习题 81 选择、成本与市场势力（Unit 3–4）

这是第二套习题，对应 Unit 3 和 Unit 4，也就是第 10 讲到第 17 讲：消费者和企业怎么选，以及企业有了市场势力之后会怎样。一共 31 道题，每道题都有完整的解答。

做法和习题 80 一样，这里再说一遍，免得你翻回去找。

怎么用这套题

先做，再看。 拿一张纸，每道题先写下你自己的答案，哪怕只是一个方向，再去看解答。这一部分的题，很多是"一步一步算"的题。算的过程比答案重要：你会在中间某一步发现自己把边际收益和价格弄混了。

难度。

• ★ 巩固：直接用一个定义，或者一步计算。
• ★★ 标准：两三步，或者要你自己把一段现实的话翻译成模型。
• ★★★ 挑战：要把几讲拼在一起，或者里面藏着一个陷阱。

题型。 判断辨析、计算、建模，以及四道代码题（标"代码"）。代码题的代码是独立的完整程序，只需要 Python 3 和 NumPy，不用接着前面写。

解答。 每题分四步：思路、过程、答案、常见错误。

争议话题。 这套题里有几道涉及现实中有争论的问题（最低工资、价格歧视、平台是否该管）。这些题的答案只给事实部分：理论预测什么、数字怎么算、证据能支持什么。该怎么选，是价值判断，题里会明说，答案里不替你选。

数字。 所有计算题的数字都用代码核对过；代码题的输出就是代码实际跑出来的。题里的场景和数字都是为练习设计的示意，不对应真实的统计数据。

题目

第一部分　消费者选择（第 10 讲）

题 1（★★）预算线，和一条折线

你每月有 300 元，只买两样东西：书（30 元/本）和咖啡（10 元/杯）。

（1）画出预算线：两个截距是多少？斜率是多少，它的含义是什么？

（2）月预算变成 450 元，预算线怎么动？咖啡涨到 15 元，书价不变，又怎么动？

（3）咖啡店推出数量折扣：每月前 10 杯 10 元/杯，超过 10 杯的部分 5 元/杯。写出预算线的两段，并找出拐点。

（4）有人想买 6 本书和 12 杯咖啡。在没有折扣时，这个组合刚好花完 300 元。有了（3）的折扣，这个组合买得起吗？

题 2（★★）一个最优选择

你有 240 元，买咖啡（x，4 元/杯）和蛋糕（y，6 元/块）。你的"满足感"是 U = x × y（这是为了手算方便的玩具，不是真实的偏好）。

（1）最优选择是多少？验证最优点上"边际替代率 = 价格比"，以及"每块钱买到的边际满足感"在两样东西上相等。

（2）如果把满足感换成 U = ln x + ln y，最优选择会变吗？为什么？

（3）咖啡涨到 8 元，最优选择变成多少？再算 12 元时咖啡的需求量，写出咖啡的需求函数。

（4）收入变成 360 元（价格是原来的 4 元和 6 元），最优选择是多少？收入弹性是多少？

题 3（★★★）把涨价的效应拆开

接着题 2。咖啡从 4 元涨到 8 元，蛋糕仍是 6 元，收入仍是 240 元。

（1）总效应：咖啡的需求量变化多少？

（2）补偿后的组合：在新价格下，要多少收入才能让你仍然得到原来的满足感（U = 600）？补偿后你会买多少咖啡和蛋糕？

（3）替代效应和收入效应各是多少？

（4）这个拆分，在真实数据里能直接看到吗？

题 4（★★★）代码：偏好不同，最优选择长得不一样

用代码在预算线上做网格搜索，比较三种偏好：

• U = x × y（两样都要）；
• U = x + 2y（完全替代：1 个 y 等于 2 个 x，可以互相换）；
• U = min(x, 2y)（完全互补：x 和 y 必须按 2 : 1 一起用，像左脚鞋和右脚鞋）。

收入 240 元，价格 (x, y) 分别取 (4, 6)、(4, 10)、(4, 2)。

（1）写代码，输出每种偏好、每组价格下的最优选择。

（2）解释：为什么完全替代时，最优选择会出现"只买一样"？为什么完全互补时，价格变了，买的比例却不变？

题 5（★）判断题：这些话对吗

判断对错，并用一两句话说明理由。

（a）无差异曲线越靠右上方，代表的满足感越高。

（b）把效用函数 U = xy 换成 U = (xy)³，最优选择会变。

（c）在两条边都买了一些的最优点上，边际替代率等于价格比。

（d）涨价的收入效应，一定使需求量下降。

（e）从价格和销量的数据里，可以直接看出替代效应和收入效应各是多少。

（f）愿付价可以近似看成"边际满足感折成钱"，前提是这样东西只占你预算的很小一部分。

第二部分　成本（第 11 讲）

题 6（★★）一家店的成本表

一家奶茶店，固定成本每天 200 元（租金），每个工人每天工资 80 元。雇第 1 到第 6 个工人时，每人的边际产量（多做的杯数）依次是 10、25、35、30、20、10。

（1）列出雇 1 到 6 个工人时，每天的总产量、总成本、边际成本、平均可变成本和平均成本。

（2）平均可变成本最低是多少？平均成本最低是多少？各在雇几个工人时？

（3）边际成本和平均成本的关系，在这张表里是怎么体现的？

题 7（★★）规模与学习曲线

三种工厂，各有各的成本：小厂每天固定成本 100 元，每件可变成本 6 元，最多做 50 件；中厂固定成本 300 元，每件 4 元，最多 200 件；大厂固定成本 900 元，每件 2.5 元，最多 800 件。产量超过一家厂的产能，就多开几家同样的厂。

（1）日产量分别是 50、100、200、400、800、1600 件时，长期里最低的平均成本是多少？

（2）最小有效规模是多少？哪几段是规模经济？

（3）另一家企业每月产量固定在 100 件，但随着累计产量翻倍，单位成本下降 15%：累计 1 件时 100 元。累计产量 1、2、4、8、16 件时，单位成本各是多少？这是规模经济吗？

题 8（★★）已经装修了，要不要继续

你开了一家店，装修花了 18 万元。设备现在二手能卖 4 万元，如果继续营业 6 个月，设备就只值 2 万元了。店租每月 3 万元，租约还有 6 个月，不能提前退，也转租不出去。店每月的营业收入是 6 万元，变动成本（原料、人工）4.5 万元。

（1）接下来的 6 个月，继续营业还是现在关店？

（2）6 个月后租约到期，要不要续租（条件不变）？

（3）装修的 18 万元，在这两个决定里起什么作用？

（4）朋友说：“装修花了 18 万，现在关店太可惜了。“你怎么回应？

第三部分　完全竞争（第 12 讲）

题 9（★★）一家竞争性企业

一家企业的总成本是 TC = 100 + 4q + 0.01q²（q 是产量，固定成本 100 是沉没的），它是价格接受者。

（1）求边际成本。价格是 10 时，它生产多少，利润多少？

（2）平均成本最低在哪个产量？最低是多少？

（3）写出这家企业的短期供给曲线。价格低于多少时它停产？

（4）价格是 5 时，它该生产还是停产？盈亏多少？

题 10（★★）开工，还是停业

继续用题 6 的奶茶店（固定成本 200 元，工人 80 元/天，边际产量 10、25、35、30、20、10）。价格分别是 3、3.5、5、6、8 元一杯。

（1）每个价格下，应该雇几个人？总产量和利润（含固定成本）是多少？

（2）如果 200 元租金退不了（沉没），哪些价格下应该开工？

（3）如果租约可以退（固定成本可避免），哪些价格下应该开工？

（4）这家店什么价格下经济利润刚好为零？这个价格在成本曲线上是什么点？

题 11（★★★）长期，进入和退出

题 9 里的企业，是一个行业里众多相同企业中的一个。市场需求是 Q = 5000 − 400P。

（1）长期均衡：价格、每家企业的产量、企业数各是多少？

（2）假如现在行业里只有 20 家企业，价格、每家的产量和利润各是多少？接下来会发生什么？

（3）需求增加到 Q = 6200 − 400P，企业数是 26 家不变：价格、每家产量、利润是多少？长期呢？

（4）有人说"长期零利润，企业白忙活，为什么还有人愿意开店”。你怎么回答？

题 12（★）判断题：这些话对吗

判断对错，并说明理由。

（a）边际成本曲线穿过平均成本曲线的最低点。

（b）短期里，价格低于平均成本，企业就应该马上停产。

（c）完全竞争企业为了利润最大，会选平均成本最低的产量。

（d）长期均衡里企业的经济利润为零，所以企业都会退出。

（e）固定成本都是沉没成本。

（f）学习曲线说的，就是规模经济。

（g）价格接受者面对的需求曲线是水平的。

第四部分　要素市场（第 13 讲）

题 13（★★）该雇几个人

一家店雇人，第 1 到第 6 个人的边际产量依次是 30、40、36、24、14、6（杯/天），每杯卖 5 元。

（1）算每个工人的边际产量收益（MRP）。工资是 100 元/天时，雇几个人？工资是 130 元时呢？

（2）每杯涨到 8 元，两种工资下各雇几个人？

（3）前两个工人的边际产量在上升，为什么决策仍然是看 MRP 和工资的比较？

题 14（★★★）买方垄断与最低工资

一个县城里只有一家大工厂招工。工厂对劳动的边际产量收益是 MRP = 70 − 0.2L，劳动供给是工资 w = 10 + 0.1L（L 是人数）。

（1）如果劳动市场是竞争的：工资和就业各是多少？工人剩余和雇主剩余各是多少？

（2）工厂是买方垄断者：它雇多少人，付多少工资？总剩余损失多少？

（3）政府规定最低工资 28、30、35、40 元。每种情况下就业、失业、工人剩余和雇主剩余各是多少？

（4）什么条件下最低工资会增加就业？这个模型是不是说"最低工资总是好的”？

题 15（★★）工资税，谁在付

接着题 14，但劳动市场是竞争的：MRP = 70 − 0.2L，供给 w = 10 + 0.1L。政府对雇主每雇一个人征 6 元的社保缴费。

（1）就业、工人到手的工资、雇主的实际成本各是多少？

（2）工人承担了这 6 元的几分之几？为什么？

（3）如果规定由工人交这 6 元，结果变吗？

（4）无谓损失是多少？

题 16（★★★）劳动供给：收入效应与替代效应

每天有 16 小时，你的满足感是 U = 消费 × 闲暇，消费 = 工资 × 工作小时 + 其他收入。

（1）没有其他收入时，工资是 10、20、40 元，你每天工作几小时？

（2）有 80 元不劳而获的收入（其他收入 = 80）时，工资是 10、20、40、80 元，各工作几小时？

（3）有每天 80 元的固定开支（其他收入 = −80）时呢？

（4）把（1）（2）（3）对比，说明替代效应和收入效应是怎么起作用的。

第五部分　垄断（第 14 讲）

题 17（★★）山顶的另一家店

一家店有垄断地位。需求是 P = 80 − 0.2Q，边际成本 20 元，固定成本每天 1000 元。

（1）垄断者卖多少、定价多少、利润多少？

（2）这个价格处的需求弹性是多少？验证勒纳指数 = 1/|弹性|。

（3）和竞争（价格 = 边际成本）相比，消费者剩余、无谓损失各是多少？

（4）如果固定成本是 5000 元，垄断者会进入吗？社会应该希望它进入吗？

题 18（★★★）一项税，价格涨多少

接着题 17 的需求，但不考虑固定成本。政府对每件商品征 10 元的税，相当于边际成本从 20 元涨到 30 元。

（1）线性需求下，垄断者的价格涨多少？传导了税的几分之几？

（2）如果需求弹性处处是 3（Q = kP⁻³），垄断者的价格涨多少？

（3）完全竞争时呢？

（4）有人观察到：“税 10 元，商品价格涨了 15 元。“这能证明这个市场有垄断者吗？

题 19（★★★）自然垄断：三种价格

一座观景电梯，固定成本每天 10,000 元，每多载一位乘客的边际成本是 10 元。需求是 P = 100 − 0.1Q。

（1）不管它：价格、乘客数、利润、消费者剩余各是多少？

（2）规定价格 = 平均成本（收支平衡）：价格、乘客数、消费者剩余各是多少？

（3）规定价格 = 边际成本，政府补贴亏损：乘客数、补贴、消费者剩余各是多少？

（4）比较三种做法的总剩余。补贴的钱要靠征税来筹，每筹 1 元税会带来多少无谓损失，才会让（3）不如（2）？

（5）这三种办法，各有什么现实中的问题？

第六部分　价格歧视（第 15 讲）

题 20（★★★）两类顾客，两个价格，还是一个价格

一家店卖同一种商品，边际成本 4 元。两类顾客：A 类的需求是 Q = 60 − 3P，B 类是 Q = 40 − 4P。

（1）店主能分辨两类顾客，各定一个价（三级价格歧视）：价格、销量、利润各是多少？

（2）店主不能分辨，只能定一个价：价格、销量、利润各是多少？

（3）两种情况下，A 类、B 类的消费者剩余各是多少？谁赢谁输？

（4）总剩余在哪种情况下更高？为什么总销量一样，总剩余却不一样？

题 21（★★★）软件的两个版本

一家软件公司有基础版（成本 0）和专业版（成本 10 元）。两类用户各 100 人：专业用户对基础版愿付 100 元，对专业版 180 元；休闲用户对基础版愿付 60 元，对专业版 65 元。公司分不出谁是谁。规则：两个选项的剩余相同，用户选更贵的；剩余都为负就不买。

（1）只卖专业版，最好定价多少？利润多少？只卖基础版呢？

（2）设计一个两个版本的菜单，让利润比（1）高。最优的菜单是什么？

（3）为什么专业版不能定在 180 元？

（4）如果公司能分辨用户，利润是多少？分不出来，损失的这部分叫什么？

题 22（★★）两部制：入场费加单价

一座游乐园，每次玩一个项目的边际成本是 1 元。顾客对项目的需求是 q = 12 − p（p 是每个项目的单价，q 是玩的个数）。

（1）有 100 位这样的顾客。只收单价，最好定多少？利润多少？

（2）改成"入场费 + 每个项目的单价”，最好怎么定？利润多少？

（3）现在顾客分两类：100 位"爱玩的”（q = 12 − p）和 500 位"一般的"（q = 6 − p）。只收单价，最好定多少、利润多少？两部制又怎么定？为什么单价会定在 1 元以上？

题 23（★★★）代码：机票该留几个座位

一班飞机有 100 个座位。早订的人愿意付 200 元，而且人很多，足够坐满。晚到的人愿意付 600 元，人数不确定：在 10 到 50 之间的整数，每个值的可能性相同。如果早订的人把座位订光了，晚到的人就买不到。

（1）用代码求：留多少个座位给晚到的人，期望收入最高？

（2）验证规则：“只要晚到的人数超过当前留座数的概率，大于早订价 ÷ 晚到价，就再多留一个。”

（3）空座很多的时候，临近起飞的价格应该涨还是降？为什么？

题 24（★★）“杀熟”：用四步写一段话

一家平台被用户发现：同样的商品，老用户看到的价格比新用户高。有人说"这就是价格歧视，应该禁止"，也有人说"这只是动态定价，企业有定价自由"。

请按"理论预测 → 证据与局限 → 分歧在哪 → 价值判断留给读者"写一段话。注意：事实和价值判断要分开写。

第七部分　寡头（第 16 讲）

下面几道题用同一个市场：需求 P = 90 − Q，边际成本 30 元，没有固定成本。

题 25（★★）Cournot：几家企业，价格多高

（1）一家企业（垄断）、两家、三家、五家的 Cournot 均衡：每家产量、总产量、价格、每家利润各是多少？完全竞争是多少？

（2）两家时，验证"加价率 = HHI ÷ 市场弹性"。

（3）两家企业成本不同：甲 30 元，乙 36 元。Cournot 均衡里，各自的产量、价格、利润是多少？谁的份额大？

（4）两家企业合谋，各生产垄断产量的一半，每家利润多少？如果对方守约，我偷偷多产，最多能赚多少？写出这个博弈的收益表，说明为什么合谋不稳。

题 26（★★★）价格竞争，与产能

（1）两家企业生产同质产品，价格竞争（Bertrand）。成本都是 30 元，价格会定在哪？

（2）成本不同：甲 30 元，乙 36 元。价格和谁卖出去、各赚多少？

（3）现在两家企业先各建 20 单位的产能（不能超），再同时定价。验证（价格 50，价格 50）是一个均衡。

（4）如果产能各是 30 单位，（价格 30，价格 30）还是均衡吗？

题 27（★★★）两家合并，划算吗

三家相同的企业（成本 30 元）做 Cournot 竞争。其中两家合并。

（1）合并前后，合并的两家的利润之和是多少？没合并的那家呢？

（2）合并后价格、总产量怎么变？

（3）合并前后 HHI 是多少？

（4）要多大的成本节约，合并才划算？要多大的节约，价格才不涨？

题 28（★★）先行者与进入威慑

（1）甲先定产量，乙看到后再定（Stackelberg）。结果是什么？

（2）一个潜在进入者，进入的固定成本是 F。甲不做承诺时，F 多大以下乙会进入？

（3）F = 150。甲可以先建好 q 单位的产能并承诺使用，可以让乙不进入吗？最少建多少？甲的利润是多少，比让乙进入好吗？

（4）F = 10 呢？

第八部分　平台与网络效应（第 17 讲）

题 29（★★★）代码：临界规模

一个新社交软件。每个人单独使用的价值服从正态分布（均值 0.3，标准差 0.12）；已经用的人占比为 n 时，每个人从网络中得到的价值是 0.8n。一个人愿意用，当且仅当"单独价值 + 网络价值 ≥ 价格"。

（1）价格 0.7 时，用代码找出所有不动点（下一轮的人数占比 = 现在的），并判断哪些稳定。

（2）从不同的起点出发，最后会停在哪里？

（3）只在第一轮把价格降到 p1，之后恢复 0.7，从没有人用开始，p1 要多低才能让软件"活"起来？

（4）这个结果说明了什么，对"补贴拉新"有什么启发？

题 30（★★★）代码：双边定价

一个撮合 A、B 两边的平台，每服务一个用户的成本是 0.2。A 边的参与率是 n_A = 1 − p_A + a·n_B，B 边是 n_B = 1 − p_B + b·n_A（a 表示 A 有多看重 B，b 表示 B 有多看重 A）。

（1）用代码求几组 (a, b) 下，平台最优的价格 (p_A, p_B) 和利润。

（2）和"两边都收同一个价 0.6"比，利润差多少？

（3）总结：平台对哪一边收得少？为什么？

题 31（★★）平台要求商家"只能在我这里卖"：四步写

一家大平台要求商家不得同时在其他平台上架（“独家”）。

按"理论预测 → 证据与局限 → 分歧在哪 → 价值判断留给读者"写一段话。这道题是假设情境，不对应任何真实案件；写的时候要分清哪些是理论上可能发生的，哪些需要数据去查。

解答

第一部分　消费者选择

题 1 解答

思路。 预算线：花完全部收入的所有组合。斜率是两种东西的价格比，也就是市场的换算率。

过程与答案。

（1）书最多买 300 ÷ 30 = 10 本，咖啡最多买 300 ÷ 10 = 30 杯。斜率是 −30 ÷ 10 = −3：多买 1 本书，要少 3 杯咖啡。这是市场给的换算率：1 本书的价钱等于 3 杯咖啡的价钱。

（2）月预算 450 元：截距变成 15 本、45 杯，平行外移（斜率不变）。咖啡涨到 15 元：书的截距不变（10 本），咖啡的截距变成 20 杯，预算线绕着书的截距转动，斜率变成 −2。

（3）咖啡买 x 杯时：x ≤ 10，花 10x，剩下 300 − 10x，买书 (300 − 10x) ÷ 30 本；x > 10，咖啡花 100 + 5(x − 10) = 5x + 50，买书 (250 − 5x) ÷ 30 本。拐点在 10 杯，这时书是 200 ÷ 30 ≈ 6.67 本。咖啡最多买 250 ÷ 5 = 50 杯。第一段的斜率是 −1/3（1 杯咖啡 = 1/3 本书），第二段是 −1/6：咖啡变便宜了，换算率变了。

（4）买 12 杯咖啡，有折扣时花 100 + 10 = 110 元；6 本书花 180 元；合计 290 元，买得起，还剩 10 元。

常见错误。 把数量折扣画成一条斜率更平的直线：折扣只对超过 10 杯的部分有效，所以预算线是折线；或者把"咖啡涨价"画成平行移动。

题 2 解答

思路。 最优点：预算线和无差异曲线相切，边际替代率等于价格比。

过程与答案。

（1）U = xy 的边际替代率 MRS = y/x。令 y/x = 4/6，再代入预算 4x + 6y = 240：y = (2/3)x，4x + 4x = 240，x = 30，y = 20，U = 600。验证：MRS = 20/30 = 2/3 = 4/6 ✓。每块钱的边际满足感：咖啡 MU_x/p_x = y/p_x = 20/4 = 5，蛋糕 MU_y/p_y = x/p_y = 30/6 = 5，相等 ✓。

（2）不会变。 只有"哪个组合更好"的排序有意义（序数效用）。ln x + ln y = ln(xy)，是 xy 的单调变换，排序不变，最优选择不变。

（3）价格 8 元：4 换成 8，MRS = 8/6 = 4/3：y = (4/3)x，8x + 8x = 240，x = 15，y = 20。蛋糕不变，是这套玩具偏好的特点（预算对半分）。一般地，x = 120/p：价格 4 → 30，8 → 15，12 → 10。需求函数 x = 120/p。

（4）收入 360：x = 45，y = 30。收入翻倍的 1.5 倍，需求量也是 1.5 倍，收入弹性是 1。

常见错误。 以为"蛋糕不变"是一般规律，其实是这个玩具效用的特点；或者以为换了效用函数，最优选择就要重算。

题 3 解答

思路。 总效应 = 替代效应 + 收入效应。替代效应：保持满足感不变，只让价格比变；收入效应：剩下的部分。

过程与答案。

（1）总效应：咖啡 30 → 15，−15。

（2）新价格 (8, 6)，要得到 U = 600。在新价格下的最优组合满足 MRS = y/x = 8/6，所以 y = (4/3)x，xy = (4/3)x² = 600，x² = 450，x ≈ 21.21，y ≈ 28.28。花费 8 × 21.21 + 6 × 28.28 ≈ 339.4 元。也就是说，涨价后要 339.4 元才能保持原来的满足感，比 240 元多 99.4 元。

（3）替代效应：从原来的 30 到补偿后的 21.21，−8.79。收入效应：从补偿后的 21.21 到涨价后的实际选择 15，−6.21。合计 −15 ✓。

（4）不能。 数据里只有价格和买了多少，看不到"补偿后"那个假想的组合。这个拆分是思想实验：它帮你想清楚涨价为什么会减少购买，却不是能直接测量的两个数。

常见错误。 把"补偿后的收入"当成现实中会发生的事；把收入效应的符号弄反（涨价让你变穷，正常品的需求下降）。

题 4 解答

思路。 预算线上取一大堆点，每一点算满足感，找最大的。

import numpy as np

INCOME = 240


def best_bundle(utility, px, py, income=INCOME):
    """在预算线上取 4001 个点，找满足感最大的那个组合。"""
    x = np.linspace(0, income / px, 4001)
    y = (income - px * x) / py
    i = np.argmax(utility(x, y))
    return x[i], y[i]


prefs = {
    "x * y（两样都要）": lambda x, y: x * y,
    "x + 2y（完全替代）": lambda x, y: x + 2 * y,
    "min(x, 2y)（完全互补）": lambda x, y: np.minimum(x, 2 * y),
}

for name, u in prefs.items():
    print(name)
    for px, py in ((4, 6), (4, 10), (4, 2)):
        x, y = best_bundle(u, px, py)
        print(f"  价格 ({px}, {py})：最优 x = {x:5.1f}，y = {y:5.1f}，满足感 {u(x, y):7.1f}")

输出：

x * y（两样都要）
  价格 (4, 6)：最优 x =  30.0，y =  20.0，满足感   600.0
  价格 (4, 10)：最优 x =  30.0，y =  12.0，满足感   360.0
  价格 (4, 2)：最优 x =  30.0，y =  60.0，满足感  1800.0
x + 2y（完全替代）
  价格 (4, 6)：最优 x =   0.0，y =  40.0，满足感    80.0
  价格 (4, 10)：最优 x =  60.0，y =   0.0，满足感    60.0
  价格 (4, 2)：最优 x =   0.0，y = 120.0，满足感   240.0
min(x, 2y)（完全互补）
  价格 (4, 6)：最优 x =  34.3，y =  17.1，满足感    34.3
  价格 (4, 10)：最优 x =  26.7，y =  13.3，满足感    26.7
  价格 (4, 2)：最优 x =  48.0，y =  24.0，满足感    48.0

过程与答案。

（1）见上面的输出。

（2）U = xy：(4, 6) 时 (30, 20)，(4, 10) 时 y 只剩 12，x 始终是 30（预算对半分）。完全替代 U = x + 2y：每块钱买到的满足感，咖啡是 1/4，蛋糕是 2/6 ≈ 0.33，蛋糕更划算，全买蛋糕（40 块）。蛋糕涨到 10 元，每块钱 2/10 = 0.2，不如咖啡的 0.25，全买咖啡（60 杯）。这是角点解：边际替代率恒为常数（2），不会刚好等于价格比，最优点在端点上。完全互补 U = min(x, 2y)：只买 x 和 y 成 2 : 1 的组合才有用，所以不管价格怎么变，买的比例总是 x = 2y，价格变只影响买多少。（价格 (4, 10) 时 26.7 杯、13.3 块。）

常见错误。 以为最优点一定是"相切"：这只在两样都买一点的内点解成立；完全替代时，最优点常在端点。

题 5 解答

（a）对。 这是无差异曲线的基本性质：越往右上，两样东西都更多。

（b）错。 (xy)³ 是 xy 的单调变换，只改变数字大小，不改变排序，最优选择不变（序数效用）。

（c）对。 这是"边际替代率 = 价格比"的相切条件，成立于两样都买的内点解。

（d）错。 对正常品，涨价让人变穷，需求量下降；但对低档品，变穷反而多买，收入效应使需求量上升。极端情形下，收入效应压倒替代效应，就是吉芬商品。

（e）错。 数据里只有价格和数量。替代效应和收入效应是思想实验里的拆分，不能直接测量。

（f）对。 占预算很小时，花这笔钱对你的"钱的边际价值"几乎没影响，愿付价才近似于边际满足感折成钱。占预算很大的东西（房租）要考虑收入效应。

第二部分　成本

题 6 解答

思路。 总成本 = 固定成本 + 工人数 × 工资；边际成本 = 工资 ÷ 边际产量；平均成本 = 总成本 ÷ 产量。

过程与答案。

（1）

（2）平均可变成本最低 3.20，在雇 4 个人、100 杯时。平均成本最低 5.00，在雇 5 个人、120 杯时。

（3）边际成本低于平均（可变）成本的时候，平均成本在下降；高于的时候，平均成本在上升；边际成本穿过平均成本的最低点。看表：雇第 4 人，边际成本 2.67 < AVC（3.43 → 3.20，下降）；雇第 5 人，边际成本 4.00 > 3.20（AVC 3.20 → 3.33，上升）。AC 的最低点在第 5 人，第 5 人的边际成本 4.00 还低于 AC 5.20，所以 AC 仍在降到 5.00；第 6 人的边际成本 8.00 高于 5.00，AC 回升。这和"新来的人比平均分低，平均分就降"是一个道理。

常见错误。 以为平均成本最低的产量，就是利润最大的产量（第 12 讲已经纠正过这个想法）；或者忘了边际成本是"多做一杯"的成本，不是"总成本 ÷ 人数"。

题 7 解答

过程与答案。

（1）每个产量，分别算三种厂的总成本（超产能就多开几家），取最低。

（2）最小有效规模 = 800 件（平均成本降到最低的最小产量）。从 50 到 800，平均成本一路下降，是规模经济；800 到 1600，平均成本不变（复制一家大厂），是规模报酬不变。

（3）单位成本：累计 1、2、4、8、16 件时，100、85、72.25、61.41、52.20 元。这不是规模经济：每月产量一直是 100 件（规模没变），成本下降是因为累计经验在增加。规模经济看"每期做多少"，学习曲线看"一共做过多少"。

常见错误。 把"产量增加、成本下降"都叫规模经济；忘了超过产能时要复制工厂，而不是继续用大厂硬撑。

题 8 解答

思路。 只比较未来能改变的成本和收益。

过程与答案。

（1）租约退不了，接下来 6 个月的租金 3 万 × 6 = 18 万不管怎样都要付。把两种做法都算到 6 个月后：继续营业：收入 6 × 6 = 36 万，变动成本 4.5 × 6 = 27 万，租金 18 万，6 个月后卖设备 2 万，合计 36 − 27 − 18 + 2 = −7 万。现在关店：没有收入和变动成本，租金 18 万，现在卖设备 4 万，合计 −18 + 4 = −14 万。继续营业少亏 7 万，继续。

（2）续租：每月收入 6 万，变动成本 4.5 万，租金 3 万，每月亏 1.5 万。不续（除非你预期营业收入会上升）。

（3）装修的 18 万元不起作用。无论继续还是关店，它都已经花出去了，两种做法的差别里没有它。

（4）回应：“花掉的 18 万，不管我怎么选都已经没了。我要比较的是，从今天起，继续做和不做，哪个结果更好。从今天看，继续 6 个月少亏 7 万，所以继续；但到期不续，因为那时每个月都在亏。”

常见错误。 把装修的 18 万算进"继续营业的成本"，或者算进"关店的损失"；或者把 18 万租金只算进"关店的损失"，不算进"继续营业"的成本。（租金两边都要付，所以不影响比较。）

第三部分　完全竞争

题 9 解答

过程与答案。

（1）MC = 4 + 0.02q。价格接受者令 P = MC：10 = 4 + 0.02q，q = 300。利润 = 收入 − 总成本 = 3000 − (100 + 1200 + 900) = 800。

（2）平均成本 AC = 100/q + 4 + 0.01q，最低点令 AC = MC：100/q + 4 + 0.01q = 4 + 0.02q，即 100/q = 0.01q，q² = 10000，q = 100，AC = 1 + 4 + 1 = 6。

（3）P = MC 解出 q = (P − 4)/0.02 = 50(P − 4)，在价格不低于 AVC 最低点（AVC = 4 + 0.01q，最低是 4）时成立。价格低于 4 时停产。

（4）P = 5：q = 50，总成本 = 100 + 200 + 25 = 325，收入 250，利润 −75。停产的话亏固定成本 −100（沉没）。亏 75 比亏 100 好，所以生产（5 > 4，价格高于平均可变成本）。

常见错误。 用 AC 最低点的产量当作利润最大的产量；停业规则用 AC 比较，而不是 AVC。

题 10 解答

思路。 每个价格下，雇到"MC ≤ 价格"的最后一个人；或者直接比较各档利润。

过程与答案。

（1）

（2）租金退不了（沉没）：停产也要亏 200，所以只要价格不低于 AVC 最低点 3.20 就应开工。价格 3.5、5、6、8 开工；价格 3 停产。3.5 时亏 170，比停产亏 200 少亏 30。

（3）租金可避免（退出时可以不付）：停产亏 0。价格 3.5 开工亏 170，不如停；价格 5 刚好打平（可开可不开）；价格 6 和 8 开工。这时的门槛是 AC 最低点 5.00。

（4）经济利润刚好为零的价格是 5.00，它在平均成本曲线的最低点（120 杯）。

常见错误。 把租金当作"可变"，或者忘了短期里固定成本沉没时，开工的门槛是 AVC，不是 AC。

题 11 解答

思路。 长期均衡：价格 = 平均成本最低点，企业利润为零，数量由需求决定。

过程与答案。

（1）长期价格 = AC 最低点 = 6。每家 q = 100。需求 Q = 5000 − 2400 = 2600，企业数 2600 ÷ 100 = 26 家。

（2）每家供给 q = 50(P − 4)，20 家总供给 1000(P − 4)。令 1000(P − 4) = 5000 − 400P，P = 6.43，每家 q = 121.4，利润 = 6.43 × 121.4 − (100 + 4 × 121.4 + 0.01 × 121.4²) = 47.5，为正。正利润会吸引新企业进入，企业数增加，价格下降，最终回到 26 家、价格 6。

（3）需求增加后，26 家不变：26 × 50 (P − 4) = 6200 − 400P → P = 6.71，每家 q = 135.3，利润 83.0。短期里价格涨、利润为正；这会吸引进入，企业数增加。长期：价格回到 6，每家 100，总量 6200 − 2400 = 3800，企业数 38 家。

（4）零经济利润不是不赚钱：企业的会计利润刚好等于它的隐性成本（老板的时间、自有资金的最好用途）。老板拿到的和他的次优选择一样多，所以愿意留下。零利润也是均衡的意思：如果有更多利润，会有人进来；如果有亏损，会有人退出。

常见错误。 以为长期价格由需求决定（它由成本决定，需求只决定企业数）；把零经济利润理解成零收入。

题 12 解答

（a）对。 边际成本低于平均成本时，平均成本下降；高于时上升；所以边际成本在平均成本的最低点穿过它。

（b）错。 短期里，固定成本沉没，只要价格高于平均可变成本，开工就比停产亏得少。价格低于平均成本、高于平均可变成本时，应该开工。

（c）错。 利润最大的产量是 P = MC。平均成本最低的产量，只在长期零利润时才是均衡产量。

（d）错。 零经济利润是均衡：企业赚到的刚好等于最好的其他选择，没有人想进也没有人想退。

（e）错。 固定成本是不随产量变，沉没成本是做决定时已经收不回。两个维度：能退的租约是固定但可避免的。

（f）错。 学习曲线说的是累计产量带来的经验；规模经济说的是每期产量增加带来的平均成本下降。

（g）对。 价格接受者面对的需求是水平的（完全弹性），他多卖一杯，边际收益等于价格。

第四部分　要素市场

题 13 解答

思路。 要素需求是派生需求：多雇一个人，多出来的产出卖了多少钱，和工资比。

过程与答案。

（1）每杯 5 元：MRP = 5 × MP：150、200、180、120、70、30。工资 100：雇到 MRP ≥ 100 的最后一个，前 4 个（150、200、180、120）都 ≥ 100，第 5 个 70 < 100，雇 4 人。工资 130：前 3 个 ≥ 130，第 4 个 120 < 130，雇 3 人。

（2）每杯 8 元：MRP = 240、320、288、192、112、48。工资 100：雇 5 人（112 ≥ 100，48 < 100）。工资 130：雇 4 人（192 ≥ 130，112 < 130）。产品价格上涨，要素需求同时上升。

（3）MP 先升后降，MRP 也是先升后降。规则是：雇到最后一个 MRP 不低于工资的人。要小心的是，如果工资很高，开头几个人的 MRP 可能还低于工资，而后面几个人更值钱，这时不能看到第 1 个人不值得就停，要比较总利润。本题工资 100、130 时，第 1 个人的 MRP（150）已经高于工资，所以不会碰到这个问题。（总利润：工资 100 雇 4 人，收入 5 × 130 = 650，工资 400，利润 250。）

常见错误。 只比较第 1 个人的 MRP 和工资；忘了产品价格是 MRP 的一部分。

题 14 解答

思路。 竞争：MRP = 工资。买方垄断：雇主知道多雇一个人要给所有人涨工资，所以看边际要素成本（MFC）。

过程与答案。

（1）令 70 − 0.2L = 10 + 0.1L：L = 200，w = 30。工人剩余 = 30 × 200 − (10 × 200 + 0.05 × 200²) = 2000；雇主剩余 = (70 × 200 − 0.1 × 200²) − 6000 = 4000；总 6000。

（2）总工资 = wL = (10 + 0.1L)L，MFC = 10 + 0.2L。令 MFC = MRP：10 + 0.2L = 70 − 0.2L，L = 150，工资 w = 10 + 15 = 25（此时 MRP = 40）。工人剩余 1125，雇主剩余 4500，总 5625，损失 375。

（3）最低工资 w̄：工厂想雇 L_d = (70 − w̄)/0.2，愿来的是 L_s = (w̄ − 10)/0.1，成交是两者较小者。

（4）最低工资设在 25 到 30 之间，就业增加：25 以下不起作用（工厂本来就付 25），28 时就业从 150 增到 180，30 时到 200，总剩余也上升。超过竞争工资 30 之后，就业开始下降：35 时 175 人，40 时回到 150 人，和没有最低工资一样，再往上更少。这个模型不是说"最低工资总是好的"：它说的是，在买方垄断下，适度的最低工资可能增加就业；定得太高，就会减少就业。现实中劳动市场有多大程度是买方垄断，“看不见的竞争工资"在哪，是需要证据判断的事实问题（第 13 讲），最低工资该不该提高、提到哪，涉及价值判断。

常见错误。 把买方垄断者的雇用量定在 MRP = 工资（那是竞争的做法）；或者把"某个最低工资增加就业"当成"最低工资越高越好”。

题 15 解答

思路。 税在雇主的付出和工人的到手之间，楔进一个差。

过程与答案。

（1）雇主愿付的是 MRP − 6，工人要的是 w：70 − 0.2L − 6 = 10 + 0.1L，L = 180，工人到手 28，雇主实际成本 28 + 6 = 34。

（2）工人的工资从 30 降到 28，工人承担 2，占 6 的 1/3；雇主成本从 30 升到 34，承担 4，占 2/3。原则：更"走不开"（弹性小）的一方承担得多。这里需求曲线的斜率（0.2）比供给曲线（0.1）更陡，所以雇主承担得多。比例 = 供给斜率 ÷ (供给斜率 + 需求斜率) = 0.1 ÷ 0.3 = 1/3。

（3）不变。 谁交只是记账方式，经济归宿不变（第 9 讲）。

（4）无谓损失 = ½ × 6 × (200 − 180) = 60。

常见错误。 以为"雇主交的税，就由雇主承担"。

题 16 解答

思路。 最大化 (wh + V)(16 − h)，h 是工作小时，V 是其他收入。一阶条件：w(16 − h) = wh + V，解出 h = 8 − V/(2w)。

过程与答案。

（1）V = 0：不论工资，h = 8。工资涨了，替代效应使你多工作（闲暇更贵），收入效应使你少工作（更富了），两者恰好抵消。这是这套玩具偏好的特点。

（2）V = 80：h = 8 − 40/w：工资 10 → 4 小时，20 → 6，40 → 7，80 → 7.5。工资越高，工作越多，趋近 8。

（3）V = −80：h = 8 + 40/w：工资 10 → 12 小时，20 → 10，40 → 9，80 → 8.5。工资越高，工作越少。

（4）（1）里两个效应恰好抵消。（2）里你有一份"不劳而获"的收入，更富了，工资低时愿意多享受闲暇；工资升高，闲暇变贵（替代效应）逐渐占上风，所以工作时间随工资上升。（3）里有固定开支，你很"穷"，工资低时要靠多工作才能维持消费，工资升高，收入效应占上风，你可以少工作。工资涨，工作时间是增是减，不是理论一定的，取决于两种效应谁更强。

常见错误。 以为"工资涨，一定多工作"；以为这套玩具的"恒为 8 小时"是现实规律。

第五部分　垄断

题 17 解答

过程与答案。

（1）MR = 80 − 0.4Q，令 MR = MC = 20：Q = 150，P = 80 − 30 = 50。利润 = 150 × (50 − 20) − 1000 = 3500。

（2）需求 Q = 400 − 5P，弹性 |E| = 5 × 50/150 = 1.67。勒纳指数 (P − MC)/P = 30/50 = 0.6 = 1/1.67 ✓。垄断者在需求富有弹性（|E| > 1）的区域定价。

（3）竞争：P = MC = 20，Q = 300，消费者剩余 = ½ × 300 × 60 = 9000。垄断：消费者剩余 = ½ × 150 × 30 = 2250，垄断者的差价利润（不含固定成本）= 4500，无谓损失 = ½ × (300 − 150) × 30 = 2250。验证：2250 + 4500 + 2250 = 9000 ✓。

（4）固定成本 5000：垄断者利润 = 4500 − 5000 = −500 < 0，不会进入。社会应不应该希望它进入：价格等于边际成本时，总剩余 = 9000，减去固定成本 5000，仍是 +4000，社会上是值得的。这类"该建但私人不愿建"的情形，就是自然垄断问题（题 19）。

常见错误。 令 P = MC 或令 MR = P；把垄断者的利润和消费者的损失都叫"无谓损失"（转移不是损失）。

题 18 解答

过程与答案。

（1）MC = 30：MR = 80 − 0.4Q = 30，Q = 125，P = 55。价格涨 5，传导 5 ÷ 10 = 50%。

（2）常弹性需求下，垄断者的价格 = MC × ε/(ε − 1) = 1.5 × MC。MC 20 → P = 30；MC 30 → P = 45。价格涨 15，传导 150%。

（3）完全竞争：价格 = MC，传导 100%（在成本不变、供给水平的条件下）。

（4）不能单凭它证明。 垄断者定价能力下，超额转嫁（价格涨幅大于税）是可能的，取决于需求曲线的曲率。但其他原因也能产生同样的现象（比如行业成本随产量变化、数据测量误差）。所以超额转嫁和垄断相容，但不能单凭它断定市场有垄断者。

常见错误。 以为垄断者一定把税全转嫁给买家，或者一定"吃掉"一部分：它取决于需求曲线的形状。

题 19 解答

思路。 三种定价规则：MR = MC（不管）、P = AC（收支平衡）、P = MC（社会最优，但亏损要补贴）。

过程与答案。

（1）MR = 100 − 0.2Q = 10：Q = 450，P = 55。利润 = 450 × 45 − 10000 = 10,250。消费者剩余 = ½ × 450 × 45 = 10,125。总剩余 = 20,375。

（2）P = AC：(100 − 0.1Q)Q = 10Q + 10000，即 0.1Q² − 90Q + 10000 = 0。两个解：Q ≈ 130 或 Q ≈ 770。取大的（乘客多，对社会更好）：Q ≈ 770，P ≈ 22.98。利润 0，消费者剩余 ≈ 29,657，总剩余 = 29,657。

（3）P = MC = 10：Q = 900。每位乘客收 10，刚好抵边际成本，固定成本 10,000 没人付，亏 10,000，需要补贴 10,000。消费者剩余 = ½ × 900 × 90 = 40,500。扣掉补贴后，总剩余 = 40,500 − 10,000 = 30,500（把补贴当成"没有额外代价"）。

（4）如果补贴靠税收筹集，每 1 元税有 λ 元无谓损失，补贴成本 = 10000 × (1 + λ)。（3）的总剩余 = 40,500 − 10,000(1 + λ)，要大于（2）的 29,657：λ < (30,500 − 29,657)/10,000 ≈ 0.084。也就是说，如果每筹 1 元税会带来 8.4 分以上的无谓损失，补贴就不划算了。

（5）不管：价格太高，乘客太少，垄断利润高。P = AC：简单，企业不亏；代价是价格仍高于边际成本，还有 130 位本该上电梯的乘客上不去。P = MC + 补贴：效率最高，但要有税收来源；企业没有压低成本的压力（亏多少补多少），监管者要知道成本，容易被糊弄。这些是第 14 讲讲过的选择：规制价格、补贴、公有，各有各的代价，选哪个，要看你怎么权衡效率、财政和公平。

常见错误。 取了 P = AC 的较小的根（Q ≈ 130）；把补贴当成"免费"；以为 P = MC 一定最好。

第六部分　价格歧视

题 20 解答

思路。 三级价格歧视：每组各自 MR = MC。统一价：先把两类需求加起来，再 MR = MC。

过程与答案。

（1）A：P = 20 − Q/3，MR = 20 − 2Q/3 = 4，Q = 24，P = 12，利润 24 × 8 = 192。B：P = 10 − Q/4，MR = 10 − Q/2 = 4，Q = 12，P = 7，利润 12 × 3 = 36。总利润 228，总销量 36。

（2）合计需求（价格不超过 10，两类都买）：Q = 100 − 7P，即 P = (100 − Q)/7，MR = (100 − 2Q)/7 = 4，Q = 36，P = 64/7 ≈ 9.14。A 买 32.57，B 买 3.43。利润 36 × (9.14 − 4) = 185.1。

（3）

A（愿付价高的）被收更高的价（12 对 9.14），B 被收更低的价（7 对 9.14）；店主拿到的更多。

（4）统一价时总剩余更高，363.4 > 342。总销量都是 36，但分配不同：统一价下，所有买家面对同一个价，边际愿付价相等，这 36 件落在了愿付价最高的人手里；歧视定价下，B 买了 12 件、A 只买 24 件，B 多买的那几件的价值，低于 A 少买的那几件，把货从高价值的人手里移向低价值的人，总剩余降低。这和第 15 讲的结论一致：总销量增加是价格歧视使总剩余增加的必要条件，销量不变，总剩余只会减少。

常见错误。 以为价格歧视一定"更有效率"（因为店主能卖出去更多）；或者忘了统一价时，B 类顾客也是买的（要检查 P < 10）。

题 21 解答

思路。 菜单设计：让专业用户选专业版，休闲用户选基础版，而且每个人都乐意选"给自己设计的"那一个（激励相容）。

过程与答案。

（1）只卖专业版：定 180，只有专业用户买：100 × (180 − 10) = 17,000；定 65，所有人买：200 × 55 = 11,000。最好是 180，利润 17,000。只卖基础版：定 100，只有专业用户买，10,000；定 60，所有人买，200 × 60 = 12,000。最好 60，利润 12,000。

（2）最优菜单：基础版 60 元、专业版 140 元。休闲用户：基础版剩余 0，专业版剩余 65 − 140 < 0，买基础版。专业用户：基础版剩余 100 − 60 = 40，专业版剩余 180 − 140 = 40，相等，选更贵的，买专业版。利润 = 100 × (140 − 10) + 100 × 60 = 13,000 + 6,000 = 19,000，比（1）都高。（用代码把所有价格组合搜了一遍，最优确实是 19,000。）

（3）专业版如果定 180，专业用户买专业版的剩余是 0；但买基础版有剩余 40，他们会降级去买基础版（60 元）。公司既没赚到 180，还把专业用户变成了 60 的客户。所以专业版要降价到 140，让专业用户觉得"升级值得"。

（4）能分辨用户：专业版卖 180（利润 100 × 170 = 17,000），基础版 60（休闲用户，6,000），合计 23,000。分不出来，只能做到 19,000，损失 4,000 = 100 位专业用户 × 40（他们从基础版里获得的"信息租金"）。这 4000，是信息不对称的代价：公司不知道谁是谁，就要让利给"本可以冒充休闲用户"的人（第 15 讲）。

常见错误。 把专业版定成 180，忘了专业用户可以降级；或者以为"多设计几个版本，利润总是更高"（这里是特殊的需求结构使然）。

题 22 解答

过程与答案。

（1）单价 p：每位顾客玩 12 − p 个，边际成本 1，利润 = 100 × (p − 1)(12 − p)，最大化在 p = 6.5，利润 100 × 5.5 × 5.5 = 3025。

（2）单价定在边际成本 p = 1，每人玩 11 个，顾客的消费者剩余 = ½ × 11 × 11 = 60.5；入场费收 60.5（顾客刚好愿意进来）。利润 = 100 × 60.5 = 6050，是单收价格的两倍。

（3）只收单价：最好在 p = 4（爱玩的 8 个，一般的 2 个），利润 100 × 3 × 8 + 500 × 3 × 2 = 2400 + 3000 = 5400。两部制有两种选择：（A）p = 1，入场费 60.5，只有爱玩的进场：6050；（B）入场费定在"一般的"愿意付的最高（½(6 − p)²），所有人进场，再优化单价：p = 2，入场费 ½ × 16 = 8，利润 = 600 × 8 + 100 × (1 × 10) + 500 × (1 × 4) = 4800 + 1000 + 2000 = 7800，更高。所以最优是 B：单价 2 元，入场费 8 元。单价高于边际成本 1 元：入场费受"一般的"顾客限制（他们愿付的最多），所以要靠提高单价，从"爱玩的"身上多赚一些：单价每提高一点，爱玩的人多付，一般的人少玩一点，权衡的最优点在 2 元。

常见错误。 以为两部制总是"单价 = 边际成本 + 入场费 = 全部消费者剩余"：只有顾客同质时才是这样。

题 23 解答

思路。 每多留一个座位给晚到的人，就少卖一个早订票，换来一个"可能卖出的 600 元票"。

CAPACITY = 100
EARLY, LATE = 200, 600                    # 早订价、晚到价
late_demand = range(10, 51)               # 晚到的人数：10 到 50 的整数，每个值可能性相同


def expected_revenue(protect):
    """留 protect 个座位给晚到的人，早订的人最多卖 CAPACITY - protect 个（早订需求足够多）。"""
    early_sold = CAPACITY - protect
    late_sold = sum(min(d, protect) for d in late_demand) / len(late_demand)
    return EARLY * early_sold + LATE * late_sold


best = max(range(0, CAPACITY + 1), key=expected_revenue)
print(f"一个座位都不留：期望收入 {expected_revenue(0):.1f}")
print(f"最优：留 {best} 个，期望收入 {expected_revenue(best):.1f}")
for y in (best - 1, best, best + 1):
    p_more = sum(d > y for d in late_demand) / len(late_demand)
    print(f"留 {y} 个：晚到的人数超过 {y} 的概率 {p_more:.3f}，期望收入 {expected_revenue(y):.1f}")
print(f"门槛：早订价 ÷ 晚到价 = {EARLY / LATE:.3f}")

输出：

一个座位都不留：期望收入 20000.0
最优：留 37 个，期望收入 29268.3
留 36 个：晚到的人数超过 36 的概率 0.341，期望收入 29263.4
留 37 个：晚到的人数超过 37 的概率 0.317，期望收入 29268.3
留 38 个：晚到的人数超过 38 的概率 0.293，期望收入 29258.5
门槛：早订价 ÷ 晚到价 = 0.333

过程与答案。

（1）见上面的输出：留 37 个，期望收入 29,268.3；一个座位都不留，期望收入只有 20,000（所有座位都卖给早订的人，100 × 200）。

（2）门槛是 200 ÷ 600 ≈ 0.333。留 36 个时，晚到人数超过 36 的概率是 0.341 > 0.333，再多留一个有益；留 37 个时，超过 37 的概率是 0.317 < 0.333，再多留就不划算。所以最优是 37，和枚举的结果一致。（这就是 Littlewood 规则，第 15 讲）。

（3）空座很多、晚到的人很少的时候，临近起飞应该降价：空座一旦起飞就作废，边际成本几乎为零，多卖一张 100 元的票也比空着好。这和"临近起飞反而更贵"并不矛盾：贵是因为座位被留给了愿付高价的人；空座太多时，这个逻辑就变了（第 2 讲、第 15 讲的旅行团）。

常见错误。 以为"留得越多越好"；忘了这是在期望意义上最优，具体某一班飞机可能留多了、也可能留少了。

题 24 解答

说明。 这是开放题。下面是一个参考写法，关键是事实和价值分开。

理论预测： 如果平台能根据用户的历史行为判断谁更不在意价格、谁转换成本更高，就会对前者定更高的价，这是第 15 讲讲的价格歧视的一种。它有三种可能的福利效果：高价的用户受损、低价的用户受益、平台的利润上升；总剩余是增加还是减少，取决于总销量是否上升（第 15 讲：销量不变，总剩余只会下降）。证据与局限： 第 15 讲引用的一项研究（一家企业客户的数据，单一公司）发现，个性化定价让公司利润上升，部分消费者的价格更低，但消费者总剩余比统一价低；这只是一家公司的数据，不能推到所有平台。“老用户是否真的被收更高的价”，需要对比同一时间、同一商品、不同用户看到的价格，仅凭个别用户的截图无法判断（样本小，也可能是优惠券、库存、地区造成的差别）。分歧在哪： 事实部分：价格差有多普遍，是不是因为用户的画像（还是促销、库存、地区）；价格敏感度是否真的因用户而异。价值部分：企业能不能对不同的人收不同的价？“公平"是指同价，还是指"按支付意愿定价、让低收入者买得起”？用户的个人数据能不能用于定价？价值判断留给读者： 事实可以用数据查，哪种"公平"更重要，是你的判断。

常见错误。 一开始就下结论"该禁"或"不该禁"；把"老用户价格高"当成已经查实的事实；把事实和公平感混在一起写。

第七部分　寡头

题 25 解答

思路。 Cournot：每家把对手的产量当成给定，最大化自己的利润。N 家相同的企业，每家 q = (90 − 30)/(N + 1)。

过程与答案。

（1）

企业越多，价格越接近边际成本。

（2）N = 2：价格 50，总量 40，需求弹性 |E| = P/Q = 50/40 = 1.25（因为 Q = 90 − P，斜率 −1）。HHI = 0.5²+ 0.5² = 0.5（即 5000）。加价率 (P − MC)/P = 20/50 = 0.4 = HHI ÷ |E| = 0.5 ÷ 1.25 = 0.4 ✓。

（3）q₁ = (90 − 2 × 30 + 36)/3 = 22，q₂ = (90 − 2 × 36 + 30)/3 = 16。总量 38，价格 52。甲利润 22 × 22 = 484，乙 16 × 16 = 256。甲份额 22/38 ≈ 58%。成本低的企业份额大、利润高。

（4）合谋：垄断产量 30，各 15，价格 60，每家 450。如果对方守约（15），我的最佳反应是 q = (60 − 15)/2 = 22.5，价格 52.5，我赚 22.5 × 22.5 = 506.25。收益表（守约 = 15，自己干 = 20，Cournot 水平）：

不管对方怎么做，自己干都更好（500 > 450，400 > 375）：自己干是占优策略，(自己干, 自己干) 是均衡，每家只有 400，比合谋的 450 低，这是囚徒困境。合谋靠不住，是因为每家都有偷偷多产的动机（第 19 讲会讲，重复的关系里合作怎么维持）。

常见错误。 把 HHI 用百分数而不换算（HHI 5000 对应小数 0.5）；忘了价格要用总产量计算。

题 26 解答

过程与答案。

（1）价格 = 30（边际成本）：谁定高一点，对手稍降一点就抢走全部顾客。均衡是两家都定边际成本，利润为零（Bertrand 悖论：两家企业就够了）。

（2）低成本的甲只要定 略低于 36（比如 35.99），就能卖光整个市场：Q = 90 − 36 = 54，利润 ≈ 54 × 6 = 324（略少）。乙不能亏本，退到 36，卖不出去，利润 0。

（3）两家各有 20 单位产能，总产量 40，市场出清价格 P = 90 − 40 = 50。验证（50，50）是均衡：对方定 50 时，我如果降价，需求虽然更大，但我最多只能卖 20，已经卖 20 了，降价只会少赚；如果涨价到 p > 50，对方的 20 单位还在 50 卖，我面对的剩余需求是 (90 − p) − 20 = 70 − p，利润 (p − 30)(70 − p)，在 p = 50 处最大（40 → 200，45 → 300，50 → 400，55 → 375，60 → 300）。所以 p = 50 是最好的，没人想偏离，是均衡。这个价格和 Cournot 的价格（两家各 20）一致：先定产能、再定价格的竞争，结果像数量竞争（Kreps–Scheinkman）。

（4）产能各 30（总 60）：如果两家都定 30，利润为零。我涨价到 p：对方的 30 单位仍在 30 卖，我面对的剩余需求是 (90 − p) − 30 = 60 − p，利润 (p − 30)(60 − p)，在 p = 45 处最大：15 × 15 = 225 > 0。所以（30，30）不是均衡，有人想涨价。但涨价到 45 以后，对方又会想"降到 44 抢走更多"……没有纯策略均衡（价格会循环，叫 Edgeworth 循环，实验 72 里跑过这个现象）。

常见错误。 以为价格竞争"总是"导致边际成本定价：这要求每家都能满足全部需求；产能有限时，结果完全不同。

题 27 解答

过程与答案。

（1）合并前三家各 q = 15，价格 45，每家利润 225，合并的两家合计 450，没合并的那家 225。合并后只剩两家企业，每家 q = 20，价格 50，每家利润 400。所以合并的两家利润之和从 450 降到 400，没合并的那家从 225 升到 400。合并不划算（除非有成本节约）：合并企业减产，外部企业趁机增产，吃掉了好处。

（2）价格 45 → 50，总产量 45 → 40。合并本身就使价格上涨。

（3）合并前三家各占 1/3：HHI = 3 × (33.3²) ≈ 3333。合并后，合并企业占 2/3：HHI = 66.7² + 33.3² ≈ 5556。变化 2222（监管者通常按合并前的份额算）。

（4）设合并企业的成本降到 c_m，另一家仍是 30。合并企业的产量 (120 − 2c_m)/3，利润 q_m²；让利润回到 450，要 q_m = √450 ≈ 21.21，c_m ≈ 28.18，也就是成本节约约 6.1%。这时价格 ≈ 49.4，仍然高于合并前的 45。要让价格不涨，需要价格 (120 + c_m)/3 ≤ 45，即 c_m ≤ 15，成本节约 50%。所以：小幅成本节约可以让合并划算，但价格仍会上涨；让价格不涨，需要很大的成本节约。（这是第 16 讲讲过的 Williamson 权衡：成本节约 vs 涨价。）

常见错误。 以为合并总能增加利润（第 16 讲、实验 72：在 Cournot 竞争下，小比例的合并常常不划算）；把合并后的 HHI 用合并后的产量份额计算。

题 28 解答

过程与答案。

（1）甲先定，乙看到甲的产量后选最佳反应 q₂ = (60 − q₁)/2。甲最大化 q₁(60 − q₁ − q₂)：代入得 q₁(30 − q₁/2)，q₁ = 30，乙 q₂ = 15，价格 90 − 45 = 45，甲利润 450，乙 225。甲先定，多得（450 对 400），乙少得（225 对 400）。

（2）甲不做承诺，进入后是 Cournot 两家，乙赚 400。乙进入当 F < 400。

（3）F = 150：如果甲先建 q 的产能，乙的最佳反应 (60 − q)/2，进入后乙的毛利润 ((60 − q)/2)²。要让乙进不来，要求这个小于 150：(60 − q)/2 < 12.25，q > 35.5。甲建 36：乙最佳反应 12，毛利润 144 < 150，不进入。甲的利润 = 36 × (60 − 36) = 864，比"让乙进入"（Stackelberg，450）高，所以甲会这样做。

（4）F = 10：要吓退乙，需要 q > 53.7，甲的利润 = 53.7 × 6.3 ≈ 339，低于让乙进入时的 450，甲不会吓退，而是接受乙进入。

要点。 承诺要有收不回来的投入（产能）；只是口头威胁不可信。F 小的时候，吓退的代价太大，不如接受；F 大的时候，吓退很便宜。

常见错误。 以为威胁越狠越好：威胁要有成本，要让对方相信，也要算自己划算不划算。

第八部分　平台与网络效应

题 29 解答

思路。 下一轮的人数占比 = 现在这个人数占比下，“单独价值 + 网络价值 ≥ 价格"的人所占比例。找不动点，看稳不稳。

from math import erf, sqrt

MU, SIGMA, B = 0.3, 0.12, 0.8             # 个人单独价值 ~ 正态(0.3, 0.12)；用户占比为 n 时，网络价值是 B*n


def norm_cdf(x):
    return 0.5 * (1 + erf(x / sqrt(2)))


def next_share(n, price):
    """如果现在有 n 的人在用，愿意在价格 price 加入的人占多少：单独价值 + B*n >= price。"""
    return 1 - norm_cdf((price - B * n - MU) / SIGMA)


def settle(n, price, rounds=200):
    for _ in range(rounds):
        n = next_share(n, price)
    return n


def fixed_points(price):
    """找 next_share(n) = n 的点，并判断稳不稳（斜率 < 1 为稳）。"""
    pts, grid = [], [i / 10000 for i in range(10001)]
    for a, b in zip(grid, grid[1:]):
        fa, fb = next_share(a, price) - a, next_share(b, price) - b
        if fa == 0 or fa * fb < 0:
            n = (a + b) / 2
            slope = (next_share(n + 1e-4, price) - next_share(n - 1e-4, price)) / 2e-4
            pts.append((n, "稳定" if slope < 1 else "不稳定"))
    return pts


price = 0.7
print(f"价格 {price}：")
for n, kind in fixed_points(price):
    print(f"  不动点 n = {n:.3f}（{kind}）")
for start in (0.05, 0.30, 0.45, 0.60):
    print(f"  起点 {start:.2f} -> 最后停在 {settle(start, price):.3f}")

print("只在第 1 轮把价格降到 p1，之后恢复 0.7，从没有人开始：")
for p1 in (0.6, 0.4, 0.35, 0.25):
    n = next_share(0.0, p1)
    print(f"  第 1 轮价格 {p1}：第 1 轮 {n:.3f}，之后回到 0.7 -> 最后 {settle(n, price):.3f}")

print("永久降价：")
for p in (0.6, 0.5):
    print(f"  价格 {p}：", ", ".join(f"{n:.3f}（{k}）" for n, k in fixed_points(p)))

输出：

价格 0.7：
  不动点 n = 0.000（稳定）
  不动点 n = 0.500（不稳定）
  不动点 n = 1.000（稳定）
  起点 0.05 -> 最后停在 0.000
  起点 0.30 -> 最后停在 0.000
  起点 0.45 -> 最后停在 0.000
  起点 0.60 -> 最后停在 1.000
只在第 1 轮把价格降到 p1，之后恢复 0.7，从没有人开始：
  第 1 轮价格 0.6：第 1 轮 0.006，之后回到 0.7 -> 最后 0.000
  第 1 轮价格 0.4：第 1 轮 0.202，之后回到 0.7 -> 最后 0.000
  第 1 轮价格 0.35：第 1 轮 0.338，之后回到 0.7 -> 最后 0.000
  第 1 轮价格 0.25：第 1 轮 0.662，之后回到 0.7 -> 最后 1.000
永久降价：
  价格 0.6： 0.007（稳定）, 0.294（不稳定）, 1.000（稳定）
  价格 0.5： 1.000（稳定）

过程与答案。

（1）价格 0.7 时有三个不动点：0（稳定）、0.5（不稳定）、1（稳定）。0 和 1 是稳定的（稍微偏离会回来），0.5 是不稳定的临界规模。

（2）起点低于 0.5（0.05、0.30、0.45）→ 最后停在 0；起点高于 0.5（0.60）→ 最后到 1。同一个价格，两种结果，取决于你从哪开始。

（3）第一轮价格降到 0.6、0.4、0.35，第一轮人数 0.6%、20%、34%，之后恢复 0.7，都回落到 0；降到 0.25，第一轮人数 66%，越过了临界规模 0.5，之后恢复原价也涨到全体。所以 p1 要低到让第一轮人数超过 0.5，在这个例子里，约 0.3 以下。

（4）网络效应下，需求取决于别人买不买，产品有多个均衡，预期自我实现：大家预期多人用，就多人用，大家预期没人用，就没人用。补贴拉新的关键，是把用户数推过临界规模：一次性大补贴，如果越过临界规模，之后可以不补贴；没越过去，补贴再多也会回落（浪费）。这也说明为什么有些平台烧钱补贴一阵，然后能回收，而有些补贴了半天，停补就散。

常见错误。 以为降价一定能拉动用户；把临界规模当成稳定点；忘了这个模型只讲了需求，没讲竞争对手。

题 30 解答

思路。 给定价格，两边的参与率互相影响，解一个联立方程；平台再在所有价格里选利润最大的。

import numpy as np

COST = 0.2                                 # 每服务一个用户的成本，两边一样


def participation(p_a, p_b, a, b):
    """A 边参与率 n_a = 1 - p_a + a*n_b；B 边 n_b = 1 - p_b + b*n_a。解这个联立方程。"""
    n_a = (1 - p_a + a * (1 - p_b)) / (1 - a * b)
    n_b = (1 - p_b + b * (1 - p_a)) / (1 - a * b)
    return n_a, n_b


def profit(p_a, p_b, a, b):
    n_a, n_b = participation(p_a, p_b, a, b)
    if not (0 <= n_a <= 1 and 0 <= n_b <= 1):
        return -np.inf
    return (p_a - COST) * n_a + (p_b - COST) * n_b


def best_prices(a, b):
    grid = np.linspace(-0.5, 1.2, 341)
    return max(((profit(pa, pb, a, b), pa, pb) for pa in grid for pb in grid))


def same_price(a, b, p=0.6):
    """对照：不管两边谁更看重对方，两边都收同一个价 0.6。"""
    return profit(p, p, a, b)


print("  a(A 看重 B)  b(B 看重 A)    利润    A 的价格  B 的价格   n_A    n_B")
for a, b in ((0.2, 0.2), (0.6, 0.1), (0.1, 0.6), (0.4, 0.4)):
    pi, pa, pb = best_prices(a, b)
    n_a, n_b = participation(pa, pb, a, b)
    pi1 = same_price(a, b)
    print(f"{a:10.1f}{b:12.1f}{pi:10.3f}{pa:10.2f}{pb:9.2f}{n_a:7.2f}{n_b:7.2f}    （两边都收 0.6 的利润 {pi1:.3f}）")

输出：

  a(A 看重 B)  b(B 看重 A)    利润    A 的价格  B 的价格   n_A    n_B
       0.2         0.2     0.400      0.60     0.60   0.50   0.50    （两边都收 0.6 的利润 0.400）
       0.6         0.1     0.492      0.76     0.45   0.61   0.62    （两边都收 0.6 的利润 0.460）
       0.1         0.6     0.492      0.45     0.76   0.62   0.61    （两边都收 0.6 的利润 0.460）
       0.4         0.4     0.533      0.60     0.60   0.67   0.67    （两边都收 0.6 的利润 0.533）

过程与答案。

（1）见上面的输出。

（2）(a, b) = (0.2, 0.2) 对称，最优价格 0.60 和 0.60，和"两边都收 0.6"的利润相同（0.400）。(0.6, 0.1)：最优价格 A 0.76、B 0.45，利润 0.492，高于两边都收 0.6 的 0.460。(0.4, 0.4) 对称，最优还是 0.6/0.6，利润 0.533。

（3）平台对"更看重对方"的一边收得多，对"被看重"的一边收得少。(0.6, 0.1)：A 非常看重 B（a = 0.6），B 不太看重 A。B 多来一个，A 的价值提升很多，所以平台对 B 收得少（0.45，补贴 B 来），多吸引 B 来，再从更看重的 A 那里收回（0.76）。这是第 17 讲说的价格结构：对能给另一边带来更多好处的一边收得少。两边完全对称时，两边定一样的价格，所以题 29 的对比只在不对称时才有差别。

常见错误。 以为"各自定价"最优（它忽略了一边的参与会影响另一边）；以为总是有一边价格低于成本（这个玩具模型里没出现，真实平台里有，第 17 讲）。

题 31 解答

说明。 开放题，参考写法如下，关键是分清"理论上可能"和"需要数据去查”。

理论预测： 理论上，独家安排有两种相反的可能。一方面，它可能让平台在网络效应下更容易越过临界规模，可能换来更低的佣金或补贴，对商家、消费者都有好处；另一方面，如果这个平台已经很大，独家会让其他平台难以达到临界规模，抬高竞争对手的成本，降低未来的竞争，最终使价格上升、创新减少。商家不能同时在多个平台上架（不能多归属），也会削弱商家的议价能力。证据与局限： 判断是哪种，要看具体数据：独家前后商家的佣金、销量，其他平台的份额，消费者价格，有没有可以对比的、没有这个要求的地区或时间。没有这些，只能说"理论上两种都可能"。第 17 讲讲过的"二选一"案例里，监管机构认定那家平台有支配地位、限制了交易；第 17 讲也写明，据当时查到的资料，独立的、被公认的量化福利研究不多。分歧在哪： 事实分歧：平台是否有支配地位，独家是否真的排挤了竞争对手，还是商家自愿选择的结果；价值分歧：商家的选择自由、消费者的低价和便利、竞争的长期活力，三者怎么权衡；平台大到什么程度需要监管。价值判断留给读者： 理论说明有哪些可能，数据说明哪一种更像是现实，该管到什么程度，是你的判断。

常见错误。 只写"平台垄断，应该管"或"市场自由，不应该管"；把假设情境当成已经发生的事实。

做完之后

数一数你错在哪里。

• 第一部分（题 1–5）错得多：重读第 10 讲 2、4、8 节：预算线斜率是价格比，最优点是相切，替代和收入效应是思想实验。
• 第二、三部分（题 6–12）错得多：重读第 11、12 讲：边际成本穿过平均成本的最低点，沉没成本不进决策，停业规则看 AVC。
• 第四部分（题 13–16）错得多：重读第 13 讲：要素需求是派生需求，MRP 和工资比较；买方垄断看 MFC。
• 第五、六部分（题 17–24）错得多：重读第 14、15 讲：垄断看 MR = MC，价格歧视看每组 MR = MC，以及总销量是福利的关键。
• 第七、八部分（题 25–31）错得多：重读第 16、17 讲：最佳反应、承诺要可信、网络效应下的多重均衡。

有一类错误值得单独记下来：把转移当成损失。垄断利润、税收、补贴，都是钱从一些人到另一些人的转移，只有"本该发生却没发生的交易"才是无谓损失。

下一套习题（习题 82）对应 Unit 5–6：博弈论、重复博弈、信息不对称、拍卖，以及外部性、产权、公共品和政府失灵。

参考

这套习题只用到前面各讲已经引用过的概念和文献，没有引入新的文献。题中的所有场景和数字都是为练习设计的示意，不对应真实的统计数据。需要核对原始文献的地方，请回到对应的那一讲。