这是第五套、也是最后一套习题，对应 Unit 9 和 Unit 10，也就是第 36 讲到第 43 讲：钱和时间、风险和保险、市场有没有效率、人为什么不像计算机，然后走出国门：贸易、汇率、发展、不平等，最后是几百年的大历史。一共 31 道题，每道题都有完整的解答。
这一部分有很多"算一算"的题（贴现、债券、关税、汇率），数字不难，但容易在单位和方向上犯错：是名义还是实际，是升值还是贬值，是年利率还是月利率。解答里会尽量把这些容易错的地方标出来。
怎么用这套题
先做，再看。 每道题先写下"这是哪一讲的哪个公式"，估一估答案的大小和方向，再动手算。估计和计算差得很远的时候，往往是哪里弄反了。
难度。
- ★ 巩固：直接用一个定义，或者一步计算。
- ★★ 标准：两三步，或者要你自己把一段现实的话翻译成模型。
- ★★★ 挑战：要把几讲拼在一起，或者里面藏着一个陷阱。
题型。 判断辨析、计算、建模、四道代码题（标"代码"）、两道四步写作题、一道综合题。代码题的代码是独立的完整程序，只需要 Python 3（都没有用到 NumPy），不需要联网。
解答。 每题分四步：思路、过程、答案、常见错误。
关于现实中的政策与投资。 这套题里有几道涉及投资、房贷、关税、汇率。所有数字都是为练习设计的，不是投资建议，也不是对任何政策的评价。 凡是涉及有争论的问题（保护战略行业、养老金默认选项、逆差是不是问题），解答只给事实部分和不同立场的逻辑，价值判断留给你。
数字。 所有计算题的数字都用代码核对过；代码题的输出就是代码实际跑出来的。题里的场景和数字都是为练习设计的示意，不对应真实的统计数据。
| 题号 | 主题 | 对应讲 |
|---|---|---|
| 1–6 | 复利与现值、房贷、债券、NPV/IRR、长期折现、现在偏向 | 第 36 讲 |
| 7–9 | 期望效用、保险公司、分散 | 第 37 讲 |
| 10–13 | 运气与技能、费用、CAPM、养老金默认选项 | 第 38 讲 |
| 14–16 | 前景理论、默认选项、公平 | 第 39 讲 |
| 17–19 | 关税、关税战、保护战略行业 | 第 40 讲 |
| 20–23 | 实际汇率、马歇尔–勒纳、经常账户、货币危机 | 第 41 讲 |
| 24–27 | 基尼、贫困、再分配的漏桶、普雷斯顿曲线 | 第 42 讲 |
| 28–30 | 马尔萨斯陷阱、历史上的增速与追赶、综合题 | 第 43 讲、全课 |
| 31 | 判断题 | 第 36–43 讲 |
题目
第一部分 时间的价值（第 36 讲）
题 1（★）复利与现值
（1）现在存 50 万元，年利率 5%，30 年后是多少？
（2）现在存 1 万元，年利率 3%，40 年后是多少？
（3）年利率 6% 时，大约多少年翻一番？用 72 法则，再和精确值比一比。
（4）20 年后的 100 万元，年利率 4% 时，今天值多少？
（5）实际利率 3%，通胀 2%，名义利率约是多少？精确值是多少？
（6）有人给你两个选择：今天拿 100 万，或者 5 年后拿 130 万。他隐含的年利率是多少？
题 2（★★）房贷与提前还贷
借 80 万元，25 年，等额本息，年利率 4.2%，按月还。
（1）每月还多少？25 年一共付多少利息？
（2）如果现在提前还 10 万元（期限不变），月供变成多少？每月少付多少？
（3）这 10 万元如果不还房贷，放在别处年收益 1%、3%、4.2%、5%，那么"每月少付的钱"折成今天的价值（按这个收益率折现），各是多少？和 10 万比，哪边更划算？
（4）临界的收益率是多少？这说明了什么？（这只是算术，不是任何建议。）
题 3（★★）债券的价格
一张 10 年期债券，面值 100，每年付息 4（息票率 4%）。
（1）市场收益率是 3%、4%、5%、6% 时，价格各是多少？
（2）收益率从 4% 升到 6%，剩余期限是 2 年、5 年、10 年、30 年的这种债券，价格各跌百分之几？
（3）2020 年买入一张 10 年期、息票率 1.5% 的债券，面值 100。三年后市场收益率升到 4.5%，剩余 7 年。它的价格是多少？账面亏了多少？
（4）这和第 35 讲的硅谷银行有什么关系？
题 4（★★★）代码：NPV 与 IRR
（1）一个项目：现在花 200，之后 6 年每年收 45，最后一年再多收 20（残值）。写代码，算折现率 3%、6%、9%、12%、15% 时的 NPV，并用二分法求 IRR。
（2）两个互斥项目，都要现在投入 100：A 一年后还 130；B 四年后还 190。折现率 5%、10%、15%、20% 时，各自的 NPV，选哪个？两个项目的 IRR 各是多少？
（3）NPV 相等的折现率是多少？这说明为什么"比较互斥项目要用 NPV，不能用 IRR"？
题 5（★★）长期折现：100 年后的代价，今天值多少
拉姆齐公式：折现率 r = ρ + η × g，ρ 是纯时间偏好，η 是对不平等的厌恶，g 是未来的人均消费增长，设 g = 2%。
（1）三组设定：（ρ = 0.1%，η = 1）、（ρ = 1%，η = 1.5）、（ρ = 2%，η = 2）。折现率各是多少？
（2）80 年后的 1 亿元损害，三组设定下今天的现值各是多少？
（3）如果不确定该用哪个折现率，一半的可能是 2%，一半是 6%。20、50、100 年后，混合的"等价折现率"各是多少？
（4）这说明了什么？
题 6（★★★）现在偏向：计划，和到时候的改主意
一个人的月度折现因子 δ = 0.96，现在偏向系数 β = 0.6（只对"现在 vs 将来"的比较起作用）。
（1）今天拿 100，或者一个月后拿 112。指数折现者（β = 1）怎么选？β–δ 的人怎么选？
（2）12 个月后拿 100，或者 13 个月后拿 112。从今天看，两种人各怎么选？
（3）12 个月后真的到了，β–δ 的人面对"当天拿 100 还是一个月后拿 112"，会怎么选？这和（2）里他今天的计划一致吗？
（4）这个人愿意花多少钱，买一个"锁定"（今天就把选择定死、将来无法改）？
第二部分 风险、保险与分散（第 37 讲）
题 7（★★）期望效用与保险
一个人的效用是 ln(财富)。
（1）财富 80 万元，抛一枚硬币：正面赢 30 万，反面输 30 万。这个赌局对他的确定性等价是多少？风险溢价多少？
（2）他有一套价值 120 万元的房子，一年里被烧毁的概率 0.5%。公平保费是多少？
（3）他其他财富是 100 万元时，最多愿意付多少保费？其他财富是 1000 万元时呢？
（4）保险公司收 0.65 万元，两种人各买不买？
题 8（★★★）代码：保险公司什么时候不会亏
保险公司卖保单：每份保单出险概率 2%，出险赔 50，保费 1.2（平均赔付 1.0，所以有 20% 的安全垫）。
（1）写代码：保单数 10、100、1000、1 万、10 万时，“赔付总额超过收到的保费"的概率是多少（各保单独立出险）？
（2）换一种风险：4% 的年份是灾难年，灾难年里每份保单 50% 出险，其他年份没有出险（平均出险概率也是 2%）。亏本概率呢？
（3）这两列数字说明了什么？
题 9（★★）分散
（1）资产 1 的年波动 20%，资产 2 的波动 30%，相关系数 0.3。各投一半，组合的波动是多少？
（2）波动最小的组合，资产 1 的权重是多少？波动是多少？
（3）相关系数是 1 和 −0.5 时，各投一半，波动各是多少？
（4）N 个资产，每个波动 25%，两两相关 0.4，等权。N = 1、4、25、100、无穷时，组合波动各是多少？
第三部分 有效市场（第 38 讲）
题 10（★★）运气与技能
5000 位基金经理，每年每人有 50% 的概率跑赢市场，彼此独立，完全凭运气。
（1）连续 3、5、8、10、12 年跑赢的人，预计各有几位？
（2）连赢 5 年的那些人，第 6 年继续跑赢的概率是多少？
（3）一位经理真的有技能：每年平均跑赢市场 1.5%，跟踪误差（每年的随机波动）5%。要几年才能让 t 统计量达到 2？
题 11（★）费用
一个人投资 50 万元，25 年。市场的平均年收益是 8%（费用前）。
（1）低成本指数基金费率每年 0.2%，主动基金每年 1.5%。25 年后各是多少？
（2）主动基金少了百分之几？
（3）这个比较的前提是什么？
题 12（★★）CAPM
无风险利率 2%，市场风险溢价 5.5%。
（1）β = 1.3 的股票，CAPM 的预期收益是多少？
（2）60% 投这只股票，40% 投无风险资产，组合的 β 和预期收益是多少？
（3）两只股票，β 分别是 0.8 和 1.4，各投一半，β 是多少？
（4）这只 β = 1.3 的股票，过去 25 年平均收益 11%，年波动 30%。它的"α"是多少？这个估计可靠吗？
题 13（★★★）养老金的默认选项：用四步写一段话
有人建议：员工加入养老金计划时，默认的投资选项设为低成本的指数基金（员工可以改选别的）。
请按"理论预测 → 证据与局限 → 分歧在哪 → 价值判断留给读者"写一段话。注意区分事实和价值判断。（这不是投资建议。）
第四部分 行为经济学（第 39 讲）
题 14（★★★）代码：前景理论
价值函数：收益 v(x) = x^α，损失 v(x) = −λ(−x)^α。概率权重 w(p) = p^γ / (p^γ + (1 − p)^γ)^(1/γ)。一组虚构的参数：α = 0.8，λ = 2.0，γ（收益）= 0.65，γ（损失）= 0.70。
（1）一个赌局：50% 赢 G，50% 输 100。G 要多大才愿意接受？分三种情形：只有损失厌恶（价值函数是线性的）；加上价值函数的曲度；再加上概率权重。
（2）“四重模式”：5% 赢 200、95% 赢 200、5% 输 200、95% 输 200，每个赌局对你值多少钱（确定性等价）？和期望值比一比。
（3）每一行说明了什么？
题 15（★★）默认选项：有时更好，有时更糟
一个养老金计划。员工 i 参加的"净好处"是 B（可正可负，员工自己知道）。所有人面对的麻烦（办手续的成本）是 30（只要有动作就付）。B 在员工中均匀分布。
- 自愿加入：只有 B > 30 的人才去办手续加入。
- 默认加入：人人自动加入；想退出的人要付 30 的手续成本。
总好处 = 所有人的净好处之和（参加的人得到 B，办手续的人付 30）。
（1）B 均匀分布在 −20 到 100：两种办法下，参与率和人均总好处各是多少？
（2）B 均匀分布在 −100 到 40：呢？
（3）B 均匀分布在 −100 到 20：呢？
（4）这说明默认选项的好处取决于什么？
题 16（★★）公平：提议者该提多少
最后通牒博弈：提议者拿 10 元分给回应者，回应者接受或拒绝（拒绝则双方都是 0）。回应者的效用：自己得到 s，提议者得到 10 − s，效用 = s − A × max(10 − 2s, 0)（A 是对"自己比别人少"的反感）。分布：A = 0 占 20%，A = 0.3 占 30%，A = 1 占 40%，A = 3 占 10%。
（1）各类回应者的最低接受额是多少？
（2）提议者的最优提议是多少？期望所得多少？
（3）纯自利的提议者以为所有人 A = 0，会提多少？实际期望所得多少？
第五部分 国际贸易（第 40 讲）
题 17（★★★）一项关税
小国模型：本国需求 Q = 100 − P，本国供给 Q = 2P − 20（P ≥ 10），世界价格 20（可以无限进口）。
（1）自由贸易：国内销量、国产量、进口量、各方的剩余？
（2）征关税 t = 5、10、15、20 时，国内价格、国产量、进口量、消费者剩余、生产者剩余、关税收入和净损失各是多少？
（3）t = 5 时，消费者损失的钱里，多少变成了生产者的所得，多少变成了政府的收入，多少是净损失？
（4）多高的关税是"禁止性"的？
（5）一个国家进口占 GDP 的 20%，需求弹性 ε = 4 或 8，开放的得益大约是 GDP 的多少？（用第 40 讲的近似：(1 − 进口占比)^(−1/ε) − 1。）
题 18（★★）关税战
两个国家，每国可以选"自由"或"加税”。收益（甲，乙）：（自由，自由）(100, 100)；（加税，自由）(115, 70)；（自由，加税）(70, 115)；（加税，加税）(85, 85)。
（1）找出占优策略和纳什均衡。这是什么博弈？
（2）如果这个博弈重复无数次，下一期继续的概率是 δ，用冷酷触发，δ 要多大，“自由"才能维持？
（3）如果两国大小不一样，会怎样？
（4）这和 WTO 一类的国际规则有什么关系？
题 19（★★★）该不该保护"战略行业”：用四步写一段话
一个国家的某个行业被认为是"战略性的"（比如关系国家安全或未来的技术）。有人主张用关税或补贴保护它，有人反对。
请按"理论预测 → 证据与局限 → 分歧在哪 → 价值判断留给读者"写一段话。
第六部分 汇率与国际收支（第 41 讲）
题 20（★★）汇率与实际汇率
（1）汇率（每 1 美元合多少人民币）从 6.50 变成 6.89。美元升值了百分之几？人民币贬值了百分之几？为什么两个数不一样？
（2）名义汇率保持 6.50 不变。8 年里，国内通胀每年 6%，美国每年 2%。实际汇率 q = eP*/P 怎么变？本币实际升值还是贬值了？
（3）要保持实际汇率不变，名义汇率要变成多少？
题 21（★★）马歇尔–勒纳
本币贬值 10%。简化模型：出口的本币价格不变，出口数量 × 1.1^η_x（η_x 是出口对汇率的弹性）；进口的外币价格不变，本币价格 × 1.1，进口数量 × 1.1^(−η_m)。初始出口 = 进口 = 100（本币）。
（1）η_x = η_m = 0.2、0.5、0.8、1.5 时，贸易余额的变化各是多少？
（2）η_x = 0.1，η_m = 0.3 呢？
（3）马歇尔–勒纳条件是什么？
（4）为什么短期里，贬值之后贸易余额可能先恶化（J 曲线）？
题 22（★★）经常账户恒等式
一个经济：消费 600，投资 180，政府购买 150，出口 130，进口 60。
（1）GDP、储蓄、净出口、经常账户各是多少？验证 CA = S − I。
（2）投资增加 40，储蓄不变。经常账户怎么变？
（3）政府多支出 50（其他不变，私人储蓄不变）。经常账户怎么变？
（4）有人说"经常账户逆差就是坏事"。这个恒等式能回答吗？
题 23（★★★）货币危机：第一代模型
固定汇率制。货币供给 M̄ = 120，国内信贷 D0 = 50，外汇储备 R0 = 70（M̄ = D + R）。国内信贷每年增长 μ，D(t) = D0 × e^(μt)。（第 41 讲的简化结论：投机攻击比储备耗尽提前 α 年，α 是货币需求对预期贬值的半弹性。）α = 4。
（1）μ = 6%：储备什么时候耗尽？攻击什么时候发生？攻击时剩余储备多少？
（2）μ = 10% 呢？
（3）为什么政府看着储备还有 25–40，投机者却攻击了？
第七部分 发展与不平等（第 42 讲）
题 24（★★）基尼系数
（1）五个人的收入 (2, 3, 5, 8, 22)。基尼系数是多少？最穷 40% 和最富 20% 各拿总收入的几成？
（2）收入对数正态分布，σ = 0.9，基尼系数是多少？（公式 G = 2Φ(σ/√2) − 1。）
（3）两个国家基尼系数相同，收入分布一定一样吗？
题 25（★★）增长和分配，谁减贫更多
一个国家的日收入服从对数正态分布，中位数 6，σ = 0.8。贫困线是每天 3 元。
（1）贫困率是多少？
（2）所有人的收入增长 10%（中位数 6.6），σ 不变。贫困率呢？
（3）收入增长 10%，但不平等同时上升：σ 变成 1.0。贫困率呢？
（4）σ = 1.0 时，中位数要多高，才能让贫困率回到（1）的水平？
题 26（★★★）代码：再分配的漏桶
税前收入对数正态（σ = 0.7），均值标准化为 1。政府征统一税率 t，把全部税收平分给每个人。税会使税前收入减少：税前收入 = y × (1 − t)^e，e = 1.0。税后收入 = 税前收入 × (1 − t) + 人均转移。
（1）写代码：t = 0、20%、40%、50%、60%、80% 时，人均收入、最穷 20% 的平均收入、基尼系数、人均转移、“漏掉的比例"各是多少？
（2）哪个税率让最穷 20% 的平均收入最高？哪个让全体平均收入最高？税收最大的税率是多少？
（3）这说明了什么？它回答了"税率该多高"吗？
题 27（★★）普雷斯顿曲线：寿命提高了多少来自收入
预期寿命 ≈ a + b × ln(人均收入)，b = 6。一个国家 1990 年人均收入 2000 元，预期寿命 55 岁；2020 年人均收入 6000 元，预期寿命 68 岁。
（1）这 13 岁里，沿着同一条曲线、因为收入增加带来的是多少岁？
（2）剩下的是什么？占多大比例？
（3）这说明了什么？
第八部分 大历史与综合（第 43 讲、全课）
题 28（★★）马尔萨斯陷阱与逃离
马尔萨斯模型：人均收入 y = A × N^(−α)，人口增长率与（y − y0）成正比（比例系数 ε），y0 = 1 是"勉强维持"的水平。设 α = 0.5，ε = 0.3，每"代"为单位。
（1）一次性的技术进步使 A 提高 60%。长期里，人口和人均收入各变成原来的多少倍？
（2）技术持续进步，每代 +g。长期的稳态人均收入 y = 1 + ln(1 + g)/(αε)，人口每代增长 (1 + g)^(1/α) − 1。g = 5%、10%、20% 时，各是多少？
（3）为什么在这个模型里，一次性的进步只带来更多人口，而持续的进步才能带来更高的收入？
（4）模型没有说明什么？
题 29（★★）历史上的增速与追赶
（1）英国 1830–1870 年人均收入年均增长 1.25%，40 年后是原来的多少倍？
（2）中国 1978 年人均收入 1744，2022 年 19238（同一套价格，国际元）。年均增长多少？翻一番要几年？
（3）假设中国未来每年增长 3%、4%、5%，英国每年增长 1%，中国要多少年才追上英国 2022 年的 38407？（这是算术，不是预测。）
（4）韩国 1952–1996 年人均收入增长 19.5 倍，年均多少？
（5）这些算术说明了什么？没说明什么？
题 30（★★★）一道综合题：用权衡、激励、均衡三个想法
一个城市限制网约车的数量，只发一定数量的牌照，牌照可以转让。
请用本课的三个想法（权衡、激励、均衡）和你在前面学到的具体模型，分析这件事：谁得益，谁受损，会发生什么意想不到的事，哪些是事实问题，哪些是价值问题。说明你用到了哪几讲的内容。
题 31（★）判断题：这些话对吗
判断对错，并说明理由。
（a）已经发行的债券，市场收益率上升时，它的价格会下降。
（b）两个互斥项目，IRR 高的 NPV 一定高。
（c）折现率越高，100 年后的损害的现值越小。
（d）分散投资可以消除所有风险。
（e）有效市场假说说的是：没有人能赚到钱。
（f）前景理论认为，同样的金额，损失带来的痛苦大于收益带来的快乐。
（g）默认选项总是让人们的境况变好。
（h）小国征收进口关税，国内消费者的损失大于生产者的所得。
（i）本币贬值一定改善贸易余额。
（j）两个国家基尼系数相同，收入分布就相同。
（k）马尔萨斯模型里，一次性的技术进步会让人均收入永久提高。
（l）预期寿命随收入上升，说明收入是寿命提高的唯一原因。
解答
第一部分 时间的价值
题 1 解答
思路。 终值 = 现值 × (1 + r)^n；现值 = 终值 ÷ (1 + r)^n。
过程与答案。
（1）50 × 1.05^30 ≈ 216.1 万元。
（2）1 × 1.03^40 ≈ 3.26 万元。
（3）72 法则：72 ÷ 6 = 12 年。精确：ln 2 ÷ ln 1.06 ≈ 11.9 年。
（4）100 ÷ 1.04^20 ≈ 45.6 万元。
（5）近似：3% + 2% = 5%。精确：1.03 × 1.02 − 1 = 5.06%。
（6）(130/100)^(1/5) − 1 ≈ 5.39%。
常见错误。 把单利和复利混用；把名义利率和实际利率直接相加（它们要相乘）。
题 2 解答
思路。 等额本息的月供 = 本金 × r ÷ (1 − (1 + r)^−n)，r 是月利率，n 是期数。
过程与答案。
（1）月利率 0.042/12 = 0.35%，n = 300：月供 = 80 万 × 0.0035 ÷ (1 − 1.0035^−300) ≈ 4311.54 元。总还款 4311.54 × 300 ≈ 129.3 万，利息 ≈ 49.35 万元。
（2）提前还 10 万，剩余 70 万、期限 25 年不变：月供 ≈ 3772.60 元，每月少付 538.94 元。
（3）把"每月少付 538.94，共 300 个月"按收益率折现（月利率 = 年收益率 ÷ 12）：1%：14.30 万；3%：11.37 万；4.2%：10.00 万；5%：9.22 万。和提前还掉的 10 万比：收益率低于 4.2%，“提前还"值得（省下的现值大于 10 万）；高于 4.2%，放在别处更划算。
（4）临界收益率就是房贷利率 4.2%：提前还贷的收益，等于"以 4.2% 的无风险收益把钱放着”。这只是算术：它没有考虑别处的收益是否有风险、流动性（要不要留现金备用）、税、能不能再借出来等等，所以不是任何建议。
常见错误。 用年利率直接当月利率；忘了提前还贷以后期限是不变的（只有月供下降）。
题 3 解答
思路。 债券价格 = 各期现金流的现值之和（用市场收益率折现）。
过程与答案。
（1）息票率 4%，10 年：收益率 3% → 108.53；4% → 100.00；5% → 92.28；6% → 85.28。
（2）收益率 4% → 6%，剩余期限 2、5、10、30 年：价格分别跌 3.7%、8.4%、14.7%、27.5%。期限越长，利率变动的冲击越大。
（3）息票率 1.5%，7 年，收益率 4.5%：价格 ≈ 82.32，账面亏 17.7%（相对面值 100）。
（4）银行买了大量低息票的长债，利率上升后，这些债的市价下跌（如（3））。如果银行必须在这时卖掉它们，就要把账面上的亏损变成真亏。第 35 讲讲的硅谷银行，就是在存款人撤走、被迫出售证券时，亏损显现（据报道）。这里的数字是练习用的，不是硅谷银行的实际数据。
常见错误。 以为债券的价格只和息票率有关；忘了收益率上升，价格下跌。
题 4 解答
思路。 NPV 是把各年现金流用折现率折成今天的和。IRR 是使 NPV = 0 的折现率。
def npv(rate, flows):
"""flows[t] 是第 t 年末的现金流，第 0 年是现在。"""
return sum(cf / (1 + rate) ** t for t, cf in enumerate(flows))
def irr(flows, lo=-0.5, hi=2.0):
"""二分法：找让 NPV = 0 的折现率（NPV 随折现率下降时有效）。"""
for _ in range(100):
mid = (lo + hi) / 2
lo, hi = (mid, hi) if npv(mid, flows) > 0 else (lo, mid)
return (lo + hi) / 2
# 项目：现在花 200，之后 6 年每年收 45，最后一年再多收 20（残值）
project = [-200] + [45] * 5 + [65]
print("折现率 NPV")
for r in (0.03, 0.06, 0.09, 0.12, 0.15):
print(f"{r:6.0%} {npv(r, project):8.2f}")
print(f"IRR = {irr(project):.2%}")
# 两个互斥项目：A 一年后还 130，B 四年后还 190，都要现在投入 100
a, b = [-100, 130], [-100, 0, 0, 0, 190]
print("折现率 NPV(A) NPV(B) 选哪个")
for r in (0.05, 0.10, 0.15, 0.20):
na, nb = npv(r, a), npv(r, b)
print(f"{r:6.0%} {na:7.2f} {nb:7.2f} {'A' if na > nb else 'B'}")
print(f"IRR(A) = {irr(a):.2%}，IRR(B) = {irr(b):.2%}")
cross = (190 / 130) ** (1 / 3) - 1
print(f"两个项目 NPV 相等的折现率：{cross:.2%}（低于它选 B，高于它选 A）")
输出：
折现率 NPV
3% 60.52
6% 35.38
9% 13.79
12% -4.85
15% -21.05
IRR = 11.18%
折现率 NPV(A) NPV(B) 选哪个
5% 23.81 56.31 B
10% 18.18 29.77 B
15% 13.04 8.63 A
20% 8.33 -8.37 A
IRR(A) = 30.00%，IRR(B) = 17.41%
两个项目 NPV 相等的折现率：13.48%（低于它选 B，高于它选 A）
过程与答案。
（1）折现率 3%：NPV 60.52；6%：35.38；9%：13.79；12%：−4.85；15%：−21.05。IRR = 11.18%：折现率低于它，值得做；高于它，不值得做。
（2）折现率 5%：NPV(A) 23.81，NPV(B) 56.31，选 B；10%：18.18 对 29.77，B；15%：13.04 对 8.63，A；20%：8.33 对 −8.37，A。IRR(A) = 30.00%，IRR(B) = 17.41%。
（3）NPV 相等的折现率：(190/130)^(1/3) − 1 ≈ 13.48%。折现率低于它，选 B；高于它，选 A。但 IRR(A)（30%）一直高于 IRR(B)（17.4%），如果按 IRR 比较，永远选 A，折现率在 13.48% 以下时，选错了：B 的资金占用时间更长，在低折现率下这些"更多的钱"更值钱。互斥项目，要比 NPV，不能比 IRR。
常见错误。 以为 IRR 越高越好；忘了 IRR 不考虑项目的规模和时间长短。
题 5 解答
过程与答案。
（1）r = ρ + η × g：第一组 0.1% + 1 × 2% = 2.1%；第二组 1% + 1.5 × 2% = 4.0%；第三组 2% + 2 × 2% = 6.0%。
（2）1 亿 ÷ (1 + r)^80：2.1% → 1896 万；4.0% → 434 万；6.0% → 94.5 万。同样的 80 年后的损害，现值可以差 20 倍。
（3）混合：一半的可能 2%，一半 6%，T 年后的平均现值 = ½/1.02^T + ½/1.06^T，等价折现率 = (平均现值)^(−1/T) − 1：20 年：3.61%；50 年：3.14%；100 年：2.69%。（平均是 4%，但年数越长，等价折现率越低。）
（4）折现率的不确定，会让远期的现值被低的折现率主导：100 年后，6% 的现值只有 0.29%，2% 的有 13.8%，两者平均 7.05%，几乎全部来自 2% 那一半。这是第 36 讲里 Weitzman 的论证：不确定下，远期应该用更低的折现率。该用哪组设定，涉及价值判断（后代的福利是否同等重要）。
常见错误。 把"平均折现率"当成"平均现值的折现率”；以为折现率是个纯技术问题。
题 6 解答
思路。 β–δ：现在的奖励不打折，将来的奖励要乘 β；所以"现在 vs 将来"的比较偏向现在。
过程与答案。
（1）今天 100 对一个月后 112：指数折现者：112 × 0.96 = 107.5 > 100，等。β–δ 的人：0.6 × 0.96 × 112 = 64.5 < 100，选今天拿。
（2）12 个月后拿 100，或者 13 个月后拿 112：两个都在将来，β 对两边都打（只改变现在 vs 将来的比较），比较的是 100 × 0.96^12 对 112 × 0.96^13：36.76 对 39.53（都乘 β = 0.6），选等（13 个月后拿 112）。指数折现者也选等。
（3）12 个月后真的到了，问题变成（1）：当天拿 100，或者一个月后拿 112。β–δ 的人这时会选当天拿。和今天的计划不一致：今天他计划等，到时候改主意。
（4）今天评价：等的话 39.53，改主意拿早的 36.76，差 2.77（今天效用单位）。他今天愿意为"锁定"最多付 2.77。
常见错误。 以为 β–δ 的人"总是没耐心"：他在遥远的将来是有耐心的，只是临近时变没耐心；以为这是"非理性"：它描述的是计划的不一致。
第二部分 风险、保险与分散
题 7 解答
过程与答案。
（1）期望效用 = ½ ln 110 + ½ ln 50。确定性等价 = e^(期望效用) = √(110 × 50) = √5500 ≈ 74.16。风险溢价 = 80 − 74.16 ≈ 5.84 万。
（2）公平保费 = 0.5% × 120 = 0.6 万元。
（3）总财富 = 其他财富 + 房子。不买保险的期望效用 = 0.995 ln(W) + 0.005 ln(W − 120)。愿付的最高保费 π 满足 ln(W − π) = 这个期望效用。其他财富 100 万（W = 220）：π ≈ 0.866 万；其他财富 1000 万（W = 1120）：π ≈ 0.634 万。
（4）收 0.65 万：其他财富 100 万的人愿付 0.866 > 0.65，买；其他财富 1000 万的人愿付 0.634 < 0.65，不买。不买不是不理性：他自己就能承担这个损失，保险对他的价值，低于保险公司要的价格。
常见错误。 以为风险厌恶的人一定愿意买任何保险；愿付价取决于其他财富。
题 8 解答
思路。 独立风险，保单越多，平均赔付越接近 1.0，就越不容易超过 1.2。共同风险不会被"平均掉"。
from math import lgamma, log, exp
POLICIES_PAYOUT, PREMIUM, P_CLAIM = 50, 1.2, 0.02 # 每份保单赔付 50，保费 1.2，出险概率 2%（平均赔付 1.0）
Q_CAT = 0.04 # 相关风险的版本：4% 的年份是灾难年，那年每份保单 50% 出险
def binom_pmf(k, n, p):
return exp(lgamma(n + 1) - lgamma(k + 1) - lgamma(n - k + 1) + k * log(p) + (n - k) * log(1 - p))
def loss_probability_independent(n):
"""各保单独立出险：赔付总额超过收到的保费的概率。"""
limit = PREMIUM * n / POLICIES_PAYOUT # 出险份数超过 limit 就亏
return max(0.0, 1 - sum(binom_pmf(k, n, P_CLAIM) for k in range(0, int(limit) + 1)))
def loss_probability_correlated(n):
"""灾难年（概率 Q_CAT）每份 50% 出险，其余年份不出险（平均出险概率 = 0.04 * 0.5 = 2%，和独立版一样）。"""
limit = PREMIUM * n / POLICIES_PAYOUT
p_loss_in_cat = 1 - sum(binom_pmf(k, n, 0.5) for k in range(0, int(limit) + 1))
return Q_CAT * p_loss_in_cat
print("保单数 平均赔付/份 亏本概率（独立） 亏本概率（有灾难年）")
for n in (10, 100, 1000, 10000, 100000):
print(f"{n:7d} {P_CLAIM * POLICIES_PAYOUT:8.2f} {loss_probability_independent(n):12.4%} {loss_probability_correlated(n):12.4%}")
输出：
保单数 平均赔付/份 亏本概率（独立） 亏本概率（有灾难年）
10 1.00 18.2927% 3.9961%
100 1.00 32.3314% 4.0000%
1000 1.00 15.4515% 4.0000%
10000 1.00 0.2434% 4.0000%
100000 1.00 0.0000% 4.0000%
过程与答案。
（1）见输出（独立）：10 份：18.3%；100 份：32.3%；1000 份：15.5%；1 万份：0.24%；10 万份：0.00%。先升后降（图里 30 份时更高，约 45%）：份数很少时，“一张都不出险"的概率本身就大；份数增加到一定程度，大数定律才起作用。
（2）有灾难年：亏本概率始终约 4.0%（等于灾难年的概率），不随保单数下降：灾难年里一半的保单出险，赔付远远超过保费。
（3）分散对独立的风险有用，对共同的风险没用。 保险公司要靠保单数量把独立风险"平均掉”；对共同风险（地震、系统性危机），多卖保单没用，需要再保险或者政府（第 37 讲，第 35 讲的存款保险、第 34 讲的自动稳定器）。
常见错误。 以为保单越多越安全；把"平均出险概率"相同当成"风险相同"。
题 9 解答
思路。 组合方差 = w1²σ1² + w2²σ2² + 2 w1 w2 ρ σ1 σ2。
过程与答案。
（1）½ 对 ½：方差 = 0.25 × 400 + 0.25 × 900 + 2 × 0.25 × 0.3 × 20 × 30 = 100 + 225 + 90 = 415，波动 20.37%。
（2）最小方差的权重 w1 = (σ2² − ρσ1σ2) ÷ (σ1² + σ2² − 2ρσ1σ2) = (900 − 180) ÷ (400 + 900 − 360) = 720/940 ≈ 0.766。波动 ≈ 18.67%，比两个资产单独的最小波动（20%）还低。
（3）ρ = 1：25%（没有分散的好处）；ρ = −0.5：13.23%。
（4）N 个资产等权，σ_p = σ√(ρ + (1 − ρ)/N)：N = 1：25%；4：18.5%；25：16.3%；100：15.9%；无穷：σ√ρ = 25 × √0.4 ≈ 15.8%。分散可以去掉"特有风险"，去不掉"共同风险"（相关性）。
常见错误。 以为分散以后风险趋于零；把 ρ 当成可以忽略的项。
第三部分 有效市场
题 10 解答
过程与答案。
（1）5000 / 2^k：k = 3：625；5：156；8：19.5；10：4.9；12：1.2。纯靠运气也会有一批人连赢很多年，这批人里没有一个是有技能的。
（2）50%。他们前 5 年的连赢和第 6 年独立，运气不会"延续"。（这是识别"运气"的办法：看过去的连赢，能不能预测将来。）
（3）t 统计量 = (平均超额收益 ÷ 跟踪误差) × √年数。要 t = 2：年数 = (2 × 5 ÷ 1.5)² ≈ 44.4 年。要用几十年的数据，才能确认一位真有技能的经理。
常见错误。 以为连赢的人更可能继续赢；以为 10 年的业绩足以区分技能和运气。
题 11 解答
过程与答案。
（1）0.2%：50 × (1.08 − 0.002)^25 = 50 × 1.078^25 ≈ 326.9 万；1.5%：50 × 1.065^25 ≈ 241.4 万。（没有费用：50 × 1.08^25 ≈ 342.4 万。）
（2）主动基金少了 (326.9 − 241.4) ÷ 326.9 ≈ 26.2%。每年 1.3 个百分点的费用差，25 年复利下，终值少了四分之一。
（3）前提：主动基金费用前的收益和指数基金一样（8%）。如果主动经理有足够的技能，扣费后也能跑赢，结论就不成立。第 38 讲讨论的证据是：平均而言，主动基金扣费后没有跑赢（Sharpe 的算术），但每一个具体的基金，你事先不知道。（这不是投资建议。）
常见错误。 以为 1.3% 的费用差"很小"；忘了复利。
题 12 解答
过程与答案。
（1）预期收益 = 2% + 1.3 × 5.5% = 9.15%。
（2）组合 β = 0.6 × 1.3 = 0.78；预期收益 = 2% + 0.78 × 5.5% = 6.29%。
（3）β = 0.5 × 0.8 + 0.5 × 1.4 = 1.1。组合的 β 是各自 β 的加权平均。
（4）α = 实际 − CAPM 预期 = 11% − 9.15% = 1.85%。但这个估计不可靠：年波动 30%，25 年平均的标准误 = 30% ÷ √25 = 6%，t = 1.85/6 ≈ 0.31，远远达不到统计显著。一个 1.85% 的"α"，完全可能是运气。（第 38 讲：估计 α 需要很长的数据。）
常见错误。 以为 α > 0 就是有技能；把 CAPM 当成对"所有风险都有补偿"的证明（它只说共同风险有补偿）。
题 13 解答
说明。 开放题，参考写法。
理论预测： 如果员工大多不会主动改默认选项（第 39 讲：默认选项的作用来自"省麻烦"和"拖延"），那么把默认设为低成本、分散的指数基金，会让大多数员工的投资落在"费用低、分散好"的组合上。从第 38 讲的逻辑看，主动管理的基金平均扣费后跑不赢指数，所以默认指数基金，平均会让员工少付费用，复利下差别可以很大（题 11）。证据与局限： 第 39 讲提到的研究，发现自动加入大幅提高了参与率；对默认投资选项的长期结果，需要比较员工的最终财富，而且要看他们会不会改。局限：指数基金不是没有风险（股市会下跌）；对某些人（比如临近退休的人），“年轻人适用的默认"可能不合适；“低成本"的好处是平均的，不是对每个人。分歧在哪： 事实分歧：默认的选择会不会让更多人持有风险过大（或过小）的组合；员工是否真的"选不了”。价值分歧：谁来设默认：雇主、政府，还是员工自己？设默认是不是一种温和的家长主义（“助推”），还是对选择自由的侵犯？指数基金"最好"的前提，是否把一种投资观念（市场有效）当成了默认？价值判断留给读者： 数据能说明大致的好处和风险；该不该由别人为你设定默认，是你的判断。（这不是投资建议。）
常见错误。 把"平均更好"说成"对每个人都更好”；把"默认"说成"强制"（员工可以改）。
第四部分 行为经济学
题 14 解答
思路。 价值函数是"对参照点的损益"；概率权重把小概率放大、大概率缩小。
ALPHA, LAMBDA = 0.8, 2.0 # 价值函数的曲度、损失厌恶（一组虚构的参数）
GAMMA_GAIN, GAMMA_LOSS = 0.65, 0.70 # 概率权重函数的参数（收益、损失）
def v(x):
return x ** ALPHA if x >= 0 else -LAMBDA * (-x) ** ALPHA
def w(p, gamma):
return p ** gamma / (p ** gamma + (1 - p) ** gamma) ** (1 / gamma)
def certainty_equivalent(p, x):
"""一个"概率 p 得到 x，否则 0"的赌局，对你值多少钱。"""
gamma = GAMMA_GAIN if x >= 0 else GAMMA_LOSS
value = w(p, gamma) * v(x)
return value ** (1 / ALPHA) if value >= 0 else -((-value) / LAMBDA) ** (1 / ALPHA)
# 1. 50% 赢 G、50% 输 100：G 多大才愿意接受？
only_loss_aversion = LAMBDA * 100
with_curvature = LAMBDA ** (1 / ALPHA) * 100
weighted = ((LAMBDA * w(0.5, GAMMA_LOSS) * 100 ** ALPHA) / w(0.5, GAMMA_GAIN)) ** (1 / ALPHA)
print(f"只有损失厌恶（线性价值函数）：G = {only_loss_aversion:.1f}")
print(f"加上价值函数的曲度：G = {with_curvature:.1f}")
print(f"再加上概率权重：G = {weighted:.1f}")
# 2. 四重模式
print("概率 金额 对你值多少（确定性等价） 期望值")
for p, x in ((0.05, 200), (0.95, 200), (0.05, -200), (0.95, -200)):
print(f"{p:4.0%} {x:5d} {certainty_equivalent(p, x):8.1f} {p * x:7.1f}")
输出：
只有损失厌恶（线性价值函数）：G = 200.0
加上价值函数的曲度：G = 237.8
再加上概率权重：G = 250.5
概率 金额 对你值多少（确定性等价） 期望值
5% 200 14.4 10.0
95% 200 157.0 190.0
5% -200 -12.5 -10.0
95% -200 -164.6 -190.0
过程与答案。
（1）只有损失厌恶（线性）：50% 赢 G、50% 输 100，要 0.5G ≥ 0.5 × λ × 100，G = 200。加上价值函数的曲度：G^α ≥ λ × 100^α，G = λ^(1/α) × 100 = 237.8。再加概率权重（这组参数下 w(0.5) 在收益侧是 0.439、损失侧是 0.457：收益被打折得更多，损失被打折得少一点）：G = 250.5。每一层都让"接受赌局"更难。
（2）确定性等价：5% 赢 200：期望 10，值 14.4（冒险：愿意为小概率的大奖多付）；95% 赢 200：期望 190，值 157.0（保守：愿意为确定性放弃一些）；5% 输 200：期望 −10，值 −12.5（保险：愿意付更多来避免小概率的大损失）；95% 输 200：期望 −190，值 −164.6（冒险：比期望的损失更愿意赌）。
（3）这是"四重模式"：对小概率的收益冒险（彩票），对大概率的收益保守，对小概率的损失保守（买保险），对大概率的损失冒险。期望效用理论（题 7）会预测对所有赌局都风险厌恶，前景理论能同时解释买彩票和买保险。（参数是虚构的，模式的方向是前景理论的核心预测，具体数字取决于参数。）
常见错误。 把"损失厌恶"当成"风险厌恶"（它们是两件事）；忘了参照点是什么。
题 15 解答
思路。 默认选项的好处，取决于大多数人真正想要的是什么。
过程与答案。
（1）B ~ U[−20, 100]：自愿：B > 30 的人加入，参与率 (100 − 30)/120 = 58.3%，人均总好处 = ∫(B − 30)dB ÷ 120 = 70²/2 ÷ 120 ≈ 20.4。默认：想退出的人要付 30，但没有人的 B < −30，所以所有人都留着，参与率 100%，人均好处 = B 的平均 = 40.0。默认更好（因为大多数人的 B 是正的）。
（2）B ~ U[−100, 40]：自愿：参与率 (40 − 30)/140 = 7.1%，人均好处 0.36。默认：B < −30 的人退出，其他留下，参与率 50%，人均好处 = ∫_{−30}^{40} B dB ÷ 140 = 2.5。默认更好，但好处很小。
（3）B ~ U[−100, 20]：自愿：没有人 B > 30，参与率 0，好处 0。默认：B < −30 的人退出（手续成本 30），其余 B 在 [−30, 20] 的人留下（其中一些 B 为负），参与率 41.7%，人均好处 = ∫_{−30}^{20} B dB ÷ 120 = −2.08。默认更糟：默认让一部分"其实不该加入"的人被留在里面（因为退出要付手续费）。
（4）默认选项的好处取决于：大多数人的"真实"偏好是什么、改变的成本（手续费）。如果默认设在大多数人想要的位置上，它帮了大忙；如果设错了位置，“麻烦"会把人困在一个对他不好的选项里。（第 39 讲：默认的好处主要来自"省去麻烦”，不是纠正拖延；是否好，要看默认设得对不对。）
常见错误。 以为默认总是好的；忘了"退出"本身要花成本。
题 16 解答
过程与答案。
（1）最低接受额 s = 10A ÷ (1 + 2A)：A = 0：0；A = 0.3：1.875；A = 1：3.333；A = 3：4.286。
（2）提议者的提议，只会定在某个阈值上（再多给就浪费了）：给 0：被 20% 接受，期望 10 × 0.2 = 2.0；给 1.875：被 50% 接受，期望 (10 − 1.875) × 0.5 = 4.06；给 3.333：被 90% 接受，期望 6.667 × 0.9 = 6.0；给 4.286：被 100% 接受，期望 5.714。最优是给 3.333（约 1/3），期望 6.0。
（3）纯自利的提议者以为所有人 A = 0：给 0（或接近 0），实际只有 20% 的人接受，期望 2.0，比最优的 6.0 少很多。把别人想成纯自利的，反而吃亏（第 39 讲：公平感不是"非理性"，它是对手的真实偏好，提议者要考虑它）。
常见错误。 把最低接受额当成"被拒绝的概率"；以为提议者给得越少越好。
第五部分 国际贸易
题 17 解答
思路。 小国：世界价格是给定的。关税 t 使国内价格 = 20 + t（不超过没有贸易时的价格）。
过程与答案。
（1）自由贸易，P = 20：需求 80，国产量 2 × 20 − 20 = 20，进口 60。消费者剩余 = ½ × 80 × 80 = 3200，生产者剩余 = ½ × 20 × (20 − 10) = 100。总 3300。
（2）
| 关税 t | 国内价格 | 国产量 | 进口 | 消费者剩余 | 生产者剩余 | 关税收入 | 总剩余 | 净损失 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 20 | 20 | 60 | 3200 | 100 | 0 | 3300 | 0 |
| 5 | 25 | 30 | 45 | 2812.5 | 225 | 225 | 3262.5 | 37.5 |
| 10 | 30 | 40 | 30 | 2450 | 400 | 300 | 3150 | 150 |
| 15 | 35 | 50 | 15 | 2112.5 | 625 | 225 | 2962.5 | 337.5 |
| 20 | 40 | 60 | 0 | 1800 | 900 | 0 | 2700 | 600 |
（3）t = 5：消费者少了 3200 − 2812.5 = 387.5；生产者多了 225 − 100 = 125；政府收入 225；净损失 387.5 − 125 − 225 = 37.5（= ½ × 5 × (30 − 20) + ½ × 5 × (80 − 75) = 25 + 12.5）。消费者的损失，是生产者所得的 3 倍多。
（4）进口降到 0 的关税是禁止性的：没有贸易时国内价格 P = 40（100 − P = 2P − 20），所以 t ≥ 20，关税收入为零，净损失 600，是最大的。
（5）(1 − 0.2)^(−1/4) − 1 ≈ 5.7%（ε = 4）；(1 − 0.2)^(−1/8) − 1 ≈ 2.8%（ε = 8）。需求对价格越敏感（ε 大），得益越小；这只是一个粗糙的量级（第 40 讲）。
常见错误。 把关税收入当成"白得"（它是消费者付的）；忘了国产量也会上升，所以国内价格 25 时生产者的得益不只是 5 × 20。
题 18 解答
过程与答案。
（1）甲：对方自由，加税得 115 > 100；对方加税，加税得 85 > 70。“加税"是占优策略，乙也一样。纳什均衡：（加税，加税）(85, 85)，比（自由，自由）(100, 100) 差：这是囚徒困境。
（2）冷酷触发：合作（自由）永远得 100/(1 − δ)；背叛得 115 + 85δ/(1 − δ)。条件：100 ≥ 115(1 − δ) + 85δ = 115 − 30δ，δ ≥ 0.5。
（3）如果两国大小不同，大国的最优关税更高（它能压低世界价格），大国从关税战里可能得益，小国则可能损失很大（第 40 讲，“可能性定理”）。所以对称的囚徒困境只是一个起点：不对称时，合作更难，因为大国没有那么强的动机。
（4）WTO 之类的国际规则，起到的是：让"加税"被发现并被惩罚（重复博弈里的监督和惩罚），把一次性的囚徒困境，变成重复的、有未来的关系（第 19 讲、第 40 讲）。
常见错误。 以为"自由"是占优策略（只有在两国合作时它才是好结果）。
题 19 解答
说明。 开放题，参考写法。
理论预测： 在竞争性模型里，保护一个行业会让国内价格上升、消费者受损，净损失为正（题 17：消费者的损失是生产者所得的几倍）。支持保护的理论论据主要有几类：幼稚产业（短期亏损、长期有规模经济和学习曲线）、外部性（比如技术外溢，第 23 讲的正外部性）、国家安全（不依赖别国供应）、战略性贸易政策（在不完全竞争的行业里，先发优势可能让补贴有利，第 16 讲的先行者）。证据与局限： 第 40 讲提到：很多国家保护"幼稚产业”，但多少真的成长起来，证据不一；把保护的成本算清楚，要知道消费者多付了多少、保护了多少岗位（每岗位的成本可能高于该岗位的工资，第 40 讲的算术）；国家安全的理由，难以用经济数据衡量，但可以比较不同手段的成本（储备、多元化供应、补贴 vs 关税）。分歧在哪： 事实分歧：这个行业是否真的有学习效应或外部性；政府能否挑对赢家（第 26 讲：政府失灵、寻租）；对方会不会报复（题 18）。价值分歧：安全 vs 效率：愿意为多出来的安全付多少代价；谁承担成本（消费者）和谁得益（行业里的工人和企业）；保护要不要附带补偿和退出时间表。价值判断留给读者： 数据能说明成本的大致量级和可能的替代手段，该为"战略"付多少代价，是你的判断。
常见错误。 一边倒地"自由贸易最好"或"保护最好"；用"战略性"三个字代替论证。
第六部分 汇率与国际收支
题 20 解答
过程与答案。
（1）每 1 美元合人民币 6.50 → 6.89：美元升值 6.89/6.50 − 1 = 6.0%；人民币贬值（1 美元换得更多人民币，意味着 1 元人民币换得的美元变少）：1 − 6.50/6.89 ≈ 5.66%。两个数不一样，因为基准不同：一个以美元为基准，一个以人民币为基准。
（2）实际汇率 q = e P*/P。名义汇率 e 不变，国内通胀 6%，美国 2%：q 变成 (1.02/1.06)^8 ≈ 0.735，下降 26.5%。国内物价比外国涨得快，本币实际升值（国内的东西变得相对更贵，出口更难、进口更便宜）。
（3）要保持 q 不变，名义汇率要贬值：e × (1.06/1.02)^8 = 6.50 × 1.3525 ≈ 8.84。（这就是购买力平价的直觉：长期里，汇率会向"抵消通胀差"的方向走。第 41 讲的数据：通胀差对汇率的解释力很强，但年度波动里，短期预测很差。）
常见错误。 把"美元升值 6%“当成"人民币贬值 6%"；忘了实际汇率里"国内物价 P"在分母上。
题 21 解答
过程与答案。
（1）贸易余额变化 = 100 × 1.1^η_x − 100 × 1.1^(1 − η_m)：η = 0.2/0.2（弹性之和 0.4）：−6.0；0.5/0.5（和 1.0）：0.0；0.8/0.8（和 1.6）：+6.0；1.5/1.5（和 3.0）：+20.0。
（2）η_x = 0.1，η_m = 0.3（和 0.4）：−5.9。
（3）马歇尔–勒纳条件：出口弹性和进口弹性（绝对值）之和大于 1，贬值才会改善贸易余额。等于 1 时，没有变化。
（4）短期里，合同已经签了，消费习惯也没变，数量几乎不动（弹性很小），而进口的本币价格已经上升，所以先恶化；数月或数季之后，数量慢慢调整（弹性变大），余额才改善：J 曲线（第 41 讲）。
（本题的设定和第 41 讲略有不同，数字不会完全一样，但结论一致：弹性之和越大，贬值越改善余额，和为 1 是分界线。）
常见错误。 以为贬值一定改善贸易余额；忘了进口的本币价格上升了。
题 22 解答
过程与答案。
（1）GDP = C + I + G + X − M = 600 + 180 + 150 + 130 − 60 = 1000。储蓄 S = GDP − C − G = 250（这里指全社会的储蓄，含政府）。净出口 = 130 − 60 = 70。CA = S − I = 250 − 180 = 70，和净出口一致 ✓。
（2）投资增加 40，储蓄不变：CA = 250 − 220 = 30。多出来的投资，靠外国的储蓄来融资（经常账户顺差减少，资本流入增加）。
（3）政府多支出 50（私人储蓄不变）：全社会储蓄 = 250 − 50 = 200，CA = 200 − 180 = 20。（所谓"双赤字"的逻辑：财政赤字扩大，经常账户顺差减小，但第 41 讲没有引用具体研究来证明这一点，这里只是恒等式的算术。）
（4）不能。 恒等式说的是：经常账户逆差 = 投资超过储蓄的部分，由外国储蓄补上。是不是"坏事”，取决于逆差用来干什么（投资于有回报的项目，还是消费），以及资本流入的稳定性（第 41 讲：逆差是不是问题，是一个有争议的话题，没有统一的答案）。
常见错误。 以为逆差和顺差是"赢和输"；用恒等式推出因果。
题 23 解答
思路。 国内信贷 D 不断增长，储备 R = M̄ − D 不断减少。投机者预见到储备会被耗尽，会提前攻击。
过程与答案。
（1）μ = 6%：储备耗尽：D(T) = M̄，T = ln(M̄/D0)/μ = ln(2.4)/0.06 ≈ 14.6 年。攻击提前 α = 4 年：10.6 年。攻击时 D = 50 × e^(0.06 × 10.6) ≈ 94.4，剩余储备 = 120 − 94.4 ≈ 25.6（公式 M̄(1 − e^(−μα)) = 120 × (1 − e^(−0.24)) = 25.6）。
（2）μ = 10%：耗尽 T = ln 2.4/0.1 ≈ 8.75 年，攻击 4.75 年，剩余储备 120 × (1 − e^(−0.4)) ≈ 39.6。增长越快，攻击越早，攻击时剩下的储备越多。
（3）政府看到的是"储备还有 25–40"，但投机者看的是未来：储备和国内信贷的趋势，决定了固定汇率不可能维持。当投机者预期汇率将贬值，他们就在贬值之前抢先卖出本币换外汇：每个人的最佳反应，会把崩溃提前到储备耗尽之前。（第 41 讲的第一代模型；真实的危机还有别的类型，如第二代的自我实现，和第 35 讲的挤兑同构。）
常见错误。 以为危机在储备用完时才发生；把这个简化模型当成对某次具体危机的解释。
第七部分 发展与不平等
题 24 解答
过程与答案。
（1）平均 8，基尼 = Σ|xi − xj| ÷ (2n² × 平均) = 0.45。最富 20%（22）拿 22/40 = 55%；最穷 40%（2 + 3）拿 5/40 = 12.5%。
（2）G = 2Φ(0.9/√2) − 1 = 2Φ(0.636) − 1 ≈ 0.475。
（3）不一定。 基尼系数是一个数，压缩了整个分布。同样的基尼，可以是"最富的一小撮人拿得很多"，也可以是"中间被掏空"（第 42 讲：相同基尼、不同形状）。
常见错误。 把基尼系数当成"不平等的全部"；忘了基尼与"最富 1%“份额是不同的信息。
题 25 解答
过程与答案。
（1）贫困率 = Φ(ln(3/6)/0.8) = Φ(−0.866) ≈ 19.3%。
（2）中位数 6.6：Φ(ln(3/6.6)/0.8) = Φ(−0.986) ≈ 16.2%。
（3）中位数 6.6，σ = 1.0：Φ(ln(3/6.6)/1.0) = Φ(−0.788) ≈ 21.5%。收入增长 10%，贫困率反而比起点（19.3%）更高，因为不平等上升，分布的左尾变厚了。
（4）σ = 1.0，要回到 19.3%：中位数 = 3 × e^(0.866 × 1.0) ≈ 7.14，需要增长约 19%。
要点。 减贫取决于增长和分配两样；同样的增长，不平等上升会抵消它的减贫效果。（模型是对数正态的简化，第 42 讲。）
常见错误。 以为增长一定减贫；忘了贫困线处在分布的左尾，对 σ 很敏感。
题 26 解答
思路。 税降低税前收入（漏桶），转移是人均的。
from statistics import NormalDist
SIGMA, E = 0.7, 1.0 # 税前收入对数正态（σ = 0.7），均值标准化为 1；收入对 (1-t) 的弹性 e = 1.0
N = 20000 # 用 20000 个分位点代表整个人群
Z = NormalDist()
base = [Z.inv_cdf((i + 0.5) / N) for i in range(N)]
from math import exp
mean_raw = sum(exp(SIGMA * z) for z in base) / N
income0 = sorted(exp(SIGMA * z) / mean_raw for z in base) # 没有税时的收入，均值 1
def gini(xs):
xs = sorted(xs)
n, total = len(xs), sum(xs)
return sum((2 * (i + 1) - n - 1) * x for i, x in enumerate(xs)) / (n * total)
def after_tax(t):
"""统一税率 t，所有人拿到同样的转移；税后收入 y*(1-t)^e*(1-t) + 转移，转移 = 税收总额的人均。"""
pre = [y * (1 - t) ** E for y in income0] # 税前收入因为税而减少
transfer = t * sum(pre) / N
return [y * (1 - t) + transfer for y in pre], transfer
print("税率 人均收入 最穷20% 基尼 人均转移 漏掉的比例")
for t in (0.0, 0.2, 0.4, 0.5, 0.6, 0.8):
post, transfer = after_tax(t)
mean = sum(post) / N
poorest = sum(post[: N // 5]) / (N // 5)
leak = 1 - transfer / (t * 1.0) if t > 0 else 0.0 # 每征 1 元（按没有税时的收入算），最终转移到手的比例
print(f"{t:4.0%} {mean:7.3f} {poorest:7.3f} {gini(post):5.3f} {transfer:7.3f} {leak:6.1%}")
best_poorest = max(((sum(after_tax(t / 100)[0][: N // 5]) / (N // 5), t) for t in range(0, 100)))
best_mean = max(((sum(after_tax(t / 100)[0]) / N, t) for t in range(0, 100)))
print(f"最穷 20% 的平均收入最高：税率 {best_poorest[1]}%（{best_poorest[0]:.3f}）；全体平均收入最高：税率 {best_mean[1]}%")
print(f"税收最大的税率 = 1/(1+e) = {1 / (1 + E):.0%}")
输出：
税率 人均收入 最穷20% 基尼 人均转移 漏掉的比例
0% 1.000 0.308 0.379 0.000 0.0%
20% 0.800 0.357 0.303 0.160 20.0%
40% 0.600 0.351 0.228 0.240 40.0%
50% 0.500 0.327 0.190 0.250 50.0%
60% 0.400 0.289 0.152 0.240 60.0%
80% 0.200 0.172 0.076 0.160 80.0%
最穷 20% 的平均收入最高：税率 28%（0.361）；全体平均收入最高：税率 0%
税收最大的税率 = 1/(1+e) = 50%
过程与答案。
（1）见输出：t = 0：人均 1.000，最穷 20% 0.308，基尼 0.379；t = 20%：0.800 / 0.357 / 0.303；40%：0.600 / 0.351 / 0.228；50%：0.500 / 0.327 / 0.190；60%：0.400 / 0.289 / 0.152；80%：0.200 / 0.172 / 0.076。“漏掉的比例”= t（因为 e = 1，每征 1 元，到手只有 (1 − t)）。
（2）最穷 20% 的平均收入最高：税率 28%（0.361，比 t = 0 的 0.308 高 17%）。全体平均收入最高：税率 0%。税收最大的税率 = 1/(1 + e) = 50%（人均转移 0.25）。
（3）再分配有一个最优点：税率太低，穷人得到的转移少；税率太高，“桶漏得太厉害”，蛋糕缩得太小，穷人的收入反而下降（t = 80% 时，最穷 20% 只有 0.172，比不征税还低）。但这个模型只回答了"最穷 20% 的收入最大"这一个目标。目标换成"全体平均”，最优是 0%；换成"基尼最小"，最优是更高的税率（但蛋糕更小）。该用哪个目标，是价值判断（第 42 讲）。另外，税后收入对税率的反应 e，在不同国家、不同税种里差别很大，这里是虚构的参数。
常见错误。 把"税收最大的税率"当成"最优税率"；把"最穷 20% 最好的税率"当成"社会最好的税率"。
题 27 解答
过程与答案。
（1）沿着同一条曲线：6 × ln(6000/2000) = 6 × ln 3 ≈ 6.59 岁。
（2）剩下 13 − 6.59 ≈ 6.41 岁，占 49%，是曲线整体上移：同样的收入下，今天的人比 1990 年的人活得更久（医疗知识、公共卫生、疫苗、抗生素、营养等）。
（3）预期寿命的提高，大约一半来自收入增长，一半来自"同样的收入能买到更好的健康"。这是普雷斯顿的洞察（第 42 讲）：不能只看收入。（模型很简化，两部分的比例取决于 b 的取值，不同国家和时期差别很大。）
常见错误。 把寿命提高全部归因于收入；忘了曲线本身会移动。
第八部分 大历史与综合
题 28 解答
思路。 人口会增长到人均收入回落到 y0 = 1 为止。
过程与答案。
（1）长期人均收入回到 1 倍；人口：A ↑ 60%，N* = (A/y0)^(1/α)，变成 1.6^(1/0.5) = 1.6² = 2.56 倍。
（2）稳态人均收入 y = 1 + ln(1 + g)/(αε) = 1 + ln(1 + g)/0.15：g = 5%：1.325；g = 10%：1.635；g = 20%：2.215。人口每代增长 (1 + g)² − 1：10.25%、21%、44%。
（3）一次性的进步，只提高一次"产出"，人口随后增长，把人均收入压回 1。持续的进步，使人口增长追不上技术进步，人均收入才能留在更高的水平。（要达到"收入持续上升"，需要人口增长率不再随收入上升而上升，即"逃离"，第 43 讲：人口转型。）
（4）没说明：技术进步为什么在 18–19 世纪的英国开始加速；人口转型为什么发生（生育率为什么下降）；制度、文化、能源的角色（第 43 讲：为什么是英国，是一个有争议的问题）。模型只是一个逻辑，不是历史解释。
常见错误。 以为技术进步总会提高人均收入（在马尔萨斯的世界里，不一定）。
题 29 解答
过程与答案。
（1）1.0125^40 ≈ 1.64 倍。
（2）(19238/1744)^(1/44) − 1 = 11.03^(1/44) − 1 ≈ 5.6%/年。翻一番：ln 2 ÷ ln 1.056 ≈ 12.7 年。
（3）中国增速 g_c，英国 1%：追上要 ln(38407/19238)/ln((1 + g_c)/1.01)：g_c = 3%：35.3 年；4%：23.6 年；5%：17.8 年。（只是算术：它没有说中国会不会这样增长，英国会不会只增长 1%，也没有考虑"追赶"的速度通常会随收入上升而放慢。）
（4）19.5^(1/44) − 1 ≈ 7.0%/年。（第 43 讲：东亚的追赶，包含战后恢复。）
（5）说明：复利下，每年相差几个百分点，几十年后差别巨大（11 倍与 1.6 倍）；追赶是可能的（日本、韩国、台湾、中国）。没说明：追赶为什么发生（要素积累、技术、制度，第 29 讲）；能否持续（第 28 讲的收敛：越靠近前沿，速度越慢）；增速的代价与分配（第 42 讲）。
常见错误。 把算术当成预测；把"年均增长率"和"总增长率"混淆。
题 30 解答
说明。 开放题，参考写法。没有唯一答案，重点是用本课的工具把问题拆开，并分清事实和价值判断。
权衡。 限牌的好处（司机收入更稳、拥堵更少、安全监管更容易）和代价（乘客等得更久、价格更高、新进入者进不来）之间要权衡。没有免费的午餐：每个人的得益，是别人的成本。
激励与均衡。
- 价格管制与牌照的价值（第 9 讲、第 14 讲、第 26 讲）：限制数量，会使价格高于没有限制时（短缺）；牌照本身有了价值（它代表未来的垄断租金），牌照持有人的得益，是乘客多付的钱。如果牌照是免费发放的，争夺牌照是寻租（第 26 讲，题 27 类似）；如果是拍卖或可以转让，租金变成了牌照的价格，由买牌照的人付出，最后一个买牌照的人，只赚正常利润（第 12 讲：长期零利润）。
- 平台与网络效应（第 17 讲）：叫车平台有双边的网络效应，规模大了，对乘客和司机的价值都高；限牌会影响平台撮合的质量，也可能让大平台更强。
- 信息不对称（第 20、21 讲）：乘客看不到司机的质量，评价系统是一种信号；牌照制度本身也可以是一种质量筛选，但监管的成本和寻租的风险要计入。
- 博弈与重复（第 18、19 讲）：司机之间、平台之间、监管者之间，是反复的互动，会有各种策略性行为（比如绕开规则）。
事实问题。 限牌之后，价格、等待时间、司机收入、事故率各变了多少？没有限牌的相似城市可以做对照（第 4 讲，双重差分）；牌照的价格是否显示了租金有多大。
价值问题。 谁的利益优先：乘客、司机、牌照持有人、纳税人；效率 vs 公平（第 9 讲）：保护现有的司机，是否合理；过渡安排：如果取消限牌，已经花钱买牌照的人怎么办。
用到的讲：第 5–9 讲（供需、价格管制）、第 12 讲、第 14 讲、第 17 讲、第 20–21 讲、第 26 讲、第 4 讲。
常见错误。 只谈一方的利益；只谈价值不谈事实；漏掉牌照价格（租金）这个关键信号。
题 31 解答
（a）对。 收益率上升，已发行的低息票债券的价格下跌（题 3）。
（b）错。 互斥项目要比较 NPV；IRR 高的未必 NPV 高（题 4：IRR(A) 30% 对 17.4%，但折现率低于 13.48% 时 B 的 NPV 更高）。
（c）对。 折现率越高，远期的现值越小（题 5：6% 下，100 年后只剩 0.29%）。
（d）错。 分散去掉特有风险，去不掉共同风险（题 9：σ√ρ）。
（e）错。 有效市场假说说的是：价格已经反映了信息，很难系统地靠已知信息赚取超额收益，不是说没有人能赚钱（市场有正的平均收益，风险有补偿，第 38 讲）。
（f）对。 损失厌恶（题 14，λ > 1）。
（g）错。 取决于默认设在哪里，以及改变的成本（题 15：默认可能更好，也可能更糟）。
（h）对。 小国模型里，消费者的损失 = 生产者所得 + 政府收入 + 净损失，所以大于生产者的所得（题 17）。
（i）错。 取决于弹性之和是否大于 1（马歇尔–勒纳），短期还有 J 曲线（题 21）。
（j）错。 同样的基尼，可以对应不同形状的分布（题 24）。
（k）错。 一次性的进步，长期只增加人口，人均收入回到 y0（题 28）。
（l）错。 普雷斯顿曲线本身也在移动：寿命的提高，约一半来自曲线上移（技术、公共卫生）（题 27）。
做完之后
数一数你错在哪里。
- 第一部分（题 1–6）错得多：重读第 36 讲：名义配名义、实际配实际；债券价格与收益率反向；比较互斥项目用 NPV；折现率的选择是价值判断。
- 第二部分（题 7–9）错得多：重读第 37 讲：风险厌恶的愿付价取决于其他财富；分散去掉独立风险，去不掉共同风险。
- 第三部分（题 10–13）错得多：重读第 38 讲：运气会造成连赢；α 需要很长的数据才能估；费用在复利下很重要。
- 第四部分（题 14–16）错得多：重读第 39 讲：前景理论的四重模式、默认选项的两面、公平感是真实的偏好。
- 第五、六部分（题 17–23）错得多：重读第 40、41 讲：关税的账、囚徒困境、实际汇率与名义汇率、马歇尔–勒纳、CA = S − I。
- 第七、八部分（题 24–31）错得多：重读第 42、43 讲：基尼的局限、增长与分配、漏桶的最优点、曲线的移动、模型的逻辑与历史的解释不是一回事。
全套习题到这里结束。 五套题（习题 80–84）对应整门课的十个 Unit。如果你把它们都做完了，回头看一眼各套"做完之后"里反复出现的几类错误：把转移当成损失（习题 81）、把"每个人理性"当成"结果好"（习题 82）、把模型的结论当成现实的结论（习题 83），以及这一套里的把算术当成预测、把平均当成每个人。它们是同一件事的不同面孔：模型是一张故意画错的地图，用它之前要问，它画错的是什么。
参考
这套习题只用到前面各讲已经引用过的概念和文献，没有引入新的文献。题中的所有场景和数字都是为练习设计的示意，不对应真实的统计数据，也不是投资建议或政策评价。需要核对原始文献的地方，请回到对应的那一讲。