这是第四套习题，对应 Unit 7 和 Unit 8，也就是第 27 讲到第 35 讲：怎么衡量一个经济、它为什么长期增长、货币和银行怎么运转、短期为什么起伏、政府和央行能做什么，以及金融危机是怎么发生的。一共 30 道题，每道题都有完整的解答。
宏观的题和微观的题有一个重要的不同：很多问题没有公认的答案。前面的讲里说过，宏观问题几乎不能做随机实验，经济学家会争论。所以这套题里，有的题你算出来的是一个模型的结论，解答会明说"这是模型里的答案，现实里还要看……"；有两道是四步写作题，只给逻辑和事实，价值判断留给你。
怎么用这套题
先做，再看。 宏观的计算题数字不难，难在知道该套哪个公式。每道题先写下"这是哪一讲的哪个模型"，再动手算。
难度。
- ★ 巩固：直接用一个定义，或者一步计算。
- ★★ 标准：两三步，或者要你自己把一段现实的话翻译成模型。
- ★★★ 挑战：要把几讲拼在一起，或者里面藏着一个陷阱。
题型。 判断辨析、计算、建模、五道代码题（标"代码"）、两道开放的四步写作题。代码题的代码是独立的完整程序，只需要 Python 3（都没有用到 NumPy）。
解答。 每题分四步：思路、过程、答案、常见错误。
数字。 所有计算题的数字都用代码核对过；代码题的输出就是代码实际跑出来的。题里的场景和数字都是为练习设计的示意，不对应真实的统计数据。模型里的参数（比如货币需求函数、冲击系数）是虚构的，目的是让你看清机制，不是预测现实。
| 题号 | 主题 | 对应讲 |
|---|---|---|
| 1–4 | GDP、名义与实际、通胀指数、失业 | 第 27 讲 |
| 5–6 | Solow 稳态与收敛 | 第 28 讲 |
| 7–10 | 增长核算、发展核算、想法、工具变量 | 第 29 讲 |
| 11–12 | 货币乘数、数量论、通胀税 | 第 30 讲 |
| 13–16 | 费雪方程、可贷资金、泰勒规则、时间不一致 | 第 31 讲 |
| 17–19 | AD–AS、奥肯定律、价格黏性 | 第 32 讲 |
| 20–22 | 菲利普斯曲线、自然失业率、通胀目标 | 第 33 讲 |
| 23–26 | 财政乘数、债务动态、债务争议、财政刺激 | 第 34 讲 |
| 27–28 | 银行挤兑、甩卖螺旋 | 第 35 讲 |
| 29–30 | 综合：判断与辨认 | 第 27–35 讲 |
题目
第一部分 衡量一个经济（第 27 讲）
题 1（★★）一条面包的供应链
一座小岛上有三家企业：
- 农场：种小麦，产值 200，没有买别人的东西；付工资 140，利润 60。
- 面粉厂：买农场的小麦 200，做成面粉，产值 350；付工资 100，利润 50。
- 面包店：买面粉 350，再进口酵母 30，做成面包，产值 600；付工资 140，利润 80。
这 600 的面包去向是：居民消费 400，政府采购 80，出口 60，没有卖掉、留在仓库里的 60。
（1）用生产法（各企业的增加值）算 GDP。
（2）用支出法（C + I + G + X − M）算 GDP。仓库里没卖掉的面包怎么处理？
（3）用收入法算 GDP。
（4）有人把三家企业的产值直接相加（200 + 350 + 600 = 1150），错在哪里？
（5）明年，仓库里这 60 的面包被卖给居民。明年的 GDP 因此增加 60 吗？
题 2（★★）名义、实际，和两种通胀指数
一个经济只有两种商品。三年的价格和数量如下：
| 大米价格 | 大米数量 | 手机价格 | 手机数量 | |
|---|---|---|---|---|
| 第 1 年 | 4 | 500 | 1000 | 4 |
| 第 2 年 | 6 | 520 | 900 | 6 |
| 第 3 年 | 7 | 540 | 800 | 9 |
（1）算每年的名义 GDP 和名义增长率。
（2）以第 1 年的价格为基期，算每年的实际 GDP 和实际增长率。
（3）以第 3 年的价格为基期，再算一遍实际增长率。两个结果一样吗？
（4）算 GDP 平减指数（基期第 1 年）和 CPI（用第 1 年的篮子），以及各自的通胀率。为什么两个指数告诉你的东西不一样？
（5）链式（Fisher）指数给出的实际增长率是多少？它的思路是什么？
题 3（★）小镇的失业率
一个小镇有 1000 位 16 岁以上的居民：520 人有工作，48 人没工作但在找工作，其余 432 人没工作也没找（上学、退休、家务等）。
（1）失业率、劳动参与率、就业率（就业 ÷ 总人口）各是多少？
（2）这 48 个失业者里，有 30 个人灰心，不再找工作了。三个数字怎么变？
（3）失业率下降，是好事吗？
题 4（★）判断题：这些话对吗
判断对错，并说明理由。
（a）你把旧手机卖给二手商，这笔交易计入今年的 GDP。
（b）家人在家做饭、照顾老人，不计入 GDP。
（c）政府发放的养老金，计入"政府购买"，算进 GDP。
（d）失业率 = 失业人数 ÷ 总人口。
（e）如果实际 GDP 增速高于名义 GDP 增速，说明平减指数在下降。
（f）一个失业者放弃找工作，失业率会下降。
（g）CPI 用一个固定的商品篮子，所以通常会高估生活成本的上涨。
（h）人均 GDP 高，就说明国民的福祉高。
第二部分 长期增长（第 28、29 讲）
题 5（★★）Solow 稳态
一个经济的生产函数 Y = K^α (AL)^(1−α)，α = 0.4。折旧率 δ = 6%，人口增长 n = 1%，技术进步 g = 1.5%。（n + g + δ = 8.5%。）
（1）储蓄率 s = 0.3 时，稳态的 k*（每有效劳动的资本）、y*（每有效劳动的产出）、c*（人均消费）各是多少？
（2）储蓄率翻倍到 0.6。稳态产出变成原来的多少倍？消费呢？
（3）黄金律储蓄率是多少？这时的消费是多少？
（4）稳态里，人均产出每年增长多少？这个增长来自哪里？
题 6（★★★）代码：穷国追赶的速度
用代码模拟题 5 的经济（s = 0.3），但让它从一个穷国的起点出发：资本只有稳态的 10%。
（1）写代码，输出第 0、5、10、20、30、50、100 年，产出占稳态的比例和人均产出的年增速。
（2）产出缺口缩小一半、缩小九成，各要几年？和公式 λ = (1 − α)(n + g + δ) 给出的半衰期比一比。
（3）把储蓄率改成 0.4 重新运行。追赶的速度变吗？
题 7（★★）增长核算：多少是"效率"
一个经济的实际 GDP 年均增长 7%，资本存量增长 9%，就业增长 1.5%，劳动者的平均受教育水平（人力资本）带来的"劳动质量"增长 1.0%。资本份额 α = 0.4。
（1）算全要素生产率（效率）的年增长，以及它占总增长的比例。
（2）α 取 1/3 和 0.5 呢？
（3）如果资本存量的统计高估了：实际增长只有 7%（而不是 9%），其他不变，结果怎么变？
（4）这个结果说明了增长核算的什么局限？
题 8（★★）发展核算：富国为什么富
富国的人均产出是穷国的 12 倍。富国每单位产出的资本（K/Y）是穷国的 1.4 倍，劳动者的人力资本是穷国的 2 倍。用 y = (K/Y)^(α/(1−α)) × h × A 分解。
（1）α = 0.35 时，资本、人力资本、效率（A）各解释差距的多少倍？效率占的比例（取对数）是多少？
（2）α = 0.5 时呢？
（3）这个结论的含义是什么？
题 9（★★）想法：研究者越多，增长越快吗
在"半内生增长"模型（Jones 型）里，想法的长期增长率 g_A = n/(1 − φ)，n 是研究者数量的增长率，φ < 1 表示"已有的想法越多，新想法越难找"的程度（φ 越接近 1，越不难找）。
（1）φ = 0.6、n = 1.5% 时，g_A 是多少？φ = 0.8 呢？
（2）研究者数量的增长率永久降到 n = 0.5%，φ = 0.6，g_A 是多少？
（3）把研究者数量一次性翻倍（之后增长率不变），长期想法存量的水平变成原来的 2^(1/(1−φ)) 倍。φ = 0.6 和 0.8 时各是多少倍？
（4）如果 φ = 1（Romer 型），把研究者数量翻倍，增长率会怎么变？
题 10（★★）工具变量：当工具不"干净"
要估计教育对收入的效应。直接回归（OLS）得到 0.11。研究者用一个工具变量：它影响教育（第一阶段：工具每变 1，教育变 π），并且声称只通过教育影响收入。真实的教育回报是 0.08。
（1）如果工具不但通过教育，还有一点点直接影响收入（直接影响 γ = 0.01，每变 1），工具变量估计 = 真实回报 + γ ÷ π。第一阶段 π = 0.05、0.2、0.5 时，估计分别是多少？
（2）这说明了弱工具什么问题？
（3）这和第 29 讲讲的 AJR 争论有什么联系？
第三部分 货币与央行（第 30、31 讲）
题 11（★★）货币乘数与数量论
（1）银行的法定准备金率 r = 8%，公众把存款的 25% 以现金形式持有（现金 ÷ 存款 = 25%）。货币乘数 M/B = (1 + c)/(r + c) 是多少？基础货币 100 时，货币量是多少？
（2）准备金率降到 4%，乘数变成多少？现金比例降到 10% 呢？没有现金漏出时呢？
（3）经济里货币量 M = 500，货币流通速度 V = 3，名义 GDP 是多少？
（4）货币量增长 8%，流通速度下降 2%，实际产出增长 4%。物价上涨多少？如果流通速度不变呢？
题 12（★★★）代码：靠印钱筹款
一个政府要靠印钱筹到 G（占 GDP 的比例）。通胀越高，人们持有的货币（实际余额）越少：m(π) = 0.4 × exp(−3π)（占 GDP 的比例，虚构的参数）。通胀税收入 = π × m(π)。
（1）写代码：通胀税收入最大是多少？这时通胀率多少？
（2）G = 2%、3%、4%、5% 时，均衡的通胀率各是多少？
（3）适应性预期：人们用上一年的通胀决定持有多少货币，政府每年按这个货币量印出需要的钱，通胀 = G ÷ m(上年通胀)。G = 3%、4%、4.8%、5% 时，通胀会怎样演变？
题 13（★）实际利率
你借了 200 万元，名义利率 5%（固定）。
（1）一年后，通胀率分别是 2%、6%、−1%，你付的实际利率各是多少？
（2）哪种情况借款人得益，哪种情况出借人得益？
（3）为什么"名义利率"本身不能告诉你借钱贵不贵？
题 14（★★）可贷资金：储蓄变了，政府借钱多了
可贷资金市场：储蓄 S = 80 + 25r，投资 I = 400 − 35r（r 以百分点计）。
（1）均衡的利率和投资是多少？
（2）居民储蓄意愿上升，每个利率下储蓄多 30。新的均衡？
（3）政府增加借款，相当于公共储蓄减少 25（经济处于充分就业）。新的均衡？挤出了多少私人投资？
（4）如果经济有大量闲置资源，（3）的结论会怎样？
题 15（★★）泰勒规则
央行按泰勒规则定利率：名义利率 i = r* + π + 0.5(π − π*) + 0.5 × 产出缺口，r* = 2%，目标通胀 π* = 2%。
（1）通胀 2%、缺口 0；通胀 5%、缺口 +2%；通胀 1%、缺口 −4%；通胀 0.5%、缺口 −6%。规则给出的名义利率和实际利率各是多少？
（2）最后一种情况，有什么问题？
（3）为什么通胀的系数要大于 0（泰勒原则）？如果通胀的系数是 0，第二种情况的实际利率是多少？
题 16（★★★）时间不一致：说话算数的央行
央行的损失 L = ½π² + ½λ(y − y_n − k)²，其中 y − y_n = a(π − π^e)（意外的通胀能拉高产出），a = 0.5，λ = 1，k = 4（央行想要比自然水平高 4 的产出）。
（1）如果央行能承诺零通胀，并且公众相信（π^e = 0，π = 0），损失是多少？
（2）公众相信零通胀（π^e = 0），央行可以偷偷改变主意。它最优的通胀是多少？损失多少？
（3）公众理性，知道央行有这个动机。均衡的通胀和损失是多少？
（4）社会任命一位对通胀更厌恶的央行行长（他自己的 λ 更小：0.5 或 0.2）。公众按他的行为预期。社会（λ = 1）的损失各是多少？
第四部分 经济周期与通胀（第 32、33 讲）
题 17（★★★）代码：需求下降之后，政策来得太晚
AD–AS 模型：总需求 Y = A − 0.8P；物价调整 P(t) = P(t−1) + 0.5(Y(t) − 100)（用上一期的物价作为预期）；潜在产出 Y* = 100。开始时 A = 180，均衡 P = 100。突然 A 降到 165。
（1）长期，物价会降到多少？
（2）写代码：不干预时，产出缺口怎么演变？
（3）政府在需求下降后的第 d 年才让 A 回到 180。d = 0（立刻）、1、3、6 年，产出缺口最深多少？之后的最高过热是多少？前 15 年的缺口总和是多少？
（4）这说明了政策的什么问题？
题 18（★）奥肯定律
失业率的变化 Δu = 1.2 − 0.4 × g（都是百分点，g 是实际 GDP 增长率）。
（1）g = 2% 时，失业率的变化？
（2）增长多少，失业率不变？为什么不是 0？
（3）g = −3% 的衰退？
（4）产出比潜在水平低 5%，失业率比自然失业率高多少？
题 19（★★）价格黏性
（1）一个经济里，每个月只有 10% 的企业有机会调整价格（其余不变）。货币量突然增加 10%，在 1、3、6、12、24 个月后，物价调整了多少（占长期调整的百分之几）？物价调整一半要几个月？如果每月是 5% 的企业呢？
（2）一家企业的价格偏离最优价格 x%，每月损失的利润是 40x²（单位：元）。改价有一笔"菜单成本" 20 元。偏离多少时，企业才会改价？
（3）这说明了什么？为什么小的需求冲击会影响产出？
题 20（★★）菲利普斯曲线：加速，和降通胀的代价
通胀 = 预期通胀 + 0.4 × 产出缺口，预期通胀 = 上一年的通胀。
（1）产出缺口一直保持 +1.5%，起点通胀 2%。前 5 年的通胀是多少？
（2）要把通胀从 10% 降到 4%，需要累计多少"百分点·年"的负缺口？
（3）如果公众对央行的可信度是 w（预期 = w × 公布的路径 + (1 − w) × 上年通胀），w = 0、0.5、0.75、1 时，累计需要的负缺口各是多少？
（4）什么叫"牺牲率"？这里是多少？
题 21（★★）自然失业率
失业率的变化 = s × (1 − u) − f × u（每月），s 是每月被解雇的比例，f 是每月失业者找到工作的比例。
（1）s = 1.8%，f = 30%：长期失业率（自然失业率）是多少？
（2）f = 24%（找工作变难）呢？s = 2.4% 呢？
（3）衰退来了：s = 3%，f = 26%。从 5.66% 出发，第 1、3、6、12 个月的失业率是多少？
（4）衰退结束，s 和 f 回到 1.8% 和 30%。失业率回到离 5.66% 只差 0.3 个百分点以内，要几个月？
题 22（★★★）通胀目标，该不该提高：用四步写一段话
有人提出，各国央行应该把长期通胀目标从 2% 提高到 4%，给央行更大的降息空间。也有人反对。
请按"理论预测 → 证据与局限 → 分歧在哪 → 价值判断留给读者"写一段话。注意区分：什么是"理论上的好处和成本"，什么需要数据去查，什么是价值判断。
第五部分 财政政策与债务（第 34 讲）
题 23（★★）乘数
一个经济：边际消费倾向 c = 0.75，税率 t = 0.2，进口占收入比例 m = 0.15。
（1）政府购买乘数是多少？政府购买增加 50，GDP 增加多少？
（2）政府对居民转移支付增加 50（不是购买），GDP 增加多少？
（3）平衡预算：政府购买增加 50，同时增加定额税 50。GDP 增加多少？
（4）如果没有税、没有进口，c = 0.9，乘数是多少？为什么现实里乘数要小得多？
题 24（★★★）代码：债务会不会失控
债务/GDP 的演变：d′ = (1 + r)/(1 + g) × d − 基本盈余（占 GDP 的比例）。起点 d = 80%，r = 4%，g = 2.5%。
（1）写代码：基本盈余为 0、−1%（基本赤字）、1.17%、2% 时，第 10、20、30、50 年的债务/GDP 各是多少？
（2）保持债务/GDP 不变，需要多大的基本盈余？公式是什么？
（3）同样的基本赤字 1%，只改变 r − g：r − g = 0、1.5%、3%、4% 时，债务多快涨到 120%？
（4）当 r < g 时，债务会怎样？这是不是说"可以无限借"？
题 25（★★）一个关于"平均数"的故事
有人研究"高债务国家的经济增长"，收集了四个国家高债务时期的数据：
| 国家 | 高债务年数 | 年均增长率 |
|---|---|---|
| 甲 | 12 | 3.0% |
| 乙 | 1 | −6.0% |
| 丙 | 5 | 1.5% |
| 丁 | 2 | −2.0% |
（1）按"国家—年份"平均（每个年份一个数），平均增长率是多少？中位数呢？
（2）按"国家"平均（每个国家一个数），平均增长率是多少？中位数呢？
（3）去掉乙国，按国家平均呢？
（4）这个例子说明什么？用它来解释第 34 讲里的一场争论。
题 26（★★★）衰退时，该不该加大财政支出：用四步写一段话
一场衰退来了，有人主张政府大幅增加支出，有人主张谨慎。
请按"理论预测 → 证据与局限 → 分歧在哪 → 价值判断留给读者"写一段话。
第六部分 金融危机（第 35 讲）
题 27（★★★）银行挤兑
100 位储户，每人存 1，银行把钱全投进长期项目。项目如果提前清算，每 1 只收回 0.5（s = 0.5）；到期收回 R = 1.5。银行承诺第一期取款的人拿回 1（先到先得）。正常情况下，约 15% 的人会因为急用钱而提前取款。
（1）如果有 f 比例的人提前取款，没取款的人（继续等到期）的价值是多少？写成公式。
（2）f = 0.2、0.25、0.3、0.4、0.5 时分别是多少？f 超过多少，等下去就不如提前取了？
（3）所有人都去取款（f = 100%）时，一个储户的期望所得是多少？
（4）R = 1.2 和 R = 2.0 时，门槛各是多少？正常的 15% 离门槛有多远？
（5）存款保险（承诺等到期的人也能拿回他应得的价值）怎样改变结局？
题 28（★★★）代码：甩卖螺旋
8 家银行，每家持有 200 份资产（价格 1）、负债 186、权益 14（7%），杠杆上限 16（资产 ÷ 权益）。资产价格先因为外部原因跌 2%。杠杆超限的银行按比例卖资产还债；资不抵债的银行清仓。银行卖出的量压低价格：价格再跌 η × 卖出的量 ÷ 市场总规模（市场总规模 = 3 × 所有银行的资产）。
（1）写代码：η = 0、0.1、0.3、0.5、0.55、0.7 时，最后的价格跌幅和被清仓的银行数。
（2）说明第一步：价格跌 2%，每家银行的杠杆变成多少？要卖多少资产才能回到上限？
（3）η 有一个临界点。这说明了什么？
（4）监管者怎样降低这种风险？
第七部分 综合
题 29（★★）判断题：这些话对吗
判断对错，并说明理由。
（a）储蓄率翻倍，稳态人均产出也翻倍。
（b）Solow 模型里，人均产出的持续增长来自储蓄。
（c）货币乘数是一个固定的常数。
（d）实际利率 ≈ 名义利率 − 预期通胀。
（e）菲利普斯曲线告诉我们，通胀和失业之间有一个长期稳定的取舍。
（f）理论和一些研究认为，衰退时财政乘数往往比充分就业时更大。
（g）（简化的凯恩斯模型里）平衡预算的政府购买增加，乘数是 1。
（h）存款保险使"挤兑"这个坏均衡消失（在模型的条件下）。
（i）只要政府有赤字，债务/GDP 就一定不断上升。
题 30（★★）这是哪一类冲击
下面八种情况，各属于总需求冲击还是短期总供给冲击（或者长期的潜在产出变化）？对产出和物价的第一反应是什么？央行或政府的政策会面临什么难处？
（a）消费者信心突然下降，大家少花多存。
（b）国际油价大幅上涨。
（c）央行大幅加息。
（d）政府扩大基础设施投资。
（e）一项新技术，提高了全社会的生产效率。
（f）一场银行危机，信贷收紧。
（g）海外需求下滑，出口订单减少。
（h）一场自然灾害，毁掉了一批工厂。
解答
第一部分 衡量一个经济
题 1 解答
思路。 同一个 GDP 可以从三个角度算：生产（增加值）、支出（最终去向）、收入（分配）。三个答案应该相等。
过程与答案。
（1）生产法：每家企业的增加值=产值 − 买的中间品。农场 200；面粉厂 350 − 200 = 150；面包店 600 − 350 − 30 = 220。合计 570。
（2）支出法：C = 400，G = 80，X = 60，M = 30（进口的酵母），仓库里没卖掉的 60 算存货投资（I）：企业"买"了自己的产品放进仓库。GDP = 400 + 60 + 80 + 60 − 30 = 570。
（3）收入法：工资 140 + 100 + 140 = 380，利润 60 + 50 + 80 = 190，合计 570。（本题没有折旧和生产税。）
（4）直接相加的 1150 把中间品重复算了：小麦的价值在农场的产值里算了一遍，又在面粉厂的产值里算，再在面包店的产值里算。GDP 只算最终产品，或者等价地，每家企业只算它新增加的价值。
（5）不增加。 今年，仓库里的 60 已经算进今年的 GDP（作为存货投资）。明年把它卖给居民：居民消费 +60，同时存货减少 60（投资 −60），两者抵消，明年 GDP 不变。否则同一批面包会被算两次。
常见错误。 以为库存没卖出去就不算 GDP（它算，作为存货投资）；把进口的酵母直接从 GDP 里剔除，又在支出法里忘了减 M。
题 2 解答
思路。 名义 GDP = 当年价格 × 当年数量；实际 GDP = 基期价格 × 当年数量。
过程与答案。
（1）名义 GDP：第 1 年 4 × 500 + 1000 × 4 = 6000；第 2 年 6 × 520 + 900 × 6 = 8520；第 3 年 7 × 540 + 800 × 9 = 10,980。增长率：+42.0%，+28.9%。
（2）以第 1 年价格：第 1 年 6000；第 2 年 4 × 520 + 1000 × 6 = 8080；第 3 年 4 × 540 + 1000 × 9 = 11,160。实际增长：+34.7%，+38.1%。
（3）以第 3 年价格：第 1 年 7 × 500 + 800 × 4 = 6700；第 2 年 7 × 520 + 800 × 6 = 8440；第 3 年 10,980。实际增长：+26.0%，+30.1%。和（2）不一样：用谁的价格做基期，答案不同。原因：手机的价格在下降、数量在快速增加，用旧的高价给手机估值，手机的增长被放大。这叫基期依赖。
（4）GDP 平减指数 = 名义 ÷ 实际（基期第 1 年）：第 2 年 8520/8080 = 1.0545，第 3 年 10,980/11,160 = 0.9839。通胀率 +5.45%，−6.69%。CPI（第 1 年的篮子：500 大米 + 4 手机）：第 2 年 (6 × 500 + 900 × 4)/6000 = 1.100，第 3 年 (7 × 500 + 800 × 4)/6000 = 1.1167；通胀率 +10.0%，+1.52%。两者不一样：平减指数用当年的商品组合（手机越来越多，权重越来越大，手机在降价），CPI 用固定的第 1 年篮子（大米占的比例大，大米在涨价）。CPI 不会反映人们多买降价的东西、少买涨价的东西（替代偏差）。
（5）链式 Fisher 指数：每一年和上一年比，用两年价格的几何平均，再把各年的增长率连乘。实际增长：31.85%，31.59%，介于两种基期的结果之间，而且不依赖于某个基期（第 27 讲）。
常见错误。 把 CPI 和平减指数当成同一回事；以为实际 GDP 增长率不依赖基期。
题 3 解答
过程与答案。
（1）劳动力 = 就业 + 失业 = 520 + 48 = 568。失业率 = 48 ÷ 568 = 8.45%。参与率 = 568 ÷ 1000 = 56.8%。就业率 = 520 ÷ 1000 = 52.0%。
（2）30 人退出劳动力：失业 18，劳动力 538，失业率 18 ÷ 538 = 3.35%，参与率 53.8%，就业率仍然是 52.0%。
（3）不一定是好事。 失业率下降是因为有人放弃找工作，没有一个人找到了工作（就业没变，就业率没变）。失业率只统计"在找工作"的人，所以需要同时看参与率和就业率。（第 27 讲：灰心的工人。）
常见错误。 用总人口做失业率的分母。
题 4 解答
（a）错。 GDP 只算当年新生产的东西。二手手机本来就是以前生产的，这笔交易只把**二手商的服务（加价、整修）**算作新增加的价值，手机本身的价值不算。
（b）对。 不是市场交易，不计入 GDP。这是 GDP 的局限，不代表这些劳动没有价值。
（c）错。 养老金是转移支付：政府把钱转给居民，没有换回新的商品或服务，不算政府购买，也不直接算进 GDP。（居民拿到钱以后去消费，那部分消费才算。）
（d）错。 分母是劳动力（就业 + 失业），不是总人口。
（e）对。 名义增速 ≈ 实际增速 + 通胀。实际增速高于名义增速，意味着通胀（平减指数的变化）是负的。
（f）对。 他不再找工作，就不算失业了，变成"非劳动力"。（题 3。）
（g）对。 固定篮子不反映人们转向便宜的东西，通常会高估成本上涨。（第 27 讲提到的 Boskin 1996 是 90 年代美国的估计，数字不能直接搬到今天或别的国家。）
（h）错。 人均 GDP 和福祉高度相关，但不是一回事：它不含闲暇、不平等、环境和家务劳动等（第 27 讲，GDP ≠ 福祉）。
第二部分 长期增长
题 5 解答
思路。 稳态：储蓄带来的投资刚好抵消资本被"摊薄"（折旧 + 人口增长 + 技术进步）：s k^α = (n + g + δ) k。
过程与答案。
（1）k* = (s/(n + g + δ))^(1/(1 − α)) = (0.3/0.085)^(1/0.6) = 3.529^1.667 ≈ 8.18；y* = k*^0.4 ≈ 2.32；c* = (1 − s) y* ≈ 1.62。
（2）s = 0.6：k* ≈ 25.97，y* ≈ 3.68，是原来的 1.587 倍（= 2^(α/(1−α)) = 2^(2/3)）。消费 c* = 0.4 × 3.68 ≈ 1.47，反而下降（从 1.62）。储蓄率翻倍，产出只多 59%，不是翻倍，因为资本有边际报酬递减。
（3）黄金律储蓄率 = α = 0.4：y* ≈ 2.81，c* ≈ 1.685，是所有储蓄率里稳态消费最高的。（s = 0.3 时 1.623，s = 0.6 时 1.472。）
（4）稳态里，每有效劳动的产出不变，人均产出每年增长 g = 1.5%。来自技术进步。储蓄和资本积累只能让经济移到更高的稳态，不能带来持续的人均增长。
常见错误。 以为储蓄率越高，消费越高（超过黄金律以后，多储蓄反而降低消费）；把 y* 当成人均产出（它是每"有效劳动"的）。
题 6 解答
思路。 用 k′ = k + s k^α − (n + g + δ) k 一年一年算，看追赶的速度。
import math
ALPHA, DELTA, N, G = 0.4, 0.06, 0.01, 0.015 # 资本份额、折旧、人口增长、技术进步
S = 0.30 # 储蓄率
SPREAD = N + G + DELTA # n + g + δ = 8.5%
def step(k):
"""每个有效劳动的资本 k 的下一年：k' = k + s*k^α - (n+g+δ)*k。"""
return k + S * k ** ALPHA - SPREAD * k
k_star = (S / SPREAD) ** (1 / (1 - ALPHA))
y_star = k_star ** ALPHA
print(f"稳态：k* = {k_star:.3f}，y* = {y_star:.3f}，c* = {(1 - S) * y_star:.3f}")
k = 0.1 * k_star # 穷国：资本只有稳态的 10%
path = [k]
for _ in range(101):
k = step(k)
path.append(k)
print("年 产出占稳态的比例 每年的人均增长（%）")
for t in (0, 5, 10, 20, 30, 50, 100):
share = (path[t] / k_star) ** ALPHA
growth = 100 * (G + (path[t + 1] ** ALPHA / path[t] ** ALPHA - 1))
print(f"{t:3d} {share:8.1%} {growth:6.2f}")
gap0 = 1 - (path[0] / k_star) ** ALPHA
for frac, label in ((0.5, "缺口缩小一半"), (0.9, "缺口缩小九成")):
t = next(t for t in range(len(path)) if 1 - (path[t] / k_star) ** ALPHA <= gap0 * (1 - frac))
print(f"{label}：第 {t} 年")
lam = (1 - ALPHA) * SPREAD
print(f"公式：收敛速度 λ = (1-α)(n+g+δ) = {lam:.4f}，半衰期 ln2/λ = {math.log(2) / lam:.1f} 年")
输出：
稳态：k* = 8.182，y* = 2.318，c* = 1.623
年 产出占稳态的比例 每年的人均增长（%）
0 39.8% 10.95
5 55.9% 6.07
10 67.1% 4.23
20 81.2% 2.73
30 89.1% 2.14
50 96.2% 1.70
100 99.7% 1.51
缺口缩小一半：第 12 年
缺口缩小九成：第 42 年
公式：收敛速度 λ = (1-α)(n+g+δ) = 0.0510，半衰期 ln2/λ = 13.6 年
过程与答案。
（1）见输出。起点（第 0 年）产出只有稳态的 39.8%，年增速高达 10.95%；第 10 年 67.1%、4.23%；第 30 年 89.1%、2.14%；第 100 年 99.7%、1.51%（趋近稳态的 g = 1.5%）。越靠近稳态，追赶越慢。
（2）产出缺口缩小一半要 12 年，缩小九成要 42 年。公式 λ = (1 − 0.4) × 0.085 = 0.051，半衰期 ln2/λ ≈ 13.6 年。两者接近，但不完全一样：公式是在稳态附近的线性近似，而代码里量的是产出的缺口，不是 k 的缺口。
（3）把 S 改成 0.4：缺口缩小一半、九成，仍然是 12 年和 42 年。收敛速度不取决于储蓄率（它由 (1 − α)(n + g + δ) 决定）；储蓄率只改变稳态的位置，不改变到达的速度。
常见错误。 以为高储蓄率的国家"离自己的稳态"追得更快：速度只取决于 (1 − α)(n + g + δ)，储蓄率只决定稳态在哪里；把"半衰期"当成"走完一半的年数"。
题 7 解答
思路。 增长核算：Δy = α ΔK + (1 − α)(ΔL + Δh) + ΔA，效率 ΔA 是"剩下"的部分。
过程与答案。
（1）ΔA = 7 − 0.4 × 9 − 0.6 × (1.5 + 1.0) = 7 − 3.6 − 1.5 = 1.9，占 7 的 27%。
（2）α = 1/3：ΔA = 7 − 3 − 0.667 × 2.5 = 2.33（33%）。α = 0.5：ΔA = 7 − 4.5 − 0.5 × 2.5 = 1.25（18%）。α 取不同的值，效率占的比例从 18% 到 33%。
（3）资本增速只有 7%：ΔA = 7 − 0.4 × 7 − 1.5 = 2.7（39%）。资本增长被统计高估 2 个点，效率就被低估 0.8 个点。
（4）增长核算里的"效率"是剩余：它包含所有没被量到的东西（技术、制度、测量误差、资源配置），所以对 α 的取值和资本、劳动的测量都很敏感。第 29 讲里，同一个国家的效率估计，换一种算法，符号都可能翻。（“我们无知的度量”，Abramovitz 这样称呼它。）
常见错误。 把"效率"直接说成"技术进步"；用错了人力资本的位置（它和劳动一起乘以 (1 − α)）。
题 8 解答
过程与答案。
（1）α = 0.35：资本的贡献 = 1.4^(α/(1−α)) = 1.4^0.538 ≈ 1.20 倍；人力资本 2 倍；效率 A = 12 ÷ (1.20 × 2) ≈ 5.0 倍。取对数，效率占差距的 ln 5.0 ÷ ln 12 ≈ 65%，资本 ln 1.2 ÷ ln 12 ≈ 7%，人力资本 ln 2 ÷ ln 12 ≈ 28%。
（2）α = 0.5：资本的贡献 = 1.4^1 = 1.4 倍；A = 12 ÷ (1.4 × 2) ≈ 4.3 倍，占 ln 4.3 ÷ ln 12 ≈ 59%。
（3）富国和穷国的差距，大部分不是机器和学历的差距，而是"效率"的差距（技术、制度、资源配置、测量……）。把穷国的机器和学历都补到和富国一样，差距也只缩小一部分。这是 Hall–Jones 一类发展核算的结论（第 29 讲）。但"效率"是剩余，包含了很多东西，这个结论没有告诉你是什么造成了效率差距。
常见错误。 把"效率占 65%“理解成"65% 的差距是技术”：它只是没被资本和教育解释的那部分。
题 9 解答
过程与答案。
（1）g_A = n/(1 − φ)：φ = 0.6：0.015 ÷ 0.4 = 3.75%；φ = 0.8：0.015 ÷ 0.2 = 7.5%。
（2）n = 0.5%，φ = 0.6：0.005 ÷ 0.4 = 1.25%。研究者数量增长放缓，想法增长的速度就放缓。
（3）研究者数量一次性翻倍：水平 × 2^(1/(1 − φ))：φ = 0.6：2^2.5 ≈ 5.66 倍；φ = 0.8：2^5 = 32 倍。增长率不变，水平提高。
（4）φ = 1（Romer 型），g_A 与研究者数量成正比：研究者翻倍，增长率翻倍，永久。
要点。 Jones 型：想法越来越难找（φ < 1），要靠研究者数量不断增长才能维持增长，长期增长率取决于 n（人口）；Romer 型：规模越大，增长越快，永久。两个模型对"该怎么增加研究者"的含义很不同（第 29 讲）。
常见错误。 把水平效应当成增长效应。
题 10 解答
过程与答案。
（1）估计 = 0.08 + 0.01 ÷ π：π = 0.05：0.28；π = 0.2：0.13；π = 0.5：0.10。
（2）工具越弱（π 越小），一点点违反"只通过教育"的直接影响，就会被放大很多倍：π = 0.05 时，0.01 的直接影响，让估计从 0.08 变成 0.28（3.5 倍）。所以弱工具 + 轻微的不干净 = 很大的偏差。第 29 讲还提到，弱工具的估计区间会很宽。
（3）AJR 用"殖民者当年的死亡率"作为制度的工具变量：批评者（如 Albouy）的核心质疑之一就是：这个工具会不会还通过别的渠道（比如疟疾、地理）直接影响今天的收入（排他性），以及第一阶段是否够强（数据质量、样本）。两者放在一起，就是题里的 γ/π。（第 29 讲；具体的争论细节请读原文，这里不替你判断。）
常见错误。 以为"工具变量一定比 OLS 更可靠"：它的可靠依赖于两个假设（相关性、排他性）。
第三部分 货币与央行
题 11 解答
过程与答案。
（1）M/B = (1 + c)/(r + c) = 1.25/(0.08 + 0.25) = 1.25/0.33 ≈ 3.79。基础货币 100，货币量 ≈ 378.8。
（2）r = 4%：1.25/0.29 ≈ 4.31。c = 10%（r = 8%）：1.10/0.18 ≈ 6.11。没有现金漏出（c = 0）：1/r = 12.5。（现金越多，货币乘数越小，因为现金不会被再存进银行，不能再放贷。）
（3）MV = PY：名义 GDP = 500 × 3 = 1500。
（4）名义 GDP 增长 = 1.08 × 0.98 − 1 = 5.84%。实际增长 4%，物价上涨 1.0584 ÷ 1.04 − 1 ≈ 1.77%。流通速度不变：1.08 ÷ 1.04 − 1 ≈ 3.85%。
常见错误。 把乘数当成固定常数；以为货币量增长 8% 就一定带来 8% 的通胀（还取决于流通速度和实际产出）。
题 12 解答
思路。 通胀税是对"持有货币的人"征的税：通胀越高，人们持有的货币越少，税基缩小，所以收入先升后降。
import math
A, B = 0.4, 3.0 # 货币需求（占 GDP 的比例）m(π) = A * exp(-B * π)，参数是虚构的
def demand(pi):
return A * math.exp(-B * pi)
def revenue(pi):
"""通胀税收入（占 GDP 的比例）= 通胀率 * 实际货币余额。"""
return pi * demand(pi)
best = max((revenue(i / 10000), i / 10000) for i in range(1, 30000))
print(f"收入最大的通胀率 {best[1]:.1%}，最大收入 {best[0]:.2%} GDP（公式 1/B = {1 / B:.1%}）")
def roots(g):
out, grid = [], [i / 100000 for i in range(1, 150000)]
for a, b in zip(grid, grid[1:]):
if (revenue(a) - g) * (revenue(b) - g) < 0:
lo, hi = a, b
for _ in range(60):
mid = (lo + hi) / 2
lo, hi = (mid, hi) if (revenue(lo) - g) * (revenue(mid) - g) > 0 else (lo, mid)
out.append((lo + hi) / 2)
return out
for g in (0.02, 0.03, 0.04, 0.05):
r = roots(g)
text = "、".join(f"{x:.1%}" for x in r) if r else "没有均衡"
print(f"政府要靠印钱筹到 {g:.0%} GDP：通胀率 {text}")
print("适应性预期：人们用上一年的通胀决定持有多少货币，政府每年按这个货币量印出需要的钱，通胀 = G / m(上年通胀)")
for g in (0.03, 0.04, 0.048, 0.05):
pi, path = 0.0, []
for _ in range(40):
pi = g / demand(pi)
path.append(pi)
if pi > 100:
break
shown = "，".join(f"{path[t]:.1%}" for t in (0, 1, 4, 9, 19, 39) if t < len(path))
note = f"（第 {len(path)} 年起通胀超过 10000%，失控）" if pi > 100 else ""
print(f" G = {g:.1%}：第 1/2/5/10/20/40 年的通胀 {shown}{note}")
输出：
收入最大的通胀率 33.3%，最大收入 4.91% GDP（公式 1/B = 33.3%）
政府要靠印钱筹到 2% GDP：通胀率 6.0%、99.8%
政府要靠印钱筹到 3% GDP：通胀率 10.2%、78.1%
政府要靠印钱筹到 4% GDP：通胀率 16.3%、59.4%
政府要靠印钱筹到 5% GDP：通胀率 没有均衡
适应性预期：人们用上一年的通胀决定持有多少货币，政府每年按这个货币量印出需要的钱，通胀 = G / m(上年通胀)
G = 3.0%：第 1/2/5/10/20/40 年的通胀 7.5%，9.4%，10.2%，10.2%，10.2%，10.2%
G = 4.0%：第 1/2/5/10/20/40 年的通胀 10.0%，13.5%，16.0%，16.3%，16.3%，16.3%
G = 4.8%：第 1/2/5/10/20/40 年的通胀 12.0%，17.2%，23.2%，25.8%，26.8%，26.9%
G = 5.0%：第 1/2/5/10/20/40 年的通胀 12.5%，18.2%，25.6%，30.6%，37.7%（第 32 年起通胀超过 10000%，失控）
过程与答案。
（1）通胀税收入 π × 0.4 × e^(−3π) 在 π = 1/3 ≈ 33.3% 时最大，4.91% GDP。
（2）G = 2%：两个均衡，通胀 6.0% 和 99.8%；G = 3%：10.2% 和 78.1%；G = 4%：16.3% 和 59.4%；G = 5%：没有均衡（超过了最大收入 4.91%）。
（3）适应性预期：G = 3% 时，通胀 7.5% → 9.4% → 10.2%，收敛到较低的均衡 10.2%；G = 4% 收敛到 16.3%；G = 4.8% 收敛到 26.9%（接近最大点，收敛慢）；G = 5% 时，一直上涨，第 32 年起通胀超过 10000%，失控。
要点。 两个均衡里，较低的那个是稳定的（适应性预期下会走到那里），较高的那个不会走到。政府要的钱超过最大的通胀税收入，通胀就会失控：这是恶性通胀的逻辑（第 30 讲）。（模型是虚构的，参数不对应任何国家。）
常见错误。 以为通胀越高，政府收入越高（有一个最大值）；把两个均衡都当成"可能的结局"。
题 13 解答
过程与答案。
（1）实际利率 = (1 + 名义)/(1 + 通胀) − 1：通胀 2%：1.05/1.02 − 1 ≈ 2.94%；6%：1.05/1.06 − 1 ≈ −0.94%；−1%：1.05/0.99 − 1 ≈ 6.06%。
（2）通胀高于预期（6%），借款人得益（还的钱不值钱了），出借人受损；通胀低于预期（−1%，物价下降），借款人受损。
（3）名义利率里混着通胀。借钱贵不贵，看的是实际利率，也就是借款人真正还出去的购买力。而且借款时，实际利率取决于预期通胀，还款时才知道真实通胀，两者的差，就是风险的来源。
常见错误。 用"名义利率 − 通胀"当成精确公式（只是近似）。
题 14 解答
过程与答案。
（1）80 + 25r = 400 − 35r，60r = 320，r = 5.33%，I = S = 213.3。
（2）储蓄 110 + 25r = 400 − 35r，r = 4.83%，I = 230.8。储蓄多了，利率下降，投资增加。
（3）公共储蓄减少 25（政府借了更多）：S = 55 + 25r = 400 − 35r，r = 5.75%，I = 198.75。投资从 213.3 减到 198.75，少 14.6，占政府多借的 25 的 58%，这叫挤出。
（4）如果经济有大量闲置资源，政府支出可以让产出增加，增加的产出带来更多收入和储蓄，利率不一定上升，挤出会小得多。第 34 讲说：挤出的程度取决于经济的状态。
常见错误。 把 r 以百分数代入时弄错单位；认为挤出一定是 100%。
题 15 解答
过程与答案。
（1）i = 2 + π + 0.5(π − 2) + 0.5 × 缺口：
| 通胀 | 缺口 | 规则的名义利率 | 实际利率 |
|---|---|---|---|
| 2 | 0 | 4.0 | 2.0 |
| 5 | +2 | 9.5 | 4.5 |
| 1 | −4 | 0.5 | −0.5 |
| 0.5 | −6 | −1.25 | −1.75 |
（2）规则要求 −1.25%，但名义利率很难降到零以下（零利率下限）。央行只能降到约 0，实际利率仍然是 0 − 0.5 = −0.5%，不够，需要别的工具（资产购买、前瞻指引、负利率等，第 31 讲）。
（3）泰勒原则：通胀上升时，名义利率要上升得比通胀更多（系数 > 1），这样实际利率才会上升，抑制需求。第二种情况里，系数 1 + 0.5 = 1.5 > 1，实际利率从 2% 升到 4.5%。如果通胀的系数是 0（i = r* + π + 0.5 × 缺口，即名义利率只跟着通胀 1:1 变），第二种情况的实际利率 = 2 + 0.5 × 2 = 3%，抑制通胀的力度不足（并且，系数低于 1 在理论上可能让通胀预期失锚）。
常见错误。 把名义利率和实际利率弄混；忽略零下限。
题 16 解答
思路。 央行事后总有动机制造"意外通胀"来拉高产出；公众预见到这一点，结果是高通胀、没有额外产出。
过程与答案。
（1）承诺：π = 0，π^e = 0，产出 = 自然水平，L = ½ × 0 + ½ × (0 − 4)² = 8。
（2）公众相信 π^e = 0，央行选 π 最小化 ½π² + ½(0.5π − 4)²。一阶条件：π + 0.5(0.5π − 4) = 0，π(1 + 0.25) = 2，π = 1.6。损失 = ½ × 2.56 + ½ × (0.8 − 4)² = 1.28 + 5.12 = 6.4，比承诺的 8 低：偷偷违约有好处。
（3）理性预期：公众知道央行会怎么选，所以 π^e = π，意外通胀消失，产出回到自然水平（y − y_n = 0）。央行的一阶条件 π + λa(a(π − π^e) − k) = 0，代入 π^e = π，得 π = λak = 1 × 0.5 × 4 = 2。损失 = ½ × 2² + ½ × 4² = 2 + 8 = 10，比承诺的 8 更糟：通胀 2%，产出却没有增加。
（4）央行行长对通胀更厌恶，他的 λ 更小：λ = 0.5：均衡通胀 = 0.5 × 0.5 × 4 = 1.0；社会损失（λ = 1）= ½ × 1 + ½ × 16 = 8.5。λ = 0.2：通胀 = 0.4，社会损失 = ½ × 0.16 + 8 = 8.08。任命一位"保守"的央行行长，社会的损失更小（Rogoff 1985，第 31 讲）。
局限。 在这个没有冲击的模型里，行长越保守越好。第 31 讲说，有冲击时，过分保守也不好（对衰退反应不足），所以最优的保守程度在中间。
常见错误。 以为"承诺"和"理性预期下的相机抉择"效果一样；把均衡通胀（2）当成"央行想要的通胀"。
第四部分 经济周期与通胀
题 17 解答
思路。 物价每年向"产出缺口为零"的方向调整一步。政策来得越晚，物价已经降得越多，政策再把 A 加回去，就会过热。
B, K, Y_STAR = 0.8, 0.5, 100.0 # 总需求 Y = A - B*P；物价的调整速度；潜在产出
A0, A1 = 180.0, 165.0 # 需求从 180 突然降到 165
P_STAR = (A0 - Y_STAR) / B # 开始时的均衡物价 100
def simulate(delay, years=30, boost=15.0):
"""delay：政策在需求下降后第几年才生效（把 A 加回 boost）；None 表示不干预。"""
p, gaps = P_STAR, []
for t in range(1, years + 1):
a = A1 + (boost if delay is not None and t > delay else 0.0)
p = (p + K * (a - Y_STAR)) / (1 + K * B) # 物价：P_t = P_{t-1} + K*(Y_t - Y*)，Y_t = A - B*P_t
gaps.append(a - B * p - Y_STAR)
return gaps
long_run = (A1 - Y_STAR) / B
print(f"需求下降后，长期物价会降到 {long_run:.2f}（原来 {P_STAR:.0f}），产出回到 {Y_STAR:.0f}")
print("政策延迟 最深的缺口 最高的过热 前 15 年产出缺口的总和")
for delay in (None, 0, 1, 3, 6):
gaps = simulate(delay)
label = "不干预 " if delay is None else f"{delay} 年 "
print(f"{label} {min(gaps):9.2f} {max(0.0, max(gaps)):9.2f} {sum(gaps[:15]):10.2f}")
输出：
需求下降后，长期物价会降到 81.25（原来 100），产出回到 100
政策延迟 最深的缺口 最高的过热 前 15 年产出缺口的总和
不干预 -10.71 0.00 -37.26
0 年 0.00 0.00 0.00
1 年 -10.71 3.06 -0.10
3 年 -10.71 6.81 -0.42
6 年 -10.71 9.29 -1.57
过程与答案。
（1）长期：Y = Y* = 100，A = 165 ⇒ P = (165 − 100)/0.8 = 81.25（物价下降 18.75%）。
（2）不干预：第 1 年缺口 −10.71，之后一年比一年小，物价慢慢降，15 年里累计缺口 −37.26，还没完全回到零。
（3）见输出：
| 政策延迟 | 最深的缺口 | 最高的过热 | 前 15 年缺口总和 |
|---|---|---|---|
| 不干预 | −10.71 | 0 | −37.26 |
| 0 年（立刻抵消） | 0 | 0 | 0 |
| 1 年 | −10.71 | +3.06 | −0.10 |
| 3 年 | −10.71 | +6.81 | −0.42 |
| 6 年 | −10.71 | +9.29 | −1.57 |
（4）政策延迟越长，过热越严重：政策生效时，物价已经降到预期之下，需求一恢复，产出就冲到潜在水平以上。前 15 年的缺口总和看起来都比不干预小，但需要看的不只是总和：过热同样有代价（通胀、资产泡沫）。这是第 32 讲讨论的：政策的时滞、对缺口的实时估计困难（Orphanides）。
常见错误。 以为"政策来得晚，总比不来好"；忽略过热；把延迟 0 年看成"没有冲击"（它是"立刻完全抵消"，现实里办不到）。
题 18 解答
过程与答案。
（1）g = 2：Δu = 1.2 − 0.8 = +0.4（失业率上升 0.4 个百分点）。
（2）Δu = 0：g = 1.2 ÷ 0.4 = 3%。不是 0，因为潜在产出本身在增长（劳动力增加、生产率提高）：增长低于潜在增长率，产出缺口扩大，失业就会上升。
（3）g = −3：Δu = 1.2 + 1.2 = +2.4。
（4）每 1 个百分点的失业率，对应 1 ÷ 0.4 = 2.5 个百分点的产出缺口。产出比潜在水平低 5%，失业率比自然水平高 5 ÷ 2.5 = 2 个百分点。
常见错误。 以为增长 0 才不增加失业；奥肯系数用反（是 2.5 倍，不是 0.4 倍）。
题 19 解答
过程与答案。
（1）每月有 10% 的企业调整，没调整的比例是 0.9，过 t 个月，还没调整的比例是 0.9^t，已调整 1 − 0.9^t：1 个月 10.0%，3 个月 27.1%，6 个月 46.9%，12 个月 71.8%，24 个月 92.0%。调整一半需要 ln 0.5 ÷ ln 0.9 ≈ 6.6 个月。每月 5%：ln 0.5 ÷ ln 0.95 ≈ 13.5 个月。（这是一个"Calvo 式"的简化：每家企业不论上次什么时候改过价，调整机会的概率一样。）
（2）损失 40x² 大于菜单成本 20：x² > 0.5，x > 0.71%。偏离小于 0.71%，不值得改价。
（3）每家企业可以对一个小的偏离不作反应，这是理性的（改价有成本）。所有企业都这样，物价整体就调整得慢，需求下降时，企业调整的是数量（减产、裁员），而不是价格，所以需求冲击会影响产出。（第 32 讲：价格黏性。）
常见错误。 把"价格有黏性"理解成"价格永远不变"。
题 20 解答
过程与答案。
（1）每年通胀上升 0.4 × 1.5 = 0.6 个百分点：2.0、2.6、3.2、3.8、4.4、5.0（第 0 到第 5 年）。缺口一直为正，通胀会不断加速。
（2）要降 6 个百分点，每个百分点年的负缺口，使通胀每年降 0.4 个百分点。累计需要 6 ÷ 0.4 = 15 个百分点·年的负缺口。
（3）可信度 w 时：累计需要 15 × (1 − w)：w = 0：15；0.5：7.5；0.75：3.75；1：0。可信度越高，降通胀的代价越小，完全可信时没有代价。
（4）牺牲率：为了降低 1 个百分点的通胀，要放弃的产出（用"百分点·年"计）。这里是 1 ÷ 0.4 = 2.5（可信度为零时）。（第 33 讲的真实数据估计，沃尔克时期的牺牲率大约在 1.6–1.8 之间，和玩具模型不同，因为实际的可信度和别的冲击。）
常见错误。 以为降通胀一定没有代价（需要完全可信）；把"牺牲率"理解成失业率的变化（这里是产出缺口）。
题 21 解答
过程与答案。
（1）稳态：s(1 − u) = f u，u* = s/(s + f) = 0.018/0.318 ≈ 5.66%。
（2）f = 24%：0.018/0.258 ≈ 6.98%；s = 2.4%：0.024/0.324 ≈ 7.41%。找工作更难，或者被解雇更多，自然失业率都上升。
（3）衰退：s = 3%，f = 26%，长期 u = 0.03/0.29 ≈ 10.34%。从 5.66% 出发：第 1 月 7.02%，第 3 月 8.67%，第 6 月 9.74%，第 12 月 10.27%。
（4）f 回到 30%，s 回到 1.8%：从 10.27% 回到离 5.66% 差 0.3 个百分点以内，需要 8 个月。（这是模型里的数字，现实中恢复的速度通常更慢，第 33 讲讨论了"迟滞"。）
常见错误。 把失业率当成只由"总需求"决定，忘了流入（s）和流出（f）。
题 22 解答
说明。 开放题，参考写法。
理论预测： 把长期通胀目标从 2% 提到 4%，好处主要有两个：一是名义利率的"正常水平"会更高（名义利率 ≈ 实际利率 + 通胀），央行降息的空间更大，不容易撞上零利率下限；二是工资很难下降（名义工资向下刚性），通胀稍高，实际工资可以通过低涨幅来调整，劳动力市场更容易适应冲击。成本主要有：通胀的"鞋底成本"和"菜单成本"更高，税制和合同没有按通胀调整时会扭曲，未预期的通胀会在债权人和债务人之间重新分配，价格作为信号的"噪音"更大。更重要的是，公众对央行"2%“的信心是靠多年的信誉积累的，改目标会不会让预期失锚，本身是一个风险。证据与局限： 提出过建议的研究（第 33 讲提到，2010 年 IMF 的一份研究报告，作者个人观点，建议讨论 4%）遭到了反对。要判断，需要知道：零利率下限出现的频率和代价、通胀从 2% 到 4% 的实际成本有多大（各国经验不同、难以比较）、预期是否会随之上移。这些数字取决于国家、时期和估计方法，我没有一个公认的结论可以给你。分歧在哪： 事实分歧：零下限的代价到底有多大，别的工具（资产购买、财政政策）能不能代替；预期失锚的风险有多大。价值分歧：谁承担通胀的成本（持有现金和固定收入的人，对比借款人）；是否愿意用一点高通胀换取更少的衰退；央行的承诺是不是应该"一经确立就不轻易改动”。价值判断留给读者： 数据能说明风险和好处的大致量级；要不要为了更小的衰退风险，接受更高的日常通胀，是你的判断。
常见错误。 只写好处（或只写成本）；把"提高目标"说成"提高通胀"（它改变的是预期的锚）；写了结论没有分清事实和价值。
第五部分 财政政策与债务
题 23 解答
过程与答案。
（1）乘数 = 1 ÷ (1 − c(1 − t) + m) = 1 ÷ (1 − 0.75 × 0.8 + 0.15) = 1 ÷ 0.55 ≈ 1.818。政府购买 +50，GDP +90.9。
（2）转移支付 +50：居民先把 c = 0.75 的部分花掉，第一轮需求只有 37.5，所以效果 = 0.75 × 1.818 × 50 ≈ 68.2。
（3）平衡预算：购买 +50（GDP +90.9），增税 50（居民少花 0.75 × 50 = 37.5，GDP −68.2），净 +22.7。
（4）c = 0.9，t = 0，m = 0：乘数 1 ÷ (1 − 0.9) = 10。现实里，税（收入的一部分被拿走）、进口（花出去的钱流到国外）、储蓄都是"漏出"，每一轮传下去的比例变小，所以乘数小得多（这里的 1.8）。
常见错误。 转移支付的乘数用购买乘数（没有乘 c）；平衡预算乘数简单地等于 1（有税和进口时不等于 1）。
题 24 解答
思路。 债务/GDP 每年按 (1 + r)/(1 + g) 增长，再减去基本盈余。r > g 时，利息"滚雪球"。
def path(d0, r, g, primary, years):
"""债务/GDP：d' = (1+r)/(1+g) * d - 基本盈余（占 GDP 的比例，亏损为负）。"""
d, out = d0, [d0]
for _ in range(years):
d = (1 + r) / (1 + g) * d - primary
out.append(d)
return out
print("起点：债务/GDP = 80%，r = 4%，g = 2.5%（r - g = 1.5%）")
print(f"保持债务不变所需的基本盈余：(r-g)/(1+g) * d = {0.015 / 1.025 * 80:.2f}% GDP")
print("基本盈余（% GDP） 第 10 年 第 20 年 第 30 年 第 50 年")
for primary in (0.0, -1.0, 1.17, 2.0):
p = path(80, 0.04, 0.025, primary, 50)
print(f"{primary:8.2f} {p[10]:8.1f} {p[20]:8.1f} {p[30]:8.1f} {p[50]:8.1f}")
print("同样的基本赤字 1% GDP，只改变 r - g：")
for r, g in ((0.03, 0.03), (0.04, 0.025), (0.05, 0.02), (0.06, 0.02)):
p = path(80, r, g, -1.0, 30)
hit = next((t for t, x in enumerate(p) if x >= 120), None)
note = f"第 {hit} 年到 120%" if hit is not None else "30 年内没到 120%"
print(f" r = {r:.0%}，g = {g:.1%}（r - g = {100 * (r - g):.1f}%）：第 30 年 {p[30]:6.1f}%，{note}")
输出：
起点：债务/GDP = 80%，r = 4%，g = 2.5%（r - g = 1.5%）
保持债务不变所需的基本盈余：(r-g)/(1+g) * d = 1.17% GDP
基本盈余（% GDP） 第 10 年 第 20 年 第 30 年 第 50 年
0.00 92.5 107.0 123.7 165.4
-1.00 103.2 130.0 161.0 238.4
1.17 80.0 80.0 80.0 80.1
2.00 71.1 60.9 49.0 19.5
同样的基本赤字 1% GDP，只改变 r - g：
r = 3%，g = 3.0%（r - g = 0.0%）：第 30 年 110.0%，30 年内没到 120%
r = 4%，g = 2.5%（r - g = 1.5%）：第 30 年 161.0%，第 17 年到 120%
r = 5%，g = 2.0%（r - g = 3.0%）：第 30 年 238.0%，第 11 年到 120%
r = 6%，g = 2.0%（r - g = 4.0%）：第 30 年 309.0%，第 9 年到 120%
过程与答案。
（1）见输出（r = 4%，g = 2.5%）：基本平衡（0）：第 10/20/30/50 年 92.5 / 107.0 / 123.7 / 165.4；基本赤字 1%：103.2 / 130.0 / 161.0 / 238.4；基本盈余 1.17%：80.0（稳定）；基本盈余 2%：71.1 / 60.9 / 49.0 / 19.5。
（2）要保持 d 不变：d′ = d，解得基本盈余 = (r − g)/(1 + g) × d = 0.015/1.025 × 80 ≈ 1.17%。
（3）基本赤字 1%：r − g = 0（r = 3%，g = 3%）：30 年后 110%，30 年内到不了 120%；r − g = 1.5%：第 17 年到 120%；r − g = 3%（r 5%，g 2%）：第 11 年；r − g = 4%：第 9 年。r − g 越大，债务越快失控。
（4）r < g 时，债务/GDP 即使有基本赤字，也可以稳定甚至下降，因为经济增长得比利息还快。但这不是说"可以无限借"：r < g 不一定永远成立；利率会随着债务上升（风险溢价）而上升；r 一旦重新超过 g，之前累积的债务就变成负担；而且这个结论依赖于"借来的钱花得值"。（第 34 讲，美国 r − g 在多个十年是负的，但这是事后的平均，不是保证。）
常见错误。 只看赤字，不看 r − g；把"基本盈余"和"总盈余"弄混（总盈余里含利息）。
题 25 解答
过程与答案。
（1）国家—年份平均：(12 × 3.0 − 1 × 6.0 + 5 × 1.5 − 2 × 2.0) ÷ 20 = 33.5 ÷ 20 = +1.68%。把 20 个"国家—年份"排序，中位数 +3.0%。
（2）国家平均：(3.0 − 6.0 + 1.5 − 2.0) ÷ 4 = −0.875%。四个国家的中位数 = (−2.0 + 1.5) ÷ 2 = −0.25%。
（3）去掉乙国，按国家平均：(3.0 + 1.5 − 2.0) ÷ 3 ≈ +0.83%。
（4）同样的数据，平均增长可以是 +1.68%，也可以是 −0.875%，只因为怎么加权。乙国只有 1 年，按国家平均时和甲国（12 年）一样重，按国家—年份时只占 1/20。这和第 34 讲里关于"债务超过 GDP 的 90% 就会拖累增长"的那场争论是同一类问题：一项高知名度的研究，被指出有公式错误（漏掉了几个国家）、剔除了一些年份、用了不寻常的加权方式，重算以后平均增长从负变成正（据报道）。教训：结果对怎么加权、怎么选样本很敏感，在相信一个"平均数"之前，要问它怎么算的。（也要注意：这里的数字是虚构的，只演示加权的影响，不对应任何真实研究。）
常见错误。 以为平均数只有一种算法；把相关当成因果（高债务和低增长，也可能是低增长导致高债务）。
题 26 解答
说明。 开放题，参考写法。
理论预测： 在凯恩斯式的模型里，衰退时有闲置的工人和工厂，政府增加支出会通过乘数让总需求和产出增加；乘数的大小取决于边际消费倾向、税率、进口的比例，以及央行的反应（利率会不会上升，产生挤出）。衰退时，闲置资源多、央行可能保持低利率，理论上乘数更大；充分就业时，政府支出主要是挤出私人部门。证据与局限： 第 34 讲讲到：对支出乘数的估计，多个研究给出的范围很大，一些估计在 0.6 到 1 之间，也有研究发现衰退时乘数明显更大；对地区的研究得到的"相对乘数"不能直接当成全国乘数。估计的难处：支出往往是因为经济状况才增加的（反向因果），而且往往同时有别的政策。分歧在哪： 事实分歧：乘数到底多大，衰退时是否更大，利率和预期会不会抵消；债务的长期代价有多大（第 34 讲，r − g）。价值分歧：政府规模应该多大；代际问题（今天借的债，将来由谁还）；刺激的钱花在哪（基建、转移支付、减税），谁受益；愿意用多大的债务风险换取更快的复苏。价值判断留给读者： 数据能给出乘数的大致范围和债务的算术，要不要加大刺激、加到多大，是你的判断。
常见错误。 把某一个乘数估计当成"科学的答案"；只谈经济效果，不谈债务和分配。
第六部分 金融危机
题 27 解答
思路。 银行承诺第一期取款的人拿回 1，但它的资产提前清算只有 s = 0.5。取款的人越多，剩下的人的资产越少。
过程与答案。
（1）f 比例的人取款，银行要拿出 f（每人 1）。需要清算 f/s 的投资。剩下 1 − f/s 的投资，到期收回 R(1 − f/s)，分给 1 − f 的人：等下去的价值 = R(1 − f/s) ÷ (1 − f)。
（2）R = 1.5，s = 0.5：f = 0.2：1.5 × 0.6 ÷ 0.8 = 1.125；f = 0.25：1.000；f = 0.3：0.857；f = 0.4：0.500；f = 0.5：0。令价值 = 1：f* = (R − 1)/(R/s − 1) = 0.5/2 = 25%。f 超过 25%，等下去就不如提前取（1），每个人都想提前取，进一步推高 f。
（3）f = 100%：银行把所有投资清算，只有 0.5 的钱，按先到先得，前 50% 的储户拿到 1，后 50% 拿到 0，期望所得 0.5。这时，每个人都取款是一个均衡：即使他本来不急用钱，他也会取，因为等下去会拿 0。（所以有两个均衡：好的，只有急用钱的人取；坏的，所有人都取。）
（4）R = 1.2：f* = 0.2/(2.4 − 1) ≈ 14.3%；R = 2.0：f* = 1/(4 − 1) ≈ 33.3%。正常的 15% 取款：R = 1.5 时离门槛 25% 还有 10 个百分点；R = 1.2 时，正常的 15% 已经超过门槛 14.3%，银行本身就很脆弱。项目的回报越低，银行越脆弱。
（5）存款保险承诺：等到期的人也能拿回他应得的价值。那么不管别人怎么做，等下去都不亏，“别人取我也取"的理由就消失了，坏均衡不再存在。代价：道德风险（银行和储户都不再小心，第 35 讲）。
常见错误。 把门槛当成"挤兑一定会发生”：有两个均衡，哪个发生取决于预期；把存款保险的好处和它的代价只说一面。
题 28 解答
思路。 价格下跌 → 银行的权益下降 → 杠杆超限 → 卖资产 → 价格更低 → 更多的银行杠杆超限。
BANKS, ASSETS, EQUITY0, LEVERAGE = 8, 200.0, 14.0, 16.0 # 8 家银行，各 200 资产、14 权益（7%），杠杆上限 16
MARKET = BANKS * ASSETS * 3 # 市场总规模（甩卖的量相对它有多大）
def crisis(eta, first_drop=0.02, rounds=300):
"""资产价格先跌 first_drop；杠杆超限的银行按比例卖资产还债，资不抵债的银行清仓；卖出的量压低价格（eta 是冲击系数）。"""
price, held, debt = 1.0 - first_drop, [ASSETS] * BANKS, [ASSETS - EQUITY0] * BANKS
for _ in range(rounds):
sold_total = 0.0
for i in range(BANKS):
if held[i] <= 1e-9:
continue
equity = held[i] * price - debt[i]
if equity <= 0:
sell = held[i] # 资不抵债：全部清仓
held[i], debt[i] = 0.0, 0.0
else:
excess = held[i] * price - LEVERAGE * equity # 超出杠杆上限的部分（按价值算）
if excess <= 1e-9:
continue
sell = excess / price
held[i] -= sell
debt[i] -= sell * price
sold_total += sell
if sold_total < 1e-9:
break
price *= 1 - eta * sold_total * price / MARKET
wiped = sum(1 for i in range(BANKS) if held[i] * price - debt[i] <= 0 or held[i] == 0.0)
return price, wiped
print("冲击系数 eta 最后价格 总跌幅 被清仓的银行数")
for eta in (0.0, 0.1, 0.3, 0.5, 0.55, 0.7):
price, wiped = crisis(eta)
print(f"{eta:8.2f} {price:8.4f} {100 * (1 - price):6.2f}% {wiped}")
输出：
冲击系数 eta 最后价格 总跌幅 被清仓的银行数
0.00 0.9800 2.00% 0
0.10 0.9705 2.95% 0
0.30 0.9092 9.08% 0
0.50 0.8356 16.44% 0
0.55 0.8224 17.76% 8
0.70 0.7837 21.63% 8
过程与答案。
（1）见输出：η = 0：价格只跌 2.00%（没有放大）；η = 0.1：2.95%；η = 0.3：9.08%；η = 0.5：16.44%，还没有银行倒闭；η = 0.55：价格跌 17.76%，8 家银行全部被清仓；η = 0.7：21.63%，同样 8 家全部清仓。
（2）价格跌 2%：每家的资产 200 变成 196，负债 186 不变，权益 14 变成 10，杠杆 = 196/10 = 19.6，超过上限 16。要回到 16：卖出资产还债，设卖出的价值是 x：(196 − x)/(10) = 16，x = 36，也就是卖掉资产的 18.4%。8 家银行同时这样做，卖出的量很大，价格进一步下降。
（3）η 从 0.5 到 0.55，只增加了一点点，被清仓的银行却从 0 家变成了 8 家：价格跌幅的变化是连续的（16.44% → 17.76%），但能不能活下来是一个突变。因为 8 家银行一模一样，权益一旦在某一轮被跌光，就同时一起倒。这说明：金融系统的风险是非线性的，小的参数变化、小的外部冲击，可能带来结局的大差别，平时观察到的"平稳"不能保证安全。（模型的参数是虚构的，临界点的具体位置没有现实含义。）
（4）可能的办法：更高的资本要求（权益厚了，杠杆上限更松，不必卖）；逆周期的缓冲（繁荣时多留，衰退时可动用）；最后贷款人（央行在甩卖时提供流动性）；暂停按市价估值或限制杠杆的顺周期性。每种办法都有代价（降低信贷、道德风险），第 35 讲没有给出一个"最优"答案，这里也不替你选。
（左图对应题 27：等下去的价值；右图对应本题：价格总跌幅随冲击系数上升。）
常见错误。 以为银行"不理性"才甩卖：杠杆约束下，每个银行的卖出都是对自己最合理的反应，合起来却造成更大的损失（合成谬误）。
第七部分 综合
题 29 解答
（a）错。 翻倍只让稳态产出变成 2^(α/(1−α)) 倍（α = 0.4 时 1.587 倍，α = 1/3 时 1.414 倍），因为资本的边际报酬递减（题 5）。
（b）错。 持续的人均增长来自技术进步 g；储蓄只改变稳态的水平。
（c）错。 乘数 (1 + c)/(r + c) 取决于现金比例和准备金率，会随着银行和公众的行为变化。第 30 讲还指出，有的央行研究认为，现代的货币量主要不是由乘数决定的，而是贷款创造存款；对这个问题有不同看法。
（d）对。 费雪方程：实际利率 ≈ 名义利率 − 预期通胀。
（e）错。 短期里有取舍，但长期，预期会调整，没有稳定的取舍（弗里德曼、菲尔普斯，第 33 讲；数据里，取舍的关系在不同时期差别很大）。
（f）对（“理论和一些研究认为”）。衰退时有闲置资源，央行可能保持低利率，挤出小；但不同研究的结果有分歧（第 34 讲，题 26）。
（g）对（在最简化的模型里：无税、无进口）。购买增加 ΔG，增税 ΔT = ΔG（定额税）：净效应 = ΔG × k − c × ΔG × k = ΔG（k = 1/(1 − c)），乘数为 1。有税率和进口时，不等于 1（题 23：22.7/50 = 0.45）。
（h）对（在模型的条件下）。保险承诺使等下去不吃亏，消除了"别人取我也取"的理由（题 27）。
（i）错。 债务/GDP 的变化取决于 r − g 和基本盈余。r < g 时，即使有基本赤字，债务/GDP 也可能稳定或下降；r > g 时，需要基本盈余才能稳定（题 24）。
题 30 解答
| 类型 | 对产出和物价的第一反应 | 政策的难处 | |
|---|---|---|---|
| （a）消费者信心下降 | 总需求冲击，需求下降 | 产出下降，物价下降（或通胀降低） | 要不要用降息或财政刺激？时滞（题 17） |
| （b）油价大涨 | 短期总供给冲击，成本上升 | 产出下降，物价上升（滞胀） | 两难：刺激需求会推高通胀，抑制通胀会加深衰退（第 32、33 讲） |
| （c）央行加息 | 总需求冲击（政策） | 产出下降，物价下降 | 效果有时滞，力度难把握 |
| （d）基础设施投资 | 总需求冲击，需求上升（短期）；也可能提高长期潜在产出 | 产出上升，物价上升（短期） | 乘数多大？挤出？债务？（题 23、24） |
| （e）技术进步 | 潜在产出（长期供给）上升 | 产出上升，物价下降 | 分配：谁受益，谁被替代（第 29 讲） |
| （f）银行危机，信贷收紧 | 总需求下降（也可能降低潜在产出） | 产出下降，物价下降 | 最后贷款人、存款保险，道德风险（第 35 讲） |
| （g）出口订单减少 | 总需求冲击（外需） | 产出下降，物价下降 | 国内需求能不能补上（题 23 的进口漏出） |
| （h）自然灾害毁掉工厂 | 短期供给冲击，也降低潜在产出 | 产出下降，物价上升 | 重建需要的支出会推高需求；政策要区分短期和长期 |
要点。 区分需求冲击（产出和物价同向变）和供给冲击（反向变）是第一步：（b）和（h）会让产出下降、物价上升，政策两难；（a）（c）（f）（g）让两者同时下降，政策相对简单。
常见错误。 把所有冲击都当成需求冲击；忽略有的冲击同时影响需求和供给（比如灾害、危机）。
做完之后
数一数你错在哪里。
- 第一部分（题 1–4）错得多：重读第 27 讲：GDP 只算最终产品或增加值，实际 GDP 受基期影响，失业率的分母是劳动力。
- 第二部分（题 5–10）错得多：重读第 28、29 讲：稳态的位置由储蓄决定，收敛的速度由 (1 − α)(n + g + δ) 决定，持续增长来自技术；效率是剩余。
- 第三部分（题 11–16）错得多：重读第 30、31 讲：货币乘数不固定，通胀税有最大值，名义和实际利率要分清，央行的承诺有价值。
- 第四部分（题 17–22）错得多：重读第 32、33 讲：需求冲击和供给冲击的区别，政策时滞，预期决定菲利普斯曲线的形状。
- 第五、六部分（题 23–28）错得多：重读第 34、35 讲：乘数里的漏出，r − g，银行挤兑的两个均衡，甩卖的非线性。
有一类错误值得单独记下来：把模型的结论当成现实的结论。这一部分的几乎每一个模型都在说：给定这些假设，会发生什么。第 04 讲说过，宏观问题很难做实验，经济学家争论很多。所以每次得到一个数，都要问一句：这个结果依赖于哪个假设？
下一套习题（习题 84）对应 Unit 9–10：时间价值与贴现、风险与保险、有效市场、行为经济学，以及国际贸易、汇率、发展、经济史。
参考
这套习题只用到前面各讲已经引用过的概念和文献，没有引入新的文献。题中的所有场景和数字都是为练习设计的示意，不对应真实的统计数据。需要核对原始文献的地方，请回到对应的那一讲。