这是第八个实验，也是 Unit 7 的收尾。第 28 讲，我们用一个简单的 Solow 模型讲了增长：资本积累有边际报酬递减，储蓄率决定稳态的水平，长期的增长靠技术。第 28 讲还留了一个承诺：做一个 Solow 模拟，并且和真实数据校准。 这就是这个实验。
“校准"和"回归"不一样。回归是让数据决定参数，使拟合最好；校准是从数据里直接读出参数（资本份额、折旧率、投资率、人口增长），不去调它们，然后让模型自己走，再看它的预测和现实差多少。这样做的好处是：模型的哪些预测对得上、哪些对不上，一目了然。校准的价值，有一半在于发现"对不上”。 这个实验里，就会碰上一个。
怎么用：和前面的实验一样，代码块是接着往下写的：后面的块会用到前面块里定义的东西。把它们依次拼成一个文件（比如 lab77.py），用 python lab77.py 运行，不到 2 秒；也可以一段一段地在 Python 里依次运行。只需要 Python 3 和 NumPy。真实数据，已经整理成了几十行数字，直接写在了代码里（来自 Penn World Table 11.0）。这个实验里没有随机数，所以你跑出来的数字，会和下面的输出一模一样。
一、六个问题
先停一下：请先凭直觉，回答下面六个问题，写下来。
问题 1： 用各国真实的投资率、人口增长率和折旧率，Solow 模型预测的"稳态资本产出比"，和实际的资本产出比，对得上吗？
问题 2： 给所有国家同一个效率增速（g = 2%），让模型从 1990 年的实际起点出发，一年一年地走到 2019 年。能预测各国的增长吗？预测不了的，是哪些国家？
问题 3： 中国 1990 到 2019 年，每个工人的产出年均增长 8.5%。其中，多少是资本积累推动的，多少是"效率"？
问题 4： 如果一个国家从 1990 年起，投资率比实际少两成，到 2019 年，每个工人的产出会少多少？
问题 5： 各国的投资率，离"黄金律"（投资率 = 资本份额）还有多远？有没有国家存得太多？
问题 6： 把样本扩大到 58 个国家，Solow 模型对"水平"和"增长"的预测，对得上吗？把人力资本加进去，会好吗？
我们会一个一个回来。
二、实验的设计
2.1 模型
和第 28 讲一样：每有效劳动的产出 y = k^α，k 的变化 = s k^α − (n + g + δ) k。不同的是，这里的 α、s、n、δ，不再是"取一个数"，而是从数据里读出来，每个国家一份。
2.2 数据
Penn World Table 11.0（Feenstra、Inklaar 和 Timmer 2015 年，American Economic Review，105 卷 10 期，是这套数据的标准引用；第 29 讲用过同一套数据），1990 到 2019 年。我们用的变量：
| 要的东西 | PWT 变量 | 怎么用 |
|---|---|---|
| 每个工人的产出 | 实际 GDP ÷ 就业人数 | 各国自己的不变价格（只比较自己的增长，不比较国家之间的水平）；第五步比较水平时，改用 PPP 价格的产出法 GDP |
| 投资率 s | 总资本形成占 GDP 的比例（csh_i） |
1990–2019 年平均 |
| 就业增长 n | 就业人数 | 对数增长率 |
| 折旧率 δ | delta |
1990–2019 年平均 |
| 资本份额 α | 1 − 劳动份额（labsh） |
1990–2019 年平均 |
| 资本产出比 K/Y | 实际资本存量 ÷ 实际 GDP | 同一套不变价格；1990 年和 2019 年 |
七个国家：中国、印度、韩国、日本、德国、美国、巴西（和第 29 讲的增长核算，同一批）。
2.3 要注意的
- 这里的"效率增速 g"，是劳动增进型的（k = K ÷ (A L)，A 以速度 g 增长），而且包含人力资本的增长（因为我们用的是"每个工人"，而不是"每个有效劳动"）。它大约等于第 29 讲里的"效率"（全要素生产率）增速，除以 (1 − α)，再加上人力资本指数的增速。
- PWT 的数据，是估算出来的，有修订；资本存量尤其难估。所以，下面的每一个结论，都要带着"数据本身有不确定性"来读。
三、第一步：把模型搭起来，先对一遍第 28 讲
import numpy as np
# Solow 模型，每「有效劳动」的量：k = K / (A L)，y = Y / (A L) = k^α。
# k 的变化 = s k^α − (n + g + δ) k （投资，减去折旧和稀释）
# 参数（第 28 讲的）：α = 1/3，δ = 5%，n = 1%（劳动增长），g = 2%（效率增长），s 是储蓄率。一年一步。
ALPHA, DELTA, N, G = 1 / 3, 0.05, 0.01, 0.02
def steady_k(s, alpha=ALPHA, n=N, g=G, delta=DELTA):
return (s / (n + g + delta)) ** (1 / (1 - alpha))
def simulate_k(k0, s, years, alpha=ALPHA, n=N, g=G, delta=DELTA):
"""返回 years + 1 个 k：第 0 年是 k0"""
k = np.empty(years + 1); k[0] = k0
for t in range(years): k[t + 1] = k[t] + s * k[t] ** alpha - (n + g + delta) * k[t]
return k
print("稳态：储蓄率 s -> k*、y*、人均消费 c* = (1 - s) y*")
for s in (0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5):
k = steady_k(s); print(f" s = {s}：k* = {k:5.2f}，y* = {k ** ALPHA:4.2f}，c* = {(1 - s) * k ** ALPHA:4.2f}")
ss = np.linspace(0.01, 0.99, 981); c_star = [(1 - s) * steady_k(s) ** ALPHA for s in ss]
print(f"消费最大的储蓄率（黄金律）：s = {ss[int(np.argmax(c_star))]:.3f}（α = {ALPHA:.3f}），c* = {max(c_star):.3f}")
# 储蓄率翻倍：从 s = 0.2 的稳态出发，突然变成 0.4
k_old, k_new = steady_k(0.2), steady_k(0.4)
path = simulate_k(k_old, 0.4, 100)
print(f"\n储蓄率 0.2 -> 0.4：稳态的 y 高 {(k_new / k_old) ** ALPHA - 1:.1%}（公式 2^(α/(1−α)) = {2 ** (ALPHA / (1 - ALPHA)):.3f}）")
print(" 第 10、20、50、100 年的 y，是旧稳态的：" + "、".join(f"{(path[t] / k_old) ** ALPHA:.3f}" for t in (10, 20, 50, 100)))
print(f" 前 10 年，y 每年多增长约 {((path[10] / k_old) ** ALPHA) ** (1 / 10) - 1:.2%}（之后慢慢回到每年 g = {G:.0%}）")
# 追赶：一个穷国，k 只有稳态的 10%
k_star = steady_k(0.3); poor = simulate_k(0.1 * k_star, 0.3, 60)
share = (poor / k_star) ** ALPHA
print(f"\n穷国（k = 稳态的 10%，y = 稳态的 {share[0]:.0%}）：10、20、30 年后，y 是稳态的 " + "、".join(f"{share[t]:.0%}" for t in (10, 20, 30)))
growth = G + poor[1] ** ALPHA / poor[0] ** ALPHA - 1
print(f" 起点，每工人的增速 {growth:.1%}；公式 g + α(n+g+δ)((k*/k)^(1-α) - 1) = {G + ALPHA * (N + G + DELTA) * ((1 / 0.1) ** (1 - ALPHA) - 1):.1%}（一阶近似）")
lam = (1 - ALPHA) * (N + G + DELTA)
print(f" 收敛速度 λ = (1 - α)(n + g + δ) = {lam:.3f}，缺口减半要 {np.log(2) / lam:.1f} 年")
def half_life(k_start, s_=0.3):
"""从 k_start 出发，产出和稳态之间的（对数）差距缩小一半，用了几年"""
kk = simulate_k(k_start, s_, 400); ks_ = steady_k(s_)
gap = np.log(ks_ ** ALPHA) - ALPHA * np.log(kk)
return int(np.argmax(gap <= 0.5 * gap[0]))
near = 0.8 ** (1 / ALPHA) * k_star # y 刚好是稳态的 80% 时的 k
print(f" 模拟里，产出的缺口减半，用了：离稳态近（y = 稳态的 80%）{half_life(near)} 年，离稳态远（y = 稳态的 46%）{half_life(0.1 * k_star)} 年")
# 稳态的资本产出比：K / Y = s / (n + g + δ)
print("\n稳态的资本产出比 K/Y = k / y = s / (n + g + δ)：")
for s in (0.2, 0.3, 0.4):
k = steady_k(s); print(f" s = {s}：模拟的稳态 k / y = {k / k ** ALPHA:.3f}，公式 s / (n + g + δ) = {s / (N + G + DELTA):.3f}")
输出：
稳态：储蓄率 s -> k*、y*、人均消费 c* = (1 - s) y*
s = 0.1：k* = 1.40，y* = 1.12，c* = 1.01
s = 0.2：k* = 3.95，y* = 1.58，c* = 1.26
s = 0.3：k* = 7.26，y* = 1.94，c* = 1.36
s = 0.4：k* = 11.18，y* = 2.24，c* = 1.34
s = 0.5：k* = 15.62，y* = 2.50，c* = 1.25
消费最大的储蓄率（黄金律）：s = 0.333（α = 0.333），c* = 1.361
储蓄率 0.2 -> 0.4：稳态的 y 高 41.4%（公式 2^(α/(1−α)) = 1.414）
第 10、20、50、100 年的 y，是旧稳态的：1.191、1.290、1.391、1.413
前 10 年，y 每年多增长约 1.77%（之后慢慢回到每年 g = 2%）
穷国（k = 稳态的 10%，y = 稳态的 46%）：10、20、30 年后，y 是稳态的 74%、86%、92%
起点，每工人的增速 10.9%；公式 g + α(n+g+δ)((k*/k)^(1-α) - 1) = 11.7%（一阶近似）
收敛速度 λ = (1 - α)(n + g + δ) = 0.053，缺口减半要 13.0 年
模拟里，产出的缺口减半，用了：离稳态近（y = 稳态的 80%）11 年，离稳态远（y = 稳态的 46%）8 年
稳态的资本产出比 K/Y = k / y = s / (n + g + δ)：
s = 0.2：模拟的稳态 k / y = 2.500，公式 s / (n + g + δ) = 2.500
s = 0.3：模拟的稳态 k / y = 3.750，公式 s / (n + g + δ) = 3.750
s = 0.4：模拟的稳态 k / y = 5.000，公式 s / (n + g + δ) = 5.000
逐段看：
- 稳态：s = 0.1、0.2、0.3、0.4、0.5，k* = 1.40、3.95、7.26、11.18、15.62；y* = 1.12、1.58、1.94、2.24、2.50；人均消费 c* = 1.01、1.26、1.36、1.34、1.25，消费最大的储蓄率是 s = 1/3 = α（黄金律）。和第 28 讲完全一样。
- 储蓄率翻倍（0.2 → 0.4）：稳态的 y 高 41.4%（= 2^(α/(1−α)) = 1.414）；第 10、20、50、100 年，是旧稳态的 1.191、1.290、1.391、1.413 倍；前 10 年，每年多增长约 1.77 个百分点，之后慢慢回到每年 g = 2%。
- 穷国追赶：k 只有稳态的 10%（y 是稳态的 46%）：10、20、30 年后，y 是稳态的 74%、86%、92%；起点，每个工人的增速 10.9%（公式的一阶近似是 11.7%）；收敛速度 λ = (1 − α)(n + g + δ) = 0.053，缺口减半要 13.0 年；模拟里，离稳态近（80%）时，减半要 11 年，离稳态远（46%）时，8 年。
- 稳态的资本产出比：K/Y = s ÷ (n + g + δ)。模拟的结果，和公式，一模一样（s = 0.2、0.3、0.4 时，是 2.5、3.75、5.0）。这一条，是下面第二步要用的。
四、第二步：对准七个真实国家
# 第二步：把模型对准真实的国家。数据：Penn World Table 11.0（Feenstra、Inklaar 和 Timmer，AER 2015 年的数据集，第 29 讲用过），七个国家，1990 到 2019 年。
# 每个国家八个数：
# 每个工人的实际 GDP，1990 年、2019 年（实际 GDP ÷ 就业人数；用各国自己的不变价格，所以只比较自己的增长，不比较国家之间的水平；单位：2021 年美元）
# 投资率 s（总资本形成占 GDP 的比例，1990–2019 年的平均）
# 就业人数的年均增长率 n（对数）
# 折旧率 δ（PWT 估计的平均折旧率，1990–2019 年平均）
# 资本份额 α = 1 - 劳动份额（1990–2019 年平均）
# 资本产出比 K/Y，1990 年、2019 年（实际资本存量 ÷ 实际 GDP，同一套不变价格）
COUNTRIES = {
"中国": (2869, 33749, 0.3724, 0.00579, 0.0540, 0.4210, 3.108, 4.913),
"印度": (5629, 20828, 0.2475, 0.01538, 0.0464, 0.4379, 3.150, 3.615),
"韩国": (35391, 99218, 0.3747, 0.01379, 0.0472, 0.4582, 3.233, 4.860),
"日本": (65460, 81408, 0.2956, 0.00154, 0.0391, 0.4343, 4.219, 5.372),
"德国": (81826, 111356, 0.2330, 0.00459, 0.0349, 0.3577, 3.736, 3.943),
"美国": (89403, 139229, 0.2392, 0.00965, 0.0394, 0.3936, 3.560, 3.311),
"巴西": (30253, 38483, 0.1915, 0.01461, 0.0467, 0.4510, 3.751, 4.371),
}
KEYS = ("y0", "y1", "s", "n", "delta", "alpha", "ky0", "ky1")
DATA = {name: dict(zip(KEYS, row)) for name, row in COUNTRIES.items()}
YEARS = 29 # 1990 到 2019
for d in DATA.values(): d["growth"] = np.log(d["y1"] / d["y0"]) / YEARS # 每个工人的实际 GDP 的年均增长（对数）
print("七个国家的「校准」参数（来自 PWT 11.0，1990–2019 年）：")
print(" 国家 每工人年均增长 投资率 s 就业增长 n 折旧 δ 资本份额 α K/Y：1990 → 2019")
for name, d in DATA.items():
print(f" {name} {d['growth']:6.2%} {d['s']:6.1%} {d['n']:6.2%} {d['delta']:5.1%} {d['alpha']:5.3f} {d['ky0']:.2f} → {d['ky1']:.2f}")
# 第一个检验：稳态的资本产出比。Solow 模型说，稳态里 K/Y = s / (n + g + δ)。g 取 2%（第 28 讲），每个国家用自己的 s、n、δ，
# 和 2019 年实际的 K/Y 比一比。
print("\n稳态的资本产出比 s / (n + g + δ)（g = 2%），和 PWT 里 2019 年实际的 K/Y：")
print(" 国家 模型的稳态 K/Y 2019 年实际 K/Y 实际 ÷ 模型")
for name, d in DATA.items():
ky_star = d["s"] / (d["n"] + G + d["delta"])
print(f" {name} {ky_star:5.2f} {d['ky1']:5.2f} {d['ky1'] / ky_star:5.2f}")
输出：
七个国家的「校准」参数（来自 PWT 11.0，1990–2019 年）：
国家 每工人年均增长 投资率 s 就业增长 n 折旧 δ 资本份额 α K/Y：1990 → 2019
中国 8.50% 37.2% 0.58% 5.4% 0.421 3.11 → 4.91
印度 4.51% 24.8% 1.54% 4.6% 0.438 3.15 → 3.62
韩国 3.55% 37.5% 1.38% 4.7% 0.458 3.23 → 4.86
日本 0.75% 29.6% 0.15% 3.9% 0.434 4.22 → 5.37
德国 1.06% 23.3% 0.46% 3.5% 0.358 3.74 → 3.94
美国 1.53% 23.9% 0.97% 3.9% 0.394 3.56 → 3.31
巴西 0.83% 19.1% 1.46% 4.7% 0.451 3.75 → 4.37
稳态的资本产出比 s / (n + g + δ)（g = 2%），和 PWT 里 2019 年实际的 K/Y：
国家 模型的稳态 K/Y 2019 年实际 K/Y 实际 ÷ 模型
中国 4.67 4.91 1.05
印度 3.03 3.62 1.19
韩国 4.63 4.86 1.05
日本 4.87 5.37 1.10
德国 3.92 3.94 1.01
美国 3.46 3.31 0.96
巴西 2.36 4.37 1.86
逐段看：
- 投资率：中国 37.2%、韩国 37.5%，最高；印度 24.8%；美国 23.9%，德国 23.3%；巴西 19.1%，最低。就业增长：印度 1.54%、巴西 1.46%、韩国 1.38%；中国只有 0.58%，日本 0.15%。资本份额 α，在 0.36（德国）到 0.46（韩国）之间，比第 28 讲取的 1/3 高。（这个份额里，包含了土地租金、垄断利润等，不全是"资本"的份额，所以它可能偏高。）
- 稳态的资本产出比：把每个国家自己的 s、n、δ，加上 g = 2%，代进 s ÷ (n + g + δ)，和 PWT 里 2019 年实际的 K/Y 比：
- 德国 3.92 对 3.94，美国 3.46 对 3.31（实际 ÷ 模型 = 1.01、0.96），对得很好；
- 中国 4.67 对 4.91，韩国 4.63 对 4.86，日本 4.87 对 5.37（1.05、1.05、1.10），不错；
- 印度 3.03 对 3.62（1.19），偏离；
- 巴西 2.36 对 4.37（1.86），差很多。
问题 1 的答案：大多数对得上，不是所有。五个国家，模型预测的稳态资本产出比，和实际相差在 10% 左右。这是一个很强的检验：模型没有用任何关于 K/Y 的数据来定参数，只用了投资率、人口增长和折旧。巴西对不上：它的实际资本产出比，比模型说的高得多。可能的原因很多（它的投资率变化大，资本存量的估算，或者它的 g 其实很低，等等），这里不展开。
五、第三步：动态，从 1990 年走到 2019 年
静态的检验，只看终点。现在让模型从 1990 年的实际 K/Y 出发（模型里 K/Y = k^(1−α)，所以起点 k0 = (K/Y)^(1/(1−α))），按每个国家自己的 s、n、δ、α，一年一年地走到 2019 年。
# 第三步：动态。从 1990 年实际的 K/Y 出发（模型里 K/Y = k^(1-α)，所以 k0 = (K/Y)^(1/(1-α))），按模型一年一年地走到 2019 年，
# 看资本积累，能把每个工人的产出，推到多高。
def run_country(d, g, s=None, years=YEARS):
"""返回 k 的路径（years + 1 个）。s 默认是这个国家自己的名义投资率"""
alpha = d["alpha"]; s = d["s"] if s is None else s
k = np.empty(years + 1); k[0] = d["ky0"] ** (1 / (1 - alpha))
for t in range(years): k[t + 1] = k[t] + s * k[t] ** alpha - (d["n"] + g + d["delta"]) * k[t]
return k
def model_growth(d, g, s=None):
"""模型预测的，每个工人的产出的年均增长（对数）= 效率增长 g + 每有效劳动产出 k^α 的增长"""
k = run_country(d, g, s); return g + d["alpha"] * np.log(k[-1] / k[0]) / YEARS
def solve_g(d, s=None):
"""二分法：找一个效率增速 g，让模型预测的增长，正好等于实际的增长"""
lo, hi = -0.05, 0.15
for _ in range(60):
mid = (lo + hi) / 2
if model_growth(d, mid, s) < d["growth"]: lo = mid
else: hi = mid
return mid
# 先用名义投资率 s 试一试：要让模型的增长和实际对上，需要多大的效率增速 g？这时，模型走到 2019 年的 K/Y，和实际比，怎么样？
print("用 PWT 的名义投资率 s：")
print(" 国家 实际增长 需要的 g 这时模型的 2019 年 K/Y 实际的 2019 年 K/Y")
for name, d in DATA.items():
g_i = solve_g(d); k = run_country(d, g_i)
print(f" {name} {d['growth']:6.2%} {g_i:6.2%} {k[-1] ** (1 - d['alpha']):5.2f} {d['ky1']:5.2f}")
# 中国、印度、巴西，对不上：增长这么快，名义投资率撑不起实际资本存量的积累。反过来，问一个问题：
# 要让资本存量，从 1990 年的 K/Y 走到 2019 年的 K/Y，同时 GDP 按实际速度增长，每年需要一个占 GDP 多少的（不变价格下的）投资率 s_eff？
def implied_s(d, years=YEARS):
gamma = d["growth"] + d["n"] # GDP 总量的增长
t = np.arange(years)
need = d["ky1"] * np.exp(gamma * years) - (1 - d["delta"]) ** years * d["ky0"] # 2019 年的资本，减去 1990 年的资本剩下的（都除以 1990 年的 GDP）
return need / ((1 - d["delta"]) ** (years - 1 - t) * np.exp(gamma * t)).sum()
for d in DATA.values(): d["s_eff"] = implied_s(d)
print("\n反推：让资本存量走到实际的 2019 年水平，需要的投资率 s_eff，和 PWT 的名义投资率 s：")
print(" 国家 名义投资率 s 反推的 s_eff s_eff ÷ s")
for name, d in DATA.items():
print(f" {name} {d['s']:6.1%} {d['s_eff']:6.1%} {d['s_eff'] / d['s']:5.2f}")
# 用 s_eff 重来一遍：现在，模型里资本的积累，和 PWT 的资本存量，是一致的
print("\n用 s_eff：模型预测的，每个工人的产出的年均增长，效率增速 g 对所有国家都一样：")
print(" 国家 实际 g = 1% g = 2% g = 3% g = 4%")
for name, d in DATA.items():
print(f" {name} {d['growth']:6.2%} " + " ".join(f"{model_growth(d, g, d['s_eff']):6.2%}" for g in (0.01, 0.02, 0.03, 0.04)))
print("\n反过来：要让模型和实际对上，每个国家需要多大的效率增速 g？剩下的，就是资本积累推动的：")
print(" 国家 实际增长 需要的 g 资本积累的贡献 这时模型的 2019 年 K/Y 实际的 2019 年 K/Y")
need = {}
for name, d in DATA.items():
g_i = solve_g(d, d["s_eff"]); need[name] = g_i; k = run_country(d, g_i, d["s_eff"])
print(f" {name} {d['growth']:6.2%} {g_i:6.2%} {d['growth'] - g_i:6.2%} {k[-1] ** (1 - d['alpha']):5.2f} {d['ky1']:5.2f}")
输出：
用 PWT 的名义投资率 s：
国家 实际增长 需要的 g 这时模型的 2019 年 K/Y 实际的 2019 年 K/Y
中国 8.50% 9.02% 2.53 4.91
印度 4.51% 5.37% 2.29 3.62
韩国 3.55% 3.00% 3.91 4.86
日本 0.75% -0.07% 5.76 5.37
德国 1.06% 0.72% 4.47 3.94
美国 1.53% 1.44% 3.70 3.31
巴西 0.83% 1.63% 2.83 4.37
反推：让资本存量走到实际的 2019 年水平，需要的投资率 s_eff，和 PWT 的名义投资率 s：
国家 名义投资率 s 反推的 s_eff s_eff ÷ s
中国 37.2% 73.6% 1.98
印度 24.8% 39.5% 1.60
韩国 37.5% 48.5% 1.29
日本 29.6% 27.7% 0.94
德国 23.3% 20.1% 0.86
美国 23.9% 21.1% 0.88
巴西 19.1% 31.2% 1.63
用 s_eff：模型预测的，每个工人的产出的年均增长，效率增速 g 对所有国家都一样：
国家 实际 g = 1% g = 2% g = 3% g = 4%
中国 8.50% 3.45% 4.26% 5.07% 5.89%
印度 4.51% 2.13% 2.90% 3.68% 4.47%
韩国 3.55% 2.64% 3.40% 4.18% 4.96%
日本 0.75% 1.41% 2.13% 2.86% 3.60%
德国 1.06% 1.10% 1.87% 2.65% 3.44%
美国 1.53% 1.01% 1.76% 2.53% 3.30%
巴西 0.83% 1.30% 2.05% 2.80% 3.55%
反过来：要让模型和实际对上，每个国家需要多大的效率增速 g？剩下的，就是资本积累推动的：
国家 实际增长 需要的 g 资本积累的贡献 这时模型的 2019 年 K/Y 实际的 2019 年 K/Y
中国 8.50% 7.14% 1.36% 5.36 4.91
印度 4.51% 4.05% 0.46% 3.74 3.62
韩国 3.55% 2.20% 1.36% 5.15 4.86
日本 0.75% 0.08% 0.67% 5.44 5.37
德国 1.06% 0.95% 0.11% 3.96 3.94
美国 1.53% 1.69% -0.16% 3.31 3.31
巴西 0.83% 0.35% 0.48% 4.44 4.37
逐段看，这一步有三个发现：
发现一：用名义投资率，对不上。 先用 PWT 的名义投资率 s，要让模型的增长，和实际的增长对上，需要多大的效率增速 g？中国需要 9.02%，比它实际的增长（8.5%）还高：也就是说，资本积累的贡献是负的（−0.52 个百分点），这不合常理；这时，模型走到 2019 年的资本产出比是 2.53，而实际是 4.91。印度（需要 5.37%，K/Y 2.29 对 3.62）、巴西（1.63%，2.83 对 4.37）也一样。名义投资率，撑不起 PWT 里实际的资本存量的积累。 这就是校准里"对不上"的那个地方。
发现二：反推一个"有效投资率"。 换一个问法：要让资本存量，从 1990 年的 K/Y，走到 2019 年的 K/Y，同时 GDP 按实际的速度增长，每年需要多大的（不变价格下的）投资率 s_eff？
- 中国 73.6%（是名义投资率的 1.98 倍）、印度 39.5%（1.60 倍）、巴西 31.2%（1.63 倍）、韩国 48.5%（1.29 倍）；
- 日本 27.7%（0.94 倍）、德国 20.1%（0.86 倍）、美国 21.1%（0.88 倍）：接近或略低于名义投资率。
增长越快的国家，差得越多。可能的原因，至少有三个：（1）PWT 的名义投资率，是按国际（PPP）价格算的占 GDP 的比例，而资本存量，是按各国自己的不变价格算的；投资品相对价格，在不同国家、不同时期不一样，两种口径下的"投资率"，可以差很多（Hsieh 和 Klenow 2007 年，American Economic Review，97 卷 3 期，562–585 页，研究过投资品的相对价格，和各国 PPP 投资率的关系；我只核对了摘要）；（2）资本存量的估算（初始值、折旧、价格指数），本身有很大的不确定性，尤其是增长很快的国家；（3）模型太简单（比如没有区分设备和建筑，没有国外资本）。这个实验，不能区分这三个原因。
发现三：用 s_eff 重来一遍。 现在，模型里资本积累的方程，和 PWT 的资本存量，是一致的（模型走到 2019 年的 K/Y，和实际在 9% 以内：中国 5.36 对 4.91，印度 3.74 对 3.62，美国 3.31 对 3.31）。
- 同一个 g = 2%，预测不了： 中国预测 4.26%，实际 8.5%；印度 2.90% 对 4.51%；而日本预测 2.13%，实际只有 0.75%；巴西 2.05% 对 0.83%。看图：中国和印度，远远高于对角线。
- 各国需要的效率增速 g： 中国 7.14%，印度 4.05%，韩国 2.20%，美国 1.69%，德国 0.95%，巴西 0.35%，日本 0.08%。
- 资本积累的贡献（实际增长 − 需要的 g）：中国 1.36、韩国 1.36、日本 0.67、巴西 0.48、印度 0.46、德国 0.11，美国 −0.16 个百分点。在这个模型里，资本积累（K/Y 的变化），只解释了每个工人增长的一小部分；中国 8.5% 里，约 7.1 个百分点，是"效率"（包含人力资本）。
问题 2 的答案：预测不了中国和印度。同一个 g，把所有国家，都当成"技术进步速度一样"，预测的是 1.8% 到 4.3%；实际是 0.75% 到 8.5%。差别，几乎都在"效率"。
问题 3 的答案：大部分是"效率"（含人力资本）：中国约 7.1 个百分点，资本积累只有约 1.4。这个结果，对口径很敏感：用名义投资率，会得出一个资本积累的贡献是负的、荒谬的结果；用反推的 s_eff，才一致。
和第 29 讲的增长核算对一下：第 29 讲里，“效率”（全要素生产率）的贡献，中国 3.52、印度 1.46、韩国 1.36、美国 0.89、德国 0.78、日本 0.20、巴西 −0.71（百分点），而这里需要的 g，中国最高，印度第二，然后是韩国、美国、德国：排序大体一致，只是最后两名对调了（日本 0.08 < 巴西 0.35）。原因之一：这里的 g，包含人力资本的增长（巴西的人力资本指数，每年涨 2% 以上，第 29 讲里把它单独列出来了）；另外，第 29 讲的"效率"，是希克斯中性的、对总产出的，这里是劳动增进型的、对每个工人的，要除以 (1 − α) 才能对上。（数字不能严格对比，只看大小和顺序。）
六、第四步：反事实，和黄金律
校准好的模型，可以回答"如果……会怎样"。每个国家，保持 1990 年的起点、自己的 n、δ、α，和上一步需要的效率增速 g，只把投资率改一改：
# 第四步：反事实。校准好的模型，可以回答「如果……会怎样」。每个国家，保持 1990 年的起点、自己的 n、δ、α，
# 和上一步需要的效率增速 g（用 s_eff 反推的那一个），只把投资率改一改，看 2019 年每个工人的产出。
def counterfactual(name, factor):
d = DATA[name]; g_i = need[name]
base = run_country(d, g_i, d["s_eff"]); alt = run_country(d, g_i, d["s_eff"] * factor)
level = (alt[-1] / base[-1]) ** d["alpha"] - 1 # 2019 年每个工人的产出，变了百分之几
growth = d["alpha"] * (np.log(alt[-1]) - np.log(base[-1])) / YEARS # 年均增长，变了几个百分点
steady = factor ** (d["alpha"] / (1 - d["alpha"])) - 1 # 稳态的产出，变了百分之几（公式）
return level, growth, steady
print("1990 年起，投资率比实际低两成（×0.8）或高两成（×1.2），2019 年每个工人的产出变多少？")
print(" 国家 ×0.8：产出 年均增长 ×1.2：产出 年均增长 稳态的变化（×0.8 / ×1.2） 每年向稳态靠近的速度 λ 缺口减半（年）")
for name, d in DATA.items():
lo, hi = counterfactual(name, 0.8), counterfactual(name, 1.2)
lam = (1 - d["alpha"]) * (d["n"] + need[name] + d["delta"])
print(f" {name} {lo[0]:+6.1%} {100 * lo[1]:+5.2f}pp {hi[0]:+6.1%} {100 * hi[1]:+5.2f}pp {lo[2]:+6.1%} / {hi[2]:+6.1%} {lam:6.3f} {np.log(2) / lam:5.1f}")
# 黄金律：投资率 = 资本份额 α 时，稳态的消费最大。各国的投资率，离它还差多少？（也等于比较：资本的收入 αY，和投资 sY，哪个大）
# 名义投资率 s，和上一步反推的有效投资率 s_eff，各比一遍。
print("\n黄金律：投资率 ÷ 资本份额 α（< 1：还没存到黄金律；> 1：存得太多）：")
print(" 国家 名义 s α s ÷ α s_eff ÷ α")
for name, d in DATA.items(): print(f" {name} {d['s']:5.1%} {d['alpha']:5.3f} {d['s'] / d['alpha']:5.2f} {d['s_eff'] / d['alpha']:5.2f}")
输出：
1990 年起，投资率比实际低两成（×0.8）或高两成（×1.2），2019 年每个工人的产出变多少？
国家 ×0.8：产出 年均增长 ×1.2：产出 年均增长 稳态的变化（×0.8 / ×1.2） 每年向稳态靠近的速度 λ 缺口减半（年）
中国 -14.0% -0.52pp +13.3% +0.43pp -15.0% / +14.2% 0.076 9.1
印度 -13.5% -0.50pp +13.0% +0.42pp -16.0% / +15.3% 0.058 12.1
韩国 -14.3% -0.53pp +13.9% +0.45pp -17.2% / +16.7% 0.045 15.4
日本 -9.5% -0.34pp +9.2% +0.30pp -15.7% / +15.0% 0.023 29.6
德国 -7.2% -0.26pp +6.8% +0.23pp -11.7% / +10.7% 0.031 22.0
美国 -8.9% -0.32pp +8.5% +0.28pp -13.5% / +12.6% 0.040 17.3
巴西 -11.7% -0.43pp +11.4% +0.37pp -16.7% / +16.2% 0.036 19.5
黄金律：投资率 ÷ 资本份额 α（< 1：还没存到黄金律；> 1：存得太多）：
国家 名义 s α s ÷ α s_eff ÷ α
中国 37.2% 0.421 0.88 1.75
印度 24.8% 0.438 0.57 0.90
韩国 37.5% 0.458 0.82 1.06
日本 29.6% 0.434 0.68 0.64
德国 23.3% 0.358 0.65 0.56
美国 23.9% 0.394 0.61 0.54
巴西 19.1% 0.451 0.42 0.69
逐段看：
- 投资率少两成（×0.8）： 2019 年每个工人的产出，中国少 14.0%（年均少 0.52 个百分点），印度 13.5%，韩国 14.3%，美国 8.9%，日本 9.5%，德国 7.2%，巴西 11.7%。多两成（×1.2）： 对称地多 7% 到 14%。
- 和稳态比： 稳态的变化，是 ×0.8 时少 11.7% 到 17.2%（公式 0.8^(α/(1−α)) − 1）。29 年里，走到的比例，各国不一样：中国（λ = 0.076，缺口减半 9.1 年）少 14.0%，已经走了稳态变化（15.0%）的 93%；日本（λ = 0.023，缺口减半 29.6 年）只少 9.5%，只有稳态变化（15.7%）的六成。增长慢的国家，反应也慢：投资率的变化，要很久才反映到产出上。
- 黄金律：各国名义投资率 ÷ 资本份额，0.42（巴西）到 0.88（中国），都小于 1：按这个口径，没有国家"存得太多"。Abel、Mankiw、Summers 和 Zeckhauser 1989 年（Review of Economic Studies，56 卷 1 期）的"动态效率"检验，比较的就是资本的收入（αY），和投资（sY）：资本收入大于投资，说明经济是动态有效的，没有"存得过多"。他们的结论是，美国和其他主要的发达国家，是动态有效的。（我只核对了摘要。）
- 但是，口径一换，结论就变： 如果用上一步反推的 s_eff，s_eff ÷ α，中国是 1.75，韩国 1.06，印度 0.90，巴西 0.69，日本 0.64，德国 0.56，美国 0.54。中国和韩国，超过 1。 这个实验无法裁决哪个口径才对：它说的是，“存得是不是太多"这个结论，对"投资率"怎么算，非常敏感。 这正是第 28 讲第八节里，中国高投资率之争的一个原因（那一节，按"理论预测 → 证据与局限 → 分歧在哪 → 价值判断留给读者"写的，价值判断三问，在那里）。
问题 4 的答案：少两成，29 年后少 7% 到 14%，视国家而定；快速增长的国家，影响更大，也更快。
问题 5 的答案：按名义口径，都没有存得太多（0.42 到 0.88）；按有效口径，中国、韩国超过了。结论取决于口径。
七、第五步：58 个国家
七个国家，太少。现在，把样本扩大：58 个人口 2000 万以上、数据齐全的国家（规则选样，不是我挑的）。检验 Solow 模型的两个预测：
- 水平：稳态的 ln y = 常数 + α/(1−α) × [ln s − ln(n + g + δ)]；α = 1/3 时，斜率应该是 0.5；
- 增长：离稳态越远，增长越快；控制 s、n 之后，起点越高，增长越慢（条件趋同）。
# 第五步：不只七个国家。58 个人口 2000 万以上、数据齐全的国家（PWT 11.0，规则选样，不是我挑的），检验 Solow 模型的两个预测：
# 水平：稳态的 ln y = 常数 + α/(1-α) × [ln s - ln(n + g + δ)]；α = 1/3 时，斜率应该是 0.5
# 增长：离稳态越远，增长越快；控制 s、n 之后，起点越高，增长越慢（条件趋同）
# 每个国家五个数：每个工人的实际 GDP（按 PPP 算的产出法 GDP ÷ 就业，国家之间可以比较水平），1990 年、2019 年（2021 年美元）；
# 投资率 s（1990–2019 平均）；就业年均增长 n（对数）；人力资本指数 hc（PWT：受教育年限和教育回报，1990–2019 平均）
CROSS = {
"AGO": (7140, 16759, 0.3624, 0.03240, 1.336),
"ARG": (19299, 54348, 0.1586, 0.01925, 2.774),
"AUS": (70505, 116653, 0.2648, 0.01694, 3.482),
"BFA": (2752, 6580, 0.1513, 0.02104, 1.128),
"BGD": (4254, 15654, 0.2059, 0.01694, 1.756),
"BRA": (17059, 37786, 0.1915, 0.01461, 2.291),
"CAN": (80329, 106579, 0.2464, 0.01300, 3.548),
"CHN": (3427, 33413, 0.3724, 0.00579, 2.359),
"CIV": (8607, 15788, 0.0931, 0.03446, 1.476),
"CMR": (8734, 13318, 0.1285, 0.02676, 1.767),
"COD": (4325, 3295, 0.1201, 0.02778, 1.586),
"COL": (26717, 37676, 0.1993, 0.02459, 2.262),
"DEU": (62511, 111298, 0.2330, 0.00459, 3.587),
"DZA": (58760, 53111, 0.3007, 0.02958, 1.949),
"EGY": (11789, 62012, 0.1037, 0.02433, 2.158),
"ESP": (58283, 105193, 0.2781, 0.01292, 2.711),
"ETH": (2009, 5346, 0.1508, 0.03112, 1.241),
"FRA": (73765, 120702, 0.2393, 0.00664, 2.983),
"GBR": (64561, 102220, 0.2138, 0.00698, 3.556),
"GHA": (7533, 14801, 0.2772, 0.02470, 2.188),
"IDN": (9443, 26072, 0.2504, 0.02018, 2.221),
"IND": (3989, 19443, 0.2475, 0.01538, 1.843),
"IRN": (15271, 49225, 0.2613, 0.02405, 1.913),
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"ITA": (76250, 110681, 0.2600, 0.00426, 2.867),
"JPN": (64867, 82378, 0.2956, 0.00154, 3.404),
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"KOR": (37238, 97267, 0.3747, 0.01379, 3.300),
"LKA": (12590, 40859, 0.2297, 0.01668, 2.814),
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"MEX": (43386, 47408, 0.1918, 0.02313, 2.493),
"MLI": (2630, 8766, 0.1425, 0.02866, 1.198),
"MMR": (2238, 15676, 0.1585, 0.01297, 1.609),
"MOZ": (2159, 4286, 0.2530, 0.02666, 1.159),
"MYS": (28546, 62965, 0.3007, 0.02862, 2.701),
"NER": (3024, 3796, 0.1668, 0.03113, 1.140),
"NGA": (3482, 16198, 0.2081, 0.03171, 1.595),
"NPL": (3184, 8882, 0.2094, 0.02545, 1.497),
"PAK": (11944, 21041, 0.1222, 0.02736, 1.668),
"PER": (11783, 26308, 0.2140, 0.02784, 2.613),
"PHL": (12897, 25222, 0.1801, 0.02305, 2.497),
"POL": (24351, 82290, 0.1799, 0.00236, 3.108),
"RUS": (37269, 69788, 0.1965, -0.00144, 3.141),
"SAU": (115322, 156374, 0.2921, 0.04861, 2.373),
"SDN": (8912, 24335, 0.1367, 0.02362, 1.440),
"SYR": (6221, 20644, 0.0901, 0.01305, 2.233),
"THA": (13228, 38779, 0.2733, 0.00981, 2.386),
"TUR": (42432, 85239, 0.2464, 0.01913, 2.107),
"TWN": (59037, 109872, 0.2417, 0.00999, 2.886),
"TZA": (2784, 7787, 0.2466, 0.02520, 1.531),
"UGA": (2737, 7575, 0.1694, 0.03164, 1.848),
"UKR": (27142, 37910, 0.1484, -0.01385, 3.105),
"USA": (88589, 139675, 0.2392, 0.00965, 3.620),
"VEN": (29144, 1140, 0.1803, 0.02854, 2.348),
"VNM": (3157, 20126, 0.2249, 0.02025, 2.165),
"YEM": (3449, 5993, 0.1312, 0.02697, 1.327),
"ZAF": (30371, 45391, 0.1597, 0.01308, 2.284),
}
codes = list(CROSS)
y0, y1, s_, n_, h_ = (np.array([CROSS[c][i] for c in codes], float) for i in range(5))
print(f"样本：{len(codes)} 个国家；每个工人的 GDP，2019 年最高 {codes[int(np.argmax(y1))]}（{y1.max():,.0f} 美元），最低 {codes[int(np.argmin(y1))]}（{y1.min():,.0f}），相差 {y1.max() / y1.min():.0f} 倍")
def ols(y, cols):
X = np.column_stack([np.ones(len(y))] + cols); b = np.linalg.lstsq(X, y, rcond=None)[0]; fit = X @ b
return b, 1 - ((y - fit) ** 2).sum() / ((y - y.mean()) ** 2).sum()
ly = np.log(y1); x_s = np.log(s_); x_n = np.log(n_ + 0.05) # g + δ 取 0.05（MRW 的做法）
print("\n一、水平：ln y(2019) 对 ln s 和 ln(n + 0.05)")
b, r2 = ols(ly, [x_s, x_n]); print(f" 不加约束：ln s 的系数 {b[1]:+.2f}，ln(n + 0.05) 的系数 {b[2]:+.2f}，R² = {r2:.2f}（模型预测：两个系数大小相等、符号相反）")
b, r2 = ols(ly, [x_s - x_n]); slope = b[1]
print(f" 加上约束（系数相等，符号相反）：斜率 {slope:.2f}，R² = {r2:.2f}；隐含的 α = 斜率 ÷ (1 + 斜率) = {slope / (1 + slope):.2f}（α = 1/3 预测的斜率是 {ALPHA / (1 - ALPHA):.2f}）")
b2, r2h = ols(ly, [x_s - x_n, np.log(h_)])
print(f" 再加上人力资本指数 ln hc：斜率 {b2[1]:.2f}，hc 的系数 {b2[2]:.2f}，R² = {r2h:.2f}（斜率降到了 α = 1/3 的预测 0.5 附近，R² 从 {r2:.2f} 升到 {r2h:.2f}）")
print("\n二、增长：每个工人的年均增长，对 ln y(1990)、ln s、ln(n + 0.05)")
gr = np.log(y1 / y0) / 29; l0 = np.log(y0)
b, r2 = ols(gr, [l0]); print(f" 无条件趋同：ln y(1990) 的系数 {b[1]:+.4f}，R² = {r2:.2f}")
b, r2 = ols(gr, [l0, x_s, x_n]); print(f" 控制 s、n：ln y(1990) 的系数 {b[1]:+.4f}（每年收敛约 {-b[1]:.1%}），ln s 的系数 {b[2]:+.4f}，R² = {r2:.2f}")
b, r2 = ols(gr, [l0, x_s, x_n, np.log(h_)]); print(f" 再控制 ln hc：ln y(1990) 的系数 {b[1]:+.4f}（每年收敛约 {-b[1]:.1%}），R² = {r2:.2f}")
print(f" 对照：Solow 模型（α = 1/3，n = 1%，g = 2%，δ = 5%）预测的收敛速度 λ = {(1 - ALPHA) * (N + G + DELTA):.3f}")
# 稳健性：委内瑞拉 2019 年每个工人的产出只有 1990 年的 4%（恶性通胀和经济崩溃），是个极端的点。去掉它，再算一遍。
keep = np.array([c != "VEN" for c in codes])
ly_k, xs_k, xn_k, h_k = ly[keep], x_s[keep], x_n[keep], np.log(h_[keep])
b, r2 = ols(ly_k, [xs_k - xn_k]); print(f"\n去掉委内瑞拉（{keep.sum()} 个国家）：水平，斜率 {b[1]:.2f}（隐含 α = {b[1] / (1 + b[1]):.2f}），R² = {r2:.2f}")
b, r2 = ols(ly_k, [xs_k - xn_k, h_k]); print(f" 加上 ln hc：斜率 {b[1]:.2f}，hc 的系数 {b[2]:.2f}，R² = {r2:.2f}")
gr_k, l0_k = gr[keep], l0[keep]
b, r2 = ols(gr_k, [l0_k, xs_k, xn_k]); print(f" 增长，控制 s、n：ln y(1990) 的系数 {b[1]:+.4f}（每年收敛约 {-b[1]:.1%}），R² = {r2:.2f}")
b, r2 = ols(gr_k, [l0_k, xs_k, xn_k, h_k]); print(f" 再控制 ln hc：ln y(1990) 的系数 {b[1]:+.4f}（每年收敛约 {-b[1]:.1%}），R² = {r2:.2f}")
输出：
样本：58 个国家；每个工人的 GDP，2019 年最高 SAU（156,374 美元），最低 VEN（1,140），相差 137 倍
一、水平：ln y(2019) 对 ln s 和 ln(n + 0.05)
不加约束：ln s 的系数 +1.25，ln(n + 0.05) 的系数 -2.75，R² = 0.37（模型预测：两个系数大小相等、符号相反）
加上约束（系数相等，符号相反）：斜率 1.60，R² = 0.33；隐含的 α = 斜率 ÷ (1 + 斜率) = 0.62（α = 1/3 预测的斜率是 0.50）
再加上人力资本指数 ln hc：斜率 0.57，hc 的系数 2.27，R² = 0.63（斜率降到了 α = 1/3 的预测 0.5 附近，R² 从 0.33 升到 0.63）
二、增长：每个工人的年均增长，对 ln y(1990)、ln s、ln(n + 0.05)
无条件趋同：ln y(1990) 的系数 -0.0081，R² = 0.16
控制 s、n：ln y(1990) 的系数 -0.0125（每年收敛约 1.2%），ln s 的系数 +0.0182，R² = 0.29
再控制 ln hc：ln y(1990) 的系数 -0.0170（每年收敛约 1.7%），R² = 0.32
对照：Solow 模型（α = 1/3，n = 1%，g = 2%，δ = 5%）预测的收敛速度 λ = 0.053
去掉委内瑞拉（57 个国家）：水平，斜率 1.53（隐含 α = 0.60），R² = 0.35
加上 ln hc：斜率 0.41，hc 的系数 2.43，R² = 0.74
增长，控制 s、n：ln y(1990) 的系数 -0.0101（每年收敛约 1.0%），R² = 0.38
再控制 ln hc：ln y(1990) 的系数 -0.0156（每年收敛约 1.6%），R² = 0.47
逐段看：
- 水平： ln y(2019) 对 ln s 的系数 +1.25，对 ln(n + 0.05) 的系数 −2.75：符号和模型一致（投资率越高越富，人口增长越快越穷），大小相差很远（模型预测两个系数大小相等）。加上约束，斜率 1.60，R² = 0.33；隐含的 α = 0.62。模型（α = 1/3）预测的斜率，是 0.5。
- 加上人力资本： 把 ln hc（PWT 的人力资本指数）加进去，斜率降到 0.57，非常接近模型预测的 0.5，R² 从 0.33 升到 0.63。这就是 Mankiw、Romer 和 Weil 1992 年（第 28 讲）的发现：不加人力资本的 Solow 模型，高估了储蓄和人口增长的效应（隐含的资本份额约 0.6）；加了之后，一致得多。
- 增长： 无条件趋同，ln y(1990) 的系数 −0.0081（R² = 0.16）：穷国平均增长得快一点，很弱。控制 s、n 后，−0.0125，每年收敛约 1.2%，R² = 0.29；再控制人力资本，1.7%，R² = 0.32。Solow 模型（α = 1/3）预测的收敛速度是每年约 5.3%。 和第 28 讲 45 个国家的结果（约 1.0%）、文献里常见的约 2%（据转述），是同一个量级：数据里的收敛，比模型说的慢得多。
- 稳健性： 委内瑞拉 2019 年每个工人的产出，只有 1990 年的 4%（恶性通胀和经济崩溃），是一个极端的点。去掉它：水平的斜率 1.53（隐含 α = 0.60），R² = 0.35；加上人力资本，斜率 0.41，R² 升到 0.74；增长的收敛速度，1.0%（控制 s、n），1.6%（再加人力资本）。结论的方向不变，数字会动：一个点，就让 R² 从 0.63 变成 0.74（和第 30 讲里，那个把货币和通胀的相关系数，从 0.80 拉到 0.20 的点，是同一个教训）。
问题 6 的答案：水平和增长的方向，对得上；大小对不上；加上人力资本，对得上很多。
八、这个实验说明了什么，没说明什么
说明了：
- Solow 模型的稳态预测，相当有用：只用投资率、人口增长和折旧，预测的资本产出比，在五个国家里，和实际相差 10% 左右。
- 模型能解释的，是"资本积累"那一部分；各国增长的差别，大部分是"效率”。 同一个 g，预测不了中国和印度。
- 校准会暴露数据和模型对不上的地方。 名义投资率，撑不起 PWT 的资本存量积累；“存得是不是太多”，对口径很敏感。
- 模型对水平的预测，方向对，大小不对，加上人力资本就好很多；对收敛速度的预测，比数据快得多。
- 起点不同，反应的速度也不同。 同样少两成的投资率，快速增长的国家，29 年里就走完了大部分的影响，增长慢的国家，只走了一半多。
没说明：
- 效率为什么不同。 g 是"需要的"、反推出来的，不是被解释的：这是第 29 讲、内生增长、制度等等的话题。
- 名义投资率为什么撑不起资本存量。 三个可能的原因，这里没有区分。
- 因果。 跨国回归，不是因果；投资率本身，是内生的（增长快，投资率就高）。
- 模型是封闭经济的：投资等于国内储蓄。开放经济里，投资率和储蓄率可以差很多。
九、和前面、后面的联系
- 第 27 讲：增长率、GDP 的衡量。
- 第 28 讲：这个实验的第一步，是第 28 讲的模拟；第五步，是第 28 讲 7 节检验的 PWT 版。第 28 讲预告的"Solow 模拟与真实数据校准"，在这里兑现。
- 第 29 讲：增长核算。这里的"需要的 g"，是同一个量，换了一种算法。
- 第 36 讲：黄金律的取舍，涉及当代人和后代人，要用折现来讲（第 36 讲讲折现）。
- 实验 78：银行挤兑，Diamond–Dybvig。
十、练习
下面的练习，都可以在上面的代码上改几个数字做出来。提示里的数字，都是我跑过的。
练习 1（α 变大）。 第一步里，把 ALPHA 从 1/3 改成 0.5（别的不变）：收敛速度 λ、缺口减半的年数、储蓄率翻倍后稳态的提高，各是多少？
提示：λ = (1 − 0.5) × (0.01 + 0.02 + 0.05) = 0.04，缺口减半 17.3 年；储蓄率翻倍，稳态提高 2^(0.5/0.5) − 1 = 100%。α 越大，资本的边际报酬递减得越慢，追赶越慢，但储蓄率对稳态的影响也越大。
练习 2（什么样的 g，能让稳态的 K/Y 对上）。 第二步里，对美国，g = 2% 时，稳态 K/Y 是 3.46，实际是 3.31。g 取多少，才能让稳态 K/Y 正好等于 3.31？中国、印度、巴西呢？
提示：稳态 K/Y = s ÷ (n + g + δ) = 实际 K/Y，所以 g = s ÷ K/Y − n − δ：美国 2.32%，中国 1.60%，印度 0.67%，巴西 −1.75%。巴西的 g 是负数，说明这个模型和巴西的资本存量数据，对不上（要么存量估得太高，要么它离稳态很远）。
练习 3（α 取多少）。 第三步里，对中国，把 α 从 0.421 改成 1/3 和 0.5（DATA["中国"]["alpha"] = ...，再重新算 s_eff、solve_g），需要的 g 和资本积累的贡献，各是多少？
提示：α = 0.421（基准）：g = 7.14%，资本贡献 1.36；α = 1/3：g = 7.59%，资本贡献 0.91；α = 0.5：g = 6.57%，资本贡献 1.93。α 越大，资本的贡献越大；但中国 8.5% 的增长里，不管 α 取多少，大部分都是"效率"（6.6% 到 7.6%）。
练习 4（中国的投资率降到美国的水平）。 第四步里，让中国 1990 年起的投资率（有效投资率），乘以 美国名义投资率 ÷ 中国名义投资率 = 0.642。2019 年每个工人的产出，变多少？年均增长少多少？
提示：
counterfactual("中国", 0.642)：2019 年的产出少 25.8%，年均增长少 1.03 个百分点；稳态的变化是 −27.5%。（这是一个简单的反事实：假设"效率增速不变"。真实的世界里，投资可能同时带来技术进步，那样，影响会更大。）
练习 5（g + δ 取多少）。 第五步里，把 ln(n + 0.05) 里的 0.05（即 g + δ），改成 0.03 和 0.08，水平检验的斜率、隐含的 α、R²，有什么变化？再去掉委内瑞拉和沙特，结果呢？
提示：0.03：斜率 1.46，α 0.59，R² 0.35；加上 hc：斜率 0.48，R² 0.62。0.08：斜率 1.64，α 0.62，R² 0.30；加 hc：斜率 0.61，R² 0.63。去掉委内瑞拉和沙特（56 个国家）：斜率 1.53，R² 0.37；加 hc：斜率 0.43，R² 0.76。g + δ 取多少，影响不大；去掉极端的点，影响更大。
练习 6（穷的一半，富的一半）。 第五步里，按 1990 年每个工人的产出的中位数，把 58 个国家分成穷的一半和富的一半，各自做无条件趋同的回归（增长对 ln y(1990)），斜率和 R² 是多少？
提示：穷的一半（29 个）：斜率 −0.0044，R² 0.02；富的一半（29 个）：斜率 −0.0068，R² 0.03。在每一半内部，几乎看不到趋同；整体的 −0.0081，主要来自"穷的一半，平均增长得比富的一半快"。这和第 28 讲说的，“趋同不是所有穷国的事”，是一个意思。
十一、局限
- 模型：一个部门、封闭经济、没有人力资本（它被放进了 g 里）、没有政府；α、δ、s、n 都取 1990–2019 年的平均，不随时间变。
- 数据：PWT 的资本存量、投资率，是估算出来的，有修订；名义投资率和资本存量，口径不一致（第三步已经看到）；资本份额里，包含了不是资本的收入。
- 校准：只有一个自由参数 g，而且它是"反推"的；用同一个 g，预测不了；换成各国自己的 g，等于是把残差，吸收进了 g。
- 跨国回归：58 个国家，是一个规则选出的、不随机的样本；投资率是内生的；一个极端的点，就能改变 R²。
参考
- Solow, R. M. (1956). A contribution to the theory of economic growth. Quarterly Journal of Economics, 70(1), 65–94.
- Mankiw, N. G., Romer, D., & Weil, D. N. (1992). A contribution to the empirics of economic growth. Quarterly Journal of Economics, 107(2), 407–437.
- Feenstra, R. C., Inklaar, R., & Timmer, M. P. (2015). The next generation of the Penn World Table. American Economic Review, 105(10), 3150–3182.
- Hsieh, C.-T., & Klenow, P. J. (2007). Relative prices and relative prosperity. American Economic Review, 97(3), 562–585.
- Abel, A. B., Mankiw, N. G., Summers, L. H., & Zeckhauser, R. J. (1989). Assessing dynamic efficiency: Theory and evidence. Review of Economic Studies, 56(1), 1–19.
- Phelps, E. S. (1961). The golden rule of accumulation: A fable for growthmen. American Economic Review, 51(4), 638–643.