22 拍卖与机制设计

这一讲要回答六个问题：

1. 拍卖有哪几种？规则怎么影响你的出价？
2. 为什么在二价拍卖里，说真话是最好的选择？
3. 为什么在一价拍卖里，你要压低出价？压多少？
4. 为什么几种拍卖，卖家的期望收入一样（收益等价）？什么时候不一样？卖家为什么有时宁可不卖（保留价）？
5. 什么是赢者诅咒？怎么避免？
6. 机制设计：怎么设计规则，让人们说真话？它的限度在哪里？

前面几讲，我们一直在分析别人定好的规则：给定一个市场、一个合同、一场博弈，人们会怎么做。这一讲掉个头：规则由我来设计，我希望人们做什么，需要什么样的规则？这个问题有个名字，叫机制设计（mechanism design）。拍卖是它最成功的例子。

一、卖一幅画

你有一幅画要卖。你不知道每个买家愿意付多少，只知道他们愿付的价格，在一个范围内。

先停一下：你会怎么卖？

你可能想到几个办法：

• 定一个价。第 14 讲说过，垄断者定价，要知道需求曲线。你现在连需求都不知道：定高了没人买，定低了亏。
• 让买家报价。这是个好主意：买家自己最清楚愿付多少。可是，第 20、21 讲讲过，他们没有理由说真话。如果你说"出价最高的人，按他的出价付钱"，每个人都会想：我报低一点，赢了也能少付。

这就是拍卖要解决的问题：怎么设计出价的规则，让买家的报价既真实，又对卖家有利。 先认识四种最常见的拍卖。

1.1 四种基本拍卖

荷式拍卖的名字，来自荷兰的花卉市场，那里用降价钟拍卖鲜花。

1.2 两种估值

• 私人价值：这件东西，对每个人的价值，由自己的偏好决定，互不相干。一幅画，你喜欢多少，是你自己的事。
• 共同价值：这件东西，对所有人价值是一样的，只是大家都不知道它到底值多少，各自有一点自己的估计。一块油田，地下的石油量是一定的，每个人只是做了不同的勘探。

两种情形下，拍卖的结论很不同。前四节讲私人价值，第五节讲共同价值。

二、二价拍卖：说真话

2.1 规则

二价密封拍卖（Vickrey 拍卖，William Vickrey 1961 年在 Journal of Finance，16 卷 1 期提出）：每个人交一份密封的出价，最高的人赢，但只付第二高的出价。

初看，这个规则好像对卖家不公平：赢的人少付了。可是，你看这条规则对你意味着什么：

你对这件东西的估值是 V。你的出价，只决定你赢不赢，不决定你付多少（付多少，取决于别人的最高出价）。

所以，你的出价应该是什么？

• 如果你出价高于 V：当别人的最高出价，在 V 和你的出价之间时，你赢了，但付的价格比你的估值还高，亏。出价高，没有任何好处，因为别人的最高出价低于 V 时，你说真话也赢，付的钱一样。
• 如果你出价低于 V：当别人的最高出价，在你的出价和 V 之间时，你输了，可是你本来可以赢，并且赚钱（V 减去别人的出价）。
• 出价等于 V：你赢，当且仅当赢了有赚。

所以，不管别人怎么出价，说真话（出价 = V）都不比别的出价差。这叫占优策略（第 18 讲）。

# 二价密封拍卖：最高出价者赢，付的是"第二高的出价"。你对这件东西的估值是 V = 60。
# other_max 是别人中的最高出价（你不知道）。你出价 bid：
V = 60
def payoff(bid, other_max):
    if bid > other_max: return V - other_max               # 你赢了，付别人的最高出价
    if bid == other_max: return (V - other_max) / 2        # 平局：抛硬币
    return 0                                               # 你输了

print("对每个'别人的最高出价'（0 到 100 的整数），比较「说真话（出价 60）」和「别的出价」：")
for alt in (40, 55, 59, 61, 65, 80):
    better = sum(payoff(V, p) > payoff(alt, p) for p in range(101))     # 说真话更好的情形有几种
    worse  = sum(payoff(V, p) < payoff(alt, p) for p in range(101))     # 说真话更差的情形有几种
    same   = 101 - better - worse
    print(f"  出价 {alt}：说真话更好 {better} 种，更差 {worse} 种，一样 {same} 种")

print(f"\n例子：别人最高出价 65：出价 70 赢了，付 65，亏 {-payoff(70, 65):.0f}；说真话输了，得 {payoff(V, 65)}")
print(f"例子：别人最高出价 55：出价 50 输了，得 {payoff(50, 55)}；说真话赢了，付 55，赚 {payoff(V, 55)}")
worst = max(payoff(b, p) - payoff(V, p) for b in range(101) for p in range(101))
print(f"\n所有出价、所有情形里，'别的出价'比'说真话'最多多得 {worst}（0 表示：说真话从来不会更差）")

输出：

对每个'别人的最高出价'（0 到 100 的整数），比较「说真话（出价 60）」和「别的出价」：
  出价 40：说真话更好 20 种，更差 0 种，一样 81 种
  出价 55：说真话更好 5 种，更差 0 种，一样 96 种
  出价 59：说真话更好 1 种，更差 0 种，一样 100 种
  出价 61：说真话更好 1 种，更差 0 种，一样 100 种
  出价 65：说真话更好 5 种，更差 0 种，一样 96 种
  出价 80：说真话更好 20 种，更差 0 种，一样 81 种

例子：别人最高出价 65：出价 70 赢了，付 65，亏 5；说真话输了，得 0
例子：别人最高出价 55：出价 50 输了，得 0；说真话赢了，付 55，赚 5

所有出价、所有情形里，'别的出价'比'说真话'最多多得 0.0（0 表示：说真话从来不会更差）

• 说真话从来不会更差：和任何别的出价比，都有一些情形下说真话更好，没有任何一种情形更差。
• 例子：别人的最高出价是 65，你把出价抬到 70，赢了，付 65，亏 5；说真话，输了，得 0。别人的最高出价是 55，你把出价压到 50，输了，得 0；说真话，赢了，付 55，赚 5。

2.2 英式拍卖：同样的道理

英式拍卖里，价格往上涨，你什么时候退出？当价格涨到你的估值 V 时：再往上，你赢了也亏；没到 V 就退出，你放弃了本来能赚的机会。最后，估值最高的人赢，付的是第二高的人退出时的价格，也就是第二高的估值。这和二价拍卖的结果一样。

2.3 实验里，人们真的说真话吗

理论预测：二价拍卖里，每个人的出价就是自己的估值。

证据怎么说：Kagel、Harstad 和 Levin 1987 年（Econometrica，55 卷 6 期）的实验室实验发现，二价密封拍卖里，人们持续出价高于估值（过度出价），而英式拍卖（价格时钟）里，价格更接近占优策略的预测。后来 Harstad 2000 年（Experimental Economics）等研究还发现，即使有经验的人，在二价密封拍卖里，也有明显的、持续的过度出价；有过英式拍卖的经验，会让他们在后来的二价拍卖里，更接近占优策略。（这里据后来文献的转述，请以原文为准。）

怎么理解：占优策略对理论家是显然的，对第一次参加的人却不显然。在英式拍卖里，你只需要在价格到你的估值时退出，规则一步一步让你"看见"这个策略；在密封拍卖里，你要自己想通。一个机制"理论上让人说真话"，和"实际上人们会说真话"，不是一回事。

小结： 二价拍卖：最高出价者赢，付第二高的出价。你的出价只决定赢不赢，不决定付多少，所以说真话是占优策略。英式拍卖的结果与它相同。实验里，二价密封拍卖里人们常常过度出价，升价拍卖更容易让人看到占优策略。

三、一价拍卖：压低出价

3.1 要压多少

一价拍卖里，规则变了：赢的人，付自己的出价。这时，说真话就不行了：如果你出价 = 估值，赢了也没有好处（付的钱等于你的估值）。你必须压低出价，让赢的时候有赚头；但压得越低，赢的概率越小。权衡：赢的好处（估值减出价），和赢的概率。

假设有 n 个竞拍者，估值各自独立，在 0 到 1 之间均匀分布。如果别人都按 (n − 1)/n × 估值 出价，你的估值是 v，出价 b：

期望好处 = （v − b）× 赢的概率

你的最佳出价，就是让别人的出价，也是它的最佳反应：这是第 18 讲的纳什均衡。可以证明，均衡的出价是：

b = (n − 1)/n × v

import random

# 一价密封拍卖：n 个人的估值各自独立、在 0 到 1 之间均匀分布；最高出价者赢，付的是自己的出价。
# 如果别人都按 b(v) = (n-1)/n × v 出价，你估值为 v，出价 b 的期望好处是 (v - b) × 赢的概率：
def expected_gain(v, b, n):
    p_win = min(1.0, b * n / (n - 1)) ** (n - 1)           # 别人每个人的出价都低于 b：他们的估值都低于 b×n/(n-1)
    return (v - b) * p_win

print("你的估值 0.8，别人按 (n-1)/n × 估值 出价，你出价多少最好？（每 0.001 一格找最大）")
for n in (2, 3, 5, 10):
    best = max((i / 1000 for i in range(0, 1001)), key=lambda b: expected_gain(0.8, b, n))
    print(f"  n={n}：最好的出价 {best:.3f}（公式 (n-1)/n × 0.8 = {(n - 1) / n * 0.8:.3f}），好处 {expected_gain(0.8, best, n):.4f}；说真话（出价 0.8）的好处是 {expected_gain(0.8, 0.8, n):.4f}")

# 四种拍卖的卖家收入，随机模拟：一价（按均衡出价）、二价（说真话）。英式拍卖（价格上升到只剩一人）和二价一样，荷式（价格下降）和一价一样。
random.seed(22)
N = 200000
print(f"\n模拟 {N} 场拍卖，卖家的平均收入：")
for n in (2, 5):
    first = second = 0.0
    for _ in range(N):
        vs = sorted(random.random() for _ in range(n))
        first += (n - 1) / n * vs[-1]                       # 一价：赢的人（估值最高）付自己的出价
        second += vs[-2]                                    # 二价：付第二高的出价（也就是第二高的估值）
    print(f"  n={n}：一价 {first / N:.4f}，二价 {second / N:.4f}；理论值 (n-1)/(n+1) = {(n - 1) / (n + 1):.4f}")
print("\n出价和估值的比例：一价拍卖里，n 越大，出价越接近真实估值（压价越少）：")
for n in (2, 3, 5, 10, 50):
    print(f"  n={n}：出价 = 估值 × {(n - 1) / n:.3f}")

输出：

你的估值 0.8，别人按 (n-1)/n × 估值 出价，你出价多少最好？（每 0.001 一格找最大）
  n=2：最好的出价 0.400（公式 (n-1)/n × 0.8 = 0.400），好处 0.3200；说真话（出价 0.8）的好处是 0.0000
  n=3：最好的出价 0.533（公式 (n-1)/n × 0.8 = 0.533），好处 0.1707；说真话（出价 0.8）的好处是 0.0000
  n=5：最好的出价 0.640（公式 (n-1)/n × 0.8 = 0.640），好处 0.0655；说真话（出价 0.8）的好处是 0.0000
  n=10：最好的出价 0.720（公式 (n-1)/n × 0.8 = 0.720），好处 0.0107；说真话（出价 0.8）的好处是 0.0000

模拟 200000 场拍卖，卖家的平均收入：
  n=2：一价 0.3335，二价 0.3337；理论值 (n-1)/(n+1) = 0.3333
  n=5：一价 0.6667，二价 0.6663；理论值 (n-1)/(n+1) = 0.6667

出价和估值的比例：一价拍卖里，n 越大，出价越接近真实估值（压价越少）：
  n=2：出价 = 估值 × 0.500
  n=3：出价 = 估值 × 0.667
  n=5：出价 = 估值 × 0.800
  n=10：出价 = 估值 × 0.900
  n=50：出价 = 估值 × 0.980

• 压多少，取决于人数：估值 0.8，只有 2 个人时，最好出价 0.40，压了一半；10 个人时，最好出价 0.72，只压了 10%。竞争的人越多，你压得越少，因为一压价，就可能输给别人。
• 说真话在一价拍卖里是错的：出价 = 估值，好处是 0。
• 荷式拍卖和一价密封拍卖，是同一回事：荷式拍卖里，你要决定"价格降到哪里时叫停"，那个价格就是你付的钱，所以它和一价密封拍卖的出价规则一样。

3.2 证据：荷式拍卖和一价拍卖，真的一样吗

理论预测：荷式和一价密封拍卖，卖家的期望收入相同。

证据怎么说：David Lucking-Reiley 1999 年（American Economic Review，89 卷 5 期）在互联网上卖游戏卡牌，用现场实验检验这一点：同一种卡牌，分别用不同的拍卖形式卖。结果是：荷式拍卖的收入，比一价密封拍卖高约 30%，和理论预测相反；而英式和二价密封拍卖的收入，大致相当。（实验室里的早期研究，方向是相反的。）

局限：这是一个特定的商品（游戏卡牌）、特定的平台，卖家是研究者自己，买家是网上的参与者，没有对"为什么"给出一个公认的答案。

小结： 一价拍卖里，你的出价要低于估值：压价让赢的时候有赚头，代价是赢的概率变小。均衡的出价是 (n − 1)/n 倍估值，人越多，压得越少。荷式拍卖和一价拍卖在规则上等价，但现场实验里收入并不一样。

四、收益等价，以及它的例外

4.1 收益等价定理

现在比较：卖家，选哪种拍卖，期望收入最高？

答案有点出人意料：在一组标准的假设下，四种拍卖的期望收入一样。 这就是收益等价定理（revenue equivalence theorem）。Vickrey 1961 年已经发现了这四种拍卖的等价关系；Myerson 1981 年（Mathematics of Operations Research，6 卷 1 期）和 Riley、Samuelson 1981 年（American Economic Review，71 卷 3 期）把它推广成一般的定理。

假设：（1）竞拍者估值互相独立，是私人价值；（2）竞拍者不怕风险；（3）大家的估值来自同一个分布；（4）估值最高的人赢；（5）估值最低的人，期望好处是 0。

为什么等价？直觉：不管哪种拍卖，估值最高的人赢；一价拍卖里，他压价（出价低于估值），但付的是自己的出价；二价拍卖里，他出价是估值，但付的是别人的最高出价。平均下来，这两个数一样大。

我们模拟一下。n 个人，估值在 0 到 1 之间均匀分布，期望收入的理论值是 (n − 1)/(n + 1)（也就是第二高估值的期望）。上一节那段代码的第二部分，模拟了 20 万场：

• n = 2：一价 0.3335，二价 0.3337，理论值 0.3333；
• n = 5：一价 0.6667，二价 0.6663，理论值 0.6667。

四种拍卖，规则不同，出价的方式完全不同，卖家的期望收入相同。

4.2 假设一变，等价就破了

收益等价是个条件结论，不是自然规律。几个有名的例外：

• 竞拍者怕风险：一价拍卖里，怕风险的人会少压价（怕输掉），出价更高，卖家收入变高；二价拍卖里，说真话和风险态度无关。下面的代码算了：效用 = (好处)^0.5 的竞拍者，n = 2 时，一价收入比二价高约 33%，n = 5 时高约 11%。实验里，一价拍卖的出价，常常高于不怕风险的理论预测，有研究用怕风险来解释（Cox、Smith 和 Walker 1988 年，Journal of Risk and Uncertainty，1 卷 1 期）。不过这个解释有争议：别的研究认为，实验里偏离理论的代价很小，也有别的解释。
• 估值互相关联：如果一个人对物品的高估值，往往意味着别人的估值也高（比如大家都在乎同一个市场行情），Milgrom 和 Weber 1982 年（Econometrica，50 卷 5 期）证明，英式拍卖的期望收入，高于二价密封拍卖，二价又高于一价（在他们的模型里）。直觉：英式拍卖里，你能看到别人退出，从中学到更多信息，竞价更积极。
• 竞拍者不对称、数量是随机的，等等，也会让等价失效。

4.3 保留价：宁可不卖

卖家还有一个工具：保留价（reserve price）：低于这个价，我不卖。

直觉上，设保留价是在冒险：可能卖不出去。可是，它能提高期望收入。代码的第二部分算了：二价拍卖，估值 0 到 1 均匀分布，卖家自己对这件东西的估值是 0。

import random

# 一、怕风险的竞拍者：效用 = (好处)^rho，rho=0.5。如果别人按 (n-1)/(n-1+rho) × 估值 出价，你的最好出价是？
def expected_utility(v, b, n, rho):
    p_win = min(1.0, b * (n - 1 + rho) / (n - 1)) ** (n - 1)
    return max(v - b, 0) ** rho * p_win

rho = 0.5
print(f"怕风险的竞拍者（rho={rho}），估值 0.8：最好的出价 vs 不怕风险（rho=1）")
for n in (2, 5):
    best = max((i / 1000 for i in range(0, 1001)), key=lambda b: expected_utility(0.8, b, n, rho))
    print(f"  n={n}：怕风险 {best:.3f}（公式 (n-1)/(n-1+rho) × 0.8 = {(n - 1) / (n - 1 + rho) * 0.8:.3f}），不怕风险 {(n - 1) / n * 0.8:.3f}")

random.seed(22)
N = 200000
print(f"\n模拟 {N} 场拍卖的卖家收入（一价：怕风险者；二价：说真话，和怕不怕风险无关）：")
for n in (2, 5):
    first = second = 0.0
    for _ in range(N):
        vs = sorted(random.random() for _ in range(n))
        first += (n - 1) / (n - 1 + rho) * vs[-1]
        second += vs[-2]
    print(f"  n={n}：一价 {first / N:.4f}，二价 {second / N:.4f}（一价高 {first / second - 1:.0%}）")

# 二、保留价：卖家规定"低于 r 就不卖"。二价拍卖，估值在 0 到 1 之间均匀分布，卖家自己对这件东西的估值是 0。
def revenue(n, r, N=200000):
    total, unsold = 0.0, 0
    for _ in range(N):
        vs = sorted(random.random() for _ in range(n))
        top, second = vs[-1], vs[-2]
        if top < r: unsold += 1; continue                  # 没人出到保留价：流拍
        total += max(second, r)                            # 第二高的出价不到 r 时，付 r
    return total / N, unsold / N

print("\n二价拍卖加保留价 r：")
for n in (2, 5):
    row = []
    for r in (0.0, 0.2, 0.4, 0.5, 0.6, 0.8):
        rev, unsold = revenue(n, r)
        row.append(f"r={r}：收入 {rev:.4f}，流拍 {unsold:.1%}")
    print(f"  n={n}：" + "；".join(row))
print("n=2、r=0.5 的理论收入 5/12 =", round(5 / 12, 4), "；最优保留价 0.5 和人数无关（卖家自己估值为 0 时）")

输出：

怕风险的竞拍者（rho=0.5），估值 0.8：最好的出价 vs 不怕风险（rho=1）
  n=2：怕风险 0.533（公式 (n-1)/(n-1+rho) × 0.8 = 0.533），不怕风险 0.400
  n=5：怕风险 0.711（公式 (n-1)/(n-1+rho) × 0.8 = 0.711），不怕风险 0.640

模拟 200000 场拍卖的卖家收入（一价：怕风险者；二价：说真话，和怕不怕风险无关）：
  n=2：一价 0.4446，二价 0.3337（一价高 33%）
  n=5：一价 0.7408，二价 0.6663（一价高 11%）

二价拍卖加保留价 r：
  n=2：r=0.0：收入 0.3339，流拍 0.0%；r=0.2：收入 0.3626，流拍 4.0%；r=0.4：收入 0.4081，流拍 16.0%；r=0.5：收入 0.4167，流拍 25.1%；r=0.6：收入 0.4055，流拍 36.0%；r=0.8：收入 0.2894，流拍 64.1%
  n=5：r=0.0：收入 0.6661，流拍 0.0%；r=0.2：收入 0.6669，流拍 0.0%；r=0.4：收入 0.6695，流拍 1.0%；r=0.5：收入 0.6712，流拍 3.2%；r=0.6：收入 0.6673，流拍 7.7%；r=0.8：收入 0.5566，流拍 32.9%
n=2、r=0.5 的理论收入 5/12 = 0.4167 ；最优保留价 0.5 和人数无关（卖家自己估值为 0 时）

• 2 个竞拍者：不设保留价，收入 0.333；保留价 0.5，收入升到 0.417，高 25%；代价是 25% 的拍卖流拍（两个人的估值都低于 0.5），本来有人愿意付钱买的东西，没卖出去。
• 5 个竞拍者：保留价 0.5 只让收入从 0.667 升到 0.671，只高 0.8%。竞争越激烈，保留价越没有用。
• 最优保留价和人数无关：卖家自己的估值是 0 时，最优保留价是 0.5。Myerson 1981 年、Riley 和 Samuelson 1981 年证明了这一点：最优的保留价，总是高于卖家自己对这件东西的估值，并且不依赖竞拍者的人数。
• 和第 14 讲的垄断定价是同一个道理：提高保留价，每次卖出能多收一点，但卖不出去的概率变大；最优点，是边际收益等于边际成本的地方。设了它，会损失一部分有利的交易（效率损失，第 14 讲的无谓损失），换来更高的期望收入。卖家最大化收入，和社会总好处最大，不是一回事。

小结： 收益等价定理：在独立私人价值、不怕风险、估值同分布等假设下，英式、荷式、一价、二价拍卖的期望收入相同。假设一变（怕风险、估值关联等），收入就会不同。卖家设保留价，可以提高期望收入，代价是一部分有利的交易没发生；竞争越激烈，保留价越没用。

五、赢者诅咒

5.1 当价值是共同的

现在放弃私人价值，看共同价值的拍卖。一块油田，地下的石油，对每家公司价值一样，但没人知道是多少。每家公司做一次勘探，得到一个估计，估计有误差：有时高，有时低。

先停一下：如果你按自己的估计出价，赢了，你应该高兴吗？

想一想：谁会赢？估计最乐观的那一家。 估计有高有低，最高的那个，往往是误差最偏高的，也就是高估了价值的那个。所以，赢了，本身就是一个坏消息：它告诉你，你的估计，在所有人里最高，很可能偏高了。这就是赢者诅咒（winner’s curse）。

它和第 20 讲的逆向选择，是同一个结构：卖家愿意卖这辆车，本身是对车况的坏消息；你赢了拍卖，本身是对你的估计的坏消息。

import random

# 共同价值拍卖：一块油田的真实价值 V = 100（对每个人都一样，但没人知道）。每个竞拍者做一次勘探，得到估计 s = V + 误差，误差在 -20 到 20 之间均匀分布。
# 一价拍卖：出价最高的赢，付自己的出价。看看"按自己的估计出价"会怎么样。
random.seed(22)
V, NOISE, N = 100.0, 20.0, 200000

def run(n, shade):
    """每个人都出价 s - shade。返回：赢家的平均好处（V - 付的钱），卖家的平均收入"""
    gain = rev = 0.0
    for _ in range(N):
        top = max(V + random.uniform(-NOISE, NOISE) for _ in range(n)) - shade
        gain += V - top; rev += top
    return gain / N, rev / N

print("每个人都按自己的估计出价（shade=0）。赢家的平均好处 = 真实价值 - 付的钱：")
for n in (2, 3, 5, 10):
    g, r = run(n, 0)
    print(f"  {n} 个竞拍者：赢家平均 {g:+.2f}（理论 -{NOISE * (n - 1) / (n + 1):.2f}），卖家收入 {r:.2f}，真实价值 {V:.0f}")

print("\n每个人都在估计上压价 shade，赢家的平均好处（正数才不亏）：")
for n in (2, 5, 10):
    cells = []
    for shade in (0, 5, 10, 15, 20):
        g, r = run(n, shade)
        cells.append(f"压 {shade}：{g:+.2f}")
    print(f"  {n} 个竞拍者：" + "；".join(cells) + f"（刚好不亏要压 {NOISE * (n - 1) / (n + 1):.2f}）")

输出：

每个人都按自己的估计出价（shade=0）。赢家的平均好处 = 真实价值 - 付的钱：
  2 个竞拍者：赢家平均 -6.68（理论 -6.67），卖家收入 106.68，真实价值 100
  3 个竞拍者：赢家平均 -10.00（理论 -10.00），卖家收入 110.00，真实价值 100
  5 个竞拍者：赢家平均 -13.35（理论 -13.33），卖家收入 113.35，真实价值 100
  10 个竞拍者：赢家平均 -16.36（理论 -16.36），卖家收入 116.36，真实价值 100

每个人都在估计上压价 shade，赢家的平均好处（正数才不亏）：
  2 个竞拍者：压 0：-6.65；压 5：-1.66；压 10：+3.35；压 15：+8.35；压 20：+13.30（刚好不亏要压 6.67）
  5 个竞拍者：压 0：-13.30；压 5：-8.32；压 10：-3.36；压 15：+1.66；压 20：+6.67（刚好不亏要压 13.33）
  10 个竞拍者：压 0：-16.36；压 5：-11.38；压 10：-6.37；压 15：-1.36；压 20：+3.63（刚好不亏要压 16.36）

• 按自己的估计出价，赢家平均亏钱：只有 2 个竞拍者，平均亏 6.7；5 个人，亏 13.3；10 个人，亏 16.4。公式是 20 × (n − 1)/(n + 1)：就是 n 个误差里，最大的那个的平均偏高幅度。
• 人越多，诅咒越重：因为人越多，“估计最高的"越可能是偏高得最离谱的。
• 解药是压价：每个人在自己的估计上压价。想不亏，要压至少 20(n − 1)/(n + 1)（2 个人 6.67，10 个人 16.36）。要在"如果我赢了，说明什么"的前提下出价，而不是"我估计它值多少”。（这个模拟是简化的：现实里的均衡出价，更复杂，要考虑别人也在压价。）

5.2 证据：真的会这样吗

理论预测：理性的竞拍者，会预见到赢者诅咒，出价时压价，不会亏钱。

证据怎么说：

• 石油租约：Capen、Clapp 和 Campbell 1971 年（Journal of Petroleum Technology，23 卷 6 期）是美国大西洋里奇菲尔德公司（ARCO）的三位工程师，他们观察到，公司在海上石油租约的拍卖里，中标的价格，往往高得没法获得合理的利润，并提出了赢者诅咒的解释。
• 实验室：Kagel 和 Levin 1986 年（American Economic Review，76 卷 5 期）的实验发现，在人数较少（3 到 4 个）的拍卖里，行为接近均衡预测，有经验的人能赚到正的利润；在人数较多（6 到 7 个）的拍卖里，竞拍者的出价过于激进，赢家平均亏钱，赢者诅咒明显。

局限：石油租约的数据，只能说明"中标价偏高"，不能直接证明所有的竞拍者都在亏（有的公司可能掌握了别人没有的信息）；实验室里的被试是学生，规则也被简化。不同研究对职业人士在多大程度上被诅咒，结论不完全一致，这里不展开。

小结： 赢者诅咒：共同价值的拍卖里，赢家往往是估计最乐观的人，所以赢了本身是坏消息。按自己的估计出价，赢家平均亏钱，人越多越严重。解药是压价：出价时先问"如果我赢了，说明什么"。实验里，竞拍者人多时，常常出价过激、陷入诅咒。

六、机制设计：设计规则，让人们说真话

6.1 反过来想

到这里，我们看到的是一个共同的模式：

• 规则 → 人们对规则做出反应（出价）→ 结果（谁赢、付多少、卖家收入多少）。

机制设计反过来：我想要某个结果（比如，估值最高的人赢；或者卖家的收入最高），我该设计什么样的规则？

一个重要的简化叫显示原理（revelation principle）：想知道一个规则能实现什么样的结果，不失一般性，只需要看这样一类规则：让每个人说真话，是最优选择。直觉：如果某个规则里，人们会撒谎，那么我可以把"撒谎"这一步，写进规则里，自动替他们做了，得到一个"说真话"的规则，结果一样。Myerson 1981 年的论文，也包含了这个原理的一个正式表述。

设计规则时，必须满足两个约束（第 21 讲讲过）：

• 参与约束：每个人愿意参加（参加的好处 ≥ 不参加）；
• 激励相容：每个人说真话，比撒谎更好。

在这两个约束下，设计者再去最大化自己的目标：总好处（效率），或者卖家的收入。

6.2 另一个例子：公共设施，该不该建

三户人家想合建一个公共设施，总成本 90，每户分摊 30。三家对设施的真实价值：A 50、B 40、C 5，扣掉分摊的 30，净价值分别是 +20、+10、−25。总价值之和 5 > 0，应该建。

问题：怎么让三家说出真实价值？如果只是"报上来的净价值之和 ≥ 0 就建"，C 觉得不值（−25），他会撒谎：谎报 −100，把项目否决，得 0，比说真话得 −25 更好。

克拉克税（Clarke 1971 年，Public Choice，11 卷；Groves 1973 年，Econometrica，41 卷 4 期）：一个人，只有在他一个人改变了结果时，才付税，付的是他给别人造成的净损失。

from itertools import product

# 公共品：三户人家想合建一个公共设施，总成本 90，每户分摊 30。三家的真实价值：A 50、B 40、C 5，
# 扣掉分摊的 30，净价值：A +20、B +10、C -25。规则：报上来的净价值之和 >= 0 就建。
TRUE = {"A": 20, "B": 10, "C": -25}
NAMES = list(TRUE)

def build(reports): return sum(reports.values()) >= 0

def clarke_tax(i, reports):
    """克拉克税：只有"你一个人改变了结果"时才付，付的是你给别人造成的损失"""
    others = sum(v for k, v in reports.items() if k != i)
    with_i, without_i = build(reports), others >= 0
    if with_i == without_i: return 0                        # 没有你，结果也一样：不是关键的人，不付税
    return abs(others)                                      # 关键的人：付"别人的净损失"

def payoff(i, reports):
    return (TRUE[i] if build(reports) else 0) - clarke_tax(i, reports)

print("三家都说真话：", "建" if build(TRUE) else "不建")
for i in NAMES:
    print(f"  {i}：净价值 {TRUE[i]:+d}，克拉克税 {clarke_tax(i, TRUE)}，最后好处 {payoff(i, TRUE):+d}")
print(f"  收上来的税共 {sum(clarke_tax(i, TRUE) for i in NAMES)}（这笔钱要'烧掉'：按报告分回给三家，会重新带来撒谎的好处）")

# 暴力核对：不管别人报什么（-60 到 60，每 5 一格），说真话是不是都不比别的报法差？
grid = range(-60, 61, 5)
worst = {i: 0 for i in NAMES}
for i in NAMES:
    others = [k for k in NAMES if k != i]
    for ro in product(grid, repeat=2):
        base = dict(zip(others, ro))
        truth = payoff(i, {**base, i: TRUE[i]})
        for lie in grid:
            worst[i] = max(worst[i], payoff(i, {**base, i: lie}) - truth)
print("\n对每一家：任何谎话比说真话最多多得多少（0 表示说真话从不更差）：", worst)

# 对比：没有克拉克税，只是"报上来的净价值之和 >= 0 就建"。C 嫌不值，是不是会撒谎？
def payoff_naive(i, reports): return TRUE[i] if build(reports) else 0
truth_c = payoff_naive("C", {"A": 20, "B": 10, "C": -25})
lie_c = payoff_naive("C", {"A": 20, "B": 10, "C": -100})
print(f"\n没有克拉克税时：C 说真话得 {truth_c:+d}，谎报 -100（把项目否决）得 {lie_c:+d}：C 会撒谎")

输出：

三家都说真话： 建
  A：净价值 +20，克拉克税 15，最后好处 +5
  B：净价值 +10，克拉克税 5，最后好处 +5
  C：净价值 -25，克拉克税 0，最后好处 -25
  收上来的税共 20（这笔钱要'烧掉'：按报告分回给三家，会重新带来撒谎的好处）

对每一家：任何谎话比说真话最多多得多少（0 表示说真话从不更差）： {'A': 0, 'B': 0, 'C': 0}

没有克拉克税时：C 说真话得 -25，谎报 -100（把项目否决）得 +0：C 会撒谎

• 说真话是占优策略：不管别人怎么报，说真话都不比撒谎差（代码把所有报法都试了一遍）。这和二价拍卖是同一个想法：你只为你给别人造成的损失付钱，不为你自己的报价付钱。 二价拍卖，是克拉克税的一个特例：赢家付的是他给第二高出价者造成的损失。
• 代价一：钱要"烧掉"：A 付 15，B 付 5，一共收了 20，这笔钱不能分回给三家。如果把它按报告分回去，就会重新带来撒谎的好处。一般来说，这类机制做不到"既让人说真话，又让收入和支出相抵"。
• 代价二：参与约束不一定满足：C 的最终好处是 −25，比"不建"更差。设施一建，C 不能不参加，所以他被迫付出代价。想让每个人都愿意参加，还要加别的补偿，而这又需要钱。

6.3 限度：Myerson–Satterthwaite 定理

机制设计的结果并不都是乐观的。最有名的一个坏消息，是 Roger Myerson 和 Mark Satterthwaite 1983 年（Journal of Economic Theory，29 卷 2 期）的双边交易不可能定理：

一个卖家、一个买家，各自知道自己的估值，别人不知道，估值的范围有重叠。没有任何一个机制，能同时做到：说真话、双方自愿参加、每一笔有利的交易都发生，并且不需要外部补贴。

直觉：让有私人信息的人说真话，要给他信息租金（第 21 讲）。买家和卖家都要租金，可是有利交易的总好处，不够付两份租金。结果是，总有一些有利的交易，因为信息不对称，没有发生。 这和第 7 讲、第 20 讲的主题一致：信息不完全，市场就可能做不到完全的效率。它也和下一个 Unit 里要讲的科斯定理（第 24 讲）形成鲜明对照：科斯说，产权清楚、没有交易成本时，双方会谈成对大家最好的交易；Myerson–Satterthwaite 说，只要信息是私人的，这一点就不一定成立。

2007 年的诺贝尔经济学奖，授予 Leonid Hurwicz、Eric Maskin 和 Roger Myerson，“因为奠定了机制设计理论的基础”。

小结： 机制设计：先想要什么结果，再反推规则。显示原理：只需要看"说真话是最优"的规则。设计时要满足参与约束和激励相容。克拉克税让人说真话，代价是要"烧掉"一部分钱，也不能保证每个人都愿意参加。双边交易里，不可能同时做到说真话、自愿参加、效率和不靠补贴。

七、现实里的拍卖

7.1 几个例子

• 搜索广告：搜索引擎把广告位按"广义二价"（generalized second-price）拍卖：出价最高的广告排第一位，付的是下一位的出价。Edelman、Ostrovsky 和 Schwarz 2007 年（American Economic Review，97 卷 1 期）指出：这个规则不是让人说真话的（和 Vickrey 拍卖不一样），所以真实的出价，不等于真实的价值；不过他们发现，它有一个均衡，各方得到的好处，和让人说真话的机制（VCG）里一样。
• 土地出让：按我国《招标拍卖挂牌出让国有建设用地使用权规定》（2007 年），商业、旅游、娱乐和商品住宅等经营性用地，必须采取招标、拍卖、挂牌的方式出让。（据法律网站和地方文件的转载核对，非官方原文。）
• 招标采购：政府采购和工程招标，本质上是反向拍卖：谁报的价格低，谁中标。如果只看价格，容易出现类似赢者诅咒的问题：中标的往往是对成本估计最乐观的，也就是低估了成本的。（这是我的推论，不是文献的结论。）
• 无线电频谱：政府把一段频谱的使用权，拍卖给电信公司。下面细讲。

7.2 频谱拍卖：该拍多少钱

2020 年的诺贝尔经济学奖，授予 Paul Milgrom 和 Robert Wilson，“因为改进了拍卖理论，发明了新的拍卖形式”。他们的理论，被用来设计无线电频谱的拍卖，美国政府在 1994 年就开始卖频谱。

这里有一个有争议的话题：政府应不应该把拍卖当成赚钱的手段？ 按"理论预测 → 证据与局限 → 分歧在哪 → 价值判断留给读者"来写。

理论预测什么：拍卖把频谱，分配给估值最高的公司（有效率），并给财政带来收入。拍卖的设计，决定能不能达到这两个目的。

证据怎么说：Paul Klemperer 2002 年（European Economic Review，46 卷 4–5 期）分析了 2000 年前后欧洲各国的 3G 牌照拍卖。他报告，各国卖的牌照，价值相近，可是收入相差很大：从瑞士约每人 20 欧元，到英国约每人 650 欧元。英国的收入是其中最高的。他认为，差别主要来自拍卖的设计：设计得不好的国家，拍卖方便了企业合谋、没能吸引新的进入者，收入就低。

局限：这是几个国家的比较，国家之间，市场情况也有差别；拍卖收入高，不等于社会福利大（后面的分歧）。

分歧在哪：

• 事实上：企业付出的高额拍卖费，会不会通过更高的价格转嫁给消费者、或者削弱后来的网络投资？一种看法认为，牌照费是一次性的沉没成本，不影响以后的定价；另一种看法担心它会占用投资的资金。这个问题，我没有查到公认的实证结论，这里不下判断。
• 价值上：下面的问题，数据回答不了。

价值判断（留给你）：

1. 无线电频谱这样的公共资源，目标应该是多赚钱（财政收入），还是广覆盖、低价格（普惠）？
2. 如果两者冲突，该怎么排序？拍卖之外，还有别的分配方式（按方案评审），各有各的问题（评审的公正、被游说的可能）。
3. 拍卖会让资金雄厚的公司更容易赢，这样的结果，你觉得公平吗？

经济学可以告诉你，每一种设计，会带来多高的收入、多大的效率、多大的合谋风险。该把"收入"和"普惠"各放在多重要的位置，是你的价值判断。

八、局限、常见误用

8.1 局限

• 理论依赖假设：独立私人价值、不怕风险、同分布。现实里，假设常常不成立（第四节）。
• 人不一定按理论的方式出价：二价密封拍卖里过度出价、共同价值拍卖里陷入赢者诅咒。机制要考虑人实际怎么想，不只是理论上怎么想。
• 机制需要被遵守：规则能被执行，大家相信别人不能作弊；合谋和串标，会让整个设计失效（频谱拍卖的例子）。
• 设计的目标不止一个：收入、效率、公平、简单易懂，往往互相冲突。

8.2 常见的误用

九、小结

这一讲有六个想法，请带走：

1. 拍卖有四种基本形式：英式、荷式、一价密封、二价密封；估值分私人价值和共同价值。
2. 二价拍卖：出价只决定赢不赢，不决定付多少，所以说真话是占优策略。英式拍卖的结果与它相同。实验里，升价拍卖比二价密封更容易让人看到占优策略。
3. 一价拍卖：要压价，压多少取决于人数，估值 0.8 时，2 个人出 0.40，10 个人出 0.72。荷式拍卖与它等价。
4. 收益等价：在独立私人价值、不怕风险等假设下，四种拍卖的期望收入相同；假设一变就破。保留价能提高期望收入，代价是一部分有利的交易没发生。
5. 赢者诅咒：共同价值拍卖里，赢了是对你的估计的坏消息。按自己的估计出价，赢家平均亏钱，人越多越严重。解药是压价。
6. 机制设计：反过来设计规则；参与约束 + 激励相容；克拉克税让人说真话，代价是烧钱；双边交易里，不可能同时做到说真话、自愿参加、效率和不靠补贴。

Unit 5 到这里结束。 回头看，五讲在问同一件事：当人们各自为政、又知道得不一样，怎么办？ 第 18 讲，用博弈论讲清楚，互相猜对方；第 19 讲，让博弈重复起来，合作靠未来的惩罚；第 20 讲、第 21 讲，让一方知道得更多，市场就会出毛病，人们发明了信号、筛选和激励合同；这一讲，把这些变成设计规则的工具。

我们已经多次遇到同一个结构：一个人的选择，影响了别人，他自己却不付代价。囚徒困境里，我背叛，成本由你承担；第 20 讲里，柠檬的卖家，把成本转嫁给了好车的卖家；第 21 讲，被保险人不小心，成本由保险公司付。这样的现象，有一个名字：外部性。下一个 Unit，我们要系统地讲市场什么时候会失灵、政府能做什么、做不好又会怎样。第 23 讲：外部性与庇古税。 你会看到，为什么"每个人都做对自己最好的事"，有时会让大家一起变糟，以及一个很早就有的、很简单的办法。

思考题

1. 二价拍卖里，你的估值是 100。如果别人的最高出价是 80，你出价 100、出价 120、出价 60，各得多少？如果别人的最高出价是 110 呢？

提示：别人最高出价 80：出价 100，赢，付 80，赚 20；出价 120，赢，付 80，赚 20（同样的结果，多出的价，一分钱也没多付）；出价 60，输，得 0（白白放弃了赚 20 的机会）。别人最高出价 110：出价 100，输，得 0；出价 120，赢，付 110，亏 10；出价 60，输，得 0。说真话（出价 100）在两种情形下，都不比别的出价差。

2. 一价拍卖，3 个人，估值在 0 到 1 之间均匀分布。你的估值是 0.9，最佳出价是多少？期望好处是多少？这场拍卖，卖家的期望收入是多少？

提示：最佳出价 = (n − 1)/n × v = 2/3 × 0.9 = 0.6；期望好处 = (0.9 − 0.6) × (0.6 × 3/2)² = 0.3 × 0.81 = 0.243（代码里的网格搜索也是 0.6）。卖家的期望收入：二价拍卖是第二高估值的期望 (n − 1)/(n + 1) = 0.5；一价拍卖是 2/3 × 最高估值的期望 (3/4) = 0.5：两者相等。

3. 4.3 节的二价拍卖，2 个竞拍者，估值在 0 到 1 之间均匀分布，但卖家自己对这件东西的估值是 0.2（不是 0）：卖不掉，他自己留着，值 0.2。最优的保留价大约是多少？为什么比 0.5 高？

提示：用模拟：保留价 0.5，卖家总收入（包括卖不掉时自己留着的 0.2）约 0.4665；保留价 0.6，约 0.477；保留价 0.7，约 0.4635。所以最优保留价大约是 0.6（对均匀分布，公式是 (1 + 自己的估值) ÷ 2 = 0.6）。为什么比 0.5 高：卖不掉时，卖家自己还有 0.2 的价值，卖出去的机会成本变高了（第 1 讲的机会成本），他不愿意以太低的价格卖，所以要把底线抬高。

4. 5.1 节的共同价值拍卖，5 个竞拍者，估计的误差在 −20 到 20 之间均匀分布。按自己的估计出价，赢家平均亏多少？要压价多少才刚好不亏？如果每个人都压价这么多，赢家的平均好处是 0，卖家的收入是多少？

提示：5 个人：平均亏 20 × (5 − 1)/(5 + 1) = 13.33；要压价 13.33 才刚好不亏。每个人都压价 13.33：赢家的平均好处是 0，卖家的收入，等于赢家付的钱，平均是 100 + 13.33 − 13.33 = 100，刚好等于真实价值。（也就是说，赢家什么都没赚到，油田的价值全归卖家。现实里的均衡更复杂，这里只是一个简化的说明。）

5. 6.2 节的公共设施：如果三户的净价值分别是 A +30、B −10、C −10（总和 +10 > 0，应该建）。克拉克税下，每个人付多少税？最后好处是多少？

提示：总和 +10 ≥ 0，建。A 是关键的人：没有 A，B 和 C 的净价值之和是 −20，不建，所以 A 改变了结果，付给别人造成的损失 20，A 最后好处 30 − 20 = +10。B：没有 B，A 和 C 的净价值之和是 +20，还是建，B 不是关键的人，不付税，最后好处 −10。C 也一样，不付税，最后好处 −10。一共收了 20 的税，不能分回。B 和 C 是被迫承担了成本，参与约束并不满足。

参考与延伸

• Vickrey, W. (1961). Counterspeculation, Auctions, and Competitive Sealed Tenders. Journal of Finance, 16(1), 8–37.
• Myerson, R. B. (1981). Optimal Auction Design. Mathematics of Operations Research, 6(1), 58–73.
• Riley, J. G., & Samuelson, W. F. (1981). Optimal Auctions. American Economic Review, 71(3), 381–392.
• Milgrom, P. R., & Weber, R. J. (1982). A Theory of Auctions and Competitive Bidding. Econometrica, 50(5), 1089–1122.
• Kagel, J. H., Harstad, R. M., & Levin, D. (1987). Information Impact and Allocation Rules in Auctions with Affiliated Private Values: A Laboratory Study. Econometrica, 55(6), 1275–1304.
• Lucking-Reiley, D. (1999). Using Field Experiments to Test Equivalence between Auction Formats: Magic on the Internet. American Economic Review, 89(5), 1063–1080.
• Cox, J. C., Smith, V. L., & Walker, J. M. (1988). Theory and Individual Behavior of First-Price Auctions. Journal of Risk and Uncertainty, 1(1), 61–99.
• Capen, E. C., Clapp, R. V., & Campbell, W. M. (1971). Competitive Bidding in High-Risk Situations. Journal of Petroleum Technology, 23(6), 641–653.
• Kagel, J. H., & Levin, D. (1986). The Winner’s Curse and Public Information in Common Value Auctions. American Economic Review, 76(5), 894–920.
• Clarke, E. H. (1971). Multipart Pricing of Public Goods. Public Choice, 11, 17–33.
• Groves, T. (1973). Incentives in Teams. Econometrica, 41(4), 617–631.
• Myerson, R. B., & Satterthwaite, M. A. (1983). Efficient Mechanisms for Bilateral Trading. Journal of Economic Theory, 29(2), 265–281.
• Edelman, B., Ostrovsky, M., & Schwarz, M. (2007). Internet Advertising and the Generalized Second-Price Auction: Selling Billions of Dollars Worth of Keywords. American Economic Review, 97(1), 242–259.
• Klemperer, P. (2002). How (Not) to Run Auctions: The European 3G Telecom Auctions. European Economic Review, 46(4–5), 829–845.
• 《招标拍卖挂牌出让国有建设用地使用权规定》（2007 年，国土资源部令第 39 号）。