3%，收益率从 3% 涨到 5%，价格跌多少？")
for n in (2, 5, 10, 30):
    p0, p1 = bond_price(100, 0.03, 0.03, n), bond_price(100, 0.03, 0.05, n)
    print(f"  剩 {n:>2} 年：{p0:6.2f} → {p1:6.2f}（{(p1 / p0 - 1) * 100:+6.1f}%）")

print("\n五、一个真实的例子：美国 10 年期国债收益率（FRED：GS10）：2020 年 8 月 0.65%，2023 年 10 月 4.80%")
p_buy = bond_price(100, 0.0065, 0.0065, 10)                         # 2020 年 8 月，息票 = 收益率，按面值买入
p_now = bond_price(100, 0.0065, 0.0480, 7)                          # 2023 年 10 月，约剩 7 年，收益率涨到 4.80%
print(f"  2020 年 8 月，按面值 {p_buy:.1f} 买入一只 10 年期、息票 0.65% 的债券；到 2023 年 10 月（剩约 7 年，收益率 4.80%），它的市场价格约 {p_now:.1f}，账面损失约 {(1 - p_now / p_buy):.0%}")
print("  （简化：年付息一次，剩余期限取整数；真实国债半年付息；只为说明数量级。第 35 讲的硅谷银行：持有大量长期债券，利率升了，账面上就是这样亏的。）")

print("\n六、提前还房贷划算吗？（只是算术，不是建议）剩余本金 50 万元，20 年，年利率 4.5%；你手里有 10 万元闲钱")
rem = 500_000; r_loan = 0.045
m0 = payment(rem, r_loan, 20)
m1 = payment(rem - 100_000, r_loan, 20)                              # 提前还 10 万，期限不变，月供下降
saving = m0 - m1
print(f"  不提前还：月供 {m0:.2f} 元；提前还 10 万（期限不变）：月供 {m1:.2f} 元，每月少付 {saving:.2f} 元，共 240 个月")
for alt in (0.01, 0.02, 0.03, 0.045, 0.06):
    pv = annuity_pv(saving, alt / 12, 240)
    print(f"  如果你的闲钱，放在别处，年收益 {alt:.1%}：每月少付的 {saving:.0f} 元，240 个月的现值 {pv:9,.0f} 元，{'刚好等于' if abs(pv - 100_000) < 1 else ('大于' if pv > 100_000 else '小于')} 10 万：{'两者一样' if abs(pv - 100_000) < 1 else ('提前还更划算' if pv > 100_000 else '留着钱更划算')}")
print("  临界点，正好是房贷利率（4.5%）：提前还贷，等价于买了一个'收益率 = 房贷利率'的、几乎没有风险的债券。要比的，是你的闲钱，在别处，能稳稳地赚多少；还要看：钱以后，会不会有更急的用处（流动性）")

一、借 100 万元买房，30 年，等额本息：年利率不同，月供和总利息不同
  年利率 3.00%：月供   4216.04 元，30 年共还   1,517,775 元，其中利息    517,775 元
  年利率 4.00%：月供   4774.15 元，30 年共还   1,718,695 元，其中利息    718,695 元
  年利率 4.85%：月供   5276.92 元，30 年共还   1,899,691 元，其中利息    899,691 元
  年利率 6.00%：月供   5995.51 元，30 年共还   2,158,382 元，其中利息  1,158,382 元
  （4.85%：第 31 讲里，2019 年 8 月首次公布的 5 年期以上 LPR；这里只是一个例子，不是现在的房贷利率）
  验证：月供 4774.15 元，按月利率 4%÷12 折现 360 个月的现值，应当等于借款：1,000,000.00

二、永续年金：每年 c，永远。现值 = c ÷ r。每年 5 万元的租金，永远：
  r = 2%：现值  250.0 万元
  r = 4%：现值  125.0 万元
  r = 8%：现值   62.5 万元

三、债券：10 年期，息票 3%，面值 100：收益率变了，价格怎么变？
  收益率 2%：价格 108.98
  收益率 3%：价格 100.00
  收益率 4%：价格  91.89
  收益率 5%：价格  84.56
  收益率 6%：价格  77.92
  利率上升，债券价格下降：收益率在 3% 附近，每涨 1 个百分点，价格约跌 8%（这和债券的'久期'有关：越长，越敏感）

四、期限越长，对利率越敏感：同样是息票 3%，收益率从 3% 涨到 5%，价格跌多少？
  剩  2 年：100.00 →  96.28（  -3.7%）
  剩  5 年：100.00 →  91.34（  -8.7%）
  剩 10 年：100.00 →  84.56（ -15.4%）
  剩 30 年：100.00 →  69.26（ -30.7%）

五、一个真实的例子：美国 10 年期国债收益率（FRED：GS10）：2020 年 8 月 0.65%，2023 年 10 月 4.80%
  2020 年 8 月，按面值 100.0 买入一只 10 年期、息票 0.65% 的债券；到 2023 年 10 月（剩约 7 年，收益率 4.80%），它的市场价格约 75.8，账面损失约 24%
  （简化：年付息一次，剩余期限取整数；真实国债半年付息；只为说明数量级。第 35 讲的硅谷银行：持有大量长期债券，利率升了，账面上就是这样亏的。）

六、提前还房贷划算吗？（只是算术，不是建议）剩余本金 50 万元，20 年，年利率 4.5%；你手里有 10 万元闲钱
  不提前还：月供 3163.25 元；提前还 10 万（期限不变）：月供 2530.60 元，每月少付 632.65 元，共 240 个月
  如果你的闲钱，放在别处，年收益 1.0%：每月少付的 633 元，240 个月的现值   137,564 元，大于 10 万：提前还更划算
  如果你的闲钱，放在别处，年收益 2.0%：每月少付的 633 元，240 个月的现值   125,058 元，大于 10 万：提前还更划算
  如果你的闲钱，放在别处，年收益 3.0%：每月少付的 633 元，240 个月的现值   114,074 元，大于 10 万：提前还更划算
  如果你的闲钱，放在别处，年收益 4.5%：每月少付的 633 元，240 个月的现值   100,000 元，刚好等于 10 万：两者一样
  如果你的闲钱，放在别处，年收益 6.0%：每月少付的 633 元，240 个月的现值    88,306 元，小于 10 万：留着钱更划算
  临界点，正好是房贷利率（4.5%）：提前还贷，等价于买了一个'收益率 = 房贷利率'的、几乎没有风险的债券。要比的，是你的闲钱，在别处，能稳稳地赚多少；还要看：钱以后，会不会有更急的用处（流动性）

# 三、净现值（NPV）和内部收益率（IRR）：该不该做这个项目？
def npv(rate, flows):                                  # flows[t]：第 t 年的现金流（成本为负）
    return sum(cf / (1 + rate) ** t for t, cf in enumerate(flows))

def irr(flows, lo=-0.5, hi=1.0):                       # 使 NPV = 0 的折现率（二分法）
    for _ in range(200):
        mid = (lo + hi) / 2
        if npv(mid, flows) > 0: lo = mid
        else: hi = mid
    return (lo + hi) / 2

# 读大学（数字是虚构的，量级参考第 29 讲：每年 9% 左右的回报）：
#   前 4 年，每年成本 8 万（学费 2 万 + 放弃的工资 6 万），第 0 到第 3 年；毕业后 40 年（第 4 到第 43 年），每年多挣 3.7 万。
college = [-8.0] * 4 + [3.7] * 40
print("一、读大学：每年成本 8 万，共 4 年；毕业后 40 年，每年多挣 3.7 万（都是虚构的数字）")
for r in (0.03, 0.05, 0.08, 0.10, 0.12):
    print(f"  折现率 {r:.0%}：净现值 {npv(r, college):7.2f} 万元")
print(f"  内部收益率 IRR = {irr(college):.2%}：折现率低于它，值得读；高于它，不值得")

print("\n二、两个项目，各投 100，只能选一个（互斥）：")
A = [-100, 120]                                         # 1 年后 120：IRR 20%
B = [-100, 0, 0, 150]                                   # 3 年后 150：IRR 约 14.5%
for r in (0.03, 0.05, 0.10, 0.15):
    print(f"  折现率 {r:.0%}：NPV(A) = {npv(r, A):6.2f}，NPV(B) = {npv(r, B):6.2f}，{'选 A' if npv(r, A) > npv(r, B) else '选 B'}")
print(f"  IRR(A) = {irr(A):.1%}，IRR(B) = {irr(B):.1%}：A 的 IRR 更高，但折现率低的时候，B 的 NPV 更大；要比的是 NPV，不是 IRR")

print("\n三、折现率的小变化，对'远期收益大'的项目影响更大：同一个读大学的项目，折现率 4%、6%、8% 的净现值")
for r in (0.04, 0.06, 0.08):
    print(f"  {r:.0%}：{npv(r, college):7.2f} 万元")

一、读大学：每年成本 8 万，共 4 年；毕业后 40 年，每年多挣 3.7 万（都是虚构的数字）
  折现率 3%：净现值   47.64 万元
  折现率 5%：净现值   25.06 万元
  折现率 8%：净现值    6.41 万元
  折现率 10%：净现值   -0.71 万元
  折现率 12%：净现值   -5.50 万元
  内部收益率 IRR = 9.76%：折现率低于它，值得读；高于它，不值得

二、两个项目，各投 100，只能选一个（互斥）：
  折现率 3%：NPV(A) =  16.50，NPV(B) =  37.27，选 B
  折现率 5%：NPV(A) =  14.29，NPV(B) =  29.58，选 B
  折现率 10%：NPV(A) =   9.09，NPV(B) =  12.70，选 B
  折现率 15%：NPV(A) =   4.35，NPV(B) =  -1.37，选 A
  IRR(A) = 20.0%，IRR(B) = 14.5%：A 的 IRR 更高，但折现率低的时候，B 的 NPV 更大；要比的是 NPV，不是 IRR

三、折现率的小变化，对'远期收益大'的项目影响更大：同一个读大学的项目，折现率 4%、6%、8% 的净现值
  4%：  34.90 万元
  6%：  17.36 万元
  8%：   6.41 万元

import math

# 四、很远的未来，今天该折成多少？
# 拉姆齐公式（Frank Ramsey 1928）：社会折现率 r = ρ + η × g
#   ρ：纯时间偏好（仅仅因为"晚"，就少算一点：一个伦理参数）；η：消费的边际效用的弹性（再多一块钱，对富人没有对穷人那么重要）；g：人均消费的增长率。
print("一、不同的设定，折现率 r = ρ + η × g（g = 2%）：数字是示意的")
sets = [("设定 1：ρ = 0.1%，η = 1（斯特恩报告用的 ρ 和 η）", 0.001, 1.0), ("设定 2：ρ = 0，η = 1", 0.0, 1.0),
        ("设定 3：ρ = 1%，η = 1.5", 0.01, 1.5), ("设定 4：ρ = 1.5%，η = 2（一组更高的设定，示意）", 0.015, 2.0)]
rates = []
for label, rho, eta in sets:
    r = rho + eta * 0.02
    rates.append(r)
    print(f"  {label}：r = {r:.2%}")

print("\n二、100 年后的 1 亿元损害，今天值多少？（现值，单位：万元）")
for T in (50, 100, 200):
    print(f"  {T:>3} 年后：" + "；".join(f"r={r:.1%}：{10000 / (1 + r) ** T:8.1f}" for r in rates))
print("  差别巨大：r = 2.1%，100 年后的 1 亿元，今天值约 1250 万；r = 5.5%，只值约 47 万，差 27 倍")

print("\n三、折现率不确定时，远期的'确定性等价折现率'会下降（Weitzman 的想法）：一半的可能性 r = 1%，一半的可能性 r = 5%")
for T in (1, 10, 50, 100, 300):
    expected_pv = 0.5 / 1.01 ** T + 0.5 / 1.05 ** T
    ce = expected_pv ** (-1 / T) - 1
    print(f"  T = {T:>3} 年：现值的平均 {expected_pv:8.5f}；对应的等价折现率 {ce:6.2%}（折现率的平均是 3.00%）")
print("  远期的现值，主要被那个'低的折现率'决定：因为 5% 的那种情形，100 年后几乎什么都不剩了，1% 的情形，还剩 37%")

print("\n四、从市场上，能'看到'很长期的折现率吗？英国和新加坡的房子，有 99 到 999 年的租赁产权，也有永久产权。")
print("  最简化的想法：如果租金不变，永久产权比 T 年租约，多出的价值，是 T 年之后的永续租金的现值，占比 = 1 ÷ (1 + r)^T：")
for r in (0.01, 0.02, 0.03, 0.05):
    print(f"  r = {r:.0%}：100 年租约，比永久产权便宜 {1 / (1 + r) ** 100:6.1%}")
print("  论文用更细的办法，得到：100 年租约比永久产权便宜 10% 以上，隐含 100 年以上的折现率，低于约 2.6%（是一个上限，不是点估计）；上面的简化版，只用来看方向")

一、不同的设定，折现率 r = ρ + η × g（g = 2%）：数字是示意的
  设定 1：ρ = 0.1%，η = 1（斯特恩报告用的 ρ 和 η）：r = 2.10%
  设定 2：ρ = 0，η = 1：r = 2.00%
  设定 3：ρ = 1%，η = 1.5：r = 4.00%
  设定 4：ρ = 1.5%，η = 2（一组更高的设定，示意）：r = 5.50%

二、100 年后的 1 亿元损害，今天值多少？（现值，单位：万元）
   50 年后：r=2.1%：  3537.6；r=2.0%：  3715.3；r=4.0%：  1407.1；r=5.5%：   687.7
  100 年后：r=2.1%：  1251.5；r=2.0%：  1380.3；r=4.0%：   198.0；r=5.5%：    47.3
  200 年后：r=2.1%：   156.6；r=2.0%：   190.5；r=4.0%：     3.9；r=5.5%：     0.2
  差别巨大：r = 2.1%，100 年后的 1 亿元，今天值约 1250 万；r = 5.5%，只值约 47 万，差 27 倍

三、折现率不确定时，远期的'确定性等价折现率'会下降（Weitzman 的想法）：一半的可能性 r = 1%，一半的可能性 r = 5%
  T =   1 年：现值的平均  0.97124；对应的等价折现率  2.96%（折现率的平均是 3.00%）
  T =  10 年：现值的平均  0.75960；对应的等价折现率  2.79%（折现率的平均是 3.00%）
  T =  50 年：现值的平均  0.34762；对应的等价折现率  2.14%（折现率的平均是 3.00%）
  T = 100 年：现值的平均  0.18866；对应的等价折现率  1.68%（折现率的平均是 3.00%）
  T = 300 年：现值的平均  0.02527；对应的等价折现率  1.23%（折现率的平均是 3.00%）
  远期的现值，主要被那个'低的折现率'决定：因为 5% 的那种情形，100 年后几乎什么都不剩了，1% 的情形，还剩 37%

四、从市场上，能'看到'很长期的折现率吗？英国和新加坡的房子，有 99 到 999 年的租赁产权，也有永久产权。
  最简化的想法：如果租金不变，永久产权比 T 年租约，多出的价值，是 T 年之后的永续租金的现值，占比 = 1 ÷ (1 + r)^T：
  r = 1%：100 年租约，比永久产权便宜  37.0%
  r = 2%：100 年租约，比永久产权便宜  13.8%
  r = 3%：100 年租约，比永久产权便宜   5.2%
  r = 5%：100 年租约，比永久产权便宜   0.8%
  论文用更细的办法，得到：100 年租约比永久产权便宜 10% 以上，隐含 100 年以上的折现率，低于约 2.6%（是一个上限，不是点估计）；上面的简化版，只用来看方向

# 五、人是这样折现的吗？指数折现 vs 现在偏向（β–δ 折现，Laibson 1997 年用它来描述"现在偏向"）
#   指数折现：一期之后，权重 δ；两期之后，δ²……（每一步，都是同样的比例）
#   β–δ 折现：现在，权重 1；任何未来的时刻，先乘 β（β < 1，现在偏向），再乘 δ^t。
def weight_exp(t, delta): return delta ** t
def weight_bd(t, beta, delta): return 1.0 if t == 0 else beta * delta ** t

delta, beta = 0.95, 0.7                              # 每月的 δ，和现在偏向 β（玩具参数）
small, big = 100.0, 110.0                            # 早一个月拿 100，还是晚一个月拿 110（共差一个月）

def choose(T, weight):
    """T 个月之后，可以选'早'（T 月拿 100）或'晚'（T+1 月拿 110）。返回两个选项，现在看起来的价值"""
    return small * weight(T), big * weight(T + 1)

print("现在（站在 0 月）看：几个月之后，在'那时拿 100'和'再晚一个月拿 110'之间选，你选哪个？")
print(f"  δ = {delta}（每月折现），β = {beta}（现在偏向）：")
for T in (0, 1, 3, 6, 12):
    ea, el = choose(T, lambda t: weight_exp(t, delta))
    ba, bl = choose(T, lambda t: weight_bd(t, beta, delta))
    print(f"  这笔交易，离现在 {T:>2} 个月：指数折现：{'等一个月（110）' if el > ea else '拿早的（100）'}；β–δ：{'等一个月（110）' if bl > ba else '拿早的（100）'}（早 {ba:6.2f}，晚 {bl:6.2f}）")
print("\n指数折现的人，选择是'一致'的：不管离现在多远，答案一样。β–δ 的人，现在计划'将来等一个月'，等到那个时候，却会改主意'拿早的'：")
print("  计划（站在 0 月，看第 6 个月的选择）：早 =", f"{choose(6, lambda t: weight_bd(t, beta, delta))[0]:.2f}，晚 = {choose(6, lambda t: weight_bd(t, beta, delta))[1]:.2f}（选晚的）")
print("  真到了第 6 个月（那时的'现在'），重新看：早 = 100.00 × 1 = 100.00，晚 = 110 × β × δ = ", f"{big * beta * delta:.2f}", "→ 选早的")
print("  这就是'时间不一致'：计划和行动不一致，所以，人们会想要'承诺'（比如，自动扣款的储蓄计划）：第 39 讲会讲证据")

现在（站在 0 月）看：几个月之后，在'那时拿 100'和'再晚一个月拿 110'之间选，你选哪个？
  δ = 0.95（每月折现），β = 0.7（现在偏向）：
  这笔交易，离现在  0 个月：指数折现：等一个月（110）；β–δ：拿早的（100）（早 100.00，晚  73.15）
  这笔交易，离现在  1 个月：指数折现：等一个月（110）；β–δ：等一个月（110）（早  66.50，晚  69.49）
  这笔交易，离现在  3 个月：指数折现：等一个月（110）；β–δ：等一个月（110）（早  60.02，晚  62.72）
  这笔交易，离现在  6 个月：指数折现：等一个月（110）；β–δ：等一个月（110）（早  51.46，晚  53.77）
  这笔交易，离现在 12 个月：指数折现：等一个月（110）；β–δ：等一个月（110）（早  37.83，晚  39.53）

指数折现的人，选择是'一致'的：不管离现在多远，答案一样。β–δ 的人，现在计划'将来等一个月'，等到那个时候，却会改主意'拿早的'：
  计划（站在 0 月，看第 6 个月的选择）：早 = 51.46，晚 = 53.77（选晚的）
  真到了第 6 个月（那时的'现在'），重新看：早 = 100.00 × 1 = 100.00，晚 = 110 × β × δ =  73.15 → 选早的
  这就是'时间不一致'：计划和行动不一致，所以，人们会想要'承诺'（比如，自动扣款的储蓄计划）：第 39 讲会讲证据