这一讲要回答六个问题：

  1. 不平等，怎么测？一个数字（基尼系数），够不够？
  2. 全世界的贫困，在发生什么？谁，在减少，谁，没有？
  3. 发展，只是收入吗？寿命呢？
  4. 国家，富了，不平等，会不会，先升，后降？（库兹涅茨曲线）
  5. 穷人的世界，怎么变好？（随机实验）
  6. 不平等，为什么上升？再分配，有什么代价？（有争议）

第 28、29 讲，我们讲了增长：为什么，有的国家，富，有的国家，穷；第 40 讲，贸易，让总蛋糕变大，却不是人人受益；第 4 讲，我们区分了"事实"和"价值判断"：说"收入不平等是一个严重的问题"，“不平等有多大”，是事实，“严重”，是价值判断。这一讲，把这些，接起来。

一、三个问题

先停一下：请先凭直觉，回答下面三个问题。

问题 1： 全世界，每天的生活费，不到 3 美元的"极端贫困"人口，从 1990 年到 2022 年，是增加了，还是减少了？减少的话，最大的功劳，来自哪里？

问题 2： 一个国家，从很穷，变得富了，收入的不平等，会怎么变？

问题 3： 政府，从富人手里，征 1 元的税，转给穷人，穷人，能拿到 1 元吗？如果拿不到，值不值得？

先记下答案。问题 1，在第三节；问题 2，在第五节；问题 3，在第七节。

二、怎么测不平等

2.1 洛伦兹曲线，和基尼系数

要谈不平等，先要有一把尺子。最常用的，是洛伦兹曲线：把所有人，按收入，从低到高，排队；横轴，是人口的累计比例；纵轴，是这些人，拿到的收入的累计比例。如果，人人收入一样，它就是一条对角线；越不平等，曲线，越往下弯。

基尼系数：对角线，和洛伦兹曲线，之间，的面积，除以，对角线下方，三角形的面积（0.5）。0，是人人一样；越接近 1，越是少数人，拿走了几乎全部。等价的算法：所有"两个人配对"的收入差的平均，再除以 2 倍的平均收入。

import itertools, math
from fractions import Fraction
from statistics import NormalDist

def gini(y):
    """基尼系数：所有"两个人配对"的收入差的平均，再除以 2 倍的平均收入。0 = 人人一样；趋近 1 = 一个人拿走了全部。"""
    y = sorted(y); n = len(y); mu = sum(y) / n
    cum = sum((2 * (i + 1) - n - 1) * v for i, v in enumerate(y))      # 排序之后的等价算法
    return cum / (n * n * mu)

# 一、一个手算的例子：5 个人，月收入（千元）
inc = [1, 2, 3, 4, 10]
tot = sum(inc)
print(f"一、5 个人的收入：{inc}，合计 {tot}，平均 {tot / 5:.1f}")
print("  洛伦兹曲线：人口，从最穷的人，累计，到最富的人，累计的收入份额")
cum = 0
for k, v in enumerate(inc, 1):
    cum += v
    print(f"    最穷的 {k} 个人（{k / 5:>4.0%}）：拿到 {cum / tot:>5.0%}")
pairs = sum(abs(a - b) for a in inc for b in inc)
print(f"  基尼系数 = 所有配对（含自己和自己）的收入差之和 ÷ (2 × n² × 平均) = {pairs} ÷ (2 × 25 × {tot / 5:.1f}) = {pairs / (2 * 25 * tot / 5):.3f}（排序算法：{gini(inc):.3f}）")
print(f"  最富的 1 个人（20%），拿走 {inc[-1] / tot:.0%}；最穷的 2 个人（40%），只有 {(inc[0] + inc[1]) / tot:.0%}")

# 二、基尼系数的两个性质，和一个盲点
print("\n二、基尼系数：（1）所有人的收入，翻一倍，基尼系数，不变；（2）人口，复制一倍，不变")
print(f"  {inc} → {[2 * v for v in inc]}：{gini(inc):.3f} → {gini([2 * v for v in inc]):.3f}；人口复制一倍：{gini(inc * 2):.3f}")

# 盲点：不同的分布，可以有，同样的基尼系数。在"5 个人，收入合计 20（正整数）"的分布里，找基尼系数，完全相等，但，形状差别最大的一对
groups = {}
for c in itertools.combinations_with_replacement(range(1, 17), 5):
    if sum(c) == 20:
        g = Fraction(sum(abs(a - b) for a in c for b in c), 2 * 25 * Fraction(sum(c), 5))
        groups.setdefault(g, []).append(c)
best = None
for g, lst in groups.items():
    if len(lst) >= 2:
        top = [max(x) / 20 for x in lst]; bot = [x[0] / 20 for x in lst]
        spread = max(top) - min(top)
        a = lst[top.index(max(top))]; b = lst[top.index(min(top))]
        if best is None or spread > best[0]:
            best = (spread, g, a, b)
_, g, a, b = best
print(f"  盲点：基尼系数相同（都是 {float(g):.3f}），形状，却不同：")
print(f"    分布 {a}：最富的人，拿走 {max(a) / 20:.0%}，最穷的人，拿 {min(a) / 20:.0%}")
print(f"    分布 {b}：最富的人，拿走 {max(b) / 20:.0%}，最穷的人，拿 {min(b) / 20:.0%}")
print("  所以，一个数字，不能代替，分布的整体：常要，同时，看，最富的 10%、最穷的 50% 拿多少，和 P90/P10 之类的比。")

# 三、一个常用的"标准分布"：对数正态（收入的对数，服从正态分布，标准差 σ）。基尼系数，只由 σ 决定：G = 2Φ(σ/√2) − 1
print("\n三、对数正态分布的收入（σ 越大，越不平等）：用 10 万个等间隔的分位点，计算")
N = 100000
nd = NormalDist()
print(f"  {'σ':>5}{'基尼（计算）':>12}{'基尼（公式）':>12}{'最富 10% 的份额':>16}{'最穷 50% 的份额':>16}{'P90/P10':>9}")
for sigma in (0.4, 0.6, 0.8, 1.0, 1.2):
    y = [math.exp(sigma * nd.inv_cdf((i + 0.5) / N)) for i in range(N)]
    tot_y = sum(y)
    top10 = sum(y[int(0.9 * N):]) / tot_y; bot50 = sum(y[: N // 2]) / tot_y
    p90_p10 = y[int(0.9 * N)] / y[int(0.1 * N)]
    print(f"  {sigma:>5.1f}{gini(y):>12.3f}{2 * nd.cdf(sigma / math.sqrt(2)) - 1:>12.3f}{top10:>16.1%}{bot50:>16.1%}{p90_p10:>9.1f}")

输出：

一、5 个人的收入：[1, 2, 3, 4, 10]，合计 20，平均 4.0
  洛伦兹曲线：人口，从最穷的人，累计，到最富的人，累计的收入份额
    最穷的 1 个人（ 20%）：拿到    5%
    最穷的 2 个人（ 40%）：拿到   15%
    最穷的 3 个人（ 60%）：拿到   30%
    最穷的 4 个人（ 80%）：拿到   50%
    最穷的 5 个人（100%）：拿到  100%
  基尼系数 = 所有配对（含自己和自己）的收入差之和 ÷ (2 × n² × 平均) = 80 ÷ (2 × 25 × 4.0) = 0.400（排序算法：0.400）
  最富的 1 个人（20%），拿走 50%；最穷的 2 个人（40%），只有 15%

二、基尼系数：（1）所有人的收入，翻一倍，基尼系数，不变；（2）人口，复制一倍，不变
  [1, 2, 3, 4, 10] → [2, 4, 6, 8, 20]：0.400 → 0.400；人口复制一倍：0.400
  盲点：基尼系数相同（都是 0.400），形状，却不同：
    分布 (2, 2, 2, 2, 12)：最富的人，拿走 60%，最穷的人，拿 10%
    分布 (1, 1, 3, 7, 8)：最富的人，拿走 40%，最穷的人，拿 5%
  所以，一个数字，不能代替，分布的整体：常要，同时，看，最富的 10%、最穷的 50% 拿多少，和 P90/P10 之类的比。

三、对数正态分布的收入（σ 越大，越不平等）：用 10 万个等间隔的分位点，计算
      σ      基尼（计算）      基尼（公式）      最富 10% 的份额      最穷 50% 的份额  P90/P10
    0.4       0.223       0.223           18.9%           34.5%      2.8
    0.6       0.329       0.329           24.8%           27.4%      4.7
    0.8       0.428       0.428           31.5%           21.2%      7.8
    1.0       0.520       0.520           38.9%           15.9%     13.0
    1.2       0.604       0.604           46.7%           11.5%     21.7

洛伦兹曲线：离对角线，越远，越不平等

逐段看：

  • 手算：5 个人，月收入（千元）1、2、3、4、10：合计 20，平均 4。洛伦兹曲线，上的点：最穷的 1 个人（20%），拿 5%；2 个人（40%），拿 15%；3 个人，30%；4 个人，50%。基尼系数 = 0.400（两种算法，一致）。最富的那 1 个人（20%），拿走 50%；最穷的 2 个人（40%），只有 15%。
  • 性质：所有人的收入，翻一倍，基尼，不变；人口，复制一倍，也不变。它，只看相对的分布。
  • 盲点：基尼系数，相同（0.400），形状，可以，完全不同。(2, 2, 2, 2, 12)：最富的人，拿 60%，其余人，都一样；(1, 1, 3, 7, 8)：最富的人，拿 40%，最穷的人，只拿 5%。一个数字，不能代替，分布的整体：所以，常常，还要同时看：最富的 10%，拿多少；最穷的 50%，拿多少；P90/P10（收入，第 90 百分位，比，第 10 百分位，的倍数）。
  • 一个"标准分布"：对数正态（收入的对数，服从正态分布，标准差 σ）。σ = 0.8 时，基尼 0.428（和公式 2Φ(σ/√2) − 1 一致），最富的 10%，拿 31.5%，最穷的 50%，拿 21.2%，P90/P10 = 7.8；σ = 1.0，基尼 0.520，最富的 10% 拿 38.9%；σ = 1.2，基尼 0.604，最富的 10% 拿 46.7%，最穷的一半，只有 11.5%。后面，我们，会，用 σ = 0.8，做一个再分配的模拟。

2.2 收入、财富、机会

要小心：“不平等”，有很多种。收入的不平等，和财富的不平等，不一样（财富，通常，集中得多）；“结果"的不平等，和"机会"的不平等，也不一样。一个国家，可以，收入，相当平等，却，机会，很不平等；也可以，反过来。这一讲，主要谈收入；财富、机会，我们，只在"价值判断"里，碰到。

三、贫困：世界，在变好，可是，不均匀

3.1 怎么算"极端贫困”

国际贫困线：世界银行，用来比较各国的、一条很低的线：每天生活费，低于某个金额（按各国的购买力，换算）。2025 年 6 月，世界银行，把它，从每天 2.15 美元（2017 年购买力平价），更新成，每天 3.00 美元（2021 年购买力平价）。世界银行自己，强调，这是"一个极低的标准"，各国，用来制定政策的，应该，是本国的贫困线。

数字，会随着，线，和价格的更新，改变：2025 年的更新，使得 2022 年的极端贫困人口，从约 7.13 亿（旧线），上调到约 8.38 亿（新线）（据世界银行的说明）。所以，读新闻时，要看清楚，用的是哪一条线。

3.2 贫困，在发生什么

# 数据：世界银行 WDI（贫困率来自世界银行的"贫困与不平等平台"）。个别年份，没有数据（需要调查）。
POVERTY = {   # 人口中，每天生活费低于 3.00 美元（2021 年购买力平价）的比例（%）
    "WLD": {1990: 43.4, 1991: 43.1, 1992: 42.5, 1993: 42.1, 1994: 40.7, 1995: 39.4, 1996: 38.1, 1997: 37.7, 1998: 37.9, 1999: 37.3, 2000: 36.2, 2001: 35.3, 2002: 33.7, 2003: 32.2, 2004: 30.3, 2005: 28.3, 2006: 27.0, 2007: 25.3, 2008: 24.1, 2009: 23.1, 2010: 21.0, 2011: 19.1, 2012: 17.8, 2013: 15.5, 2014: 14.5, 2015: 13.4, 2016: 12.6, 2017: 11.8, 2018: 11.1, 2020: 11.4, 2021: 11.3, 2022: 10.9, 2023: 10.5},
    "CHN": {1990: 83.1, 1993: 77.3, 1996: 62.6, 1999: 58.5, 2002: 47.8, 2005: 32.9, 2008: 26.1, 2010: 20.6, 2011: 15.3, 2012: 12.9, 2013: 6.0, 2014: 4.6, 2015: 2.9, 2016: 2.1, 2017: 1.6, 2018: 0.7, 2019: 0.0, 2020: 0.0, 2021: 0.0, 2022: 0.0},
    "SSF": {1990: 61.5, 1991: 62.8, 1992: 63.8, 1993: 64.5, 1994: 64.6, 1995: 64.4, 1996: 63.9, 1997: 63.5, 1998: 63.4, 1999: 63.1, 2000: 62.4, 2001: 61.2, 2002: 60.8, 2003: 59.9, 2004: 56.9, 2005: 55.4, 2006: 54.3, 2007: 53.1, 2008: 51.9, 2009: 51.4, 2010: 49.4, 2011: 48.4, 2012: 47.2, 2013: 46.1, 2014: 45.3, 2015: 45.4, 2016: 45.1, 2017: 44.6, 2018: 44.1, 2019: 43.9, 2020: 46.0, 2021: 46.2, 2022: 45.6, 2023: 45.5},
    "LCN": {1990: 20.7, 1991: 20.1, 1992: 20.2, 1993: 20.1, 1994: 19.5, 1995: 18.5, 1996: 19.9, 1997: 19.4, 1998: 19.2, 1999: 19.5, 2000: 18.1, 2001: 17.9, 2002: 17.1, 2003: 16.6, 2004: 15.3, 2005: 14.2, 2006: 12.0, 2007: 10.8, 2008: 9.9, 2009: 9.5, 2010: 8.5, 2011: 7.7, 2012: 7.5, 2013: 6.8, 2014: 6.5, 2015: 6.0, 2016: 6.2, 2017: 6.2, 2018: 6.1, 2019: 6.2, 2020: 5.8, 2021: 6.2, 2022: 5.0, 2023: 4.6},
    "EAS": {1990: 67.0, 1991: 66.0, 1992: 64.4, 1993: 62.8, 1994: 59.2, 1995: 55.7, 1996: 52.0, 1997: 51.3, 1998: 51.6, 1999: 49.1, 2000: 46.6, 2001: 44.1, 2002: 40.0, 2003: 36.2, 2004: 32.9, 2005: 28.9, 2006: 27.7, 2007: 25.0, 2008: 23.4, 2009: 21.4, 2010: 18.9, 2011: 15.3, 2012: 13.2, 2013: 9.0, 2014: 7.8, 2015: 6.1, 2016: 5.0, 2017: 4.1, 2018: 3.3, 2019: 2.6, 2020: 2.7, 2021: 2.6, 2022: 2.4, 2023: 2.2},
}
POP = {   # 总人口（百万）
    "WLD": {1990: 5299.0, 1991: 5388.2, 1992: 5476.8, 1993: 5564.5, 1994: 5650.5, 1995: 5736.2, 1996: 5822.3, 1997: 5908.2, 1998: 5993.7, 1999: 6078.1, 2000: 6161.5, 2001: 6244.7, 2002: 6327.2, 2003: 6409.4, 2004: 6492.4, 2005: 6575.4, 2006: 6659.5, 2007: 6744.0, 2008: 6830.1, 2009: 6916.2, 2010: 7000.9, 2011: 7086.7, 2012: 7176.5, 2013: 7265.4, 2014: 7353.5, 2015: 7441.1, 2016: 7528.2, 2017: 7613.8, 2018: 7696.2, 2019: 7777.2, 2020: 7853.9, 2021: 7919.6, 2022: 7988.6, 2023: 8062.9},
    "CHN": {1990: 1135.2, 1991: 1150.8, 1992: 1165.0, 1993: 1178.4, 1994: 1191.8, 1995: 1204.9, 1996: 1217.5, 1997: 1230.1, 1998: 1241.9, 1999: 1252.7, 2000: 1262.6, 2001: 1271.8, 2002: 1280.4, 2003: 1288.4, 2004: 1296.1, 2005: 1303.7, 2006: 1311.0, 2007: 1317.9, 2008: 1324.7, 2009: 1331.3, 2010: 1337.7, 2011: 1345.0, 2012: 1354.2, 2013: 1363.2, 2014: 1371.9, 2015: 1379.9, 2016: 1387.8, 2017: 1396.2, 2018: 1402.8, 2019: 1407.7, 2020: 1411.1, 2021: 1412.4, 2022: 1412.2, 2023: 1410.7},
    "SSF": {1990: 521.0, 1991: 535.3, 1992: 550.0, 1993: 565.3, 1994: 580.5, 1995: 596.1, 1996: 612.3, 1997: 628.6, 1998: 645.5, 1999: 662.9, 2000: 680.8, 2001: 699.2, 2002: 718.3, 2003: 737.9, 2004: 758.2, 2005: 779.2, 2006: 800.8, 2007: 823.1, 2008: 846.2, 2009: 869.9, 2010: 894.3, 2011: 919.1, 2012: 944.5, 2013: 970.7, 2014: 997.4, 2015: 1024.7, 2016: 1052.2, 2017: 1080.2, 2018: 1109.2, 2019: 1138.5, 2020: 1168.1, 2021: 1198.1, 2022: 1228.2, 2023: 1258.8},
    "LCN": {1990: 441.0, 1991: 449.1, 1992: 457.2, 1993: 465.3, 1994: 473.3, 1995: 481.3, 1996: 489.2, 1997: 497.1, 1998: 505.0, 1999: 512.7, 2000: 520.3, 2001: 527.6, 2002: 534.7, 2003: 541.6, 2004: 548.5, 2005: 555.1, 2006: 561.8, 2007: 568.3, 2008: 574.9, 2009: 581.4, 2010: 587.8, 2011: 594.1, 2012: 600.4, 2013: 606.7, 2014: 612.8, 2015: 618.9, 2016: 624.7, 2017: 630.4, 2018: 635.8, 2019: 641.0, 2020: 645.5, 2021: 649.2, 2022: 653.1, 2023: 657.6},
    "EAS": {1990: 1817.7, 1991: 1844.2, 1992: 1869.1, 1993: 1893.3, 1994: 1917.4, 1995: 1941.2, 1996: 1964.8, 1997: 1988.1, 1998: 2010.4, 1999: 2030.9, 2000: 2050.1, 2001: 2068.7, 2002: 2086.1, 2003: 2102.8, 2004: 2118.7, 2005: 2134.6, 2006: 2150.7, 2007: 2167.0, 2008: 2183.5, 2009: 2199.1, 2010: 2214.6, 2011: 2230.8, 2012: 2249.1, 2013: 2267.1, 2014: 2284.4, 2015: 2300.8, 2016: 2317.1, 2017: 2333.5, 2018: 2347.6, 2019: 2359.8, 2020: 2369.4, 2021: 2375.1, 2022: 2379.6, 2023: 2384.4},
}
names = {"WLD": "全世界", "CHN": "中国", "EAS": "东亚和太平洋", "SSF": "撒哈拉以南非洲", "LCN": "拉美和加勒比"}

def poor(k, y):                                   # 极端贫困人口（百万）= 贫困率 × 人口
    return POVERTY[k][y] / 100 * POP[k][y]

# 一、贫困率，和贫困人口
print("一、极端贫困：每天生活费，低于 3.00 美元（2021 年购买力平价）")
yrs = (1990, 2002, 2010, 2022)
print(f"  {'':<10}" + "".join(f"{y:>16}" for y in yrs))
for k in ("WLD", "CHN", "EAS", "SSF", "LCN"):
    cells = [f"{POVERTY[k][y]:>5.1f}% /{poor(k, y):>6.0f}百万" for y in yrs]
    print(f"  {names[k]:<8}" + "".join(f"{c:>16}" for c in cells))
print("  （每格：贫困率 / 贫困人口）")

# 二、世界上，贫困人口的减少，是从哪里来的？
d_w = poor("WLD", 1990) - poor("WLD", 2022)
print(f"\n二、1990 → 2022 年：全世界的极端贫困人口，从 {poor('WLD', 1990):.0f} 百万，到 {poor('WLD', 2022):.0f} 百万，减少 {d_w:.0f} 百万")
d_c = poor("CHN", 1990) - poor("CHN", 2022)
print(f"  中国：{poor('CHN', 1990):.0f} → {poor('CHN', 2022):.0f} 百万，减少 {d_c:.0f} 百万，占全世界减少量的 {d_c / d_w:.0%}（WDI 里，中国 2019–2022 年的数字，是 0.0；可能是，四舍五入，我没有核对原始数值）")
d_s = poor("SSF", 2022) - poor("SSF", 1990)
print(f"  撒哈拉以南非洲：{poor('SSF', 1990):.0f} → {poor('SSF', 2022):.0f} 百万，反而，增加 {d_s:.0f} 百万（相当于，抵消了，全世界减少量的 {d_s / d_w:.0%}）")
rest = d_w - (poor("CHN", 1990) - poor("CHN", 2022))
print(f"  不含中国：全世界，减少 {rest:.0f} 百万（1990 年，不含中国：{poor('WLD', 1990) - poor('CHN', 1990):.0f} 百万 → 2022 年 {poor('WLD', 2022) - poor('CHN', 2022):.0f} 百万）")
print(f"  撒哈拉以南非洲：贫困率，{POVERTY['SSF'][1990]:.1f}% → {POVERTY['SSF'][2022]:.1f}%（下降），可是，人口，{POP['SSF'][1990]:.0f} → {POP['SSF'][2022]:.0f} 百万（{POP['SSF'][2022] / POP['SSF'][1990]:.1f} 倍），贫困人口，反而，增加了")
print(f"  2022 年，全世界的极端贫困人口中，在撒哈拉以南非洲的占 {poor('SSF', 2022) / poor('WLD', 2022):.0%}")

输出：

一、极端贫困：每天生活费，低于 3.00 美元（2021 年购买力平价）
                        1990            2002            2010            2022
  全世界      43.4% /  2300百万 33.7% /  2132百万 21.0% /  1470百万 10.9% /   871百万
  中国       83.1% /   943百万 47.8% /   612百万 20.6% /   276百万  0.0% /     0百万
  东亚和太平洋   67.0% /  1218百万 40.0% /   834百万 18.9% /   419百万  2.4% /    57百万
  撒哈拉以南非洲  61.5% /   320百万 60.8% /   437百万 49.4% /   442百万 45.6% /   560百万
  拉美和加勒比   20.7% /    91百万 17.1% /    91百万  8.5% /    50百万  5.0% /    33百万
  （每格：贫困率 / 贫困人口）

二、1990 → 2022 年：全世界的极端贫困人口，从 2300 百万，到 871 百万，减少 1429 百万
  中国：943 → 0 百万，减少 943 百万，占全世界减少量的 66%（WDI 里，中国 2019–2022 年的数字，是 0.0；可能是，四舍五入，我没有核对原始数值）
  撒哈拉以南非洲：320 → 560 百万，反而，增加 240 百万（相当于，抵消了，全世界减少量的 17%）
  不含中国：全世界，减少 486 百万（1990 年，不含中国：1356 百万 → 2022 年 871 百万）
  撒哈拉以南非洲：贫困率，61.5% → 45.6%（下降），可是，人口，521 → 1228 百万（2.4 倍），贫困人口，反而，增加了
  2022 年，全世界的极端贫困人口中，在撒哈拉以南非洲的占 64%

贫困率：几乎，到处，都在下降；人数：非洲，在增加

逐段看：

  • 回答问题 1：全世界，极端贫困（每天低于 3.00 美元）的人，1990 年，约 23 亿（43.4%），到 2022 年，约 8.7 亿（10.9%）：减少了约 14.3 亿。（世界银行的说明，给出，2022 年约 8.38 亿；我用的是 WDI 的贫困率，乘以人口，数字略不同，差别，来自，人口数据的版本等；以官方的为准。）
  • 中国：贫困率，从 83.1%（1990 年），降到 WDI 里的 0.0%（2019 年起）；贫困人口，从约 9.4 亿，到 0：占了全世界减少量的 66%。不含中国，全世界，减少约 4.9 亿。
  • 东亚和太平洋：从 67.0% 到 2.4%。拉美和加勒比：从 20.7% 到 5.0%。
  • 撒哈拉以南非洲：贫困率，从 61.5%，降到 45.6%，可是，人口，从 5.2 亿，增长到 12.3 亿（2.4 倍），贫困人口，反而，从约 3.2 亿，增加到约 5.6 亿（增加 2.4 亿，相当于抵消了全世界减少量的 17%）。2022 年，全世界的极端贫困人口里，64% 在撒哈拉以南非洲。
  • 怎么读：（1）“贫困率下降”，和"贫困人口减少"，是两件事，人口增长得快，会让后者，不降反升；（2）最大的减少，来自一个国家；这是第 29 讲，增长的故事：快速的增长，常被认为，是最有效的减贫办法之一（但，不是唯一，也不是，每个国家，都一样）；（3）撒哈拉以南非洲，是，下一个阶段，最难的地方；（4）中国 2019–2022 年的 0.0，可能是，四舍五入，我没有核对原始数值；印度，因为，调查年份稀疏，这里没有列。

四、发展，不只是收入

收入，不是，生活的全部。预期寿命，是一个，被广泛使用的"另一个维度"（第 27 讲：Jones 和 Klenow 2016 年的福祉指标，发现，预期寿命，最重要）。

Samuel Preston 1975 年（《死亡率和经济发展水平之间，关系的变化》，Population Studies；2007 年重印于 International Journal of Epidemiology，36 卷 3 期，484–490 页）画了一张图：把各国，预期寿命，对人均收入，画出来：收入高的国家，人活得久；曲线，是向上弯的（收入越高，边际的好处越小）；更重要的是：不同年代，画出来的曲线，在整体上，往上移了：同样的收入，后来的人，活得更久。据对论文的转述，Preston 估计，1938 到 1963 年，如果只靠收入增长，预期寿命，应该，增加约 2.5 岁，而实际增加了 12.2 岁，所以，大部分，是曲线，整体，上移（他，归因于，医学的进步，等；也强调了，这是"关联"，不一定是"因果"）。

我们，用 1990 年，和 2022 年的数据，重画一次。

import math
import numpy as np

# 数据：世界银行 WDI。每个国家：(1990 年人均 GDP（2021 年不变价国际元，购买力平价），1990 年出生时预期寿命（岁），2022 年人均 GDP，2022 年预期寿命)。共 185 个国家。
DATA = {
    "ABW": (33147, 72.5, 39083, 76.2), "AGO": (8366, 41.9, 8751, 64.2), "ALB": (5561, 72.7,
    19389, 78.8), "AND": (50036, 79.0, 63913, 84.0), "ARE": (111377, 71.1, 70076, 80.5), "ARG":
    (17007, 71.6, 27825, 75.8), "ARM": (6138, 67.5, 17886, 74.8), "ATG": (21075, 73.6, 27786,
    77.5), "AUS": (36268, 77.0, 60029, 83.2), "AUT": (43258, 75.6, 65694, 81.3), "AZE": (10776,
    62.8, 21051, 74.1), "BDI": (1456, 45.2, 1028, 62.9), "BEL": (41640, 76.1, 62603, 81.7),
    "BEN": (2207, 53.0, 3588, 60.5), "BFA": (1108, 49.3, 2469, 60.7), "BGD": (2070, 55.8, 7888,
    74.3), "BGR": (14954, 71.6, 32434, 74.2), "BHR": (41857, 72.6, 57573, 81.0), "BHS": (33072,
    70.9, 34343, 74.5), "BIH": (2414, 71.5, 19298, 76.8), "BLR": (12352, 70.8, 26538, 74.1),
    "BLZ": (8252, 69.6, 12565, 72.2), "BMU": (79751, 74.0, 97943, 82.1), "BOL": (6247, 56.8,
    11488, 67.4), "BRA": (12633, 65.9, 18554, 74.9), "BRB": (19196, 73.5, 20495, 75.7), "BRN":
    (118164, 71.6, 76358, 72.9), "BTN": (3411, 55.8, 14061, 72.8), "BWA": (10521, 60.1, 18647,
    68.7), "CAF": (1481, 49.9, 1137, 18.8), "CAN": (40475, 77.4, 58583, 81.1), "CHE": (63921,
    77.2, 85762, 83.6), "CHL": (10955, 73.7, 29560, 79.2), "CHN": (1667, 68.2, 21499, 78.2),
    "CIV": (5256, 52.8, 6272, 61.6), "CMR": (4518, 54.3, 4844, 62.4), "COD": (2404, 48.5, 1484,
    61.0), "COG": (8700, 57.1, 6205, 65.0), "COL": (9999, 68.7, 18459, 76.5), "COM": (3179,
    55.6, 3466, 66.5), "CPV": (1849, 63.9, 8850, 75.9), "CRI": (10980, 76.1, 25290, 79.3),
    "CYP": (27667, 76.0, 50841, 80.4), "CZE": (27918, 71.4, 48391, 78.9), "DEU": (42355, 75.1,
    63778, 80.6), "DMA": (11312, 70.5, 17551, 71.1), "DNK": (45944, 74.8, 69089, 81.3), "DOM":
    (7328, 67.7, 22987, 74.2), "DZA": (11729, 67.7, 14782, 76.1), "ECU": (9105, 68.4, 14187,
    76.6), "EGY": (8007, 62.5, 16360, 71.0), "ESP": (31773, 76.8, 46733, 83.1), "EST": (19161,
    69.5, 43125, 77.8), "ETH": (874, 45.1, 2656, 66.9), "FIN": (38807, 74.8, 57068, 81.2),
    "FJI": (7821, 65.1, 12118, 67.1), "FRA": (38656, 76.6, 53674, 82.1), "FSM": (3120, 63.7,
    3816, 67.0), "GAB": (23885, 60.7, 18662, 67.7), "GBR": (33531, 75.9, 53980, 81.0), "GEO":
    (12917, 68.7, 20967, 74.1), "GHA": (2786, 55.4, 6728, 65.2), "GIN": (2106, 47.3, 3792,
    60.4), "GMB": (2654, 51.3, 2863, 64.9), "GNB": (1968, 46.9, 2601, 63.6), "GNQ": (1123, 51.4,
    16933, 63.4), "GRC": (26916, 76.9, 35828, 80.8), "GRD": (8884, 70.5, 16376, 75.2), "GRL":
    (38138, 65.1, 70681, 71.2), "GTM": (7595, 61.8, 12144, 71.2), "GUY": (5074, 62.3, 37068,
    69.9), "HKG": (31599, 77.4, 64036, 83.7), "HND": (1172, 65.2, 6353, 72.7), "HRV": (23400,
    72.2, 39864, 77.6), "HTI": (3923, 53.2, 3030, 63.9), "HUN": (21297, 69.3, 40611, 75.9),
    "IDN": (4873, 63.2, 13334, 70.9), "IND": (2140, 58.6, 8347, 71.7), "IRL": (29505, 74.8,
    123007, 82.5), "IRN": (9656, 64.1, 16378, 76.8), "IRQ": (10735, 57.6, 13433, 72.0), "ISL":
    (43100, 78.0, 66581, 82.1), "ISR": (25341, 76.6, 48132, 82.7), "ITA": (42657, 77.0, 52333,
    82.7), "JAM": (8880, 71.7, 11097, 71.5), "JOR": (8242, 70.1, 10158, 77.1), "JPN": (36138,
    78.8, 46819, 84.0), "KAZ": (16838, 65.7, 33506, 73.5), "KEN": (4177, 58.3, 5492, 63.5),
    "KGZ": (6096, 68.3, 6140, 72.0), "KHM": (2646, 55.2, 6458, 70.5), "KIR": (2214, 61.0, 3127,
    66.3), "KNA": (14326, 65.6, 29750, 70.3), "KOR": (14378, 71.6, 53229, 82.7), "KWT": (38933,
    73.4, 51380, 80.6), "LAO": (2006, 54.0, 8183, 68.7), "LBN": (5346, 65.5, 11475, 78.0),
    "LBR": (1866, 37.6, 1579, 61.9), "LBY": (18127, 69.3, 11450, 74.5), "LCA": (17057, 70.0,
    22811, 72.7), "LKA": (4562, 69.2, 13249, 77.3), "LSO": (1422, 59.3, 2578, 56.8), "LTU":
    (20594, 71.2, 46643, 75.6), "LUX": (81455, 74.8, 132571, 82.9), "LVA": (17509, 69.3, 37719,
    74.3), "MAC": (55301, 76.4, 59921, 83.1), "MAR": (4419, 62.4, 8690, 75.2), "MDA": (15903,
    67.9, 15350, 71.5), "MDG": (1968, 52.1, 1602, 63.1), "MDV": (8946, 63.1, 21358, 80.8),
    "MEX": (17170, 69.0, 21392, 74.0), "MHL": (3906, 61.8, 6938, 66.7), "MKD": (12904, 71.2,
    22822, 74.4), "MLI": (1891, 46.5, 2814, 60.0), "MLT": (18208, 76.0, 56874, 82.3), "MMR":
    (775, 57.2, 5350, 66.5), "MNG": (6638, 58.8, 15310, 71.9), "MOZ": (548, 44.3, 1477, 63.0),
    "MRT": (5520, 58.1, 6053, 68.3), "MUS": (8986, 69.4, 25005, 73.5), "MWI": (1047, 43.6, 1660,
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    41.7, 1725, 60.4), "NGA": (5424, 45.7, 7752, 54.1), "NIC": (4218, 62.5, 7278, 74.5), "NLD":
    (43128, 76.9, 71324, 81.6), "NOR": (56608, 76.5, 95110, 82.5), "NPL": (1808, 54.8, 4763,
    70.1), "NRU": (30127, 59.1, 12019, 61.9), "NZL": (30786, 75.4, 49843, 82.0), "OMN": (35202,
    69.0, 39780, 77.9), "PAK": (3200, 59.7, 5526, 67.4), "PAN": (10264, 71.3, 33915, 79.3),
    "PER": (6316, 64.0, 15567, 76.8), "PHL": (4504, 64.4, 9457, 69.5), "PLW": (17808, 62.8,
    16259, 68.9), "PNG": (3165, 59.8, 4126, 65.3), "POL": (12821, 70.9, 43405, 77.2), "PRI":
    (26739, 72.8, 42311, 79.4), "PRT": (27191, 74.0, 41071, 81.6), "PRY": (9961, 67.3, 15223,
    72.3), "QAT": (75304, 73.4, 114740, 81.9), "ROU": (16317, 69.7, 39257, 75.2), "RUS": (29644,
    68.9, 38215, 72.5), "RWA": (1166, 47.8, 2983, 67.5), "SAU": (65197, 68.9, 67179, 77.3),
    "SDN": (2460, 55.5, 3132, 65.7), "SEN": (2923, 56.7, 4229, 67.8), "SGP": (45961, 75.3,
    134828, 82.9), "SLB": (2353, 66.2, 2330, 70.4), "SLE": (2704, 43.7, 2935, 61.3), "SLV":
    (5976, 62.0, 11086, 72.0), "STP": (3883, 60.7, 5632, 69.2), "SUR": (17138, 62.1, 18743,
    73.3), "SVK": (17521, 70.9, 38649, 77.0), "SVN": (25350, 73.2, 47059, 81.3), "SWE": (40200,
    77.5, 62545, 83.1), "SWZ": (5448, 61.2, 9928, 63.0), "SYC": (15479, 68.1, 27276, 74.5),
    "SYR": (5952, 69.8, 4579, 72.8), "TCD": (1711, 45.1, 2449, 54.5), "TGO": (2409, 54.6, 3086,
    62.3), "THA": (8703, 68.9, 20768, 75.3), "TJK": (4173, 61.6, 4214, 71.6), "TKM": (7851,
    63.9, 16944, 69.9), "TLS": (2144, 45.2, 5348, 67.4), "TON": (4488, 67.5, 6811, 72.6), "TTO":
    (11870, 67.6, 30784, 73.3), "TUN": (6743, 69.1, 12712, 76.0), "TUR": (12184, 67.8, 33521,
    77.6), "TUV": (3120, 61.6, 5045, 66.9), "TZA": (1794, 52.0, 3547, 66.9), "UGA": (1080, 47.6,
    2725, 67.7), "UKR": (22816, 70.4, 13787, 72.7), "URY": (14061, 73.0, 30840, 76.5), "USA":
    (44384, 75.2, 72829, 77.4), "UZB": (4240, 65.8, 10091, 72.1), "VCT": (7467, 70.6, 16835,
    71.2), "VNM": (2468, 69.0, 12980, 74.5), "VUT": (3532, 66.7, 3659, 71.3), "WSM": (3991,
    67.8, 6450, 71.5), "ZAF": (10811, 62.9, 13767, 65.5), "ZMB": (2425, 48.2, 3585, 65.3),
    "ZWE": (6083, 58.3, 5037, 62.4)
}
codes = sorted(DATA)
g0 = np.array([DATA[k][0] for k in codes]); l0 = np.array([DATA[k][1] for k in codes])
g1 = np.array([DATA[k][2] for k in codes]); l1 = np.array([DATA[k][3] for k in codes])
x0, x1 = np.log(g0), np.log(g1)
print(f"{len(codes)} 个国家：1990 年，和 2022 年")

# 一、预期寿命，和收入：两个年份的"普雷斯顿曲线"（预期寿命 = a + b × ln(人均 GDP)）
b0, a0 = np.polyfit(x0, l0, 1); b1, a1 = np.polyfit(x1, l1, 1)
r0 = np.corrcoef(x0, l0)[0, 1] ** 2; r1 = np.corrcoef(x1, l1)[0, 1] ** 2
print(f"\n一、预期寿命 = a + b × ln(人均 GDP)：1990 年 b = {b0:.1f}（R² = {r0:.2f}）；2022 年 b = {b1:.1f}（R² = {r1:.2f}）")
print(f"  {'人均 GDP（国际元）':<18}{'1990 年曲线上的预期寿命':>22}{'2022 年曲线上的':>16}{'同样的收入，多活':>16}")
for inc in (2000, 5000, 10000, 20000, 40000):
    p0, p1 = a0 + b0 * math.log(inc), a1 + b1 * math.log(inc)
    print(f"  {inc:<18,}{p0:>22.1f}{p1:>16.1f}{p1 - p0:>16.1f}")

# 二、1990 → 2022 年，预期寿命，增加了多少？多少，来自收入增长，多少，是"曲线，整体，上移"？
dl = l1 - l0; dx = x1 - x0
print(f"\n二、1990 → 2022：各国预期寿命，平均，增加 {dl.mean():.1f} 岁（中位数 {np.median(dl):.1f}）；人均 GDP（对数），平均，增加 {dx.mean():.2f}（约 {math.expm1(dx.mean()):.0%}）")
income_part = b0 * dx.mean()
print(f"  如果，按 1990 年的曲线，只靠收入增长：预期，增加 {income_part:.1f} 岁，约占实际的 {income_part / dl.mean():.0%}；其余 {dl.mean() - income_part:.1f} 岁，是曲线，整体，上移（同样的收入，活得更久）")
poor90 = np.argsort(g0)[: len(codes) // 4]
print(f"  1990 年最穷的 1/4（{len(poor90)} 个国家，人均 GDP 在 {g0[poor90].min():,.0f}–{g0[poor90].max():,.0f}）：预期寿命，平均，从 {l0[poor90].mean():.1f}，到 {l1[poor90].mean():.1f}（+{dl[poor90].mean():.1f} 岁）；人均 GDP，中位数，增长 {math.expm1(np.median(dx[poor90])):.0%}")
rich90 = np.argsort(g0)[-len(codes) // 4:]
print(f"  1990 年最富的 1/4：预期寿命，平均，从 {l0[rich90].mean():.1f}，到 {l1[rich90].mean():.1f}（+{dl[rich90].mean():.1f} 岁）")
print(f"  各国之间，预期寿命的标准差：1990 年 {l0.std(ddof=1):.1f} 岁，2022 年 {l1.std(ddof=1):.1f} 岁；人均 GDP（对数）的标准差：{x0.std(ddof=1):.2f} → {x1.std(ddof=1):.2f}")
low = [k for k in codes if l1[codes.index(k)] < l0[codes.index(k)]]
print(f"  预期寿命，在 1990–2022 年，反而，下降的国家：{len(low)} 个（{'、'.join(low[:8])}{'……' if len(low) > 8 else ''}）")

输出：

185 个国家：1990 年，和 2022 年

一、预期寿命 = a + b × ln(人均 GDP)：1990 年 b = 6.4（R² = 0.64）；2022 年 b = 5.6（R² = 0.64）
  人均 GDP（国际元）               1990 年曲线上的预期寿命      2022 年曲线上的        同样的收入，多活
  2,000                               55.2            61.3             6.1
  5,000                               61.1            66.4             5.3
  10,000                              65.6            70.3             4.7
  20,000                              70.1            74.1             4.1
  40,000                              74.5            78.0             3.5

二、1990 → 2022：各国预期寿命，平均，增加 7.8 岁（中位数 6.6）；人均 GDP（对数），平均，增加 0.54（约 72%）
  如果，按 1990 年的曲线，只靠收入增长：预期，增加 3.5 岁，约占实际的 45%；其余 4.3 岁，是曲线，整体，上移（同样的收入，活得更久）
  1990 年最穷的 1/4（46 个国家，人均 GDP 在 548–3,200）：预期寿命，平均，从 53.6，到 65.1（+11.5 岁）；人均 GDP，中位数，增长 68%
  1990 年最富的 1/4：预期寿命，平均，从 73.9，到 79.9（+6.0 岁）
  各国之间，预期寿命的标准差：1990 年 9.6 岁，2022 年 7.9 岁；人均 GDP（对数）的标准差：1.18 → 1.15
  预期寿命，在 1990–2022 年，反而，下降的国家：3 个（CAF、JAM、LSO）

普雷斯顿曲线：收入，和寿命，相关；曲线，整体，上移

逐段看：

  • 曲线：预期寿命 = a + b × ln(人均 GDP)：1990 年，b = 6.4（R² = 0.64）；2022 年，b = 5.6（R² = 0.64）：收入，翻一倍，预期寿命，平均，多约 4 岁，而且，越富，越不明显。
  • 整体上移：同样是人均 GDP 2,000 国际元，1990 年的曲线，对应 55.2 岁，2022 年，61.3 岁：多活 6.1 年；5,000 元，多 5.3 年；10,000 元，4.7 年；20,000 元，4.1 年；40,000 元，3.5 年。穷的地方，上移得更多。
  • 分解：1990 到 2022 年，各国，预期寿命，平均，增加 7.8 岁（中位数 6.6），人均 GDP，平均，增长约 72%。如果，按 1990 年的曲线，只靠收入增长：增加约 3.5 岁，占 45%；其余的 4.3 岁，是曲线，整体上移。
  • 穷国，追上来：1990 年，最穷的 1/4（46 个国家），预期寿命，从 53.6，到 65.1（+11.5 岁）；最富的 1/4，从 73.9，到 79.9（+6.0 岁）。各国之间，预期寿命的标准差，从 9.6 岁，到 7.9 岁：寿命，在收敛；而人均 GDP（对数）的标准差，几乎没变（1.18，1.15）：寿命的收敛，比收入的收敛，快得多。
  • 反例：1990–2022 年，预期寿命，反而下降的，有 3 个国家（中非共和国、牙买加、莱索托）。（2022 年的数字，还包含新冠疫情的影响；我没有把它，分开。）
  • 怎么读：（1）这是关联，不是因果：收入，影响寿命，寿命（健康），也影响收入；（2）“曲线上移”，常被归因于，医学、公共卫生、知识的传播（疫苗、抗生素、洗手），是想法，在扩散（第 29 讲：想法，是非竞争性的），不是，收入本身；（3）所以，一个国家，不必，等到，变富，再改善健康。

五、不平等，和收入

5.1 库兹涅茨曲线：富了，不平等，会先升后降吗

Simon Kuznets 1955 年（《经济增长和收入不平等》，American Economic Review，1955 年 3 月号）的猜想：一个国家，工业化的早期，劳动力，从低收入的农业，转到高收入的工业，不平等，先上升；等到，多数人，进入了高收入的部门，不平等，再下降。画出来，是一个"倒 U"。（他自己，用的证据，很少，也很谨慎。）

这个预测，很容易，用一个"跨国的散点图"，来检验：横轴，人均收入；纵轴，基尼系数。倒 U，应该，表现为：二次项，是负的。

import math
import numpy as np

# 数据：世界银行 WDI。每个国家：(基尼系数（%，每个国家，取最近一年有数据的），那一年，2019 年的人均 GDP（2021 年不变价国际元，购买力平价）)。共 168 个国家。
# 注意：基尼系数，各国的调查年份，不一样；有的，按收入算，有的，按消费算（消费的基尼，通常，比收入的低）。
DATA = {
    "AGO": (51.3, 2018, 9713), "ALB": (29.4, 2020, 16761), "ARE": (26.4, 2018, 72823), "ARG":
    (42.4, 2024, 26630), "ARM": (27.4, 2024, 16215), "AUS": (33.8, 2020, 58049), "AUT": (31.2,
    2023, 64609), "AZE": (26.6, 2005, 20101), "BDI": (37.5, 2020, 1055), "BEL": (26.8, 2023,
    60480), "BEN": (34.4, 2021, 3281), "BFA": (37.4, 2021, 2392), "BGD": (30.9, 2022, 6838),
    "BGR": (39.5, 2023, 29150), "BIH": (30.3, 2021, 17029), "BLR": (24.4, 2020, 26799), "BLZ":
    (39.9, 2018, 11766), "BOL": (40.9, 2024, 11931), "BRA": (50.3, 2024, 18019), "BRB": (34.1,
    2016, 19890), "BTN": (28.5, 2022, 14555), "BWA": (54.9, 2015, 18106), "CAF": (43.0, 2021,
    1145), "CAN": (31.5, 2022, 57584), "CHE": (33.5, 2023, 81695), "CHL": (43.0, 2024, 28228),
    "CHN": (36.0, 2022, 18821), "CIV": (35.3, 2021, 5895), "CMR": (42.2, 2021, 4882), "COD":
    (44.7, 2020, 1395), "COG": (48.9, 2011, 6939), "COL": (54.4, 2024, 17337), "COM": (30.3,
    2024, 3523), "CPV": (42.4, 2015, 9112), "CRI": (45.5, 2025, 23497), "CYP": (31.8, 2023,
    45454), "CZE": (25.7, 2023, 47764), "DEU": (33.7, 2022, 62950), "DJI": (41.6, 2017, 5809),
    "DNK": (29.9, 2023, 66759), "DOM": (39.0, 2024, 21451), "DZA": (27.6, 2011, 15199), "ECU":
    (45.9, 2025, 13870), "EGY": (28.5, 2021, 15027), "ESP": (33.4, 2023, 46896), "EST": (30.7,
    2023, 42215), "ETH": (31.1, 2021, 2438), "FIN": (27.4, 2023, 56922), "FJI": (30.7, 2019,
    13056), "FRA": (31.8, 2023, 53449), "FSM": (40.1, 2013, 3965), "GAB": (38.0, 2017, 19491),
    "GBR": (32.4, 2021, 53374), "GEO": (33.9, 2024, 18187), "GHA": (43.5, 2016, 6508), "GIN":
    (29.6, 2018, 3557), "GMB": (38.8, 2020, 2751), "GNB": (33.4, 2021, 2442), "GNQ": (38.5,
    2022, 18447), "GRC": (33.4, 2023, 33503), "GRD": (43.8, 2018, 17037), "GTM": (45.2, 2023,
    11466), "GUY": (45.1, 1998, 13402), "HND": (45.7, 2024, 6264), "HRV": (30.1, 2023, 35123),
    "HTI": (41.1, 2012, 3362), "HUN": (30.6, 2017, 37663), "IDN": (34.4, 2025, 12758), "IND":
    (23.0, 2023, 7702), "IRL": (29.0, 2023, 96206), "IRN": (35.9, 2023, 14841), "IRQ": (29.8,
    2023, 14910), "ISL": (26.8, 2019, 65995), "ISR": (38.3, 2022, 44492), "ITA": (34.3, 2023,
    49691), "JAM": (39.9, 2021, 10816), "JOR": (33.7, 2010, 10168), "JPN": (32.3, 2020, 46055),
    "KAZ": (29.2, 2021, 33298), "KEN": (38.5, 2022, 5172), "KGZ": (27.5, 2024, 6088), "KIR":
    (24.7, 2023, 2927), "KOR": (32.9, 2021, 49791), "LAO": (34.7, 2024, 8075), "LBN": (35.5,
    2022, 15660), "LBR": (35.3, 2016, 1576), "LCA": (43.7, 2015, 22445), "LKA": (37.7, 2019,
    14637), "LSO": (44.9, 2017, 2773), "LTU": (36.0, 2023, 43079), "LUX": (33.6, 2023, 132725),
    "LVA": (34.0, 2023, 35208), "MAR": (39.5, 2013, 8768), "MDA": (26.8, 2024, 14621), "MDG":
    (36.8, 2021, 1708), "MDV": (29.3, 2019, 21856), "MEX": (42.6, 2024, 21704), "MHL": (35.5,
    2019, 6406), "MKD": (33.5, 2019, 21767), "MLI": (35.7, 2021, 2916), "MLT": (31.8, 2023,
    53393), "MMR": (30.7, 2017, 6563), "MNE": (34.3, 2021, 24585), "MNG": (31.4, 2022, 15791),
    "MOZ": (49.6, 2022, 1529), "MRT": (32.0, 2019, 6162), "MUS": (36.8, 2017, 25958), "MWI":
    (38.5, 2019, 1687), "MYS": (40.7, 2021, 31301), "NAM": (59.1, 2015, 10813), "NER": (32.9,
    2021, 1605), "NGA": (33.9, 2022, 8362), "NIC": (46.2, 2014, 6757), "NLD": (25.7, 2021,
    67848), "NOR": (26.5, 2023, 90773), "NPL": (30.0, 2022, 4608), "NRU": (32.4, 2012, 11185),
    "PAK": (33.5, 2024, 5296), "PAN": (49.7, 2024, 33164), "PER": (40.1, 2024, 15461), "PHL":
    (39.3, 2023, 9452), "PNG": (41.9, 2009, 4302), "POL": (28.5, 2023, 38182), "PRT": (33.9,
    2023, 40188), "PRY": (44.2, 2024, 15319), "PSE": (36.4, 2023, 6270), "QAT": (35.1, 2017,
    113161), "ROU": (29.8, 2023, 36399), "RUS": (33.0, 2023, 37319), "RWA": (39.4, 2023, 2754),
    "SDN": (34.2, 2014, 3626), "SEN": (36.2, 2021, 4071), "SLB": (37.1, 2012, 2662), "SLE":
    (35.7, 2018, 2853), "SLV": (39.8, 2023, 10544), "SRB": (32.8, 2023, 21541), "STP": (40.7,
    2017, 5702), "SUR": (39.2, 2022, 22967), "SVK": (23.8, 2023, 37194), "SVN": (24.7, 2023,
    44578), "SWE": (29.3, 2023, 61071), "SWZ": (54.6, 2016, 10100), "SYC": (32.1, 2018, 34346),
    "SYR": (26.4, 2022, 4928), "TCD": (37.4, 2022, 2605), "TGO": (37.9, 2021, 2863), "THA":
    (33.3, 2024, 21280), "TJK": (36.1, 2024, 3650), "TKM": (40.8, 1998, 15081), "TLS": (28.7,
    2014, 5103), "TON": (27.1, 2021, 6860), "TTO": (40.2, 1992, 33749), "TUN": (33.7, 2021,
    13244), "TUR": (43.7, 2023, 28741), "TUV": (39.1, 2010, 5516), "TZA": (40.5, 2018, 3485),
    "UGA": (38.2, 2023, 2689), "UKR": (25.6, 2020, 17637), "URY": (40.0, 2024, 30011), "USA":
    (41.8, 2024, 69121), "UZB": (32.7, 2025, 9169), "VNM": (36.1, 2022, 11629), "VUT": (32.3,
    2019, 3987), "WSM": (38.7, 2013, 7034), "XKX": (38.3, 2022, 11774), "ZAF": (54.1, 2022,
    14353), "ZMB": (51.5, 2022, 3592), "ZWE": (50.3, 2019, 4994)
}
codes = sorted(DATA)
gini = np.array([DATA[k][0] for k in codes]); year = np.array([DATA[k][1] for k in codes]); gdp = np.array([DATA[k][2] for k in codes])
x = np.log(gdp)
print(f"{len(codes)} 个国家；基尼系数的年份：{year.min()}–{year.max()}，中位数 {int(np.median(year))} 年")

# 一、库兹涅茨曲线：收入低的时候，不平等，随着收入上升而上升；到了一定的收入，反过来下降。检验：基尼 = a + b ln(y) + c [ln(y)]²，c < 0 才是倒 U
def fit(deg):
    co = np.polyfit(x, gini, deg); res = gini - np.polyval(co, x)
    return co, 1 - (res @ res) / ((gini - gini.mean()) @ (gini - gini.mean()))
c1, r1 = fit(1); c2, r2 = fit(2)
print(f"\n一、线性：基尼 = {c1[1]:.1f} + ({c1[0]:.2f}) × ln(y)，R² = {r1:.3f}")
print(f"    二次：二次项 c = {c2[0]:.2f}，R² = {r2:.3f}" + (f"，倒 U 的顶点，在人均 GDP = {math.exp(-c2[1] / (2 * c2[0])):,.0f}" if c2[0] < 0 else "（c > 0：不是倒 U，是 U）"))
rng = np.random.default_rng(42)
cs = []
for _ in range(2000):
    idx = rng.integers(0, len(codes), len(codes)); cs.append(np.polyfit(x[idx], gini[idx], 2)[0])
lo, hi = np.percentile(cs, [2.5, 97.5])
print(f"    自助法 2000 次，二次项的 95% 区间 [{lo:.2f}, {hi:.2f}]：{'包含 0' if lo <= 0 <= hi else '不包含 0'}")

# 二、按收入，分成 4 组
order = np.argsort(gdp)
print("\n二、按人均 GDP，分 4 组：基尼的平均、最小、最大")
print(f"  {'组':<10}{'人均 GDP 范围':>20}{'基尼 平均':>10}{'最小':>6}{'最大':>6}")
for name, g in zip(("最穷 1/4", "较穷 1/4", "较富 1/4", "最富 1/4"), np.array_split(order, 4)):
    print(f"  {name:<8}{gdp[g].min():>10,.0f}–{gdp[g].max():<9,.0f}{gini[g].mean():>10.1f}{gini[g].min():>6.1f}{gini[g].max():>6.1f}")
print("  基尼最高的 5 个：" + "，".join(f"{codes[i]}（{gini[i]:.1f}）" for i in np.argsort(-gini)[:5]))
print("  基尼最低的 5 个：" + "，".join(f"{codes[i]}（{gini[i]:.1f}）" for i in np.argsort(gini)[:5]))
rich = order[-len(codes) // 4:]
print(f"  最富的 1/4 之内：基尼，从 {gini[rich].min():.1f} 到 {gini[rich].max():.1f}，差 {gini[rich].max() - gini[rich].min():.1f} 个点：同样的收入水平，不平等，可以，很不同（政策、制度的选择）")

输出：

168 个国家；基尼系数的年份：1992–2025，中位数 2022 年

一、线性：基尼 = 52.4 + (-1.72) × ln(y)，R² = 0.072
    二次：二次项 c = -0.90，R² = 0.100，倒 U 的顶点，在人均 GDP = 4,561
    自助法 2000 次，二次项的 95% 区间 [-1.77, -0.22]：不包含 0

二、按人均 GDP，分 4 组：基尼的平均、最小、最大
  组                    人均 GDP 范围     基尼 平均    最小    最大
  最穷 1/4       1,055–5,702          37.3  24.7  51.5
  较穷 1/4       5,809–14,637         38.4  23.0  59.1
  较富 1/4      14,841–33,164         37.4  24.4  54.9
  最富 1/4      33,298–132,725        31.3  23.8  41.8
  基尼最高的 5 个：NAM（59.1），BWA（54.9），SWZ（54.6），COL（54.4），ZAF（54.1）
  基尼最低的 5 个：IND（23.0），SVK（23.8），BLR（24.4），KIR（24.7），SVN（24.7）
  最富的 1/4 之内：基尼，从 23.8 到 41.8，差 18.0 个点：同样的收入水平，不平等，可以，很不同（政策、制度的选择）

收入，和不平等：168 个国家，关系，很弱

逐段看：

  • 关系，很弱：线性：基尼 = 52.4 − 1.72 × ln(y)，R² 只有 0.072；二次：R² 0.100。二次项，是负的（c = −0.90），自助法的 95% 区间 [−1.77, −0.22]，不含 0：有一点"倒 U"的形状；可是，顶点，在人均 GDP 约 4,561 国际元（很低），也就是说，在多数国家，所处的收入范围里，基尼，是下降的，而不是，库兹涅茨说的，“先升”。
  • 分组：最穷的 1/4，基尼平均 37.3；较穷的，38.4；较富的，37.4；最富的 1/4，31.3。
  • 差别，很大：基尼最高的，纳米比亚（59.1）、博茨瓦纳、斯威士兰、哥伦比亚、南非（54.1）；最低的，印度（23.0）、斯洛伐克、白俄罗斯、基里巴斯、斯洛文尼亚。最富的 1/4 之内，基尼，从 23.8，到 41.8，差 18 个点：同样的收入水平，不平等，可以，很不同。
  • 要小心：（1）这是一个时点的跨国比较，库兹涅茨说的，是一个国家，随时间的变化；（2）基尼的口径，不统一：有的，按收入，有的，按消费（印度，是按消费算的，所以，偏低）；（3）调查年份，从 1992 到 2025，不一样；（4）后来，用同一个国家的多年数据（面板）、控制国家的固定特征，检验倒 U 的研究，结论，常被概括为，支持，很弱（据二手转述；常被提到的数据集，是 Klaus Deininger 和 Lyn Squire 1996 年，World Bank Economic Review，10 卷 3 期，565–591 页）。

所以，“富了，不平等，会自动，先升后降”，没有，得到，数据的支持。 更像是，政策和制度，在塑造不平等（第 26 讲）。

5.2 美国：1968 年以来

import numpy as np

# 数据：美国人口调查局（Census）的家庭收入基尼系数（税前的货币收入，不含资本利得，不含非现金福利），1947–2025，经 FRED（GINIALLRF）发布。
GINI = {1947: 0.376, 1948: 0.371, 1949: 0.378, 1950: 0.379, 1951: 0.363, 1952: 0.368, 1953:
0.359, 1954: 0.371, 1955: 0.363, 1956: 0.358, 1957: 0.351, 1958: 0.354, 1959: 0.361, 1960:
0.364, 1961: 0.374, 1962: 0.362, 1963: 0.362, 1964: 0.361, 1965: 0.356, 1966: 0.349, 1967:
0.358, 1968: 0.348, 1969: 0.349, 1970: 0.353, 1971: 0.355, 1972: 0.359, 1973: 0.356, 1974:
0.355, 1975: 0.357, 1976: 0.358, 1977: 0.363, 1978: 0.363, 1979: 0.365, 1980: 0.365, 1981:
0.369, 1982: 0.380, 1983: 0.382, 1984: 0.383, 1985: 0.389, 1986: 0.392, 1987: 0.393, 1988:
0.395, 1989: 0.401, 1990: 0.396, 1991: 0.397, 1992: 0.404, 1993: 0.429, 1994: 0.426, 1995:
0.421, 1996: 0.425, 1997: 0.429, 1998: 0.430, 1999: 0.429, 2000: 0.433, 2001: 0.435, 2002:
0.434, 2003: 0.436, 2004: 0.438, 2005: 0.440, 2006: 0.444, 2007: 0.432, 2008: 0.438, 2009:
0.443, 2010: 0.440, 2011: 0.450, 2012: 0.451, 2013: 0.455, 2014: 0.452, 2015: 0.448, 2016:
0.452, 2017: 0.458, 2018: 0.452, 2019: 0.454, 2020: 0.458, 2021: 0.462, 2022: 0.458, 2023:
0.452, 2024: 0.457, 2025: 0.460}
yrs = sorted(GINI)
v = np.array([GINI[y] for y in yrs])
lo, hi = int(np.argmin(v)), int(np.argmax(v))
print(f"一、美国，家庭收入的基尼系数，{yrs[0]}–{yrs[-1]}：")
print(f"  最低 {v[lo]:.3f}（{yrs[lo]} 年），最高 {v[hi]:.3f}（{yrs[hi]} 年）；{yrs[0]} 年 {v[0]:.3f}，{yrs[-1]} 年 {v[-1]:.3f}")
for a, b in ((1947, 1968), (1968, 2000), (2000, 2025)):
    ia, ib = yrs.index(a), yrs.index(b)
    print(f"  {a}–{b}：{v[ia]:.3f} → {v[ib]:.3f}（{v[ib] - v[ia]:+.3f}），每年 {(v[ib] - v[ia]) / (b - a):+.4f}")
# 二、一个简单的"事实分解"：1968 → 2025，上升了多少？
rise = v[-1] - v[yrs.index(1968)]
print(f"\n二、1968 → {yrs[-1]}：基尼，上升 {rise:.3f}（相当于，在 1968 年的基础上，上升 {rise / v[yrs.index(1968)]:.0%}）")
print("  口径提醒：这是，税前、货币收入的基尼；税和转移（税后收入），会，让它，更低；资本利得，不在里面；高收入者，在调查里，常被'顶部编码'（为保护隐私，截断），所以，顶部，常被认为，被低估。")

输出：

一、美国，家庭收入的基尼系数，1947–2025：
  最低 0.348（1968 年），最高 0.462（2021 年）；1947 年 0.376，2025 年 0.460
  1947–1968：0.376 → 0.348（-0.028），每年 -0.0013
  1968–2000：0.348 → 0.433（+0.085），每年 +0.0027
  2000–2025：0.433 → 0.460（+0.027），每年 +0.0011

二、1968 → 2025：基尼，上升 0.112（相当于，在 1968 年的基础上，上升 32%）
  口径提醒：这是，税前、货币收入的基尼；税和转移（税后收入），会，让它，更低；资本利得，不在里面；高收入者，在调查里，常被'顶部编码'（为保护隐私，截断），所以，顶部，常被认为，被低估。

美国：1968 年以后，基尼系数，一路，上升

逐段看：

  • U 形：1947 年 0.376，下降到 1968 年的 0.348（最低）；然后，一路上升：1968–2000，上升 0.085（每年 0.0027）；2000–2025，再上升 0.027；2021 年，0.462（最高）。1968 到 2025 年，上升了 0.112，约 32%。
  • 这和 Thomas Piketty 和 Emmanuel Saez 2003 年（Quarterly Journal of Economics，118 卷 1 期，1–41 页），用税务数据，得到的美国最高收入者的份额，是一个方向：据摘要，最高收入的份额，在 20 世纪，呈 U 形：大萧条，和二战，使得，最高的资本收入，永久性地，下降；美国的最高工资收入者的份额，战前，大致，平，战争中，大降，从 1960 年代末起，回升，现在，超过了战前，所以，他们，是"工作的富人"（working rich），而不是，靠资本收入的食利者。
  • 口径提醒：这是税前、货币收入的基尼；税和转移，会让它更低；资本利得，不在里面；高收入者，在调查里，常被"顶部编码"（为保护隐私，截断），所以，顶部，常被认为，被低估；FRED 的这条序列，在不同的年份，调查的方法，也有改版，我没有逐一核对；世界银行，同时，给的美国基尼（2023 年，41.8），口径，不同（可支配收入），数字，不能直接比。

六、穷人的世界，怎么变好

增长，是最大的力量（第 29 讲）。可是，对一个具体的穷人，一个具体的村子，“该做什么”，不是，增长理论，能回答的。2019 年的诺贝尔经济学奖，给了 Abhijit Banerjee、Esther Duflo 和 Michael Kremer，“因为，他们，用实验的方法，来缓解全球的贫困”。想法：把"如何消除贫困"这个大问题，拆成，更小的、可检验的问题（哪种办法，最能提高学生的成绩、改善儿童的健康），然后，用随机对照实验（第 4 讲）回答。

两个例子：

  • 直接给钱：Johannes Haushofer 和 Jeremy Shapiro 2016 年（Quarterly Journal of Economics，131 卷 4 期，1973–2042 页）：在肯尼亚农村，对贫困家庭，随机，发放，无条件的现金（来自慈善机构 GiveDirectly）；据摘要，9 个月之后，家庭每月的消费，从 158 美元（购买力平价），增加到 193 美元；心理健康，明显改善；压力激素（皮质醇），没有总体的变化；每月发放，更多改善食品安全，一次性发放，更多花在耐用品上，说明，家庭，面临储蓄和信贷的约束。后来，Dennis Egger 等人 2022 年（Econometrica，90 卷 6 期，2603–2643 页）：给了 653 个村子，超过 1 万个家庭，每户约 1000 美元（占当地 GDP 的 15% 以上）；据摘要，对未受益的家庭和企业，也有溢出，物价，几乎没有上涨；估计，本地的转移乘数，约 2.5（呼应第 34 讲的乘数）。
  • 小额信贷：曾经，被寄予很高的期望。Banerjee、Duflo、Glennerster 和 Kinnan 2015 年（《小额信贷的奇迹？》，American Economic Journal: Applied Economics，7 卷 1 期，22–53 页）：在印度海得拉巴，随机选了 52 个社区，开展小额贷款；据摘要，借贷，增加了 8.4 个百分点；已有小生意的投资和利润，增加；可是，消费，没有显著增加；健康、教育、妇女赋权，也没有显著变化；两年后，差别，大多消失。

怎么读：（1）这类研究，给出的，是**“某个办法，在某个地方，有没有用”**的、可信的证据；（2）局限：外部有效性：肯尼亚的结果，能不能，推到别处？小实验，能不能，解决，宏观的大问题？（3）小额信贷：不是"奇迹"，也不是"无用"，是，效果，温和；（4）这与第 4 讲，是同一个思路：因果，很难，要靠设计。

七、一个有争议的问题：不平等，为什么上升，再分配，有什么代价

按"理论预测 → 证据与局限 → 分歧在哪 → 价值判断留给读者"来写。这里，有两个问题。

7.1 问题 A：美国的不平等，为什么上升

理论预测什么：几个常被提到的力量：

  1. 技术：技术进步，增加了，对高技能劳动的需求，提高了"技能溢价"（第 13 讲：工资，由供给和需求决定；第 29 讲）；
  2. 贸易：进口竞争，伤害了，某些地方、某些工人（第 40 讲：中国冲击）；
  3. 制度和政策：税收的累进程度、工会、最低工资、金融监管（第 26 讲，制度）；
  4. 资本回报：Thomas Piketty 2014 年的书（《21 世纪资本论》）：如果，资本的回报率 r，长期，高于，经济增长率 g（第 34 讲，同一对字母，r 和 g），财富，就会，越来越，集中在，资本的所有者手里。

证据怎么说：

  • 技术：David Autor 2014 年（Science，344 卷 6186 期，843–851 页）：据摘要，对于"其余 99%"，不平等上升的一个更大的驱动，是，受教育程度，和认知能力，带来的工资溢价，上升；技能的供给和需求，共同塑造；他，也讨论了，政策，在促进技能形成，和保持社会流动上的作用。
  • 贸易：第 40 讲，局部，受重创，恢复很慢；
  • 制度：Piketty 和 Saez 2003 年，把，美国最高收入份额的下降，部分，归因于，累进的所得税、遗产税（据摘要）；
  • r > g：Daron Acemoglu 和 James Robinson 2015 年（Journal of Economic Perspectives，29 卷 1 期，3–28 页）的批评：据摘要，他们用回归，发现，r − g，不能解释，历史上的不平等（尤其是，最高收入者的份额）；他们强调，制度和技术，不能被"一般规律"，所取代，并用南非和瑞典的例子，来说明。Matthew Rognlie 2015 年（Brookings Papers on Economic Activity，2015 年春季号）：据摘要，资本的净份额的上升，主要来自住房；而且，资本积累，越多，资本的净回报，下降得更多，所以，“资本越多，资本份额越大”，需要，不太可能的替代弹性。

局限：（1）每一种力量，都难以，被单独，识别；它们，同时，发生；（2）数据，口径，不同（税前、税后；收入、财富；家庭、个人）；（3）我这里，没有，系统地，比较，它们的大小，没有，一个，被公认的分解。

分歧在哪：事实上，各种力量的相对大小；理论上，r > g，是不是"规律"，还是，取决于制度和技术；这和第 34 讲，债务动态的 r − g，相似：r − g，不是，常数。

7.2 问题 B：再分配，有什么代价

理论预测什么：Arthur Okun 1975 年，用一个"漏桶"的比喻：把钱，从富人，运给穷人，桶，会漏：税，让人，少工作、少投资、少报收入（第 9 讲：税，有无谓损失；第 13 讲：劳动供给）。漏，多少，是事实；漏了，还值不值得，是价值判断。

我们，用一个最简单的模型，把这两者，分开：σ = 0.8 的收入分布，统一税率 t，人人一份的转移；人们，会，根据税率，调整，应税的收入（弹性 e）。

import math
from statistics import NormalDist

# 一个"漏桶"：对所有人的收入，征一个统一的税率 t，把税收，平均发给每个人（人人一份的转移）。
# 税，会让人少挣一点：税后的"留存比例"是 (1 − t)，应税收入，按弹性 e 减少：y' = y × (1 − t)^e（e = 0：没有行为反应）。
N = 100000
nd = NormalDist(); SIGMA = 0.8                         # 收入：对数正态，σ = 0.8（基尼 0.43），税前平均 = 1
raw = [math.exp(SIGMA * nd.inv_cdf((i + 0.5) / N)) for i in range(N)]
mean0 = sum(raw) / N
y0 = [v / mean0 for v in raw]                          # 已经从小到大排好

def gini(y):
    n = len(y); mu = sum(y) / n
    return sum((2 * (i + 1) - n - 1) * v for i, v in enumerate(sorted(y))) / (n * n * mu)

def outcome(t, e):
    k = (1 - t) ** e
    y1 = [v * k for v in y0]                           # 税后，行为反应之后的税前收入
    R = t * sum(y1) / N                                # 人均税收 = 人均转移
    post = [(1 - t) * v + R for v in y1]               # 税后收入（含转移）
    bottom20 = sum(post[: N // 5]) / (N // 5)
    mean_log = sum(math.log(v) for v in post) / N
    return gini(post), sum(post) / N, bottom20, mean_log, R

print(f"一、基尼，从 {gini(y0):.3f} 起步；税率 t，人人一份的转移；e = 行为反应的弹性")
print(f"  {'t':>5}{'e':>5}{'税后基尼':>9}{'人均收入':>9}{'最穷 20% 的平均':>14}{'人均转移':>9}{'漏掉的比例':>10}")
for e in (0.0, 0.5):
    for t in (0.0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8):
        g, m, b, _, R = outcome(t, e)
        leak = 1 - R / t if t > 0 else 0.0
        print(f"  {t:>5.0%}{e:>5.1f}{g:>9.3f}{m:>9.3f}{b:>14.3f}{R:>9.3f}{leak:>10.1%}")
print("  e = 0：税后基尼 = (1 − t) × 税前基尼，人均收入，不变；e = 0.5：收入，被'漏掉'了一部分")

print("\n二、同样的事实（e = 0.5），不同的价值判断，会选出不同的税率：")
grid = [k / 100 for k in range(0, 100)]
for name, idx, desc in (("只看平均收入（每一元，一样重）", 1, "平均收入"), ("看最穷 20% 的平均收入（罗尔斯式：只看最差的人）", 2, "最穷 20% 的平均收入"), ("看'收入的对数'的平均（穷人的 1 元，比富人的 1 元，更重要）", 3, "收入对数的平均")):
    best = max(grid, key=lambda t: outcome(t, 0.5)[idx])
    v = outcome(best, 0.5)
    print(f"  {name}：最优税率 t = {best:.0%}；那时，基尼 {v[0]:.3f}，人均收入 {v[1]:.3f}，最穷 20% 的平均 {v[2]:.3f}")
rev = max(grid, key=lambda t: outcome(t, 0.5)[4])
print(f"  顺便：税收最大的税率（拉弗曲线的顶点）t = {rev:.0%}（公式：1 ÷ (1 + e) = {1 / 1.5:.0%}）；人均税收 {outcome(rev, 0.5)[4]:.3f}")
print("  事实（e = 0.5 的漏桶）完全一样；价值判断不同，最优的税率，从 0%、14%，到 55%。")

输出：

一、基尼，从 0.428 起步；税率 t，人人一份的转移；e = 行为反应的弹性
      t    e     税后基尼     人均收入    最穷 20% 的平均     人均转移     漏掉的比例
     0%  0.0    0.428    1.000         0.252    0.000      0.0%
    20%  0.0    0.343    1.000         0.401    0.200      0.0%
    40%  0.0    0.257    1.000         0.551    0.400      0.0%
    60%  0.0    0.171    1.000         0.701    0.600      0.0%
    80%  0.0    0.086    1.000         0.850    0.800      0.0%
     0%  0.5    0.428    1.000         0.252    0.000      0.0%
    20%  0.5    0.343    0.894         0.359    0.179     10.6%
    40%  0.5    0.257    0.775         0.427    0.310     22.5%
    60%  0.5    0.171    0.632         0.443    0.379     36.8%
    80%  0.5    0.086    0.447         0.380    0.358     55.3%
  e = 0：税后基尼 = (1 − t) × 税前基尼，人均收入，不变；e = 0.5：收入，被'漏掉'了一部分

二、同样的事实（e = 0.5），不同的价值判断，会选出不同的税率：
  只看平均收入（每一元，一样重）：最优税率 t = 0%；那时，基尼 0.428，人均收入 1.000，最穷 20% 的平均 0.252
  看最穷 20% 的平均收入（罗尔斯式：只看最差的人）：最优税率 t = 55%；那时，基尼 0.193，人均收入 0.671，最穷 20% 的平均 0.445
  看'收入的对数'的平均（穷人的 1 元，比富人的 1 元，更重要）：最优税率 t = 14%；那时，基尼 0.368，人均收入 0.927，最穷 20% 的平均 0.331
  顺便：税收最大的税率（拉弗曲线的顶点）t = 67%（公式：1 ÷ (1 + e) = 67%）；人均税收 0.385
  事实（e = 0.5 的漏桶）完全一样；价值判断不同，最优的税率，从 0%、14%，到 55%。

漏桶：税越高，总收入，越少；同一个漏桶，不同的价值判断

逐段看：

  • 没有行为反应（e = 0）：税后基尼 = (1 − t) × 税前基尼：t = 40%，基尼，从 0.428，降到 0.257；人均收入，不变；最穷的 20%，从 0.252，升到 0.551。这是一个"没有漏"的桶。
  • 有行为反应（e = 0.5）：t = 40%：基尼，还是 0.257；可是，人均收入，只剩 0.775；最穷 20%，到 0.427；人均转移 0.310，漏掉了 22.5%（即，每 1 元税，只有 0.775 元，被转出去）。t = 60%：漏掉 36.8%；t = 80%：漏掉 55.3%，最穷的 20%，反而，下降到 0.380（比 60% 时的 0.443 更差）。税，有一个"税收最大"的点（拉弗曲线的顶点）：t = 67% = 1 ÷ (1 + e)，再往上，税收，反而，减少。
  • 回答问题 3：拿不到 1 元；在这个模型里，每 1 元，到穷人手里，大约 0.78（t = 40%）；值不值得，取决于你，怎么，权衡，穷人的 1 元，和富人的 1 元。
  • 第二部分的核心：同样的事实（e = 0.5），不同的价值判断，选出了不同的税率：（a）只看平均收入（每一元，一样重）：最优 t = 0%；（b）看"收入的对数"的平均（穷人的 1 元，比富人的 1 元，更重要）：最优 t = 14%；（c）只看最穷 20% 的收入（罗尔斯式：只看最差的人）：最优 t = 55%，那时，基尼 0.193，人均收入 0.671，最穷 20% 的平均 0.445（比 0 税率时的 0.252，高 77%）。

局限：（1）这是一个极度简化的模型：统一税率，人人一份；没有，对"增长"、“投资”、“人力资本"的动态影响；（2）弹性 e，是假设的，真实的弹性，要靠，实证研究，估计，且，不同的人群，不同；（3）“人人一份"的转移，不一定，是，真实的政策；（4）我没有引用，具体的税收的弹性估计。

分歧在哪：事实上：e 有多大，漏，有多少；价值上：你，怎么权衡，平均的收入、最差的人的收入，和平等本身。

价值判断（留给你）：

  1. 不平等，本身，是不是问题？ 如果，所有人，都在变好，只是，富人，变得更快，这是问题吗？还是，只有，“穷人，过得太差”，才是问题？（第 39 讲：对不平等的反感，是一种偏好，该不该写进政策？）
  2. 结果的平等，还是机会的平等？ 经济学，能告诉你，各种政策，对收入分布、对增长，大约有什么后果；你更看重哪一种平等，是价值判断。
  3. 该不该，无条件地，给穷人钱？ 事实：第六节，有一些随机实验的证据，现金，改善了消费和心理状态，物价，没有大涨；价值：该不该，附加条件（第 39 讲：家长主义）？谁来出钱？
  4. 全球的穷人，和本国的穷人，谁更重要？ 国家，该把，多少资源，用于，本国的再分配，多少，用于，援助别国的穷人？

经济学，能告诉你：每一种做法，大约有什么后果；你把多大的权重，给最差的人，是你的价值判断。

八、局限、常见误用

8.1 局限

  • 数据：贫困线、购买力平价、调查的口径，会更新，也会不一致；基尼，有收入、消费、税前、税后的不同；
  • 模型：再分配的模型，是极度简化的；数字，是虚构的假设；
  • 文献：多数，只引用了摘要，没有重做；Kuznets 1955、Preston 1975 的卷期页，没有核对；
  • 这一讲没有讲：财富不平等；代际流动；性别不平等；教育、健康的细致模型；援助的有效性之争；气候变化对穷人的影响；中国的区域差距、城乡差距的具体数据；
  • 本讲，不是政策建议。

8.2 常见的误用

误用 正确的想法
“基尼系数，就是不平等” 基尼，是一个数字，有盲点；要看，最富、最穷的份额，和整个分布
“贫困率下降了，穷人，就少了” 人口，在增长：撒哈拉以南非洲，贫困率，降了，人数，反而，增加了 2.4 亿
“国家，富了，不平等，会自动，先升，后降” 数据，支持很弱；最富的国家之内，基尼，可以差 18 个点
“国际贫困线，是穷人的生活标准” 它是，一个极低的、用来比较的线；各国的政策，用本国的线
“发展，就是，收入” 寿命、教育，是另外的维度；同样的收入，现在的人，活得更久
“再分配，一定，降低效率” 要看，漏多少（弹性）；也要看，穷人的 1 元，和富人的 1 元，你怎么权衡
“不平等，是技术，（或贸易，或税收）造成的” 各种力量，同时，在起作用；没有，被公认的分解
“随机实验，证明了，某个办法，处处有效” 它，证明的，是，一个地方、一个时期；外部有效性，要另外，检验

九、小结

这一讲有六个想法，请带走：

  1. 测不平等：洛伦兹曲线，基尼系数；5 个人（1, 2, 3, 4, 10）的基尼，是 0.400；基尼，有盲点，相同的基尼，可以，对应，非常不同的分布。
  2. 贫困：全世界，极端贫困，从 23 亿，到 8.7 亿；中国，占减少量的 66%；撒哈拉以南非洲，贫困率，下降，人数，反而，增加 2.4 亿（人口，2.4 倍）。
  3. 发展，不只是收入：同样的收入，2022 年，比 1990 年，多活 3.5 到 6 年；预期寿命，增加的 45%，来自收入，其余，是整条曲线，上移。
  4. 库兹涅茨曲线：数据，支持，很弱；美国，基尼，1968 年（0.348）之后，一路上升，到 2021 年的 0.462。
  5. 小实验：现金转移，改善了消费，没有，引起，物价上涨；小额信贷，效果，温和；外部有效性，是个问题。
  6. 有争议：不平等，为何上升，没有，被公认的分解；再分配，有"漏”：同样的事实，不同的价值判断，最优的税率，从 0%、14%，到 55%。

下一讲，是这门课的最后一讲：大历史。我们，把前面所有的东西，放到，长长的时间里：为什么，工业革命，发生在，18 世纪的英国；为什么，欧洲，和中国，走上了，不同的路（大分流）；中国的改革开放，发生了什么。下一讲：第 43 讲：大历史中的经济：工业革命、大分流与中国改革开放。

思考题

1. 4 个人，收入 1、1、1、5。基尼系数，是多少？最富的人，拿走了多少比例？

提示：所有配对（含自己）的收入差之和 = 2 × (3 × 4) = 24（3 个"1”，各和"5"配对，差 4，每对，算两次）；平均 = 2；基尼 = 24 ÷ (2 × 16 × 2) = 0.375。最富的人，拿 5 ÷ 8 = 62.5%。

2. 一个国家，人口 1 亿，极端贫困率 50%（5000 万人）。后来，人口，增长到 2.4 亿，贫困率，降到 37%。贫困人口，是多少？这和撒哈拉以南非洲，有什么关系？

提示：0.37 × 2.4 亿 = 8880 万，比原来的 5000 万，多。这就是"贫困率下降，人数增加"，撒哈拉以南非洲，人口，增长到 2.4 倍，贫困率，从 61.5% 降到 45.6%，人数，增加。

3. 用 1990 年的普雷斯顿曲线（b = 6.4）：如果，一个国家的人均 GDP，翻一倍，仅靠收入，预期寿命，多多少？如果，实际，多了 8 岁，多少，是整条曲线，上移？

提示：6.4 × ln 2 = 6.4 × 0.693 ≈ 4.4 岁；其余，8 − 4.4 = 3.6 岁，是曲线，上移（医学、公共卫生，等）。

4. 7.2 节的漏桶：e = 0.5，t = 40%：每 1 元税，有多少，到了转移？如果，社会认为，穷人的 1 元，比富人的 1 元，重要 1.5 倍，这个税，值得吗？“盈亏平衡"的权重，是多少？

提示：留存的比例 = (1 − 0.4)^0.5 ≈ 0.775，漏了 22.5%。1 元，变成 0.775 元，给穷人，按 1.5 倍的权重，价值 0.775 × 1.5 ≈ 1.16 > 1，值得（在这个简化的意义上）。盈亏平衡的权重 = 1 ÷ 0.775 ≈ 1.29：只要，穷人的 1 元，比富人的 1 元，重要 1.29 倍以上，就值得。这个"权重”，是价值判断。

5. （开放题）一项政策，把最富的 10% 的税，提高，用来，增加，最穷的 20% 的收入。请把下面的说法，分成事实问题和价值判断：（a）这会让基尼系数，下降；（b）这会让总收入，下降 3%；（c）最穷 20% 的收入，增加，值得，总收入的下降；（d）应该，优先，关心，最穷的人。

提示：（a）（b）是事实，可以用数据和模型检验（b 取决于，弹性 e，和，政策的细节）；（c）（d）是价值判断：怎么权衡，最差的人，和平均；这取决于你对，罗尔斯式、功利式（平均）、“收入的对数"等不同标准的选择（7.2 节，同样的事实，最优税率，从 0% 到 55%）。

参考与延伸

  • Kuznets, S. (1955). Economic Growth and Income Inequality. American Economic Review（1955 年 3 月号；卷期页，没有核对）。
  • Deininger, K., & Squire, L. (1996). A New Data Set Measuring Income Inequality. World Bank Economic Review, 10(3), 565–591.
  • Preston, S. H. (1975). The Changing Relation between Mortality and Level of Economic Development. Population Studies（卷期页没有核对）。重印：International Journal of Epidemiology, 36(3), 484–490 (2007).
  • Piketty, T., & Saez, E. (2003). Income Inequality in the United States, 1913–1998. Quarterly Journal of Economics, 118(1), 1–41.
  • Piketty, T. (2014). Capital in the Twenty-First Century. Harvard University Press.
  • Acemoglu, D., & Robinson, J. A. (2015). The Rise and Decline of General Laws of Capitalism. Journal of Economic Perspectives, 29(1), 3–28.
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  • Autor, D. H. (2014). Skills, Education, and the Rise of Earnings Inequality among the “Other 99 Percent”. Science, 344(6186), 843–851.
  • Okun, A. M. (1975). Equality and Efficiency: The Big Tradeoff. Brookings Institution Press.
  • Haushofer, J., & Shapiro, J. (2016). The Short-Term Impact of Unconditional Cash Transfers to the Poor: Experimental Evidence from Kenya. Quarterly Journal of Economics, 131(4), 1973–2042.
  • Egger, D., Haushofer, J., Miguel, E., Niehaus, P., & Walker, M. (2022). General Equilibrium Effects of Cash Transfers: Experimental Evidence from Kenya. Econometrica, 90(6), 2603–2643.
  • Banerjee, A., Duflo, E., Glennerster, R., & Kinnan, C. (2015). The Miracle of Microfinance? Evidence from a Randomized Evaluation. American Economic Journal: Applied Economics, 7(1), 22–53.
  • 世界银行（2025 年 6 月）：《全球贫困线更新》（June 2025 update to global poverty lines，说明）。
  • 世界银行 WDI：贫困率（SI.POV.DDAY）、基尼系数（SI.POV.GINI）、人口（SP.POP.TOTL）、预期寿命（SP.DYN.LE00.IN）、人均 GDP（NY.GDP.PCAP.PP.KD），2026 年 10 月通过 API 下载，已嵌入代码。
  • FRED（圣路易斯联储）：GINIALLRF（美国家庭的基尼系数，美国人口调查局），已嵌入代码。