15 价格歧视与定价策略（含数字产品）

这一讲要回答五个问题：

1. 什么叫价格歧视？卖家要满足什么条件才做得到？
2. 卖家能分辨顾客时，怎么定价？谁得益、谁受损、总剩余变大还是变小？
3. 卖家分辨不出谁是谁，怎么办？
4. 两部制收费和打包订阅为什么这么常见，尤其是在数字产品里？
5. 为什么机票临近起飞反而更贵（有时又更便宜）？

上一讲，我们让垄断者只能定一个价格。那一讲的最后，我留了一个问题：如果山顶的店主能分辨出哪些游客渴得厉害、哪些不太渴，会怎样？这一讲回答它。你会发现，现实里的企业，几乎没有一家只定一个价格：电影票有学生票，软件有免费版和专业版，外卖有红包，机票价格天天变。它们背后，是同一个逻辑。

一、山顶的水，又来了

山顶的水店，每瓶成本 2 元，游客来自三种人：

• 登山客：爬了四个小时，渴得厉害，一瓶水最多愿意付 12 元。
• 普通游客：坐缆车上来的，最多愿意付 8 元。
• 学生：带着零花钱，最多愿意付 4 元。

上一讲，我们让店主只定一个价格，它定了 6 元。你可以想一想：6 元时，登山客"赚"了很多（愿付 12，只付 6），学生却一瓶也买不起（最多愿付 4）。

先停一下：如果你是店主，一眼就能看出谁是登山客、谁是学生，你还会对大家一视同仁收 6 元吗？

多半不会。你会想：对登山客多收一点，对学生少收一点，大家都买，你赚得更多。这就是价格歧视（price discrimination）：

同一种商品，卖给不同的顾客时，价格的差别超过了成本的差别。

几点说明：

• “歧视"在经济学里是个中性词，只是描述价格有差别，不含道德评价。
• 价格不同不等于价格歧视。快递寄得越远越贵，是因为成本更高；这不算。要看的是：成本一样，价格不一样。
• 做得成价格歧视，要满足三个条件：（1）卖家有定价能力（第 14 讲）。在第 12 讲的完全竞争里，价格就是成本，谁都没法收不同的价。（2）卖家能区分顾客，或者能让顾客自己区分自己。（3）能阻止转售。否则，学生用 3 元买了水，转手卖给登山客，价格差就被"套利"抹掉了。（理发、看病、实名的机票，不好转售；一瓶水很好转售，所以现实里山顶的店很难做到。）

经济学家 Pigou 在 1920 年把价格歧视分成三种。我们一种一种来看，第三种放在第二种前面，因为它最容易。

二、一级价格歧视：对每个人收他的最高价

最极端的情形：店主知道每一个游客愿付多少，对每个人收他的最高愿付价。这叫一级（完全）价格歧视。

用上一讲的需求（P = 10 − 0.01 Q，边际成本 2 元）：

• 店主会一直卖到愿付价降到 2 元，也就是卖 800 瓶，和竞争的市场卖得一样多。
• 每个游客付的，刚好是他的最高愿付价，游客剩余是 0。
• 总剩余的全部，½ × (10 − 2) × 800 = 3200，都进了店主的口袋。

两件事值得注意：

1. 没有无谓损失。每一笔双方都愿意的交易，都发生了（上一讲那 800 元的灰色三角形没了）。从效率说，一级价格歧视和完全竞争一样好。
2. 但所有好处都归了卖家，买家一点剩余也没有。效率和公平，再一次是两个问题（第 9 讲、第 14 讲）。

现实里，没有哪个卖家能知道每个人的最高愿付价，所以一级是个理论的极限，不是常态。集市上的讨价还价、拍卖，有点像它；第八节讲的"个性化定价”，是在往这个方向走。

三、三级价格歧视：按群体定价

更常见的是：卖家看不出每个人的愿付价，但能看出他属于哪一类：学生还是成人，本地人还是游客，老用户还是新用户。对每一类定一个价，叫三级价格歧视。

3.1 怎么定

规则很熟悉：把每一类人当作一个单独的市场，对每个市场用第 14 讲的办法：在这一类人的边际收益等于边际成本处定量，沿这一类人的需求线读价格。

设每一类游客的需求是直线：每降 1 元，多买 50 瓶（最高愿付价分别是 12、8、4）。手算：

• 登山客：Q = 50 × (12 − P)，边际收益 MR = 12 − 0.04 Q，令它等于 2，Q = 250，价格 7。
• 普通游客：Q = 50 × (8 − P)，MR = 8 − 0.04 Q = 2，Q = 150，价格 5。
• 学生：Q = 50 × (4 − P)，MR = 4 − 0.04 Q = 2，Q = 50，价格 3。

价格是 7、5、3，愿付价越高的一类，价格越高。这就是第 14 讲的勒纳指数：加价率 = 1 ÷ 弹性，需求越缺乏弹性的一类，加价越高。

画出来：

3.2 谁赢谁输

比较两种办法：统一价格（上一讲：6 元），和三级价格歧视（7、5、3）。

先注意：统一价格 6 元时，学生买不起（最高愿付 4 元），卖出的是 登山客 300 瓶 + 普通游客 100 瓶 = 400 瓶。

我们用代码把每一方的得失算出来，并加上"一级"做对照：

# 山顶水店（成本 2 元/瓶）。三类游客，每类的需求都是直线：Q = 50 × (最高愿付价 - P)
MC, B = 2, 50
tops = {"登山客": 12, "普通游客": 8, "学生": 4}        # 每类人愿意付的最高价；每类每降 1 元多买 50 瓶
buy = lambda top, p: max(0.0, B * (top - p))
grid = [p / 100 for p in range(200, 1300)]             # 价格从 2 元试到 13 元，步长 0.01

def evaluate(groups, prices):
    """prices：每类人各自面对的价格。返回 (卖出, 店主利润, 各类游客剩余, 总剩余)"""
    q = {g: buy(tops[g], prices[g]) for g in groups}
    profit = sum((prices[g] - MC) * q[g] for g in groups)
    cs = {g: 0.5 * q[g] * (tops[g] - prices[g]) + 0.0 for g in groups}
    return sum(q.values()), profit, cs, profit + sum(cs.values())

def uniform(groups):                                    # 统一价格：试遍每个价格
    p = max(grid, key=lambda p: evaluate(groups, {g: p for g in groups})[1])
    return {g: p for g in groups}

def discriminate(groups):                               # 三级歧视：每类人各自 MR = MC
    return {g: max(grid, key=lambda p: (p - MC) * buy(tops[g], p)) for g in groups}

everyone = list(tops)
print("办法 | 各类人的价格 | 卖出 | 店主的利润（收入减成本） | 游客剩余合计 | 总剩余")
for name, prices in [("统一价格", uniform(everyone)), ("三级歧视", discriminate(everyone))]:
    q, pr, cs, tot = evaluate(everyone, prices)
    print(f"{name} | {', '.join(f'{g} {prices[g]:g}' for g in everyone)} | {q:.0f} | {pr:.0f} | {sum(cs.values()):.0f} | {tot:.0f}")
q1 = {g: buy(tops[g], MC) for g in everyone}             # 一级：每人付自己的最高愿付价，卖到愿付价降到 2 元
profit1 = sum(0.5 * q1[g] * (tops[g] - MC) for g in everyone)
print(f"一级歧视 | 各付各的最高愿付价 | {sum(q1.values()):.0f} | {profit1:.0f} | 0 | {profit1:.0f}")

print("\n三级歧视相对统一价格，每一方的变化：")
_, pr_u, cs_u, tot_u = evaluate(everyone, uniform(everyone))
_, pr_d, cs_d, tot_d = evaluate(everyone, discriminate(everyone))
for g in everyone:
    print(f"  {g}：游客剩余 {cs_u[g]:.0f} -> {cs_d[g]:.0f}（{cs_d[g] - cs_u[g]:+.0f}）")
print(f"  店主：{pr_u:.0f} -> {pr_d:.0f}（{pr_d - pr_u:+.0f}）；总剩余 {tot_u:.0f} -> {tot_d:.0f}（{tot_d - tot_u:+.0f}）")

# 如果没有学生这一类，只有前两类：
two = ["登山客", "普通游客"]
q_u, _, _, t_u = evaluate(two, uniform(two))
q_d, _, _, t_d = evaluate(two, discriminate(two))
print(f"\n只有登山客和普通游客：统一价格卖 {q_u:.0f} 瓶，总剩余 {t_u:.0f}；三级歧视卖 {q_d:.0f} 瓶，总剩余 {t_d:.0f}（{t_d - t_u:+.0f}）")

输出：

办法 | 各类人的价格 | 卖出 | 店主的利润（收入减成本） | 游客剩余合计 | 总剩余
统一价格 | 登山客 6, 普通游客 6, 学生 6 | 400 | 1600 | 1000 | 2600
三级歧视 | 登山客 7, 普通游客 5, 学生 3 | 450 | 1750 | 875 | 2625
一级歧视 | 各付各的最高愿付价 | 900 | 3500 | 0 | 3500

三级歧视相对统一价格，每一方的变化：
  登山客：游客剩余 900 -> 625（-275）
  普通游客：游客剩余 100 -> 225（+125）
  学生：游客剩余 0 -> 25（+25）
  店主：1600 -> 1750（+150）；总剩余 2600 -> 2625（+25）

只有登山客和普通游客：统一价格卖 400 瓶，总剩余 2600；三级歧视卖 400 瓶，总剩余 2550（-50）

逐项看：

• 登山客吃亏：游客剩余从 900 降到 625。他们本来就愿意付很多，现在真的被收了更多（7 元，比 6 元多）。
• 普通游客得益：从 100 升到 225，价格从 6 元降到 5 元。
• 学生得益：从 0 升到 25。以前买不起，现在 3 元买得到了。
• 店主赚得更多：从 1600 升到 1750。
• 总剩余从 2600 升到 2625，只多了 25。

对照一级：卖 900 瓶，店主拿走全部 3500，游客一点也没有。

这里要纠正我上一讲结尾的一句话。我说灰色的无谓损失三角形，“一部分会变成利润，另一部分会变成买家的好处”。更准确地说：能收回多少三角形，取决于歧视做得多细；三级歧视只收回了其中很小的一块（这个市场里，统一价格相对最理想的总剩余少了 900，三级只补回 25）；而更大的变化是：剩余在不同人群之间重新分配了。

3.3 总剩余是变多还是变少

最后一行答案很重要：如果没有学生，只有两类游客，三级歧视卖出的总瓶数不变（400 瓶），总剩余反而从 2600 降到 2550。

为什么？因为瓶数没变，但谁买到变了：统一价格 6 元时，登山客买 300 瓶、普通游客买 100 瓶；差别定价后，登山客只买 250 瓶、普通游客买 150 瓶。可是登山客多喝一瓶的价值（边际愿付价 7 元）高于普通游客（5 元）。同样的 400 瓶水，本该多给愿付价更高的人，价格歧视把一部分水"配"给了愿付价更低的人，配置变差了，所以总剩余降低。

有了学生这一类，情况就变了：学生从"买不起"变成"买得起"，总卖出量增加了（400 → 450），这部分新增的交易，带来了新的剩余。两种力量加在一起，总剩余净增加 25。

经济学里有一个一般的结论（Schmalensee 1981，Varian 1985）：对三级价格歧视，总产出增加，是总福利增加的必要条件（但不是充分条件）。 如果价格歧视没有让更多的人买到东西，总福利就一定下降。它让原本被排除在外的人也买到，才可能让总福利上升。

这给了我们一个判断的角度：学生票、老人票、国际药价，之所以经常被看作是"好事"，是因为它们常常让愿付价低的人买得到。反过来，对愿付价高的人加价，而没有让更多人买到，效果更值得怀疑。

3.4 证据：现实里价格歧视的福利效应有多大

证据怎么说：Phillip Leslie 2004 年（RAND Journal of Economics，35 卷 3 期）研究了 1996 年百老汇一部戏剧（《Seven Guitars》）的所有场次，估计这部戏实际用的价格歧视（多档票价、半价票等），使制作方的利润比最优的统一价格高约 5%，而对消费者总福利的影响很小。

局限：这是一部戏的结果，不能直接推广到别的行业。证据还告诉我们：价格歧视对总福利的影响，常常不是"惊天动地"的，而是要看具体的需求形状、群体划分的方式，不同行业差别很大。

小结： 价格歧视：同一种商品，价格差别超过成本差别。条件：有定价能力、能区分顾客、能阻止转售。一级（对每人收最高价）没有无谓损失，但剩余都归卖家。三级（按群体定价）：愿付价高、需求缺乏弹性的一类价格高。它对总福利的影响不确定：总产出增加是必要条件；让原本买不起的人买到，才可能增加总福利。

四、二级价格歧视：让顾客自己选

4.1 看不出谁是谁

现实里，卖家常常看不出谁是登山客、谁是学生。你不能要求每个乘客出示"我是商务旅客"的证明，航空公司也不知道你是不是出差。这时怎么办？

办法是：设计一份"菜单"，让不同的顾客，自己选对自己最好的那份。 这叫二级价格歧视。常见的菜单：经济舱和商务舱；软件的家庭版和专业版；买得越多单价越低；提前预订便宜、不可退改，临时预订贵。

关键的想法：顾客自己的选择，暴露了他是哪一类。 所以，菜单必须满足一个条件：每类顾客，都自愿选给自己设计的那一份（在经济学里叫激励相容，第 21 讲、第 22 讲会再讲）。

4.2 一个航空公司的菜单

航空公司有两类乘客：商务旅客和休闲旅客，各 100 人，每人买一个座位。座位有两种：经济舱（成本 100 元）和商务舱（成本 200 元）。各类人愿意为每种座位付的最高价：

先想：只有一种座位，怎么卖？

• 只卖经济舱，价格 300：只有商务旅客买，利润 100 × (300 − 100) = 20000。
• 只卖经济舱，价格 250：两类都买，利润 200 × (250 − 100) = 30000。
• 只卖商务舱，价格 550：只有商务旅客买，利润 100 × (550 − 200) = 35000。

最好的一种单品办法，利润 35000。现在，两种座位都卖：经济舱 250 元，商务舱定多少？

如果定 550：商务旅客算一下，买商务舱剩余是 550 − 550 = 0；买经济舱剩余是 300 − 250 = 50。他会去买经济舱！ 你的商务舱一个也卖不出去，利润反而只有 30000。

要让商务旅客愿意买商务舱，商务舱的剩余必须不低于 50：550 − 价格 ≥ 50，所以商务舱最多定 500。这时：休闲旅客买经济舱（利润 100 × 150 = 15000），商务旅客买商务舱（利润 100 × 300 = 30000），总利润 45000，比最好的单品办法多 10000。

# 航空公司卖两种座位：经济舱（成本 100）、商务舱（成本 200）。商务旅客和休闲旅客各 100 人。
# 每人买一个座位。数字是各人愿意为这个座位付的最高价。
cost = {"经济": 100, "商务": 200}
wtp = {"商务旅客": {"经济": 300, "商务": 550}, "休闲旅客": {"经济": 250, "商务": 300}}
N = 100

def outcome(menu):
    """menu：{座位: 价格}。每个人选自己剩余最大的（剩余相同时选更贵的；剩余为负就不买）。"""
    profit, choices = 0, {}
    for person, v in wtp.items():
        options = [(v[s] - p, p, s) for s, p in menu.items() if v[s] - p >= 0]
        if options:
            surplus, p, s = max(options)
            choices[person] = s
            profit += N * (p - cost[s])
        else:
            choices[person] = "不买"
    return profit, choices

print("几种定价办法 -> 航空公司的利润；谁买了什么")
for name, menu in [
    ("只卖经济舱，价格 300", {"经济": 300}),
    ("只卖经济舱，价格 250", {"经济": 250}),
    ("只卖商务舱，价格 550", {"商务": 550}),
    ("两种都卖，经济 250、商务 550（定得太高）", {"经济": 250, "商务": 550}),
    ("两种都卖，经济 250、商务 500", {"经济": 250, "商务": 500}),
]:
    profit, choices = outcome(menu)
    print(f"  {name}：利润 {profit}；{choices}")

# 在两个价格上都试一遍，看有没有更好的菜单
best = max(((pe, pb) for pe in range(100, 400, 10) for pb in range(200, 700, 10)),
           key=lambda m: outcome({"经济": m[0], "商务": m[1]})[0])
print(f"\n试遍所有价格组合：最好的是 经济 {best[0]}、商务 {best[1]}，利润 {outcome({'经济': best[0], '商务': best[1]})[0]}")
print(f"如果能认出谁是谁、对商务旅客直接收 550，对休闲旅客收 250：利润 {N * (550 - 200) + N * (250 - 100)}")

输出：

几种定价办法 -> 航空公司的利润；谁买了什么
  只卖经济舱，价格 300：利润 20000；{'商务旅客': '经济', '休闲旅客': '不买'}
  只卖经济舱，价格 250：利润 30000；{'商务旅客': '经济', '休闲旅客': '经济'}
  只卖商务舱，价格 550：利润 35000；{'商务旅客': '商务', '休闲旅客': '不买'}
  两种都卖，经济 250、商务 550（定得太高）：利润 30000；{'商务旅客': '经济', '休闲旅客': '经济'}
  两种都卖，经济 250、商务 500：利润 45000；{'商务旅客': '商务', '休闲旅客': '经济'}

试遍所有价格组合：最好的是 经济 250、商务 500，利润 45000
如果能认出谁是谁、对商务旅客直接收 550，对休闲旅客收 250：利润 50000

几点体会：

1. 菜单（45000）比任何单品办法都好，但不如"认得出谁是谁"（50000）。 差的 5000，是为了让顾客自己选而付出的代价：商务舱少收的 50 元 × 100 人。这 50 元，叫信息租金：因为卖家不知道谁是商务旅客，它必须让出一点，才能让商务旅客愿意"自报家门"。
2. 经济舱有得有失：它带来了休闲旅客的生意（+15000），也逼得商务舱从 550 降到 500（−5000）。净增 10000，所以值得做。
3. 现实里，很多限制就是这样的"栅栏"（fence）：把便宜的版本，设计得让愿付价高的人不想用。经典的例子是：便宜机票要求"周六晚上必须在目的地过夜"，要求"不可退改"。商务旅客很少愿意在外面多住一个周末，也不愿意没法改行程，所以他们不会去买便宜票。网络上"领券"“砍一刀"“限时秒杀"也有同样的逻辑：愿意花时间折腾的人，往往对价格更敏感。（这是逻辑上的解释，不是每个促销的真实动机。）

小结： 看不出谁是谁时，设计一份菜单，让不同的顾客自己选。关键约束是激励相容：每类顾客都愿意选给自己设计的那一份。代价是信息租金：为了防止愿付价高的人"降级”，要把高档版本的价格定低一点。

五、两部制收费：兑现第 14 讲

第 14 讲讲自然垄断时，提到过一种办法：先收一笔入场费，再按边际成本收每次的使用费。 这叫两部制收费（two-part tariff）：游乐园的门票 + 每个项目的票价；健身房的会员费 + 单次课程费；打车的起步价 + 每公里的价格；手机的月租 + 超出的流量费。

5.1 一个游乐园

游乐园每次游玩的成本是 2 元，游客有两类：爱玩的每天想玩的次数 q = 20 − 2p（p 是每次的价格），100 人；一般的 q = 12 − 2p，300 人。

先看如果游客都一样（都是爱玩的）：

• 只定每次的价格：这就是第 14 讲的垄断者，MR = MC，定价 6 元，每人玩 8 次，每人利润 (6 − 2) × 8 = 32。
• 两部制：每次的价格定成边际成本 2 元，每人玩 16 次；再收一笔入场费，刚好等于他的全部消费者剩余 ½ × 16 × 8 = 64。每人利润 64，比只定价高一倍，而且玩的次数最多，总剩余最大。

这很像一级价格歧视：每个人都付了他全部的剩余。

5.2 两类游客呢

爱玩的人的消费者剩余更大，一般的人更小。入场费不能比一般的人的剩余高，否则一般的人就不进场了。 这时怎么定？我们让代码试遍所有（价格，入场费）的组合：

# 游乐园：每次游玩的成本 2 元。游客分两类，各自每天想玩的次数：
#   爱玩的人：q = 20 - 2p；一般的人：q = 12 - 2p（p 是每次的价格）。爱玩的 100 人，一般的 300 人。
MC = 2
types = {"爱玩的": (20, 100), "一般的": (12, 300)}
rides = lambda a, p: max(0.0, a - 2 * p)
cs = lambda a, p: 0.5 * rides(a, p) * (a / 2 - p)         # 每个人的消费者剩余

def profit(price, fee):
    """每个人只要入场的剩余 >= 入场费就进场（相同时进场）"""
    total = 0.0
    for a, n in types.values():
        if cs(a, price) >= fee:
            total += n * (fee + (price - MC) * rides(a, price))
    return total

# 办法一：不收入场费，只收每次的价格
best_p = max((p / 10 for p in range(20, 100)), key=lambda p: profit(p, 0))
print(f"只定单价（不收入场费）：每次 {best_p:g} 元，利润 {profit(best_p, 0):.0f}")

# 办法二：两部制（每次的价格 + 入场费）。入场费只有两种有意义：让所有人都进场、或只让爱玩的人进场
def best_fee(p):
    fee_all = min(cs(a, p) for a, _ in types.values())      # 所有人都进：不能超过最低那一类的剩余
    fee_h = cs(types["爱玩的"][0], p)                         # 只收爱玩的人
    return max([(profit(p, fee_all), fee_all, "所有人进场"), (profit(p, fee_h), fee_h, "只有爱玩的人进场")])
print("\n两部制：每次的价格 -> 最好的入场费、利润")
for p in (2, 2.5, 3, 3.5, 4):
    pr, fee, who = best_fee(p)
    print(f"  每次 {p:g} 元 -> 入场费 {fee:g}，利润 {pr:.0f}（{who}）")
best = max(((best_fee(p / 10)[0], p / 10) for p in range(20, 100)))
p_star = best[1]
print(f"\n试遍所有价格：最好的是 每次 {p_star:g} 元 + 入场费 {best_fee(p_star)[1]:g}，利润 {best[0]:.0f}（边际成本是 {MC} 元）")

输出：

只定单价（不收入场费）：每次 4.5 元，利润 5000

两部制：每次的价格 -> 最好的入场费、利润
  每次 2 元 -> 入场费 64，利润 6400（只有爱玩的人进场）
  每次 2.5 元 -> 入场费 12.25，利润 6700（所有人进场）
  每次 3 元 -> 入场费 9，利润 6800（所有人进场）
  每次 3.5 元 -> 入场费 6.25，利润 6700（所有人进场）
  每次 4 元 -> 入场费 4，利润 6400（所有人进场）

试遍所有价格：最好的是 每次 3 元 + 入场费 9，利润 6800（边际成本是 2 元）

• 只定单价：最好每次 4.5 元，利润 5000。
• 两部制，每次的价格定成边际成本 2 元：入场费只能定到 64（只有爱玩的人愿意进场），利润 6400。
• 最好的两部制：每次 3 元，入场费 9，所有人进场，利润 6800。每次的价格（3 元）比边际成本（2 元）还高。

为什么单价要高于边际成本？因为入场费受限于一般的人的剩余。如果单价降到边际成本，入场费只能跟着一般的人走（或者放弃一般的人）。把每次的价格抬高一点，就能从爱玩的人那里，多收一点（他们玩得多）；同时降低入场费，把一般的人留下来。这是经济学家 Walter Oi 1971 年那篇有名的"迪士尼乐园难题"论文（Quarterly Journal of Economics，85 卷 1 期）的核心想法：顾客不同的时候，最优的两部制，单价不一定等于边际成本。

要说明：这是一个玩具模型。现实里，企业不知道有几类顾客、各自的需求，最优的收费要靠试验。

小结： 两部制收费 = 入场费 + 按使用收费。顾客都一样时，单价 = 边际成本，入场费 = 全部消费者剩余，效率最高、卖家拿走全部剩余。顾客不同时，最优单价可能高于边际成本。

六、为什么临近起飞的机票更贵

第 2 讲里，我们说过：“临近起飞的机票有时反而更贵，这涉及怎么对不同的人收不同的钱。” 现在有了工具，可以说清楚。

6.1 第一个原因：购票的时间，就是一道栅栏

商务旅客，常常临时才知道要出差，行程不能改，需求缺乏弹性；休闲旅客，常常提前很久就订，可以换日子，需求更有弹性。什么时候买票，成了区分两类人的"栅栏”。这是三级价格歧视：对需求缺乏弹性的一类（晚买的），收更高的价格。

6.2 第二个原因：一个座位留给谁

还有一个原因。一架飞机的座位数是固定的（比如 180 个）。一个座位，早上以 300 元卖给一个早订的人，就不能再卖给后来可能出现的、愿意付 800 元的人。每个座位的机会成本（第 1 讲）：不是它的 100 元边际成本，而是"这个座位如果留着，最好的另一种用途能赚多少"。

问题是：晚到的高价乘客有多少，是不确定的。留多了，座位空着起飞，一分钱赚不到；留少了，错过 800 元的生意。该留多少？

设：早订的人愿意付 300 元，需求很多，卖不完；晚到的人愿意付 800 元，人数在 20 到 60 之间，每种可能一样大（各 1/41）。

# 一趟航班 180 个座位。早订的人愿意付 300 元（需求很多，卖不完）；
# 临近起飞才订的人愿意付 800 元，但这部分人数不确定：20 到 60 人，每种可能一样大。
# 问：早期最多卖几个 300 元的座位，才能给晚到的 800 元乘客留出座位？
CAP, LOW, HIGH = 180, 300, 800
late = range(20, 61)                                   # 晚到的 800 元乘客人数：20..60，各 1/41 的可能

def expected_revenue(protect):
    """留 protect 个座位给晚到的人，其余 CAP - protect 个按 300 元早卖掉"""
    early = (CAP - protect) * LOW
    return early + sum(HIGH * min(d, protect) for d in late) / len(late)

best = max(range(0, CAP + 1), key=expected_revenue)
print("留给晚到乘客的座位数 -> 期望收入")
for y in (0, 20, 30, 40, 45, 50, 60, 80):
    print(f"  留 {y:>2} 个 -> {expected_revenue(y):>8.1f}")
print(f"\n试遍所有留法：最好是留 {best} 个，期望收入 {expected_revenue(best):.1f}")
prob = lambda y: sum(1 for d in late if d > y) / len(late)
print(f"留 {best} 个时，晚到乘客人数超过 {best} 的概率是 {prob(best):.3f}；留 {best - 1} 个时是 {prob(best - 1):.3f}；{LOW} ÷ {HIGH} = {LOW / HIGH:.3f}")

输出：

留给晚到乘客的座位数 -> 期望收入
  留  0 个 ->  54000.0
  留 20 个 ->  64000.0
  留 30 个 ->  67926.8
  留 40 个 ->  69902.4
  留 45 个 ->  70158.5
  留 50 个 ->  69926.8
  留 60 个 ->  68000.0
  留 80 个 ->  62000.0

试遍所有留法：最好是留 45 个，期望收入 70158.5
留 45 个时，晚到乘客人数超过 45 的概率是 0.366；留 44 个时是 0.390；300 ÷ 800 = 0.375

• 一个都不留，全按 300 元卖：54000。
• 留 45 个：期望收入最高，70158.5。留得更多或更少，都更差。
• 规则：多留一个座位，是值得的，只要"晚到的人多于这个座位"的概率 × 800 元，大于现在卖掉能得到的 300 元。最后一行验证了：留 45 个时这个概率是 0.366，略小于 300 ÷ 800 = 0.375；留 44 个时是 0.390，略大于 0.375。到了 45 个，再多留一个就不划算了。 这是航空业收益管理里的经典规则，叫 Littlewood 规则（Littlewood 1972）：保留座位，直到"晚到高价乘客超出保留数的概率"，等于低价与高价的比值。

注意这里用的是 02 讲的老思路：多留一个座位，边际收益是 800 × 它被用上的概率，边际成本是现在就卖掉的 300 元。

6.3 反过来：为什么有时也更便宜

第 2 讲里，我们让旅行团用 300 元买下 10 个空座位，因为这些座位如果空着，就一分钱也赚不到，而多载一个人只多花 100 元。如果距离起飞很近，飞机还有大量空座，卖掉一个座位，不会挤掉任何更高价的乘客，这时降价促销，就是对的。所以，“临近起飞，机票是涨还是降”，取决于还剩多少空座，以及预计还会有多少愿意出高价的人。两种现象都真实存在。

6.4 证据与争议

证据怎么说：Borenstein 和 Rose 1994 年（Journal of Political Economy，102 卷 4 期）用 1986 年美国航空的数据发现：同一条航线上，两个乘客的票价，预期相差约为该航空公司平均票价的 36%；这样大的差别，不能简单地用成本差别来解释。他们还发现一个出人意料的结果：竞争更激烈的航线，价格差别反而更大，他们的解读是，当竞争出现，航空公司更多地根据"顾客愿意换航班的程度"来区分顾客。

分歧在哪：Gerardi 和 Shapiro 2009 年（Journal of Political Economy，117 卷 1 期）用 1993 到 2006 年的面板数据，得到了相反的结果：竞争降低价格差别，符合教科书的预期，尤其是在顾客需求弹性差别更大的航线上。他们认为，之前的结论，是因为没有控制住各条航线、各家航空公司不随时间变的特点（遗漏变量）。这又是第 4 讲的教训：同一个问题，换一种数据结构、换一种估计办法，结论会变。

七、数字产品：边际成本为零的世界

7.1 成本结构

软件、音乐、视频、游戏、文章、App：做第一份，成本很高（研发、拍摄、写作）；多一个人用，几乎不花钱，边际成本约等于 0。

这就是第 11 讲的"固定成本大、边际成本小"，和第 14 讲缆车的自然垄断，是同一种成本结构：平均成本一路下降。如果按边际成本定价（= 0），连固定成本都收不回来。所以几乎所有的数字产品，都会想办法差别化：做版本，做免费版，做订阅。

7.2 版本化与免费增值

• 版本化：同一个软件，做个人版和企业版，做基础版和专业版。和航空公司的经济舱、商务舱是一个逻辑：愿付价高的人，用更多功能，付更多钱；设计的关键，是别让愿付价高的人"降级"。
• 免费增值（freemium）：基础功能免费，高级功能付费。因为边际成本约等于 0，多一个免费用户几乎不亏钱，而免费用户可能转为付费用户，也可能带来更多的用户（对别的用户更有价值，这是第 17 讲会讲的网络效应）。这在实物商品上，很难做到：每多一个免费用户，都要多花一份成本。

7.3 打包和订阅

为什么视频网站是按月订阅，而不是每部剧单独卖？

先看一个手算的例子。两样内容（剧集 A、体育直播 B），两个用户，边际成本是 0：

• 分开卖：A 定 8（只有小王买，收入 8），或定 3（两人都买，收入 6），所以定 8；B 同理定 8。总收入 16。
• 打包卖：两人对整包的愿付价都是 11，打包价定 11，两人都买，总收入 22。

打包赢了。原因：小王和小李"口味相反"，对单样内容的愿付价差很大；加在一起，两人对整包的愿付价一样。愿付价差别被"抹平"了，卖家就不需要在"高价少卖"和"低价多卖"之间做取舍。（如果两人的口味一致，比如小王对 A 和 B 都愿付 8、小李都愿付 3，打包就没有优势。）

内容越多，这个效应越强。Bakos 和 Brynjolfsson 1999 年（Management Science，45 卷 12 期）用大数定律论证：打包的内容越多，用户对整包的愿付价越集中（不容易特别高也不容易特别低），卖家越容易找到一个让几乎所有人都买的价格。我们用一个玩具模拟来看：10000 个用户，每人对每样内容的愿付价在 0 到 1 之间随机，彼此互不相关，边际成本为 0。

import numpy as np

# 数字内容：复制的成本是 0。10000 个用户，每人对每一样内容的愿付价在 0 到 1 之间随机（各人各样互不相关）。
# 比较：每样内容分开卖，和 N 样内容打包成一个订阅卖。
rng = np.random.default_rng(15)
USERS = 10000

def best_price(values):
    """试遍每个可能的价格（取每个用户的愿付价），选收入最大的"""
    v = np.sort(values)[::-1]
    revenue = v * np.arange(1, len(v) + 1)            # 价格定在第 k 高的愿付价，就有 k 个人买
    k = int(np.argmax(revenue))
    return v[k], k + 1, revenue[k]

print("包里有 N 样内容 -> 每样内容的平均收入 | 买的人占比 | 内容的价值被用掉的比例")
for n in (1, 2, 5, 20, 100):
    wtp = rng.random((USERS, n))
    bundle = wtp.sum(axis=1)                          # 愿付价可以相加：每样内容的价值独立
    price, buyers, revenue = best_price(bundle)
    realized = bundle[bundle >= price].sum() / bundle.sum()     # 买的人拿到的价值 ÷ 全部可能的价值
    print(f"  N = {n:>3} -> {revenue / USERS / n:.3f} | {buyers / USERS:.0%} | {realized:.0%}")

输出：

包里有 N 样内容 -> 每样内容的平均收入 | 买的人占比 | 内容的价值被用掉的比例
  N =   1 -> 0.257 | 48% | 73%
  N =   2 -> 0.274 | 69% | 83%
  N =   5 -> 0.311 | 82% | 89%
  N =  20 -> 0.377 | 92% | 94%
  N = 100 -> 0.432 | 97% | 98%

• N = 1 就是"分开卖"：每样内容的平均收入 0.257（理论值是 0.25：价格定在 0.5 元，一半的人买），买的人约一半，价值被用掉约 73%（理论值 75%）。模拟和理论基本吻合。
• N 越大：每样内容的平均收入越高（到 N = 100 时是 0.432），买的人越来越多（97%），内容的价值被用上的比例也越高（98%）。

注意这里有一个有意思的地方：打包让卖家赚得更多，同时让"价值被用掉"的比例更高（更多的人买得起）。这是数字产品里价格策略可能"既提高利润又提高效率"的例子。（总剩余里，多出来的部分最后归谁，另当别论。）

局限：这个结果依赖强假设：边际成本约等于 0（所以"没用的内容"也不花成本）；用户对不同内容的愿付价互不相关、可以相加；愿付价大小差不多。有研究者指出，这个结论对假设相当敏感。对实物商品，打包里每多一样东西都有成本，这个好处就消失了。

小结： 数字产品的边际成本约为 0、固定成本大，所以几乎都在做差别化：版本化（和舱位菜单同理），免费增值（免费给愿付价低的人几乎不亏钱），订阅打包（让愿付价的差别被抹平）。

八、个性化定价与"大数据杀熟"

8.1 一个正在发生的争议

如果卖家掌握了你的位置、历史购买、设备、浏览记录，它就能越来越接近一级价格歧视：猜出你个人的最高愿付价，对你单独定价。这叫个性化定价。

在中国，一个常被提起的现象叫"大数据杀熟"：同一件商品，老用户看到的价格，比新用户高。它之所以引起争议，是因为很多人觉得"忠诚的老顾客，反而被收更高的价"。

理论预测什么：数据越多、算法越准，企业越能把价格定在每个人愿付价附近，企业利润上升，消费者剩余下降。但不是每个人都吃亏：愿付价低的人，可能反而价格更低。

证据怎么说：Dubé 和 Misra 2023 年（Journal of Political Economy，131 卷 1 期）研究了招聘平台 ZipRecruiter 的一项随机定价实验。他们估计：把统一价格调到最优，利润可以提高 55%；再做个性化定价，又能在最优统一价格的基础上，多提高 19%。个性化定价下，消费者总剩余比最优统一价格低 23%，但超过 60% 的消费者，价格比统一价格更低；在一些"厌恶不平等"的福利标准下，总福利甚至可能上升。作者也提醒：限制数据的使用，未必能改善消费者福利。

要说明的局限：这是一家公司（对象是企业客户，不是个人消费者）的实验，不能直接推到电商、打车、外卖等领域。至于中国的"杀熟"，据我查到的资料，公开的材料多是个案和用户的测试，覆盖面广、方法严谨的系统性证据不多。如果你想深入，请自己多查几份来源。

法律怎么说：《个人信息保护法》（2021 年 11 月 1 日起施行）第 24 条规定，个人信息处理者利用个人信息进行自动化决策，应当保证决策的透明度和结果公平、公正，不得对个人在交易价格等交易条件上实行不合理的差别待遇。《互联网信息服务算法推荐管理规定》（2022 年 3 月 1 日起施行）第 21 条也有类似的规定：不得根据消费者的偏好、交易习惯等特征，利用算法在交易价格等交易条件上实施不合理的差别待遇。（具体条文请以现行法律文本为准。）

分歧在哪：关键的词是"不合理"。学生票、新用户优惠、会员价，也是"对不同的人收不同的价"，为什么多数人觉得合理？而老用户加价，为什么觉得不合理？有学者指出，法律对"不合理"没有清楚的界定，个案里很难认定和举证。另一个分歧是：限制数据的使用，保护了隐私，但可能也让一部分原本买得到的人买不到（比如愿付价低的人）。

价值判断：这里有三种价值互相拉扯：公平（同样的东西，同样的价格）、效率（让更多人买得到）、隐私（我的数据不该被拿来给我定价）。该优先哪个，留给你自己判断。

九、局限与常见的误用

9.1 这些模型的局限

• 我们假设卖家知道需求。 现实里，企业不知道每类顾客的需求曲线，要靠试验和猜测（上一讲也是这样）。
• 我们假设顾客不会反感。 顾客发现自己比别人付得多，可能不满，甚至放弃购买（第 39 讲会讲人对"公平"的感受）。这是企业为什么常把价格差别包装成"会员价"“优惠券”。
• 我们假设只有一家卖家。 几家企业互相竞争时，价格歧视会怎样变，第 16 讲会讲。
• 静态。 现实里，今天的价格会影响明天的顾客预期（等降价再买）。

9.2 常见的误用

十、小结

这一讲有六个想法，请带走：

1. 价格歧视：同一种商品，价格差别超过成本差别。需要三个条件：有定价能力、能区分顾客、能阻止转售。
2. 一级（对每人收最高价）：没有无谓损失，但全部剩余归卖家。
3. 三级（按群体定价）：愿付价高、需求缺乏弹性的一类，价格高。总产出增加是总福利增加的必要条件；让原来买不起的人买到，才可能提高总福利。
4. 二级（菜单，让顾客自己选）：设计让不同顾客自愿对号入座的版本；代价是信息租金；“栅栏"是常用的手段。
5. 两部制和打包：入场费 + 使用费；顾客不同时，最优的使用费可能高于边际成本。数字产品边际成本约为 0，所以版本化、免费增值、订阅打包都很常见。
6. 个性化定价是争议的前沿：它让价格歧视趋近一级。是否"合理”，是事实、效率、公平、隐私之间的权衡。

到这里，我们看了市场势力的一个极端：一家企业，没有对手。但现实里更常见的情形是：几家企业，彼此都看着对方。你降价，我要不要跟？我们要不要悄悄约定价格？这就是下一讲：第 16 讲：寡头。 你会看到，当企业的决定互相影响，我们就需要一种新的工具：博弈论的第一次登场。

思考题

1. 山顶水店的三类游客，如果学生的最高愿付价是 5 元（而不是 4 元），其他不变。统一价格会变吗？三级价格歧视，对学生定多少价？

提示：统一价格仍是 6 元（定 6 元利润 1600；若降到 5 元让学生也买，每类每降 1 元多买 50 瓶，三类合计，利润只有 3 × 500 = 1500，更低）。学生仍买不起。三级歧视：MR = 5 − 0.04 Q = 2，Q = 75，价格 = 5 − 75 ÷ 50 = 3.5 元。

2. 三级歧视的结果里，三类游客的价格分别是 7、5、3 元。验证：每一类的加价率（价格 − 边际成本）÷ 价格，是否等于该类人在这个价格上的弹性的倒数？

提示：弹性 = 50 × 价格 ÷ 买的数量。登山客：50 × 7 ÷ 250 = 1.4，加价率 5 ÷ 7 = 0.714 = 1 ÷ 1.4。普通游客：50 × 5 ÷ 150 = 1.667，加价率 3 ÷ 5 = 0.6 = 1 ÷ 1.667。学生：50 × 3 ÷ 50 = 3，加价率 1 ÷ 3 = 0.333 = 1 ÷ 3。弹性越大（越容易放弃），价格越低。

3. 航空公司的菜单题（4.2 节）。如果商务旅客对商务舱的愿付价，从 550 降到 450（其他数字不变）。商务舱最多能定多少？菜单的利润是多少？和"只卖经济舱 250"、“只卖商务舱"相比呢？

提示：商务旅客买商务舱要保证剩余不低于买经济舱的剩余 300 − 250 = 50，所以商务舱最多定 450 − 50 = 400。利润：休闲旅客买经济舱 100 × 150 = 15000；商务旅客买商务舱 100 × (400 − 200) = 20000；合计 35000。对比：只卖经济舱 250，两类都买，30000；只卖商务舱 450（只有商务旅客买），100 × (450 − 200) = 25000。菜单最好。

4. 游乐园里，如果所有游客都是"爱玩的”（q = 20 − 2p，100 人，边际成本 2 元），最好的两部制是什么？利润是多少？和只定每次价格相比呢？

提示：每次的价格 = 边际成本 2 元，每人玩 16 次，入场费 = 全部剩余 ½ × 16 × 8 = 64，利润 64 × 100 = 6400。只定每次价格：MR = 10 − q = 2，q = 8，价格 6，每人利润 (6 − 2) × 8 = 32，合计 3200。两部制是它的两倍。

5. 判断下面几个是不是价格歧视，是哪一种，有没有合理的理由。（a）电影院的学生票。（b）快递按距离收不同的运费。（c）外卖平台的"满 30 减 5"优惠券。（d）新用户首单免费。

提示：（a）是三级（按群体），学生愿付价更低、也容易验证身份；常被认为合理，因为让更多人看得起。（b）基本不算：成本随距离增加，价差主要反映成本差。（c）是二级（自选择）：愿意凑单、花时间找券的人，往往对价格更敏感，满减让他们自己"对号入座"。（d）是区分新旧用户的一种做法，可以看作三级，但也可能是争取新用户的"投资"（动态的考虑）；当老用户反而被收更高的价，就进入了第八节的"杀熟"争议。答案不唯一，重点是说出理由。

参考与延伸

• Pigou, A. C. (1920). The Economics of Welfare. Macmillan.
• Schmalensee, R. (1981). Output and Welfare Implications of Monopolistic Third-Degree Price Discrimination. American Economic Review.
• Varian, H. R. (1985). Price Discrimination and Social Welfare. American Economic Review.
• Leslie, P. (2004). Price Discrimination in Broadway Theater. RAND Journal of Economics, 35(3), 520–541.
• Oi, W. Y. (1971). A Disneyland Dilemma: Two-Part Tariffs for a Mickey Mouse Monopoly. Quarterly Journal of Economics, 85(1), 77–96.
• Littlewood, K. (1972). Forecasting and Control of Passenger Bookings. AGIFORS Symposium Proceedings.
• Borenstein, S., & Rose, N. L. (1994). Competition and Price Dispersion in the U.S. Airline Industry. Journal of Political Economy, 102(4), 653–683.
• Gerardi, K. S., & Shapiro, A. H. (2009). Does Competition Reduce Price Dispersion? New Evidence from the Airline Industry. Journal of Political Economy, 117(1), 1–37.
• Bakos, Y., & Brynjolfsson, E. (1999). Bundling Information Goods: Pricing, Profits, and Efficiency. Management Science, 45(12), 1613–1630.
• Dubé, J.-P., & Misra, S. (2023). Personalized Pricing and Consumer Welfare. Journal of Political Economy, 131(1).
• 《中华人民共和国个人信息保护法》（2021）第二十四条；《互联网信息服务算法推荐管理规定》（2022）第二十一条。