这一讲要回答五个问题：
- 一个博弈由哪些部分组成？
- 什么是占优策略？为什么每个人都做对自己最好的选择，结果会比大家合作更糟？（囚徒困境不只出现在企业身上）
- 什么是纳什均衡？怎么找？一个博弈有好几个均衡时怎么办？
- 点球时守门员该往哪边扑？为什么最好的策略是随机？
- 双方不是同时行动，而是一先一后，会怎样？什么样的威胁才可信？
第 16 讲，我们已经玩过博弈了：两家烤肠摊，每家的最佳选择取决于对方怎么选；我们说"两家都已经是对方的最佳反应时，谁也不想单独改变"，叫均衡，并且提到过囚徒困境。第 17 讲结尾，我说囚徒困境不只出现在企业身上。这一讲把这些零散的想法，整理成一套工具。你会发现，它的用处远远超出了企业定价。
一、约好了见面，却没说在哪儿
你和朋友约好周末在北京见面，却忘了说具体地点，两个人的手机又都没电了，没法联系。你们都想见到对方，见得到比见不到好，但没有人在乎具体在哪里。
先停一下：你会去哪儿？
你大概会想：他会去哪儿？他大概会想：她会去哪儿？你们都在猜对方的猜测。最后，你们可能都去一个最显眼的地方，比如北京站或者天安门。你们没商量，却走到了同一个地方，因为那里"最容易想到"。
经济学家 Thomas Schelling 在 1960 年的《冲突的策略》里用过类似的例子（纽约的版本），并把这种"大家都会往那里去"的、显眼的选择，叫做聚点（focal point）。
这个小问题，已经包含了博弈论的核心：你的最佳选择，取决于你认为对方会怎么选；而对方的选择，也取决于他认为你会怎么选。 这就是博弈。
二、博弈的要素
一个博弈由这几样东西组成：
- 参与者：谁在做决定（两家烤肠摊、两个囚犯、你和朋友）。
- 策略：每个参与者可以选的完整计划（卖多少、定什么价、去哪儿）。
- 收益：每个组合下，每个人得到什么。收益不一定是钱，可以是任何你在乎的东西：利润、安全、面子、对公平的在乎。
- 行动的顺序和信息：大家同时选，还是一先一后？每个人知道什么？（信息不一样多的情形，第 20 讲会讲。）
两个人、每人两个选择的博弈，最方便的写法，是一张收益矩阵：每个格子里，写出（行玩家的收益，列玩家的收益）。
这一讲还默认一件事：每个参与者都想让自己的收益最大，而且知道对方也在这样想。
三、占优策略与囚徒困境
3.1 占优策略
第 16 讲的两家烤肠摊，每家有两个选择：守约（只卖 225 根，两家合起来是垄断量）和自己干（卖 300 根）。我们换成最简单的数字，写成矩阵（每格：我的收益，对方的收益）：
| 对方合作 | 对方背叛 | |
|---|---|---|
| 我合作 | 3，3 | 0，5 |
| 我背叛 | 5，0 | 1，1 |
看"我"：
- 对方合作时，我背叛得 5，合作得 3，背叛更好；
- 对方背叛时，我背叛得 1，合作得 0，背叛更好。
不管对方怎么选，背叛都更好。 这样的策略叫占优策略（dominant strategy）：不管别人怎么选，它都不比别的策略差，并且至少有一种情形严格更好。对方也一样，所以两人都背叛，各得 1，比两人都合作的 3 还少。这就是囚徒困境。
之所以叫囚徒困境，来自一个故事：两个嫌疑人被分开审讯，每个人都可以"招供"（背叛同伙）或者"不招"（合作）。不管同伙怎么选，招供都对自己更有利；可是两个人都招供，比两个人都不招要糟得多。
3.2 困境从哪里来
为什么会这样？因为我的选择，影响了你的收益，但我不为这个影响付任何代价（第 23 讲会讲的"外部性"）。我背叛，我得到了好处，成本却由你承担。双方都这样做，就都吃亏。
要走出困境，需要有办法让承诺可信，或者改变收益：具有约束力的合同、反复打交道时的惩罚（第 19 讲）、声誉、规范和制度（第 26 讲）。
3.3 囚徒困境的家族
这个结构，到处都是，不只在企业身上：
- 价格战、产量竞争（第 16 讲）：各家都想多卖，结果价格和利润都下去了。
- 军备竞赛：两个国家，每个都可以选择"扩军"或"不扩军"。不管对方怎么选，扩军都让自己更安全；可是两国都扩军，两国都更穷，也没有更安全（和都不扩军相比）。（现实里的安全问题复杂得多，威慑有时能阻止战争。这里只是说这种结构。）
- 公共品与搭便车：见下面的例子。
- 公共卫生：传染病接近消灭时，如果多数人都接种，没接种的人也受保护（群体免疫）。每个人都想"让别人去接种，我搭便车"。不过要注意：接种对个人自己也有好处，如果这个好处大于风险，每个人会自己接种，那就不是囚徒困境；只有当接种对自己的好处小、对别人的好处大时，搭便车才成为问题。
- 相对地位的竞争：如果好处取决于相对排名（谁考得更好、谁更晚下班），每个人加码，都只是为了"不落后"；大家都加码后，排名没变，成本却都上升了。（这是对一类现象的一种模型解读，不是被测量出来的结论；现实里加码也可能提高了真实的技能或产出。）
我们用一个公共品博弈，把这个结构算清楚：
# 4 个人，每人有 10 元，可以投入 0 到 10 元到"公共池"。池里的钱乘以 1.6，再平均分给 4 个人（不管你投没投）。
N, ENDOW, MULT = 4, 10, 1.6
def payoff(my, others_total):
"""我投 my，别人一共投 others_total：我留下的 + 我分到的"""
return (ENDOW - my) + MULT * (my + others_total) / N
print("别人一共投 others，我投 0 和投 10 各得多少：")
for others in (0, 10, 20, 30):
print(f" 别人一共投 {others:>2}：我投 0 得 {payoff(0, others):5.1f}，我投 10 得 {payoff(10, others):5.1f}")
print(f"\n每多投 1 元，我自己只分回 {MULT / N:.1f} 元，所以投 0 是占优策略；但是：")
print(f" 四个人都投 0：每人 {payoff(0, 0):.0f}；四个人都投 10：每人 {payoff(10, 30):.0f}")
print(f" 池子乘数要超过 {N}，每人才会愿意投（每投 1 元自己能分回 > 1 元）")
输出：
别人一共投 others，我投 0 和投 10 各得多少：
别人一共投 0：我投 0 得 10.0，我投 10 得 4.0
别人一共投 10：我投 0 得 14.0，我投 10 得 8.0
别人一共投 20：我投 0 得 18.0，我投 10 得 12.0
别人一共投 30：我投 0 得 22.0，我投 10 得 16.0
每多投 1 元，我自己只分回 0.4 元，所以投 0 是占优策略；但是：
四个人都投 0：每人 10；四个人都投 10：每人 16
池子乘数要超过 4，每人才会愿意投（每投 1 元自己能分回 > 1 元）
- 不管别人投多少，我投 0 总比投 10 多得 6 元（比如别人一共投 30，我投 0 得 22，投 10 得 16）。每多投 1 元，社会总收益多 0.6 元（乘数 1.6 减去投出去的 1 元），我自己只分回 0.4 元。
- 所以"投 0"是占优策略，四个人都投 0，每人只有 10 元；可是四个人都投 10，每人能得 16 元。
- 如果乘数超过 4，每多投 1 元自己能分回超过 1 元，投入就成了占优策略，困境消失。困境的存在，取决于"我分回的"比"我付出的"少。
小结： 占优策略：不管别人怎么选都不比别的差。囚徒困境：人人都有占优策略（背叛），结果比人人合作更糟。根源是我的选择影响了别人，我却不付代价。它出现在价格战、军备、公共品、公共卫生等很多场景。
四、纳什均衡
4.1 定义
大多数博弈，并没有占优策略。这时，怎么预测会发生什么？
数学家 John Nash 1950 年（Proceedings of the National Academy of Sciences，36 卷 1 期）的想法是：
纳什均衡：一组策略，其中每个参与者的策略，都是对其他人策略的最佳反应。也就是说：在这个状态下，没有任何一个人，能靠单独改变自己的选择，得到更多。
这和第 16 讲的"均衡"是一回事。它不是说结果好，只是说结果稳定：没有人想单独离开。
4.2 怎么找：划线法
在矩阵里：对每一列，在行玩家的最大收益下面划一道线；对每一行，在列玩家的最大收益下面划一道线。两个数下面都有线的格子，就是纳什均衡。代码把这件事做了，我们看五个有名的博弈：
# 二人博弈：每个格子是（行玩家的收益，列玩家的收益）
games = {
"囚徒困境": (["合作", "背叛"], ["合作", "背叛"],
[[(3, 3), (0, 5)],
[(5, 0), (1, 1)]]),
"协调博弈（靠哪边开）": (["靠左", "靠右"], ["靠左", "靠右"],
[[(1, 1), (0, 0)],
[(0, 0), (1, 1)]]),
"猎鹿博弈": (["猎鹿", "抓兔"], ["猎鹿", "抓兔"],
[[(4, 4), (0, 3)],
[(3, 0), (3, 3)]]),
"斗鸡博弈": (["让", "不让"], ["让", "不让"],
[[(2, 2), (0, 4)],
[(4, 0), (-5, -5)]]),
"石头剪刀布": (["石头", "剪刀", "布"], ["石头", "剪刀", "布"],
[[(0, 0), (1, -1), (-1, 1)],
[(-1, 1), (0, 0), (1, -1)],
[(1, -1), (-1, 1), (0, 0)]]),
}
def pure_nash(rows, cols, pay):
"""找出所有"谁也不想单独改变"的格子：行玩家在这一列里是最优，列玩家在这一行里也是最优"""
found = []
for i in range(len(rows)):
for j in range(len(cols)):
row_best = all(pay[i][j][0] >= pay[k][j][0] for k in range(len(rows)))
col_best = all(pay[i][j][1] >= pay[i][k][1] for k in range(len(cols)))
if row_best and col_best: found.append((i, j))
return found
def dominant(rows, cols, pay):
"""行玩家有没有一个策略，不管对方怎么选都不比别的差（而且至少有一次更好）？"""
for i in range(len(rows)):
if all(all(pay[i][j][0] >= pay[k][j][0] for j in range(len(cols))) and
any(pay[i][j][0] > pay[k][j][0] for j in range(len(cols))) for k in range(len(rows)) if k != i):
return rows[i]
return None
for name, (rows, cols, pay) in games.items():
eq = pure_nash(rows, cols, pay)
desc = "；".join(f"（{rows[i]}，{cols[j]}）收益 {pay[i][j]}" for i, j in eq) or "没有"
print(f"{name}：纯策略纳什均衡 {len(eq)} 个：{desc}；行玩家的占优策略：{dominant(rows, cols, pay) or '没有'}")
输出：
囚徒困境：纯策略纳什均衡 1 个：（背叛，背叛）收益 (1, 1)；行玩家的占优策略：背叛
协调博弈（靠哪边开）：纯策略纳什均衡 2 个：（靠左，靠左）收益 (1, 1)；（靠右，靠右）收益 (1, 1)；行玩家的占优策略：没有
猎鹿博弈：纯策略纳什均衡 2 个：（猎鹿，猎鹿）收益 (4, 4)；（抓兔，抓兔）收益 (3, 3)；行玩家的占优策略：没有
斗鸡博弈：纯策略纳什均衡 2 个：（让，不让）收益 (0, 4)；（不让，让）收益 (4, 0)；行玩家的占优策略：没有
石头剪刀布：纯策略纳什均衡 0 个：没有；行玩家的占优策略：没有
逐个看：
- 囚徒困境：唯一的均衡是（背叛，背叛），收益（1，1）。它比（合作，合作）的（3，3）差：均衡不一定是好的结果。
- 协调博弈：两个人都开车，需要约定靠左还是靠右开。（靠左，靠左）和（靠右，靠右）都是均衡，收益一样；（靠左，靠右）这种不一致的，会撞车。选哪个无所谓，但必须一致。一个社会里，谁来决定靠哪边？靠惯例，和谢林说的聚点。（中国靠右行驶，是一个惯例，不是自然法则。）
- 猎鹿博弈：两个猎人，可以一起去猎鹿（需要两人合作，收益大，各得 4），或者各自去抓兔子（稳妥，各得 3）；一个人去猎鹿、另一个去抓兔，猎鹿的人一无所获（0）。（猎鹿，猎鹿）和（抓兔，抓兔）都是均衡。 前者对双方更好（4 > 3），后者更安全。选哪个，取决于你信不信对方会来。这和第 17 讲的网络效应、多重均衡，是同一个结构：同样的偏好，两种稳定的结局，取决于预期。
- 斗鸡博弈：两辆车迎头冲过来，每人可以让或不让。都不让会撞车，大家都损失惨重（−5）。（让，不让）和（不让，让）是均衡：一方让，一方不让。问题是：谁让？ 双方都想做那个不让的。如果一方能够可信地"扔掉方向盘"（让对方相信自己绝不会让），对方就会让。这是"承诺“的价值，和第 16 讲先动者的优势是同一个想法。
- 石头剪刀布：没有纯策略的均衡。不管你出什么，对方都有办法赢你。这是下一节要讲的。
John Nash 证明过：只要参与者和策略的数目是有限的，就至少存在一个均衡，不过可能需要允许"混合策略”（下一节）。
4.3 多重均衡怎么办
猎鹿、协调、斗鸡，都有不止一个均衡。这是博弈论最让人头疼的地方：均衡的概念不告诉你，最后会落在哪一个。 经济学家的回答，是引进别的东西：
- 聚点（谢林）：显眼的、有共同认知的选择。
- 历史和惯例：以前怎么做，现在就怎么做。
- 沟通和承诺：事先商量、做出可信的承诺。
- 预期：大家相信别人会怎么选。
这提醒我们：博弈论更擅长告诉你"哪些结果是稳定的"，不总能告诉你"哪个会发生"。
小结： 纳什均衡：每个人的策略，都是对其他人策略的最佳反应，没有人想单独改变。它是"稳定"，不是"好"。囚徒困境的均衡比合作差；协调、猎鹿、斗鸡有好几个均衡，要靠聚点、惯例、承诺、预期来挑。
五、混合策略：为什么要随机
5.1 点球
石头剪刀布没有纯策略的均衡，因为任何可预测的做法，都会被对方利用。真正的博弈里，这个问题很常见：点球。
球员选踢左或踢右，守门员选扑左或扑右（同时选，因为球太快，守门员没法等看清方向再动）。下面是进球的概率（示意数字，球员希望它大，守门员希望它小）：
| 守门员扑左 | 守门员扑右 | |
|---|---|---|
| 球员踢左 | 0.6 | 0.9 |
| 球员踢右 | 1.0 | 0.7 |
先停一下：如果你是球员，你会总是踢同一边吗？
不会。如果你总是踢左，守门员就会总是扑左，你的进球率只有 0.6；总踢右，守门员总扑右，进球率 0.7。只要你的选择可以预测，对方就能针对你。 最好的办法，是以一定的概率随机地选，让守门员无法预测。这叫混合策略（mixed strategy）。
5.2 怎么算：让对方"选哪个都一样"
关键的想法有点反直觉：你随机化的概率，不是由你自己的收益决定的，而是由"要让对方在两个选择之间无差别"决定的。
- 球员要选一个"踢左的概率"，使得守门员扑左、扑右的结果一样；
- 守门员要选一个"扑左的概率"，使得球员踢左、踢右的进球率一样。
守门员扑左的概率设为 g，球员踢左的进球率是 0.6g + 0.9(1 − g)，踢右是 1.0g + 0.7(1 − g)，令它们相等：0.9 − 0.3g = 0.7 + 0.3g，所以 g = 1/3。同理，球员踢左的概率 k = 1/2。
import numpy as np
# 点球：球员选踢左/踢右，守门员选扑左/扑右。格子里是"进球的概率"（球员想要它大，守门员想要它小）。示意数字：
# 扑左 扑右
# 踢左 0.6 0.9
# 踢右 1.0 0.7
score = np.array([[0.6, 0.9],
[1.0, 0.7]])
# 一、混合策略均衡：让对方"选哪个都一样"
g = (score[1, 1] - score[0, 1]) / (score[0, 0] - score[0, 1] - score[1, 0] + score[1, 1]) # 守门员扑左的概率
k = (score[1, 1] - score[1, 0]) / (score[0, 0] - score[0, 1] - score[1, 0] + score[1, 1]) # 球员踢左的概率
print(f"守门员扑左的概率 {g:.3f}，球员踢左的概率 {k:.3f}")
print(f"球员踢左的进球率 {score[0, 0] * g + score[0, 1] * (1 - g):.3f}，踢右的进球率 {score[1, 0] * g + score[1, 1] * (1 - g):.3f}（一样）")
print(f"守门员扑左时对方的进球率 {score[0, 0] * k + score[1, 0] * (1 - k):.3f}，扑右时 {score[0, 1] * k + score[1, 1] * (1 - k):.3f}（一样）")
# 二、把一个选择钉死，会怎样：球员总是踢左，守门员会怎么应对？
print(f"\n如果球员总是踢左：守门员扑左的进球率 {score[0, 0]}，扑右 {score[0, 1]}，所以守门员会一直扑左，球员进球率只有 {score[0, 0]}（比 {score[0, 0] * g + score[0, 1] * (1 - g):.1f} 低）")
# 三、均衡是怎么"学出来"的：双方每一轮都对"对方到目前为止的出手频率"选自己的最佳应对
rounds = 20000
kick_left = np.zeros(rounds + 1); dive_left = np.zeros(rounds + 1)
kl, dl = 1, 1 # 各自"左"出现的次数；一开始各有一个（避免除以零）
kr, dr = 1, 1
for t in range(rounds):
p_dive_left = dl / (dl + dr) # 球员估计的守门员扑左概率
p_kick_left = kl / (kl + kr) # 守门员估计的球员踢左概率
kick = 0 if score[0, 0] * p_dive_left + score[0, 1] * (1 - p_dive_left) >= score[1, 0] * p_dive_left + score[1, 1] * (1 - p_dive_left) else 1
dive = 0 if score[0, 0] * p_kick_left + score[1, 0] * (1 - p_kick_left) <= score[0, 1] * p_kick_left + score[1, 1] * (1 - p_kick_left) else 1
kl += kick == 0; kr += kick == 1; dl += dive == 0; dr += dive == 1
kick_left[t + 1] = kl / (kl + kr); dive_left[t + 1] = dl / (dl + dr)
for n in (10, 100, 1000, 20000):
print(f" 前 {n:>5} 轮：球员踢左的频率 {kick_left[n]:.3f}，守门员扑左的频率 {dive_left[n]:.3f}")
print(f"（均衡：球员 {k:.3f}，守门员 {g:.3f}）")
输出：
守门员扑左的概率 0.333，球员踢左的概率 0.500
球员踢左的进球率 0.800，踢右的进球率 0.800（一样）
守门员扑左时对方的进球率 0.800，扑右时 0.800（一样）
如果球员总是踢左：守门员扑左的进球率 0.6，扑右 0.9，所以守门员会一直扑左，球员进球率只有 0.6（比 0.8 低）
前 10 轮：球员踢左的频率 0.583，守门员扑左的频率 0.333
前 100 轮：球员踢左的频率 0.490，守门员扑左的频率 0.402
前 1000 轮：球员踢左的频率 0.480，守门员扑左的频率 0.341
前 20000 轮：球员踢左的频率 0.503，守门员扑左的频率 0.333
（均衡：球员 0.500，守门员 0.333）
- 均衡：守门员 1/3 的概率扑左，球员 1/2 的概率踢左。这时球员踢左、踢右的进球率都是 0.8，守门员扑左、扑右时，对方的进球率也都是 0.8：每个人都"选哪个都一样"，所以谁也不想改变。
- 钉死的代价：如果球员总是踢左，守门员会一直扑左，进球率只有 0.6，比均衡里的 0.8 低。
- 学习：代码的第三部分，不假设任何人知道均衡。双方每一轮，只是对"对方到目前为止的出手频率"选自己的最佳应对。结果，出手的频率慢慢走向均衡（球员踢左的频率走到约 0.50，守门员扑左的频率走到约 0.33）。（对这类零和博弈，可以证明这样的"互相适应"会收敛到均衡。）
这说明：均衡不一定要求参与者"算出"最优策略，也可以是长期互相适应的结果。
5.3 证据：职业球员真的这样吗
证据怎么说：Ignacio Palacios-Huerta 2003 年（Review of Economic Studies，70 卷 2 期）用职业足球比赛里的点球数据，检验这个理论的两个预测：（1）球员踢左或踢右，进球率应该差不多（否则有一边更好，该多踢那边）；（2）每次的选择，应该没有规律（不能被预测）。他发现，两个预测大体上都得到支持。Chiappori、Levitt 和 Groseclose 2002 年（American Economic Review，92 卷 4 期）用法国、意大利的数据，也发现球员的行为与混合策略的预测大体一致，并且特别处理了不同球员的差别。
局限：这是少数几个职业选手的真实数据；同样的分析，换成实验室里的普通学生，结果常常离理论预测更远。关于职业选手在实验室里是不是也这样，后续研究之间有争论（Palacios-Huerta 和 Volij 发现他们接近；Levitt、List 和 Reiley 没有）。所以更稳妥的结论是：在经验丰富、反复面对同一个博弈、而且有强烈动机的人那里，混合策略的预测相当好；在别的人群、别的情境里，不一定。
小结： 没有纯策略均衡时，均衡里每个人以一定概率随机选择，概率由"让对方选哪个都一样"决定（不是由自己的收益决定）。随机是为了不被预测。均衡可以是互相适应的结果。职业球员的点球数据，大体支持这一点。
六、一先一后：博弈树与可信威胁
6.1 逆向归纳
前面的博弈，大家同时行动。如果是一先一后，后行动的人看得到先行动的人做了什么，就要用博弈树。解法很自然：从最后一步倒着想（逆向归纳）。
回到第 16 讲的一个问题：新企业要不要进入一个已经有在位企业的市场？在位企业放狠话：“你进来我就打价格战。” 可信吗？
博弈树：新企业先选进来或不进来；如果进来，在位企业再选开战或接受。收益是（新企业，在位企业），单位百万元：不进来（0，10）；进来后开战（−3，2）；进来后接受（3，5）。
倒着想：如果新企业进来了，在位企业会选什么？ 开战得 2，接受得 5，接受更好。新企业预见到这一点，进来能得 3，比不进来的 0 高，所以进来。结果是（进来，接受）。
6.2 为什么"开战"的威胁不可信
我们用代码，把这个博弈用"事先定好计划"的方式再写一遍，找出纳什均衡，再对比逆向归纳：
from itertools import product
# 一、进入博弈：新企业先决定进不进；如果进来，在位企业再决定"开战（打价格战）"还是"接受"。收益是（新企业，在位企业），单位：百万元
OUT = (0, 10) # 不进来：新企业 0，在位企业独享 10
FIGHT = (-3, 2) # 进来了，在位企业开战：双方都亏，在位企业剩 2
ACCEPT = (3, 5) # 进来了，在位企业接受：两家分享
# 先看"事先定好计划"的写法（标准式）：新企业的策略 = 进/不进；在位企业的策略 = 如果进来就开战/就接受
def payoff(entrant, incumbent):
if entrant == "不进": return OUT
return FIGHT if incumbent == "开战" else ACCEPT
strategies_e, strategies_i = ["进", "不进"], ["开战", "接受"]
print("纳什均衡（谁也不想单独改计划）：")
for e, i in product(strategies_e, strategies_i):
pe, pi = payoff(e, i)
e_ok = all(pe >= payoff(e2, i)[0] for e2 in strategies_e)
i_ok = all(pi >= payoff(e, i2)[1] for i2 in strategies_i)
if e_ok and i_ok: print(f" 新企业「{e}」、在位企业「如果进来就{i}」：收益 {payoff(e, i)}")
# 逆向归纳：先看最后一步，在位企业"进来之后"会怎么选？再倒推新企业
best_after_entry = max([("开战", FIGHT), ("接受", ACCEPT)], key=lambda x: x[1][1])
entrant_value_if_enter = best_after_entry[1][0]
print(f"\n逆向归纳：如果新企业进来，在位企业会选「{best_after_entry[0]}」（{best_after_entry[1][1]} > {FIGHT[1] if best_after_entry[0] == '接受' else ACCEPT[1]}）；"
f"新企业预期进来能得 {entrant_value_if_enter}，比不进来的 {OUT[0]} 高，所以「进来」，结果 {best_after_entry[1]}")
print(" 那个「不进、开战」的均衡，靠的是一个事后没人愿意兑现的威胁")
# 二、最后通牒：甲有 10 元，提议给乙 x 元（整数），乙接受就按提议分，拒绝就两人都得 0
print("\n最后通牒博弈（10 元，只能出整数）：乙接受的条件是得到的比 0 多")
accept = lambda x: x > 0 # 乙：任何比 0 多的钱，都比拒绝（得 0）好
best_offer = max(range(0, 11), key=lambda x: (10 - x) if accept(x) else 0)
print(f" 逆向归纳：甲提议给乙 {best_offer} 元（自己留 {10 - best_offer} 元），乙接受")
输出：
纳什均衡（谁也不想单独改计划）：
新企业「进」、在位企业「如果进来就接受」：收益 (3, 5)
新企业「不进」、在位企业「如果进来就开战」：收益 (0, 10)
逆向归纳：如果新企业进来，在位企业会选「接受」（5 > 2）；新企业预期进来能得 3，比不进来的 0 高，所以「进来」，结果 (3, 5)
那个「不进、开战」的均衡，靠的是一个事后没人愿意兑现的威胁
最后通牒博弈（10 元，只能出整数）：乙接受的条件是得到的比 0 多
逆向归纳：甲提议给乙 1 元（自己留 9 元），乙接受
注意：这个博弈有两个纳什均衡：
- （进来，如果进来就接受）：和逆向归纳的结果一样；
- （不进来，如果进来就开战）：新企业怕你开战，所以不进来；而因为它不进来，你的"开战"计划永远没有被检验过，所以没有人想改。
第二个均衡，靠的是一个"不可信的威胁"：如果新企业真的进来了，在位企业事后算一算，接受（5）比开战（2）更好，它不会兑现狠话。新企业如果理性，就不会被吓住。逆向归纳把这种靠不可信威胁撑起来的均衡，排除掉了（这样挑出来的均衡，叫子博弈完美均衡，可以先记住这个名字）。
这正好解释了第 16 讲的一个结论：口头威胁不可信，有效的是提前做出的、收不回来的投入。比如，在位企业如果提前建好了巨大的产能，打价格战的事后收益就变了（开战从 2 变成更高，甚至超过接受），威胁才变得可信。
6.3 最后通牒：理论和现实的距离
代码的第二部分，是一个有名的博弈：最后通牒博弈。甲有 10 元，提议给乙 x 元；乙可以接受（按提议分），也可以拒绝（两人都得 0）。
理论预测什么：逆向归纳：乙面对任何大于 0 的数，接受比拒绝（得 0）更好；所以甲只需要给最小的一份（这里是 1 元），自己留 9 元。
证据怎么说：Güth、Schmittberger 和 Schwarze 1982 年（Journal of Economic Behavior and Organization，3 卷 4 期）做了最早的实验之一，发现人们的行为和这个预测差很远：据二手转述，最常见的提议是对半分，平均给对方约 37%，并且一部分低的提议被拒绝了。（他们的样本不大，二手转述的比例请以原文为准。）后来，Henrich 等人 2001 年（American Economic Review 论文集，91 卷 2 期）在 15 个小型社会里做了类似的实验：不同社会的出价和拒绝行为差别很大（据二手转述，有的社会典型出价只占 15% 到 25%，有的社会多数人出价一半或更多），但没有一个社会符合"纯粹自利"的预测。
分歧在哪：怎么解释？一种解释是：人们不只在乎自己拿多少，也在乎公平，愿意付出代价惩罚不公平（所以收益里应该包含这一项）。另一种解释是：实验里的人没有完全理解，或者习惯了日常生活里"反复打交道"的规则，把它带到了一次性的实验里。还有人指出，不同社会的差别，反映了各自的日常经济互动方式。这些解释各有证据，没有哪一个让所有人满意。
价值判断：该不该把"对不公平的反感"当作"非理性"？还是当作人们真实在乎的东西，应该写进收益里？这是价值判断。（第 39 讲讲行为经济学时会回到它。）留给你判断。
小结： 一先一后的博弈用博弈树，从最后一步倒着想（逆向归纳）。靠不可信的威胁撑起来的均衡，会被它排除。有效的威胁需要承诺：提前做出的、收不回来的投入。实验里，人们在最后通牒博弈中的行为，和纯自利的预测差得很远。
七、证据、局限与常见的误用
7.1 均衡靠谱吗
- 多重均衡：很多博弈有好几个均衡，均衡概念本身不告诉你会落在哪个。
- 对理性的要求很高：假设每个人都最大化自己的收益，并且知道别人也这样，并且知道别人知道……（“共同知识”）。现实里，人们的推理层级有限。
- 收益要写对：如果收益里漏掉了人们在乎的东西（公平、面子），预测就会出错，这不一定是博弈论错了，而可能是收益设错了。
- 实验的警示：Goeree 和 Holt 2001 年（American Economic Review，91 卷 5 期）做了一组实验，发现：在基准情形里，行为和纳什均衡（或它的精炼）吻合得不错；可是只要把一个与均衡预测无关的收益参数改一改，人们的行为就会大幅变化。这说明，均衡预测在某些情形下很准，在另一些情形下，人们对收益的"直觉"会盖过理论的预测。
- 均衡是怎么达到的：互相适应（5.2 节）、演化、长期互动。这类"学习"的视角，第 19 讲和实验 73、76 会继续用。
所以，更合适的态度是：把纳什均衡当作一个重要的参照点和一套有用的语言，而不是对人类行为的预言。
7.2 常见的误用
| 误用 | 正确的想法 |
|---|---|
| “纳什均衡就是最好的结果” | 它是稳定的结果，不一定好：囚徒困境的均衡比合作差 |
| “博弈论假设每个人都自私” | 收益可以包含公平、面子、他人的福祉；但要把它们写进收益里 |
| “每个博弈都有占优策略” | 多数博弈没有；占优策略是特殊情形 |
| “混合策略就是乱来” | 是精确的概率，由让对方无差别决定；目的是不被预测 |
| “说了狠话，对手就会让步” | 威胁必须可信：事后兑现要对自己有利，通常需要提前的、收不回来的投入 |
| “博弈论是研究零和的（你赢我输）” | 大多数有意思的博弈不是零和：合作、协调、信任，都在其中 |
| “实验里行为偏离均衡，博弈论就被推翻了” | 可能是收益设置不对、还没有学会，或情境不同；要具体分析 |
| “囚徒困境里，只要沟通就能解决” | 如果事后没有办法让承诺兑现，沟通可能也没用（廉价的话） |
八、小结
这一讲有六个想法，请带走：
- 博弈由参与者、策略、收益、行动顺序和信息组成。你的最佳选择，取决于你认为对方会怎么选。
- 占优策略与囚徒困境：人人都有占优策略（背叛），结果比人人合作更糟，根源是我的选择影响别人、我却不付代价。它出现在价格战、军备、公共品、公共卫生等场景里。
- 纳什均衡：每个人的策略都是对其他人策略的最佳反应，没有人想单独改变。它是稳定，不是"好"。多重均衡时，靠聚点、惯例、承诺、预期来挑。
- 混合策略：没有纯策略均衡时，随机是为了不被预测，概率由"让对方选哪个都一样"决定。均衡可以是互相适应的结果。
- 一先一后与可信威胁：从最后一步倒着想；靠不可信的威胁撑起来的均衡会被排除；有效的威胁需要承诺。
- 局限：多重均衡、对理性要求高、收益要写对；实验里行为常偏离纯自利的预测。均衡是参照点，不是预言。
这一讲里，所有的博弈都只玩一次。可是现实里，人们往往会反复打交道：同一个供应商每个月都要进货，同一家企业每天都要定价，同事每天都要合作。如果这场博弈会重复很多次，囚徒困境还会不会成为困境？ 这就是下一讲：第 19 讲：重复博弈：合作是怎么出现的。 你会看到，当"未来的惩罚"成为可能，合作可以靠自己的利益维持下去；你还会看到一个有名的循环赛，各种策略在里面互相竞争，结果出人意料。
思考题
1. 一对朋友决定周末活动：一个更想看电影，一个更想看展，但两个人都更想在一起。收益矩阵（甲选行，乙选列；格子里是甲，乙）：
| 乙看电影 | 乙看展 | |
|---|---|---|
| 甲看电影 | 2，1 | 0，0 |
| 甲看展 | 0，0 | 1，2 |
（a）找出所有纯策略纳什均衡。（b）有没有混合策略均衡？双方各以多大概率选自己更想去的？每人的期望收益是多少？
提示：（a）（电影，电影）（2，1）和（展，展）（1，2）是均衡；不一致的格子（0，0）没人想待。（b）设甲看电影的概率是 p，使乙对两个选择无差别：乙看电影得 1 × p，看展得 2 × (1 − p)，p = 2(1 − p)，p = 2/3；设乙看电影的概率 q，使甲无差别：2q = 1 × (1 − q)，q = 1/3。所以甲以 2/3 概率选电影（自己更想去的），乙以 1/3 概率选电影，即 2/3 概率选展（自己更想去的）。每人的期望收益是 2 × 1/3 = 2/3，比任何一个纯策略均衡里的收益（1 或 2）都低：随机选，有时候会错开。
2. 本讲 3.3 节的公共品博弈（4 人，每人 10 元，乘数 1.6）。如果别人三个人一共投了 30 元，我投 0 和投 10 分别得多少？乘数要多大，才会让"投 10"成为占优策略？
提示：我投 0：(10 − 0) + 1.6 × (0 + 30) ÷ 4 = 10 + 12 = 22；我投 10：0 + 1.6 × 40 ÷ 4 = 16。每投 1 元，我自己分回 乘数 ÷ 4；它要大于 1，乘数要大于 4（乘数大于 4 时，每多投 1 元，我自己分回的多于我付出的）。
3. 6.2 节的进入博弈。如果在位企业开战的收益变成（−3，6）（不是 2，因为它已经提前投资，打价格战对它自己没那么亏），其余不变。用逆向归纳，结果是什么？这说明了什么？
提示：在位企业进来之后：开战得 6，接受得 5，开战更好。新企业预见到，进来得 −3，不进来得 0，所以不进来，在位企业拿 10。威胁变得可信了：因为提前的投资，改变了事后的收益。（对应第 16 讲：提前定死产能，阻止进入。）
4. 5.2 节的点球，如果球员"踢左遇到守门员扑左"的进球率从 0.6 降到 0.4（其余不变）。均衡里，守门员扑左的概率和球员踢左的概率各是多少？球员的进球率呢？
提示：设守门员扑左的概率 g：踢左 0.4g + 0.9(1 − g)，踢右 1.0g + 0.7(1 − g)；令相等：0.9 − 0.5g = 0.7 + 0.3g，g = 1/4。设球员踢左的概率 k：守门员扑左时进球率 0.4k + 1.0(1 − k)，扑右时 0.9k + 0.7(1 − k)；令相等：1 − 0.6k = 0.7 + 0.2k，k = 3/8。进球率 = 0.4 × 1/4 + 0.9 × 3/4 = 0.775（比原来的 0.8 低）。注意一个有意思的现象：球员"踢左遇到扑左"变差了，球员踢左更少（3/8 < 1/2），而守门员扑左也更少（1/4 < 1/3）：均衡里，自己收益的变化，影响的是对方的随机概率。
5. 囚徒困境里，如果两个人签了一份有法律约束力的合同，规定"谁背叛，要赔给对方 3 元"（两人都背叛时互相赔，抵消）。收益矩阵怎么变？困境还存在吗？现实里，没有这样的合同时，还有哪些办法能让人们合作？
提示：新的收益：（合作，合作）仍是（3，3）；我合作、对方背叛：我 0 + 3 = 3，对方 5 − 3 = 2；我背叛、对方合作：我 5 − 3 = 2，对方 0 + 3 = 3；（背叛，背叛）：各 1 − 3 + 3 = 1。对方合作时，我合作得 3，背叛得 2；对方背叛时，我合作得 3，背叛得 1。不管对方怎么选，合作都更好：合作成了占优策略，困境消失。 现实里没有这样的合同时：反复互动和惩罚（第 19 讲）、声誉、规范和习俗、第三方监督（第 26 讲）。关键是：让背叛的代价，大于背叛的好处。
参考与延伸
- Schelling, T. C. (1960). The Strategy of Conflict. Harvard University Press.
- Nash, J. F. (1950). Equilibrium Points in N-Person Games. Proceedings of the National Academy of Sciences, 36(1), 48–49.
- Palacios-Huerta, I. (2003). Professionals Play Minimax. Review of Economic Studies, 70(2), 395–415.
- Chiappori, P.-A., Levitt, S., & Groseclose, T. (2002). Testing Mixed-Strategy Equilibria When Players Are Heterogeneous: The Case of Penalty Kicks in Soccer. American Economic Review, 92(4), 1138–1151.
- Güth, W., Schmittberger, R., & Schwarze, B. (1982). An Experimental Analysis of Ultimatum Bargaining. Journal of Economic Behavior and Organization, 3(4), 367–388.
- Henrich, J., Boyd, R., Bowles, S., Camerer, C., Fehr, E., Gintis, H., & McElreath, R. (2001). In Search of Homo Economicus: Behavioral Experiments in 15 Small-Scale Societies. American Economic Review (Papers and Proceedings), 91(2), 73–78.
- Goeree, J. K., & Holt, C. A. (2001). Ten Little Treasures of Game Theory and Ten Intuitive Contradictions. American Economic Review, 91(5), 1402–1422.