习题 82 博弈、信息与外部性（Unit 5–6）

这是第三套习题，对应 Unit 5 和 Unit 6，也就是第 18 讲到第 26 讲：人们互相影响、互相猜测的时候会怎样，以及一个人的选择影响了别人却不用付代价的时候，市场和政府各会遇到什么麻烦。一共 30 道题，每道题都有完整的解答。

这一部分的题和前两套有一点不同：很多题的答案不是一个数，而是一个"为什么"。博弈论里，算出均衡只是第一步，更重要的是能说出：这个均衡为什么稳，为什么不是最好的，改变了什么它才会变。

怎么用这套题

先做，再看。 拿一张纸，博弈的题尤其要自己画出收益表，用划线法找一遍。直接看答案，你会觉得"很显然"；自己做一遍，才知道哪一步容易看漏。

难度。

• ★ 巩固：直接用一个定义，或者一步计算。
• ★★ 标准：两三步，或者要你自己把一段现实的话翻译成模型。
• ★★★ 挑战：要把几讲拼在一起，或者里面藏着一个陷阱。

题型。 判断辨析、计算、建模、四道代码题（标"代码"）、一道开放的四步写作题。代码题的代码是独立的完整程序，只需要 Python 3 和 NumPy（有的连 NumPy 都不用），随机数种子固定。

解答。 每题分四步：思路、过程、答案、常见错误。

争议话题。 有几道题涉及现实中有争论的问题（拥堵收费、政策游说）。这些题的答案只给事实部分和不同立场的逻辑，该怎么选，是价值判断，答案里不替你选。

数字。 所有计算题的数字都用代码核对过；代码题的输出就是代码实际跑出来的。题里的场景和数字都是为练习设计的示意，不对应真实的统计数据。

题目

第一部分　博弈论基础（第 18 讲）

题 1（★★）三个博弈，三种均衡

博弈 A（行玩家选 T、M、B，列玩家选 L、C、R，括号里是（行，列）的收益）：

（1）有没有占优策略？用"逐步剔除被占优的策略"找出这个博弈的纳什均衡。

博弈 B（看电影）：甲想看动作片，乙想看爱情片，但两个人都更不想分开。收益（甲，乙）：一起看动作片 (3, 2)，一起看爱情片 (2, 3)，分开 (0, 0)。

（2）找出所有纯策略纳什均衡，再找出混合策略均衡：每个人选"动作片"的概率是多少，每人的期望收益是多少？

博弈 C（斗鸡）：两个司机迎面开来，各选"让"或"冲"。（让，让）(3, 3)；（让，冲）(1, 5)；（冲，让）(5, 1)；（冲，冲）(−5, −5)。

（3）找出所有纯策略均衡和混合策略均衡。其中一个司机在出发前把方向盘拆下来扔出窗外（让对方看见），会发生什么？

题 2（★★★）点球：为什么"变强了"，却更少用

球员选踢左或踢右，守门员选扑左或扑右。进球概率：

球员想最大化进球率，守门员想最小化。

（1）有没有纯策略均衡？

（2）求混合策略均衡：球员踢左的概率、守门员扑左的概率、均衡进球率。

（3）守门员练习后，扑左对踢左变得更有效：（踢左，扑左）的进球率从 0.50 降到 0.30，其他不变。新的均衡里，守门员扑左的概率是上升还是下降？球员呢？进球率呢？

（4）用一句话解释（3）。

题 3（★★）先动的人：可信的威胁

一个行业里有一个在位企业和一个潜在进入者。收益（进入者，在位者），单位是百万元：不进入 (0, 100)；进入后，在位者选"开战"(−30, 20) 或"接受"(30, 50)。

（1）写出正规式（收益表），找出所有纳什均衡。

（2）用逆向归纳，找出子博弈完美均衡。

（3）在位者可以在进入者决定之前，花 25（沉没）建好产能。有了产能，开战时在位者的收益变成 70（不含那笔 25），其余不变。建产能值得吗？新的均衡是什么？

（4）最后通牒博弈：提议者分 100 元，回应者可以接受或拒绝（拒绝则双方都得 0）。完全自利的回应者，会接受多少？如果 90% 的回应者拒绝低于 30 的提议，另外 10% 接受任何提议，提议者应该提多少？

题 4（★★）公共品博弈

6 个人，每人有 20 元，每个人可以把任意金额投入公共账户。公共账户里的钱乘以 2.4，平均分给 6 个人。

（1）每多投 1 元，自己能拿回多少？投还是不投？

（2）全投、全不投，每人各得多少？

（3）如果 5 个人投 20 元，1 个人不投，各得多少？

（4）乘数要多大，这个困境才会消失？

（5）如果每个投了钱的人可以花 1 元，让搭便车者损失 3 元。5 个人都愿意惩罚时，搭便车者还愿意搭便车吗？惩罚者的行为有什么问题？

题 5（★★★）代码：让两个玩家"学"出混合策略

用代码模拟题 2 的点球（原始进球率）：两个玩家重复对局。每一轮，每个人对对方过去的频率选最佳反应（球员选期望进球率高的，守门员选低的），并记下自己这一轮的选择。看 10、100、1000、20000 轮之后，两个人的频率是不是靠近你手算的混合策略均衡。

第二部分　重复博弈（第 19 讲）

题 6（★★）冷酷触发的门槛

囚徒困境的收益（我的）：互相合作 4，我背叛对方合作 6，我合作对方背叛 0，互相背叛 1。游戏每轮结束后，以概率 δ 继续下一轮。冷酷触发策略：一直合作，一旦对方背叛过，我永远背叛。

（1）对方也用冷酷触发，我一直合作的总收益是多少？第一轮就背叛呢？δ 要多大，合作才是我的最佳选择？

（2）如果"惩罚"变轻：背叛之后，双方不是永远背叛（每轮得 1），而是永远每轮得 3。门槛 δ 变成多少？

（3）δ = 0.3、0.4、0.5、0.7 时，两个总收益各是多少？

（4）这个门槛说明了合作需要什么条件？

题 7（★★★）企业合谋，惩罚多久够

市场需求 P = 84 − Q，边际成本 12 元，没有固定成本，两家企业。

（1）Cournot 竞争下每家的利润；两家合谋（各生产垄断产量的一半）每家的利润；对方守约时，我偷偷多产的最大利润。

（2）冷酷触发（背叛后永远回到 Cournot）下，合谋的门槛 δ 是多少？

（3）惩罚如果只持续 k 期，然后又回到合谋。δ = 0.7 时，k 至少多少？δ = 0.55 时呢？

（4）三家企业、五家企业时，门槛 δ 各是多少？这说明什么？

题 8（★★）一场小循环赛

四个策略：永远合作、永远背叛、以牙还牙（第一轮合作，之后重复对方上一轮）、冷酷触发。囚徒困境收益：互相合作 3，我背叛对方合作 5，我合作对方背叛 0，互相背叛 1。每两个策略打 10 轮，总分是和另外三个策略各打一场的得分之和。

（1）算出每一对的得分，列成表。

（2）总分排名。

（3）去掉"永远合作"，排名怎么变？

（4）以牙还牙和冷酷触发为什么得分完全一样？什么情况下它们会不同？

题 9（★）判断题：这些话对吗

判断对错，并说明理由。

（a）纳什均衡里，每个人的收益都是最高的。

（b）如果每个人都有占优策略，那么大家都选占优策略，一定是纳什均衡。

（c）在混合策略均衡里，我选各个策略的概率，要使我自己在这几个策略之间无差异。

（d）有限次重复的囚徒困境，只要次数够多，合作就能维持。

（e）冷酷触发的均衡里，惩罚从来不会真的发生。

（f）民间定理说，在重复博弈里，合作一定会出现。

第三部分　信息不对称（第 20、21 讲）

题 10（★★）二手车：好车什么时候会退出

好车：卖家的底价 6，买家估值 8。柠檬：卖家的底价 2，买家估值 3。买家分不出好车和柠檬，只知道好车占比 s，愿意付的价是期望估值。

（1）s 至少多大，好车才会留在市场里？

（2）s = 0.7 时，价格是多少？和信息完全时相比，好车卖家、柠檬卖家各多拿或少拿多少？

（3）s = 0.55 时，市场上会发生什么？总好处（买卖双方合计）比信息完全时少多少？

（4）如果有一个第三方，可以花 0.3 把每辆车的质量查清楚。s = 0.7 和 s = 0.55 时，查还是不查？

题 11（★★★）保险：越保越少人参加

每个人的预期医疗支出 c 均匀分布在 0 到 1 之间，保险公司看不到每个人的 c。一个人愿意为保险付的价是 (1 + λ)c，λ = 0.4（怕风险）。保险公司的保费等于参保者的平均支出，不赚不亏。

（1）均衡的保费是多少？多少比例的人参保？

（2）这个市场的总好处，和"所有人都参保"相比，损失多少？

（3）如果规定所有人必须参保，统一保费 0.5。总好处是多少？谁赚谁亏？

（4）这是不是说明强制参保一定更好？

题 12（★★）声誉，什么时候撑得住

一家线上商店可以靠每次骗一单赚额外的一次性好处 b = 6，被发现以后，顾客不再信任它，后面每期少赚 m = 1.2（诚实时每期比骗子多赚 m）。每期继续做生意的概率（折现）是 δ。

（1）δ 要多大，诚实才是最好的选择？

（2）如果诚实时每期多赚 m = 2，门槛是多少？

（3）个人卖家（一次性交易）和长期店铺，谁更可能骗？评价系统可能怎样失灵？

题 13（★★★）代码：免赔额，该定多少

一个人的财富 30，可能遇到一次损失 18。他可以"小心"（事故概率 5%，代价 0.6）或"随意"（事故概率 15%，不用代价）。他的效用是 ln(财富)。保险公司看不到他是否小心，按他会选的做法收公平保费（保费 = 事故概率 × 公司赔付的金额）。保单有免赔额 d：损失里先由他自己出 d，其余保险公司赔。

（1）写代码：不同免赔额下，他选择小心还是随意？保费和效用各是多少？

（2）免赔额至少多少，他才愿意小心？最优的免赔额是多少？

（3）和"全额保险（d = 0）“比，和"保险公司看得到他是否小心"比，各差多少？

题 14（★★★）委托代理：让他努力要花多少

老板雇一个销售员。努力时，成功的概率是 0.7，不努力是 0.3；努力的代价是 1.5（效用单位）。销售员的效用是 √工资 − 努力代价，不接这份工作能得到效用 4。老板看不到努力，只看到成功或失败。成功时给工资 w_s，失败时 w_f。

（1）让他愿意接受并且愿意努力的合同里，w_s 和 w_f 各是多少？老板期望付多少？

（2）如果老板能看到努力，固定工资多少就够了？

（3）两者的差叫什么？为什么存在？

题 15（★★）信号：读书是为了什么

雇主分不出两类求职者：高能力（占 40%，产出 3）和低能力（占 60%，产出 1）。求职者可以多读 e 年书：对高能力者，每年的代价是 0.5；对低能力者，每年代价是 1.0。读书本身不提高产出。雇主按"读了多少年"付工资，付得和产出一样。

（1）不读书的话，大家工资多少？

（2）e 取哪些值时，高能力者愿意读、低能力者不愿意模仿？

（3）e = 2 时，高、低能力者各净得多少？和不读书比，社会是多得还是少得？

（4）如果两类人每年读书的代价都是 0.5 呢？

第四部分　拍卖与机制设计（第 22 讲）

题 16（★★）4 个人，一价还是二价

4 个投标人的估值独立均匀分布在 0 到 1。

（1）一价拍卖里，估值 0.8 的人，均衡出价是多少？

（2）两种拍卖里，卖家的期望收入各是多少？

（3）二价拍卖里，估值 0.8。其他人的最高出价是 0.7、0.85 时，分别按 0.6、0.8、0.9 出价，各得多少？说真话为什么不会更差？

（4）如果投标人怕风险（效用 u = √x），一价拍卖里出价是 (n − 1)/(n − 1 + 0.5) × 估值。卖家收入变成多少？

题 17（★★★）保留价

二价拍卖，卖家自己留着东西值 0.2，买家估值均匀分布在 0 到 1。保留价 r：出价低于 r 的不卖。

（1）2 个投标人时，r = 0.2、0.4、0.6、0.8，卖家的期望所得（没卖出去就得到 0.2）各是多少？没卖出的概率各是多少？

（2）5 个投标人时呢？

（3）最优保留价是多少？它和人数有关吗？

（4）卖家为什么要冒"没卖出去"的风险？

题 18（★★★）代码：赢者诅咒

一个物品的真实价值是 50，但没人知道。每个投标人得到一个估计：真实价值加一个在 ±10 之间均匀分布的误差，相互独立。每人的出价 = 自己的估计 − 压价，出价最高的人赢，付自己的出价。

（1）写代码：2、4、8 个投标人，压价 0、5、10 时，赢家的平均利润是多少？

（2）压价多少才刚好不亏？它和人数是什么关系？

（3）这和第 20 讲的逆向选择有什么相同之处？

题 19（★★★）克拉克税：让人说真话

三户居民考虑合建一个设施，总成本 120，三户平摊，每户 40。每户对设施的价值（毛）：A 70，B 50，C 15，即净好处 A +30、B +10、C −25。决定规则：总净好处大于 0 就建。

（1）要不要建？如果由居民自己"报"价值，C 可能怎么报？

（2）采用克拉克税：每个人，如果他的报告改变了决定，就付"别人因此受的损失”。算出每户付的税和最后的净好处。

（3）验证：C 谎报，A 谎报，会不会更好？

（4）这个办法有什么代价？

第五部分　外部性、科斯定理（第 23、24 讲）

题 20（★★）庇古税：税定在哪里

纸厂的产品需求 P = 120 − Q，私人边际成本 30 + Q，每单位产量对河下游造成 24 的损害。

（1）没有政府时的均衡？社会最优的产量和价格？无谓损失？

（2）征税 24：买家付多少，厂商实际拿到多少？税收和损害各是多少？

（3）算税 t = 0、12、24、36、48 时，扣掉损害之后的总剩余。税定得太高会怎样？

（4）如果政府不知道损害，把税定在 12 或 36，损失各是多少？

题 21（★★★）总量控制与交易

两家工厂，各排放 100，要把总排放减少 40。减排的边际成本：甲是 2a（a 是甲减排的量），乙是 6b。

（1）平均分担（各减 20），总成本是多少？

（2）总成本最低的分法是什么？成本多少？

（3）如果各发 80 个免费排放许可，允许自由交易。均衡价格是多少？谁买谁卖？

（4）如果政府改用税，税率要多少才达到同样的减排？

题 22（★★★）科斯：谁有权利，交易成本有多高

一个工厂的好处 B(q) = 100q − q²（q 是产量），对邻居的损害是每单位 20。

（1）不考虑谈判，工厂自己选，产量是多少？社会最优产量是多少？

（2）工厂有权污染（默认 q = 50）：双方谈判，谈出的产量和价格范围是多少？

（3）邻居有权要求不污染（默认 q = 0）：谈出的产量和价格范围是多少？

（4）两种产权下，谈判成本 T = 0、50、150、1700 时，总剩余各是多少？哪种产权配置更好？

第六部分　公共品、公地（第 25 讲）

题 23（★★）公共品：谁来出钱

10 户居民，每户从公共设施（规模 q）得到的边际好处是 12 − q。提供一单位的边际成本是 MC。

（1）MC = 20 时，社会最优 q 是多少？自愿提供呢？总净好处各是多少？

（2）MC = 6 时，社会最优和自愿提供各是多少？自愿提供达到最优的几分之几？

（3）为什么 MC = 20 时一个人都不出？

题 24（★★★）公地：越多人，越糟

一片渔场，总捕捞努力 E，总收入是 12E − E²，每单位努力的成本是 5。

（1）社会最优的努力和租金是多少？

（2）开放进入（没人管，有利可图就进来）时，努力和租金是多少？

（3）如果有 n 个渔民，各自决定自己的努力，每人的努力和总租金是多少？n = 1、2、3、5、10、100 时各是多少？

（4）n = 4 时，每单位努力征多少税，才能让总努力降到最优？

第七部分　政府失灵（第 26 讲）

题 25（★★）投票：多数不一定有答案

（1）三位居民对三个项目的偏好：甲 公园 > 图书馆 > 游泳池；乙 图书馆 > 游泳池 > 公园；丙 游泳池 > 公园 > 图书馆。两两投票，结果是什么？先比公园和图书馆、胜者再对游泳池，最后结果是什么？换一个议程呢？

（2）九位居民对"图书馆预算"（百万元）的理想值：1, 2, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 12，偏好是离理想值越近越好。中位数和平均数各是多少？5 和平均数对决，谁赢？

题 26（★★）集中的好处，分散的损失

一项保护政策：保护 6 家企业，每家多得 50 万元；让 1000 万名消费者，每人多付 0.5 元。

（1）总好处和总损失各是多少？

（2）一家企业为这件事愿意花多少力气？一名消费者呢？

（3）为什么这项政策可能通过？

（4）这个例子说明了什么，没说明什么？

题 27（★★★）代码：争夺垄断牌照

一项牌照值 R = 2000。n 个人同时决定投入多少钱去争取（比如游说、送礼），每个人赢得牌照的概率等于他的投入占总投入的比例，不赢的人投入也拿不回来。

（1）写代码：用最佳反应找 n = 2、4、10 时每个人的投入。合计花多少？占奖品的几成？

（2）如果牌照造成的无谓损失是 500，n = 10 时，社会的总成本是多少？

（3）这个结论依赖什么假设？

第八部分　综合

题 28（★★）判断题：这些话对吗

判断对错，并说明理由。

（a）逆向选择发生在交易之后。

（b）道德风险是指人的道德水平低。

（c）二价拍卖里，说真话是占优策略。

（d）一价拍卖里，估值最高的人，出价等于自己的估值。

（e）庇古税的最优税率，等于最优产量上的边际外部损害。

（f）科斯定理说，不管产权给谁，结果的分配都一样。

（g）公共品，私人自愿提供的量一定是零。

（h）公地悲剧的关键是"公有"，不是"开放进入"。

（i）对污染征税，税收自动补偿了受害者。

题 29（★★★）拥堵收费：用四步写一段话

某城市的主干道，上下班高峰期严重堵车。有人提议：高峰时段对进入市中心的车辆收拥堵费。

请按"理论预测 → 证据与局限 → 分歧在哪 → 价值判断留给读者"写一段话。注意区分"理论上会怎样"“需要什么数据去查"“该怎么权衡”。

题 30（★★）这是哪一个模型

下面八种情况，各对应本讲义里的哪个问题？说出它的名字、核心激励，并各提一个改进办法。

（a）小区里每家都想等别人出钱修路灯，结果路灯一直没修。

（b）买了全险的车主，更不爱锁车门。

（c）二手手机平台上，成色好的机器总是卖不上价，慢慢都不来了。

（d）两家便利店，谁都想把价格降到对方之下，结果两家都赚得很少。

（e）河边的工厂排放污水，下游渔民的收成变差，工厂不用付钱。

（f）海边的渔民，每个人都想多捕一点，几年后鱼越来越少。

（g）工程公司总在投标里赢，却发现赢到手的项目常常亏本。

（h）求职者纷纷去考一张本来用处不大的证书。

解答

第一部分　博弈论基础

题 1 解答

思路。 划线法：对每个对手的选择，划出自己的最佳反应；两个人都被划线的格子，就是纳什均衡。

过程与答案。

（1）没有占优策略（初始时，没有一个策略在所有情况下都最好）。逐步剔除：列玩家的 L（收益 0、0、2）被 C（4、3、5）严格占优，剔除 L。剩下 C、R 两列后，行玩家的 M（5、4）严格优于 T（0、1）和 B（0、0），剔除 T 和 B。最后行玩家选 M，列玩家在 C（3）和 R（5）之间选 R。纳什均衡 (M, R)，收益 (4, 5)。这是唯一的纳什均衡，也是唯一经过逐步剔除留下来的。

（2）纯策略均衡：（动作片，动作片）(3, 2) 和（爱情片，爱情片）(2, 3)，各自单方面改变都会变成 (0, 0)。混合策略均衡：设乙选动作片的概率是 q。甲选动作片得 3q，选爱情片得 2(1 − q)；令二者相等：3q = 2 − 2q，q = 0.4。设甲选动作片的概率是 p。乙选动作片得 2p，选爱情片得 3(1 − p)：2p = 3 − 3p，p = 0.6。期望收益各 1.2。注意：混合均衡里每个人的收益（1.2）比任何一个纯均衡里的（2 或 3）都低，因为有时会走不到一起。

（3）纯策略均衡：（让，冲）(1, 5) 和（冲，让）(5, 1)。混合均衡：设对方冲的概率是 p，我选让得 3(1 − p) + 1·p = 3 − 2p，选冲得 5(1 − p) − 5p = 5 − 10p；令相等，p = 0.25，期望收益 3 − 0.5 = 2.5。如果一个司机把方向盘扔出窗外（让对方看见），他就承诺了"冲”；对方的最佳反应是让，结果 (5, 1)：拆掉方向盘的人得 5。承诺的价值：减少自己的选择，改变对方的最佳反应。

常见错误。 以为"混合策略均衡"是"随机乱选"：它的概率是让对方无差异的概率，不是让自己无差异；以为逐步剔除一定能解开所有博弈（斗鸡和看电影都没有占优策略）。

题 2 解答

思路。 混合策略的概率，由让对方无差异决定。

过程与答案。

（1）没有纯策略均衡：球员知道守门员扑左，就踢右（0.95）；守门员知道球员踢右，就扑右（0.60）；球员知道守门员扑右，就踢左（0.90）；守门员知道球员踢左，就扑左（0.50）……来回追，没有稳定点。

（2）设球员踢左的概率为 g。守门员扑左的期望进球率 0.50g + 0.95(1 − g)，扑右 0.90g + 0.60(1 − g)。令二者相等：0.95 − 0.45g = 0.60 + 0.30g，g = 0.467。设守门员扑左的概率为 k：球员踢左 0.50k + 0.90(1 − k)，踢右 0.95k + 0.60(1 − k)。相等：0.90 − 0.40k = 0.60 + 0.35k，k = 0.4。进球率 0.90 − 0.40 × 0.4 = 0.74。

（3）（踢左，扑左）降到 0.30：g：0.95 − 0.65g = 0.60 + 0.30g，g = 0.368；k：0.90 − 0.60k = 0.60 + 0.35k，k = 0.316；进球率 0.90 − 0.60 × 0.316 = 0.711。守门员扑左的概率下降（0.40 → 0.316），球员踢左的概率也下降（0.467 → 0.368），进球率下降（0.74 → 0.711）。

（4）守门员扑左的概率，是由"球员踢左、踢右同样好“决定的，不是由"扑左有多强"决定的。扑左变强以后，球员的反应是少踢左，让守门员扑左的价值下降，守门员为了让球员仍然无差异，就必须少扑左。变强的好处，体现为进球率下降，而不是使用频率上升。

常见错误。 以为守门员更擅长扑左，就该多扑左。这是把"自己的收益"当成"自己的概率"的依据。

题 3 解答

过程与答案。

（1）正规式（进入者，在位者）：

纳什均衡有两个：（进入，接受）和（不进入，开战）。后者里，在位者"开战"和"接受"在不进入时收益一样（100），所以"开战"并不吃亏，但它是一个不可信的威胁：真的进入了，在位者开战只得 20，接受得 50。

（2）逆向归纳：进入后，在位者选接受（50 > 20）；进入者预期这点，选进入（30 > 0）。子博弈完美均衡 = (进入，接受)，收益 (30, 50)。

（3）有产能时：进入后开战得 70，接受得 50，在位者会开战。进入者预期到这点，进入得 −30，不进入得 0，选不进入。在位者的收益：100 − 25 = 75，比不建产能时的 50 高，所以值得建。新的子博弈完美均衡：（建产能，不进入，开战）。关键是那笔 25 是沉没的，它改变了事后的收益，使威胁变得可信。

（4）完全自利的回应者，拒绝得 0，接受任何正数都更好，所以提议者提 1 元（最小的单位），回应者接受。如果 90% 拒绝低于 30 的提议：提 1 元，成功概率 10%，期望 0.1 × 99 = 9.9；提 30，90% 以上的人接受，期望 70。所以提 30。

常见错误。 把"不进入，开战"当成合理的均衡：它在纳什均衡意义上成立，但靠的是空洞的威胁。

题 4 解答

过程与答案。

（1）每投 1 元，公共账户变成 2.4 元，平分后自己拿回 2.4 ÷ 6 = 0.4 元。投 1 元得 0.4，不如留着得 1，不投。这是占优策略，不管别人怎么选。

（2）全投：账户 6 × 20 = 120，乘 2.4 = 288，每人 48。全不投：每人 20。全投每人 48 > 全不投 20，但占优策略使每个人都不投：囚徒困境。

（3）5 人投 20，1 人不投：账户 100，乘 2.4 = 240，每人分 40。搭便车者：20 + 40 = 60；投钱者：40（投出去的 20 没了）。搭便车者比投钱者多 20，比"大家都投”（48）还多 12。

（4）每投 1 元自己拿回 m/N。当 m/N ≥ 1 即 m ≥ 6，投就不亏，占优策略改变，困境消失。（乘数 6 意味着每 1 元投进去，就变成 6 元，现实里很少。）

（5）搭便车者的收益 60，被 5 个人各罚 3 元：60 − 15 = 45，低于大家都投的 48，所以他不再愿意搭便车。问题：惩罚者每人要花 1 元，是二阶搭便车：每个人都希望别人去罚。如果没人惩罚，威胁就不可信。第 25 讲讲过的实验说明，在真实的人群里，有一些人愿意花钱惩罚，也有人会惩罚合作的人（反社会惩罚）。

常见错误。 把 40 和 60 弄反；以为惩罚一定能解决，没看到惩罚本身也是公共品。

题 5 解答

思路。 虚拟对局（fictitious play）：每个人假设对方会按过去的频率行动，对这个频率选最佳反应。

# 射门进球率：行 = 球员（踢左、踢右），列 = 守门员（扑左、扑右）
SCORE = [[0.50, 0.90],
         [0.95, 0.60]]

shooter_counts = [1, 1]                    # 球员踢左、踢右的次数（各从 1 开始，避免除以 0）
keeper_counts = [1, 1]                     # 守门员扑左、扑右的次数

for t in range(1, 20001):
    k = keeper_counts[0] / sum(keeper_counts)             # 守门员过去扑左的频率
    shooter_pay = [SCORE[i][0] * k + SCORE[i][1] * (1 - k) for i in range(2)]
    g = shooter_counts[0] / sum(shooter_counts)           # 球员过去踢左的频率
    keeper_pay = [g * SCORE[0][j] + (1 - g) * SCORE[1][j] for j in range(2)]   # 守门员希望进球率低
    shooter_counts[shooter_pay.index(max(shooter_pay))] += 1   # 每人对对方过去的频率，选最好的反应
    keeper_counts[keeper_pay.index(min(keeper_pay))] += 1
    if t in (10, 100, 1000, 20000):
        g = shooter_counts[0] / sum(shooter_counts)
        k = keeper_counts[0] / sum(keeper_counts)
        score = g * (k * SCORE[0][0] + (1 - k) * SCORE[0][1]) + (1 - g) * (k * SCORE[1][0] + (1 - k) * SCORE[1][1])
        print(f"第 {t:5d} 轮：球员踢左的频率 {g:.3f}，守门员扑左的频率 {k:.3f}，进球率 {score:.3f}")

# 手算的混合策略均衡
g_star = (SCORE[1][1] - SCORE[1][0]) / (SCORE[0][0] - SCORE[0][1] - SCORE[1][0] + SCORE[1][1])
k_star = (SCORE[1][1] - SCORE[0][1]) / (SCORE[0][0] - SCORE[1][0] - SCORE[0][1] + SCORE[1][1])
print(f"均衡：球员踢左 {g_star:.3f}，守门员扑左 {k_star:.3f}")

输出：

第    10 轮：球员踢左的频率 0.583，守门员扑左的频率 0.500，进球率 0.731
第   100 轮：球员踢左的频率 0.461，守门员扑左的频率 0.471，进球率 0.740
第  1000 轮：球员踢左的频率 0.465，守门员扑左的频率 0.421，进球率 0.740
第 20000 轮：球员踢左的频率 0.470，守门员扑左的频率 0.400，进球率 0.740
均衡：球员踢左 0.467，守门员扑左 0.400

过程与答案。

输出里：第 10 轮还很乱（0.583、0.500），第 100 轮靠近（0.461、0.471），第 20000 轮：球员踢左 0.470，守门员扑左 0.400，非常接近手算的 (0.467, 0.4)，进球率稳在 0.740。每一轮每个人的选择都是纯策略，但频率收敛到混合策略均衡。

这说明混合策略不一定是"人在心里掷骰子"。如果大家反复对局、互相适应，整体的频率就会走到混合均衡。（这个收敛对零和博弈有理论保证；对别的博弈不一定。）

常见错误。 把最终的频率当成"某一轮的选择"；把起点设成 0 次导致除以 0。

第二部分　重复博弈

题 6 解答

过程与答案。

（1）一直合作：4 + 4δ + 4δ² + … = 4/(1 − δ)。第一轮背叛：第一轮 6，之后对方永远背叛，我每轮 1：6 + δ/(1 − δ)。合作更好的条件：4/(1 − δ) ≥ 6 + δ/(1 − δ)，即 4 ≥ 6(1 − δ) + δ = 6 − 5δ，δ ≥ 0.4。（公式 δ* = (T − R)/(T − P) = (6 − 4)/(6 − 1) = 0.4。）

（2）惩罚变成永远每轮 3：背叛 6 + 3δ/(1 − δ)。4 ≥ 6(1 − δ) + 3δ = 6 − 3δ，δ ≥ 2/3。惩罚越轻，需要的 δ 越大（越"看重未来"）。

（3）

（用 20 万局随机结束的模拟核对过，和公式吻合到两位小数。）

（4）合作需要三样：背叛能被发现；惩罚真有力度（P 比 R 低得多）；关系有未来（δ 够大）。少了任何一样，合作都会塌。

常见错误。 把 δ 当成"概率越大越不耐心"：δ 是继续的概率，越大越看重未来；把"背叛的一次性好处"（T − R）和"惩罚的损失"（R − P）弄反。

题 7 解答

过程与答案。

（1）Cournot：每家 q = (84 − 12)/3 = 24，P = 36，每家利润 24 × 24 = 576。合谋：垄断产量 (84 − 12)/2 = 36，价格 48，总利润 36 × 36 = 1296，每家 648。偷偷多产：对方生产 18，我的最佳反应是 (72 − 18)/2 = 27，价格 84 − 45 = 39，利润 27 × 27 = 729。

（2）冷酷触发：合谋的永远收益 648/(1 − δ)；背叛：729 + 576δ/(1 − δ)。条件：648 ≥ 729(1 − δ) + 576δ，648 ≥ 729 − 153δ，δ ≥ 81/153 ≈ 0.529。（这个值和第 19 讲的烤肠摊一样：线性需求下，两家的门槛是 9/17，和具体数字无关。）

（3）惩罚只持续 k 期。δ = 0.7：k = 1 时，背叛的总收益 729 + 0.7 × 576 + 0.49 × 648/0.3 ≈ 2190.6，高于合作的 648/0.3 = 2160，不够；k = 2 时，背叛 ≈ 2155.3 < 2160，够。所以 k 至少 2。δ = 0.55：k 至少 5。δ 越小，需要的惩罚越长。

（4）三家：每家合谋利润 432，Cournot 324，偷偷多产（对方各守 12）576，δ* = (576 − 432)/(576 − 324) ≈ 0.571。五家：δ* ≈ 0.643。企业越多，门槛越高，合谋越难维持：偷偷多产的好处随企业数增大，而惩罚的损失（相对）变小。这和第 19 讲的结论一致。（这个简单模型忽略了监测不完全、企业不同和协调的困难，现实更复杂。）

常见错误。 以为惩罚只要存在就够了：它的长度和力度要足够抵消背叛的好处；把 δ* 的公式用在 N 家的情形，却用了两家的利润。

题 8 解答

过程与答案。

（1）每对的得分（10 轮，前者得分，后者得分）：

（2）总分：永远合作 0 + 30 + 30 = 60；永远背叛 50 + 14 + 14 = 78；以牙还牙 30 + 9 + 30 = 69；冷酷触发 30 + 9 + 30 = 69。永远背叛第一。

（3）去掉"永远合作"：永远背叛 14 + 14 = 28；以牙还牙 9 + 30 = 39；冷酷触发 9 + 30 = 39。善良的策略赢了。

（4）这四个策略都没有噪声、没有随机，所以以牙还牙和冷酷触发在这里的行为完全一样：遇到永远合作，两者都一直合作；遇到永远背叛，两者从第 2 轮起都背叛；两者互相打，一直合作。区别在于对方偶尔背叛一次之后：以牙还牙会跟着背叛一轮，然后对方回头合作它也回头，冷酷触发则永不原谅。所以一旦有人"手滑"（噪声），两者的得分会拉开（第 19 讲噪声那一节）。

要点。 名次由名单决定：名单里有一个"永远合作"的被剥削者，永远背叛就赢；没有，善良的策略赢。

常见错误。 忘了对方的策略会随你的选择变；漏算"自己对自己"的比赛（本题没有）。

题 9 解答

（a）错。 纳什均衡只是"没有人想单方面改变"，不是"每个人都最好"。囚徒困境的纳什均衡 (背叛, 背叛) 比 (合作, 合作) 差。

（b）对。 每个人都选占优策略时，每个人的选择都是对别人的选择的最佳反应（因为它是对所有选择的最佳反应）。

（c）错。 要使对方无差异，不是自己。（题 2 里扑左的概率由球员踢左、踢右的进球率相等决定。）

（d）错。 有限次重复，最后一轮没有未来，合作瓦解；倒数第二轮也一样，逆向归纳使合作一直拆到第一轮。真实的人会合作到接近结束，这需要别的解释（一点点不确定、利他等，第 19 讲）。

（e）对。 均衡里没人背叛，所以惩罚从不发生；它的作用是威慑。

（f）错。 民间定理说"合作可以是均衡"，但永远背叛同样是均衡，还有很多别的均衡；会不会合作，要看预期、历史和别的因素。

第三部分　信息不对称

题 10 解答

过程与答案。

（1）买家愿意付 8s + 3(1 − s) = 3 + 5s。好车卖家要价至少 6：3 + 5s ≥ 6，s ≥ 0.6。

（2）s = 0.7：价格 3 + 3.5 = 6.5。好车卖家得 6.5 − 6 = 0.5，信息完全时（价格 8）得 2，少拿 1.5。柠檬卖家得 6.5 − 2 = 4.5，信息完全时（价格 3）得 1，多拿 3.5。好车补贴了柠檬。

（3）s = 0.55：3 + 2.75 = 5.75 < 6，好车卖家不卖，好车退出。市场上只剩柠檬，价格 3。信息完全时总好处 = 0.55 × 2 + 0.45 × 1 = 1.55，现在只剩 0.45 × 1 = 0.45，少 1.10（71%）。

（4）s = 0.7 时，即使不查，所有车都成交（好车卖了，柠檬卖了），总好处和信息完全时一样（1.7），价格只是在两类卖家之间转移；查一遍花 0.3，是白花。s = 0.55 时，不查只有 0.45，查了总好处 1.55 − 0.3 = 1.25，查。逆向选择有门槛：在门槛之上，它只是分配问题；在门槛之下，才造成效率损失。

常见错误。 以为信息不对称一定毁掉市场：在门槛 s ≥ 0.6 以上，好车仍然卖得出去。

题 11 解答

思路。 参保者的愿付价 (1 + λ)c ≥ 保费 p，即 c ≥ p/(1 + λ)。参保者的平均支出必须等于保费。

过程与答案。

（1）参保者是 c ∈ [p/(1 + λ), 1]，平均支出 (1 + p/(1 + λ))/2 = p，解得 p = (1 + λ)/(1 + 2λ) = 1.4/1.8 ≈ 0.778。参保比例 = 1 − p/(1 + λ) = 2λ/(1 + 2λ) = 0.8/1.8 ≈ 44.4%。

（2）参保者 c ≥ 0.556。总好处 = ∫ λc dc（c 从 0.556 到 1）= 0.4 × (1 − 0.556²)/2 ≈ 0.138。所有人都参保时 = λ/2 = 0.2。损失 30.9%。

（3）强制参保，保费 0.5（所有人的平均支出）。总好处 = 0.2，是最大的。但分配不同：愿付价 (1 + λ)c 低于 0.5，即 c < 0.5/1.4 ≈ 0.357 的人（占 35.7%）净亏：平均每人亏 0.25；其余的人净赚平均 0.45。

（4）不是。强制参保提高了总好处（0.138 → 0.2），但有一部分人（低风险者）被迫付了高于他们愿付价的保费，等于补贴了高风险者。要不要这样做，涉及效率与公平的权衡，是价值判断。（第 20 讲也说明，强制参保的理由不止一个。）

常见错误。 把保费当成"所有人的平均支出"（0.5），而不是"参保者的平均支出"。

题 12 解答

过程与答案。

（1）诚实：每期多赚 m，永远（δ 折现）：mδ/(1 − δ)。骗：一次性赚 b。诚实更好：mδ/(1 − δ) ≥ b，即 δ ≥ b/(b + m) = 6/7.2 ≈ 0.833。

（2）m = 2：6/8 = 0.75。每期的好处越大，需要的"耐心"越小。

（3）个人卖家（只做一次交易，δ 接近 0）更可能骗；长期店铺（预计持续做下去，δ 高）更可能诚实。评价系统可能失灵的方式：刷单（伪造好评，让 m 看起来很大）；报复性差评（买家不敢给差评）；关店换名（骗完就换马甲，δ 骤降，声誉的惩罚落空）。第 20 讲说得更细。

常见错误。 把 δ 的方向弄反；以为评价系统一定有效。

题 13 解答

思路。 按"他会选的做法"收公平保费。免赔额越低，保险越"全"，他越没有动力小心。

import math

WEALTH, LOSS = 30.0, 18.0
P_CARE, COST_CARE = 0.05, 0.6             # 小心：事故概率 5%，代价 0.6（折成钱）
P_LAX = 0.15                              # 随意：事故概率 15%，不花代价


def utility(careful, deductible, premium):
    """对数效用：没事故时财富 W - 保费 - 努力成本；有事故时再扣自付的 d。"""
    p = P_CARE if careful else P_LAX
    base = WEALTH - premium - (COST_CARE if careful else 0)
    return (1 - p) * math.log(base) + p * math.log(base - deductible)


def fair_premium(careful, deductible):
    return (P_CARE if careful else P_LAX) * (LOSS - deductible)


def outcome(deductible):
    """保险公司按"你会选的做法"收公平保费；只有这个做法对你自己也最划算，合同才成立。"""
    prem_c, prem_l = fair_premium(True, deductible), fair_premium(False, deductible)
    if utility(True, deductible, prem_c) >= utility(False, deductible, prem_c):
        return True, prem_c, utility(True, deductible, prem_c)
    return False, prem_l, utility(False, deductible, prem_l)


best = max(((outcome(d)[2], d) for d in (x / 10 for x in range(0, 181))), key=lambda t: t[0])
print(f"不买保险：小心 {utility(True, LOSS, 0):.4f}，随意 {utility(False, LOSS, 0):.4f}")
careful0, prem0, u0 = outcome(0.0)
print(f"全额保险（免赔额 0）：你{'小心' if careful0 else '随意'}，保费 {prem0:.2f}，效用 {u0:.4f}")
for d in (1, 2, 3, 4, 6, 8, 12):
    careful, prem, u = outcome(float(d))
    print(f"免赔额 {d:2d}：你{'小心' if careful else '随意'}，保费 {prem:.2f}，效用 {u:.4f}")
first = next(d for d in (x / 10 for x in range(181)) if outcome(d)[0])
print(f"免赔额至少 {first:.1f}，你才愿意小心")
print(f"最优免赔额 {best[1]:.1f}，效用 {best[0]:.4f}")
print(f"如果你的做法看得见（只收小心的保费，全额保险）：{utility(True, 0, fair_premium(True, 0)):.4f}")

输出：

不买保险：小心 3.3336，随意 3.2638
全额保险（免赔额 0）：你随意，保费 2.70，效用 3.3069
免赔额  1：你随意，保费 2.55，效用 3.3068
免赔额  2：你随意，保费 2.40，效用 3.3065
免赔额  3：你随意，保费 2.25，效用 3.3061
免赔额  4：你随意，保费 2.10，效用 3.3054
免赔额  6：你小心，保费 0.60，效用 3.3487
免赔额  8：你小心，保费 0.50，效用 3.3476
免赔额 12：你小心，保费 0.30，效用 3.3442
免赔额至少 5.6，你才愿意小心
最优免赔额 5.6，效用 3.3489
如果你的做法看得见（只收小心的保费，全额保险）：3.3499

过程与答案。

（1）见上面的输出。免赔额低于 5.6 时，他选随意：全额保险（d = 0）时，保费 2.70（15% × 18），效用 3.3069；d = 4 时效用 3.3054，几乎没变好。免赔额 ≥ 5.6 时，他选小心：d = 6，保费 0.60，效用 3.3487；d = 8，0.50，3.3476；d = 12，0.30，3.3442。

（2）免赔额至少约 5.6，他才愿意小心（代码按 0.1 的步长找）；最优免赔额也就是这个最小值：再高，他承担的风险更多，效用下降。效用 3.3489。

（3）和全额保险比：3.3489 − 3.3069 = 0.042，大得多。和"保险公司看得到是否小心"（3.3499）比：差 0.0010，很小。换句话说，一个合适的免赔额，收回了道德风险造成的绝大部分损失（约 98%）：（3.3489 − 3.3069）÷（3.3499 − 3.3069）。另外，不买保险（小心）的效用是 3.3336，所以保险依然有价值。

要点。 道德风险的解决办法不是"不保险"，是让被保险人承担一部分，使他的利益和你的一致。代价是他承担了一点风险（风险没有完全分摊）。

常见错误。 以为全额保险最好；把保费当成固定值，没有考虑"保费取决于他会选什么"。

题 14 解答

思路。 两个约束：参与约束（不接工作的效用 4）、激励相容（努力比不努力至少好）。

过程与答案。

（1）设成功和失败时的效用（√w）分别是 u_s、u_f。激励相容：(0.7 − 0.3)(u_s − u_f) ≥ 1.5，所以 u_s − u_f ≥ 3.75。参与约束：0.7u_s + 0.3u_f − 1.5 ≥ 4。老板想花最少，两个约束都取等号：u_s − u_f = 3.75，0.7u_s + 0.3u_f = 5.5。解得 u_f = 5.5 − 0.7 × 3.75 = 2.875，u_s = 6.625。工资 w = u²：w_f ≈ 8.27，w_s ≈ 43.89。老板期望付 0.7 × 43.89 + 0.3 × 8.27 ≈ 33.20。

（2）看得到努力，固定工资：效用 √w − 1.5 = 4，√w = 5.5，w = 30.25。

（3）33.20 − 30.25 = 2.95，叫代理成本。原因：员工怕风险，而老板为了激励，让工资随成败浮动，工人要承担风险，老板必须付一份风险补偿。这是激励和保险的权衡。

常见错误。 只满足参与约束，忘了激励相容（员工会不努力）；把 u 和 w 弄混（w = u²）。

题 15 解答

过程与答案。

（1）不读书：雇主按平均产出付工资：0.4 × 3 + 0.6 × 1 = 1.8，大家一样。

（2）读 e 年，雇主付 3（读够的）和 1（没读够的）。低能力者不模仿：3 − 1.0e ≤ 1，e ≥ 2。高能力者愿意读：3 − 0.5e ≥ 1，e ≤ 4。所以 e ∈ [2, 4]，有很多个均衡。

（3）e = 2：高能力者净得 3 − 0.5 × 2 = 2.0，低能力者 1.0（不读）。社会的平均净产出：0.4 × 2.0 + 0.6 × 1.0 = 1.4；不读书的平均产出是 1.8。读书花掉了 0.4，社会少得 0.4：读书只是信号，没提高产出，是白花。高能力者能分开自己（2.0 > 1.8 的统一工资），代价是社会的总好处下降。

（4）两类人代价都是 0.5：低能力者不模仿需要 3 − 0.5e ≤ 1，e ≥ 4；高能力者愿意读需要 3 − 0.5e ≥ 1，e ≤ 4。只有 e = 4，高能力者净得 3 − 2 = 1，和被当成低能力者一样，没有好处。信号失去了"分开"的作用。信号起作用，要求高能力者的代价更低。

常见错误。 以为信号总是"有用"：它要求不同类型的代价不同；以为读书一定提高产出（这里是纯信号的极端情形，真实世界两者都有，没有定论，第 21 讲）。

第四部分　拍卖与机制设计

题 16 解答

过程与答案。

（1）一价拍卖，n = 4：均衡出价 (n − 1)/n × v = 0.75 × 0.8 = 0.60。

（2）两种拍卖里卖家的期望收入都是 (n − 1)/(n + 1) = 3/5 = 0.60（收益等价）。一价：最高估值的期望 n/(n + 1) = 0.8，乘出价比例 0.75，得 0.60；二价：第二高估值的期望 (n − 1)/(n + 1) = 0.60。

（3）二价拍卖，估值 0.8：

我出 0.6 时，在对方 0.70 的情形里，错失了 0.10；我出 0.9 时，在对方 0.85 的情形里，白亏了 0.05。说真话在每一种情形下都不比别的更差：你的出价只决定"赢不赢"，不决定"付多少"，所以说真话是占优策略。

（4）怕风险（ρ = 0.5）：出价系数 3/3.5 ≈ 0.857，一价拍卖的收入 = 0.857 × 0.8 ≈ 0.686，比二价拍卖（0.60）高 14.3%。怕风险的投标人，在一价拍卖里更愿意多出价（宁愿少赚一点，也要提高赢的概率），所以卖家受益。（这是理论预测；实验证据有争议，第 22 讲。）

常见错误。 以为一价拍卖卖家收入一定更高，因为"出价更高"：出价更高，但赢的人的估值也更高，两者相抵，在风险中性下收入相等。

题 17 解答

思路。 保留价提高，赢家出的价可能更高，但会有"没卖出去"的风险。

过程与答案。

（1）n = 2：

（2）n = 5：

（3）最优保留价 0.6，两种人数都是。公式：r* = (1 + s)/2，s 是卖家自己的估值，与人数无关。（这和垄断者定价的 MR = MC 一样：保留价是在"没卖出去的损失"和"卖出去时多拿一点"之间权衡。）

（4）保留价提高到 0.6，2 个人时期望所得从 0.371 提高到 0.477（+28.8%），5 个人时只从 0.667 到 0.682（+2.3%）。人少时，没有保留价，赢家付的可能很低；人多时，竞争本身就把价格推高，保留价帮不上多少忙。冒"没卖出去"的风险，是用有利的交易换更好的价格，这是第 22 讲的结论：保留价会损失本来对双方都有利的交易。

常见错误。 把保留价定成自己的估值（0.2），那样等于没有保留价；以为保留价总有好处。

题 18 解答

思路。 赢家是估计最高的人，而估计最高的人，往往是误差最大（最乐观）的人。

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(82)
TRIALS, V, NOISE = 200000, 50.0, 10.0      # 真实价值 50，每个人的估计误差在 ±10 之间均匀分布

print("每人的估计 = 真实价值 + 误差；每人出价 = 自己的估计 - 压价。赢家（出价最高的人）的平均利润 = 真实价值 - 他的出价：")
print(f"{'人数':>4} {'压价 0':>8} {'压价 5':>8} {'压价 10':>8} {'公式 -10(n-1)/(n+1)':>22}")
for n in (2, 4, 8):
    estimates = V + rng.uniform(-NOISE, NOISE, size=(TRIALS, n))
    winner = estimates.max(axis=1)           # 所有人压价一样，估计最高的人出价最高
    row = [(V - (winner - s)).mean() for s in (0, 5, 10)]
    print(f"{n:4d} {row[0]:8.2f} {row[1]:8.2f} {row[2]:8.2f} {-NOISE * (n - 1) / (n + 1):22.2f}")

输出：

每人的估计 = 真实价值 + 误差；每人出价 = 自己的估计 - 压价。赢家（出价最高的人）的平均利润 = 真实价值 - 他的出价：
  人数     压价 0     压价 5    压价 10      公式 -10(n-1)/(n+1)
   2    -3.31     1.69     6.69                  -3.33
   4    -6.01    -1.01     3.99                  -6.00
   8    -7.78    -2.78     2.22                  -7.78

过程与答案。

（1）见输出（利润 = 真实价值 − 他的出价）：

（2）赢家的平均利润 = 压价 − 10(n − 1)/(n + 1)。公式给出：n = 2：−3.33；n = 4：−6.00；n = 8：−7.78。所以不亏需要压价至少 10(n − 1)/(n + 1)：n = 2 压 3.33，n = 4 压 6，n = 8 压 7.78。人越多，需要压得越多（极限是误差的最大值 10）。

（3）和逆向选择同构：赢了，就是坏消息。赢意味着你的估计比所有别人都高，这本身就说明你的估计偏高。柠檬市场里，买家买到的车，是卖家愿意卖的车，也是偏差的信息。两者都是：在你"成交"的条件下，你对对方信息的判断要修正。

常见错误。 以为"出价等于估计"不会亏：估计无偏，但赢家的估计是最高值，有偏；把压价说成"让自己吃亏"，其实压价才是理性的。（真实均衡的压价更复杂，这里是最简演示。）

题 19 解答

过程与答案。

（1）总净好处 30 + 10 − 25 = +15 > 0，该建。如果由居民自己报价值，C 有动机夸大成本（报得很低，比如净好处 −100），把总数压到负，阻止建设；A、B 则有动机夸大价值。

（2）克拉克税：只对"关键人物"（报告改变了决定的人）收税，税 = 别人因此承担的损失。

• A：没有 A，B + C = 10 − 25 = −15 < 0，不建。有 A 就建。A 是关键人物，别人因此承担的损失是 15，A 付 15。
• B：没有 B，A + C = 30 − 25 = +5 > 0，仍然建。B 不是关键人物，付 0。
• C：没有 C，A + B = +40 > 0，仍然建。付 0。

最后的净好处：A 30 − 15 = 15，B 10，C −25。总税 15。

（3）C 谎报：想阻止建设，必须报告 ≤ −41（让总和变成负）。这时 C 变成关键人物，别人因此承担的损失是 A + B = 40，C 付 40，而且不建，C 得 0 − 40 = −40，比说真话（−25）更糟。A 谎报：报得更低（比如净好处 14），总和 14 + 10 − 25 = −1 < 0，不建，A 得 0，而说真话得 15，更糟；报得更高没有变化。用代码把每个人所有报告都试了一遍，说真话从不更差。

（4）代价：第一，总税 15 要被"烧掉"（不能还给居民，否则又影响激励）；第二，C 的净好处是 −25，参与约束不满足：C 被迫付一笔他不想付的成本；第三，这个办法要求政府知道规则、居民能算出自己的价值。第 22 讲还提到：二价拍卖是克拉克税的特例。

常见错误。 以为克拉克税是对所有人收；以为说真话"有时吃亏"，忘了你付的是别人的损失，不是你自己的报告。

第五部分　外部性、科斯定理

题 20 解答

过程与答案。

（1）没有政府：120 − Q = 30 + Q，Q = 45，P = 75。社会边际成本 54 + Q：120 − Q = 54 + Q，Q = 33，P = 87。无谓损失 = ½ × (45 − 33) × 24 = 144。

（2）税 24：买家付 87，厂商实际拿到 87 − 24 = 63。税收 24 × 33 = 792，损害 24 × 33 = 792。

（3）税 t 下，Q = (90 − t)/2，扣掉损害后的总剩余 = ∫(120 − x − 54 − x)dx = 66Q − Q²：

税 = 24（等于边际损害）时最大。税 48（两倍的边际损害）和没有税一样糟（945）：定得太高，减少的是本来有益的生产。

（4）损失 = (t − d)²/4，d = 24：t = 12：36；t = 36：36；总剩余 1089 − 36 = 1053 ✓。定高和定低，损失是对称的。

常见错误。 以为"税越高越好"；用私人边际成本算最优产量（应该用社会边际成本）；以为税收自动补偿受害者（题 28 (i)）。

题 21 解答

过程与答案。

（1）各减 20：甲的总成本 = ∫2a da = a² = 400；乙 = ∫6b db = 3b² = 1200。合计 1600。

（2）最小成本：两家的边际成本相等，2a = 6b，a + b = 40：a = 30，b = 10，边际成本 60。成本：甲 900，乙 3 × 100 = 300，合计 1200，比平均分担便宜 25%。

（3）各发 80 个许可，均衡价格 = 边际成本 60。甲减排 30，排放 70，卖出 10 个许可得 600；乙减排 10，排放 90，买入 10 个花 600。甲净成本 900 − 600 = 300，乙 300 + 600 = 900，合计仍是 1200。

（4）税 60：每个企业减排到边际成本等于税，结果和许可证交易一样（甲减 30，乙减 10）。区别在分配：税要交钱给政府（税收 60 × 160 = 9600）；免费发放许可证，企业不用付钱。（第 23 讲。）

（左图对应题 20：税定在哪里最好；右图对应本题：同样减 40，成本差 25%。）

常见错误。 以为"公平"的办法就是平均分担；忘了总量一样，只要允许交易，谁减排由成本低的人来。

题 22 解答

过程与答案。

（1）工厂自己选：B′(q) = 100 − 2q = 0，q = 50。社会最优：100 − 2q = 20，q = 40。

（2）工厂有权（默认 q = 50）：从 50 减到 40，工厂少得 B(50) − B(40) = 2500 − 2400 = 100，邻居少受害 20 × 10 = 200。合作的好处 100，价格在 100 到 200 之间（邻居付工厂）。产量 40。

（3）邻居有权（默认 q = 0）：工厂想生产 40，好处 B(40) = 2400，邻居受害 20 × 40 = 800。合作的好处 1600，价格在 800 到 2400 之间（工厂付邻居）。产量 40。

（4）总剩余（工厂好处 − 损害 − 谈判成本）：

T = 0 或较小时，两种配置一样，都是 1600（科斯定理）。T = 150 时，工厂有权的谈判好处（100）小于成本，不谈，维持默认 q = 50，剩余 2500 − 1000 = 1500；邻居有权的谈判好处（1600）大于成本，谈成，剩余 1600 − 150 = 1450。所以 T = 150 时，工厂有权更好；T = 1700 时更是如此（邻居有权的谈判没谈成，剩余 0）。把权利给"默认结果更接近有效率"的一方，能省交易成本（第 24 讲）。

常见错误。 以为科斯定理说"不用政府"：它说的是零交易成本时；现实里交易成本高，初始产权的配置很重要；以为两种产权下谈判的价格一样。

第六部分　公共品、公地

题 23 解答

过程与答案。

（1）每户边际好处 12 − q，10 户合计 120 − 10q。MC = 20：120 − 10q = 20，q = 10。总净好处 = 10 × (12 × 10 − 50) − 20 × 10 = 10 × 70 − 200 = 500。自愿提供：一户的边际好处最高是 12（q = 0 时），低于成本 20，没有人愿意出钱，q = 0，净好处 0。

（2）MC = 6：120 − 10q = 6，q = 11.4，总净好处 = 10 × (12 × 11.4 − 11.4²/2) − 6 × 11.4 = 10 × 71.82 − 68.4 = 649.8。自愿提供：一户的边际好处 12 − q = 6，q = 6（有一户出钱，其余搭便车）。总净好处 = 10 × (72 − 18) − 36 = 504。是最优的 77.6%。

（3）MC = 20 时，哪怕一户的最高边际好处（12）也不够抵成本（20），自己出钱不划算；而社会上 10 户加起来的边际好处（120）远大于 20。这是公共品的本质：好处被所有人享受，而每个人只算自己的那一份。

常见错误。 把 10 户的边际好处用"横着加"（公共品要竖着加，所有人同时享受同一单位）。

题 24 解答

过程与答案。

（1）租金 = 12E − E² − 5E = 7E − E²。最大化：7 − 2E = 0，E = 3.5，租金 = 24.5 − 12.25 = 12.25。

（2）开放进入：直到租金为零，7E − E² = 0，E = 7，租金 0。

（3）n 个渔民各自选努力 E_i，总努力 E = nE_i。每人的收入：E_i × (12 − E)（平均收入 12 − E），成本 5E_i。一阶条件：12 − E − E_i − 5 = 0，即 7 − nE_i − E_i = 0，E_i = 7/(n + 1)，总努力 7n/(n + 1)。

n = 1（一个所有者）得到最优；n 越大，越接近开放进入的零租金。

（4）n = 4，加税 τ（每单位努力）：E_i = (7 − τ)/5，总努力 4(7 − τ)/5 = 3.5，τ = 2.625。

常见错误。 以为"公有"就是悲剧：关键是开放进入（谁都能进来）；n = 1 时，即使资源是"公共"的，所有者也会节制。

第七部分　政府失灵

题 25 解答

过程与答案。

（1）公园 vs 图书馆：甲 公园，乙 图书馆，丙 公园 → 公园 2:1。图书馆 vs 游泳池：甲 图书馆，乙 图书馆，丙 游泳池 → 图书馆 2:1。游泳池 vs 公园：甲 公园，乙 游泳池，丙 游泳池 → 游泳池 2:1。形成圈：公园 > 图书馆 > 游泳池 > 公园，没有多数偏好的赢家（孔多塞循环）。议程：先比公园和图书馆（公园赢），再让公园对游泳池（游泳池赢）；先比图书馆和游泳池（图书馆赢），再对公园（公园赢）；先比游泳池和公园（游泳池赢），再对图书馆（图书馆赢）。谁控制议程，谁决定结果。

（2）中位数 5，平均数 50/9 ≈ 5.56。5 对 5.56：偏好 5 的是理想值 ≤ 5.28 的人：1、2、2、4、5，共 5 人；偏好 5.56 的是其余 4 人。5 赢，5:4。中位数不可能被击败：任何别的方案，都有一半以上的人更靠近中位数。（条件：一维、单峰偏好。）

常见错误。 以为多数投票总有一个稳定的结果；以为平均数是多数偏好的代表（中位数才是）。

题 26 解答

过程与答案。

（1）总好处 6 × 50 万 = 300 万元；总损失 1000 万 × 0.5 = 500 万元。损失大于好处。

（2）每家企业愿意为此花最多 50 万（好处的全部）；一名消费者只有 0.5 元的损失，花超过 0.5 元就不值得（连读一份政策公告都不值）。差了 100 万倍。

（3）6 家企业容易组织（人少，能互相监督），每家的好处大；1000 万消费者很难组织：每人的损失小，没人愿意领头，成员越多越容易搭便车（第 25 讲）。所以政策可能通过，尽管总损失大于总好处。

（4）说明：当好处集中、损失分散时，政治过程可能偏向前者（第 26 讲的 Olson 逻辑）。没说明：现实中有媒体、消费者组织、选举、竞争性的企业利益、法院……这是一个逻辑例子，不是对任何具体政策的断言；一项具体政策是否属于这种情形，要靠事实去查。

常见错误。 把这个逻辑当成"所有保护政策都是游说的结果"。

题 27 解答

思路。 每个人最大化 R·x/(x + 别人投入) − x，对别人投入的最佳反应是 x = √(R·O) − O。

R = 2000.0                                  # 奖品：垄断牌照带来的租
GRID = [i * 0.5 for i in range(0, 4001)]     # 每个人可以投入 0 到 2000，步长 0.5


def payoff(x, others):
    total = x + others
    return R * x / total - x if total > 0 else 0.0


def best_response(others):
    return max(GRID, key=lambda x: payoff(x, others))


for n in (2, 4, 10):
    x = R / n                                # 从一个随便的起点出发
    for _ in range(400):
        x = 0.9 * x + 0.1 * best_response((n - 1) * x)   # 每次只往最佳反应挪一点，避免来回跳
    total = n * x
    print(f"{n:2d} 个人：每人投入 {x:7.2f}，合计 {total:7.1f}，占奖品的 {total / R:5.1%}，公式 R(n-1)/n = {R * (n - 1) / n:7.1f}")
DWL = 500.0
print(f"牌照让社会损失的无谓损失是 {DWL:.0f}；n = 10 时争夺又花掉 {10 * x:.0f}，合计社会成本 {DWL + 10 * x:.0f}")

输出：

 2 个人：每人投入  500.00，合计  1000.0，占奖品的 50.0%，公式 R(n-1)/n =  1000.0
 4 个人：每人投入  375.00，合计  1500.0，占奖品的 75.0%，公式 R(n-1)/n =  1500.0
10 个人：每人投入  180.00，合计  1800.0，占奖品的 90.0%，公式 R(n-1)/n =  1800.0
牌照让社会损失的无谓损失是 500；n = 10 时争夺又花掉 1800，合计社会成本 2300

过程与答案。

（1）见输出：n = 2：每人 500，合计 1000（50%）；n = 4：每人 375，合计 1500（75%）；n = 10：每人 180，合计 1800（90%）。公式：合计 R(n − 1)/n，人越多，争夺把牌照的价值耗掉得越多，极限是全部。

（2）n = 10：无谓损失 500 + 争夺花掉 1800 = 2300。垄断的社会成本，不只是价格高造成的无谓损失，还有为了得到垄断权花掉的资源。

（3）依赖的假设：风险中性；赢的概率等于投入占比（“彩票式"竞赛）；所有人对牌照的估值一样；争夺的钱是纯浪费（没有转移成别的好处）。如果争夺的方式是向政府付钱（拍卖），争夺就变成了转移，不再是浪费。这些是简化假设，真实的寻租要复杂得多。

常见错误。 以为牌照的价值（2000）是社会的损失：牌照价值是转移，损失是无谓损失和争夺花费。

第八部分　综合

题 28 解答

（a）错。 逆向选择是交易之前的隐藏信息（类型）；交易之后的隐藏行动是道德风险。

（b）错。 “道德"是保险业的一个术语，指的是：有了保险以后，人的行为会变得不那么小心，是对激励的反应，不是品德问题。

（c）对。 二价拍卖里说真话是占优策略（题 16）。

（d）错。 一价拍卖里，出价 = (n − 1)/n × 估值，低于估值（否则赢了没有利润）。

（e）对。 最优税率等于最优产量上的边际外部损害（题 20，t = 24）。

（f）错。 科斯定理说的是效率：零交易成本时，产量一样，总剩余一样；但分配不同（谁付谁）（题 22）。

（g）错。 自愿提供的量常常低于最优，但不一定是零：如果某一户的边际好处够高，会有人愿意出钱（题 23 (2) 里，MC = 6 时 q = 6）。

（h）错。 关键是开放进入（题 24 里 n = 1 时没有悲剧）。公有但有规则的资源（Ostrom 的案例）可以管得很好。

（i）错。 税收进入政府的收入，不会自动补偿受害者。补偿是另外的政策选择。

题 29 解答

说明。 开放题，参考写法。关键是把"理论上会怎样"“需要什么数据"“该怎么权衡"分开。

理论预测： 高峰时段的道路是一种公共资源：每个多开进来的人，让所有人的行驶时间都变长，但他只承担自己的那一份，没有承担对别人的影响（负外部性，第 23 讲）。拥堵费就是庇古税：把外部成本算进司机的决定，让边际上最不在乎的人换成公交、错峰或不出行。理论上，收费的最优水平等于最优车流量上多一辆车造成的边际外部成本（不是越高越好，题 20）。证据与局限： 判断它是否有效，需要对比收费前后的车速、出行时间、公交客流，并且要有没有收费的对照路段（排除天气、油价、经济状况的同时变化）。需要知道的数字：司机对收费的敏感程度（需求弹性）、人们是否换了路线（使别的街道更堵）、公交能否承接新增的客流。分歧在哪： 事实分歧：弹性有多大，收益能否抵消行政成本，会不会只是把拥堵挪到别处。价值分歧：公平（收费对低收入的通勤者影响更大，对高收入者几乎没有影响，是否可以接受？收入如何使用，能否补偿受影响的人？）；隐私（车牌识别会留下行踪记录）；谁有权使用道路（是用价格分配，还是用别的办法，如限行）。价值判断留给读者： 数据能说明收费大概能减少多少拥堵，该不该用价格来分配道路、怎样分配收入，是你的判断。

常见错误。 直接下结论"应该收"或"不应该收”；把"拥堵费有效"当成已经证实的事实；只谈效率，不谈分配。

题 30 解答

（d）里需要小心的一点：企业之间私下商量好价格，在《反垄断法》下可能是违法的垄断协议；重复博弈里"合作"这个词在经济学里是中性的，在法律上不是。

常见错误。 只写名字，没有指出激励：每一种都是"某个人的选择影响了别人，但没有为此付出代价”，或者"一方知道的比另一方多”。

做完之后

数一数你错在哪里。

• 第一、二部分（题 1–9）错得多：重读第 18、19 讲，自己画收益表、划线；记住混合策略的概率让对方无差异，合作需要未来。
• 第三部分（题 10–15）错得多：重读第 20、21 讲：逆向选择是交易前的信息，道德风险是交易后的行动，信号要求不同类型代价不同。
• 第四部分（题 16–19）错得多：重读第 22 讲：二价说真话、收益等价、保留价、赢者诅咒是"赢了是坏消息”。
• 第五、六部分（题 20–24）错得多：重读第 23–25 讲：税等于最优点上的边际损害，科斯定理说效率不说分配，公地悲剧的关键是开放进入。
• 第七、八部分（题 25–30）错得多：重读第 26 讲，以及第 18–25 讲的开头：回头看这些模型背后共同的激励。

有一类错误值得单独记下来：把"每个人理性"当成"结果好"。这一部分的几乎每一个模型都在说同一件事：每个人都按自己的利益行事，加起来的结果却可能很糟（囚徒困境、柠檬、公共品、公地），或者要靠制度（惩罚、声誉、税、产权）才能改善。

下一套习题（习题 83）对应 Unit 7–8：GDP、增长、货币银行、利率、通货膨胀、经济周期、财政政策和金融危机。

参考

这套习题只用到前面各讲已经引用过的概念和文献，没有引入新的文献。题中的所有场景和数字都是为练习设计的示意，不对应真实的统计数据。需要核对原始文献的地方，请回到对应的那一讲。