这一讲要回答六个问题：
- 价格里，装着什么信息？有效市场假说，说了什么，没说什么？
- 价格的历史，能不能预测未来？（随机游走）
- 你能不能靠选股、选基金，战胜市场？怎么分清运气和技能？
- 风险，有没有被"定价"？（第 37 讲留下的预测，这一讲检验）
- 市场，到底有效吗？（有争议）
- 如果市场，大体有效，对个人，意味着什么？
第 36 讲，我们说，一项资产的价格，等于未来现金流的现值。第 37 讲，我们说，风险是要补偿的，可是，只有分散不掉的风险，才会被补偿，并说，这个预测，要靠真实的数据来检验。这一讲，就来做这件事；做之前，先把前两讲的结论合在一起：既然价格，是对未来的预期，那么，价格里，已经有多少信息？
一、一个连赢 5 年的基金经理
朋友给你推荐了一个基金经理。他管的基金，连续 5 年，每一年，都跑赢了市场。朋友说：这个人，是有真本事的。
先停一下：一个人，每年有 50% 的概率，跑赢市场（比如，他其实，完全靠抛硬币）。如果有 1 万个这样的"经理"，5 年里，会有多少个人，每一年，都跑赢？
先想一想，再往下读。答案，我们在第四节，用模拟来看。这一节，先记住一件事：当人很多的时候，“连赢”，不稀奇。稀奇的，是你只看到了赢家。
二、有效市场假说：说了什么，没说什么
2.1 价格，是"预期"的
第 7 讲，我们说，价格，传递信息。第 36 讲，我们说，股票的价格，是未来现金流的现值。把它们合起来：今天的股价，已经包含了大家，对公司未来的预期。
设想一家公司，明天公布利润：
- 大家预期，是 10 亿。公布出来，正是 10 亿：股价，几乎不动：因为，10 亿，早就在价格里了；
- 公布出来，是 12 亿：比预期多：股价上涨；
- 公布出来，是 8 亿：比预期少：股价下跌。
所以，推动价格变化的，不是"利润好"，而是**“比预期更好”**，也就是"意外"。而"意外"，按定义，不能被预测：如果你能预测它，它就不是意外，早就进了价格。
这就是整个想法的核心：价格的变化，来自新的信息；新的信息，是不可预测的；所以，价格的变化，是不可预测的。
竞争，让这件事，成立：如果有一条公开的规则，能稳赚（比如，“每次，某类消息出现，就买”），大家会涌进来用它，把价格，推到那条规则，不再赚钱的地方。这和第 12 讲的逻辑，是一回事：自由进入，把超额的利润，压到零。
2.2 定义
有效市场假说（Efficient Market Hypothesis, EMH）：价格，已经充分反映了可以得到的信息。Eugene Fama 1970 年的综述（Journal of Finance，25 卷 2 期，383–417 页），把它，按"可得的信息"的范围，分成三种：
| 形式 | 价格，已反映的信息 | 如果成立，这类分析，赚不到超额收益 |
|---|---|---|
| 弱式 | 过去的价格、成交量 | 技术分析（看走势图、找形态） |
| 半强式 | 所有公开的信息（财报、新闻、宏观数据） | 基本面分析（读财报选股） |
| 强式 | 所有的信息，包括内部的、私人的 | 连内幕信息，也赚不到 |
强式，一般被认为，不成立（否则，就不需要，禁止内幕交易的法律了）；它更像一个对照的基准。真正有争论的，是前两种，尤其是半强式。
早在 1900 年，法国数学家 Louis Bachelier 的博士论文，就用"随机游走"，描述价格。后来，Paul Samuelson 1965 年的《正确预期的价格，随机波动的证明》（Industrial Management Review，6 卷 2 期，41 页起），说明了：在竞争的市场里，价格的变化，“不可预测”，不是市场出了问题，恰恰是，它运转得好的标志。
2.3 它没有说什么
这是最容易误解的地方。有效市场假说没有说：
- 价格永远"正确"。 它只说，你很难，系统地，比价格，知道得更多；价格，可以错，只是，你不知道，往哪边错。
- 没有人，能赚到钱。 你可以赚到钱，只是，大体上，你赚的，是风险的补偿（第 37 讲），而不是"免费的午餐"。
- 投资者，都是理性的。 它只要求，错误，没有系统的方向，或者，错误，被别人，套利掉。
- 价格，是随便定的。 价格，是被信息，推动的；只是，信息，是随机到来的。
另外，这里的"有效"，是信息意义上的有效，和第 12 讲说的"资源配置的效率"，是两个概念，不要混为一谈。
2.4 一个悖论：完全有效，不可能
Sanford Grossman 和 Joseph Stiglitz 1980 年，（《论信息有效市场的不可能性》，American Economic Review，70 卷 3 期，393–408 页），提出了一个问题：
如果，价格，已经，完全反映了所有的信息，那么，花钱收集信息，就赚不到任何东西。没有人，会去收集。没有人收集，价格，就不再反映信息。
所以，“完全有效”，自己，推翻自己。均衡里，市场，只能，“几乎有效”：差多少，等于，收集信息的成本。
举一个示意的小模型（不是他们原来的模型，原来的，复杂得多）：
- 收集信息的成本，每年 2 万元；
- 如果，一个人，是市场上，唯一知情的人，他每年，能多赚 10 万元；
- 知情的人，越多，价格，反映的信息，越多，每个知情的人，能多赚的，越少：假设，知情者的占比是 λ，每个人多赚的，是 10 × (1 − λ) 万元。
均衡，是，多赚的钱，等于成本：10 × (1 − λ) = 2，所以，λ = 80%：80% 的人，选择花钱收集信息；另外 20%，不收集，直接相信价格。价格还没有反映的那一部分，正好，够补偿收集信息的成本。如果成本，降到 0.5 万，λ = 95%：信息，越便宜，市场，越有效。（思考题 5 会回到这里。）
三、弱式：价格的历史，能预测未来吗
3.1 怎么检验
如果价格的变化，不可预测，那么，这个月的收益，和上个月的收益，没有关系。我们用自相关来看：把每个月的收益，和 k 个月之前的收益，算一个相关系数。如果完全没有关系，它应该，很接近 0：具体地说，n 个月的数据，大约 95% 的情况，落在 ±2/√n 之内。
我们用 1927 年 1 月到 2025 年 12 月，美国股市的月度收益（Kenneth French 数据库，共 1188 个月）。
import io, math, urllib.request, zipfile
import numpy as np
# 数据：Kenneth French 数据库（Fama/French 三因子，月度，1926-07 起；本讲用 1927-01 至 2025-12）。
# 代码会自己下载（需要联网）。数据库偶尔修订，小数位可能有极小差别。
URL = "https://mba.tuck.dartmouth.edu/pages/faculty/ken.french/ftp/F-F_Research_Data_Factors_CSV.zip"
raw = urllib.request.urlopen(URL, timeout=60).read()
text = zipfile.ZipFile(io.BytesIO(raw)).read("F-F_Research_Data_Factors.csv").decode("latin-1")
rows = []
for line in text.splitlines():
parts = [p.strip() for p in line.split(",")]
if len(parts) == 5 and len(parts[0]) == 6 and parts[0].isdigit():
rows.append((int(parts[0]), *map(float, parts[1:])))
rows = [r for r in rows if 192701 <= r[0] <= 202512]
mkt = np.array([r[1] + r[4] for r in rows]) / 100 # 市场的总收益 = 超额收益 + 无风险利率
rf = np.array([r[4] for r in rows]) / 100
n = len(mkt)
print(f"数据：美国股市（市值加权），{rows[0][0]} 至 {rows[-1][0]}，共 {n} 个月")
print(f" 月平均收益 {mkt.mean():.2%}，月标准差 {mkt.std(ddof=1):.2%}")
# 一、自相关：这个月的收益，和 k 个月之前的收益，有多相关？
def acf(x, k):
x = x - x.mean()
return float((x[k:] * x[:-k]).sum() / (x * x).sum())
band = 2 / math.sqrt(n)
print(f"\n一、月度收益的自相关（如果完全没有可预测性，大约 95% 的值会落在 ±{band:.3f} 之内）")
for k in range(1, 7):
a = acf(mkt, k)
flag = " ← 超出" if abs(a) > band else ""
print(f" 滞后 {k} 个月：{a:+.3f}{flag}")
# 分时期看一阶自相关（仍然属于"一"）
for lo, hi in ((192701, 196212), (196301, 202512)):
sub = np.array([r[1] + r[4] for r in rows if lo <= r[0] <= hi]) / 100
print(f" 一阶自相关，{lo}–{hi}（{len(sub)} 个月）：{acf(sub, 1):+.3f}（±{2 / math.sqrt(len(sub)):.3f}）")
# 二、"上个月涨了，这个月会怎样？"：用排列检验看这点差别有多大是运气
prev, nxt = mkt[:-1], mkt[1:]
up = prev > 0
diff = nxt[up].mean() - nxt[~up].mean()
print(f"\n二、上个月涨 / 跌之后，下个月的平均收益")
print(f" 上月涨（{int(up.sum())} 次）之后：{nxt[up].mean():.2%}；上月跌（{int((~up).sum())} 次）之后：{nxt[~up].mean():.2%}；差 {diff:+.2%}")
rng = np.random.default_rng(38)
count = 0
n_perm = 20000
for _ in range(n_perm):
sh = rng.permutation(mkt) # 把月份顺序打乱：任何"顺序里的规律"都被抹掉
d = sh[1:][sh[:-1] > 0].mean() - sh[1:][sh[:-1] <= 0].mean()
count += abs(d) >= abs(diff)
print(f" 打乱月份顺序 {n_perm} 次，差的绝对值不小于 {abs(diff):.2%} 的比例（排列 p 值）= {count / n_perm:.3f}")
# 三、能赚钱吗？规则：上个月涨，这个月持有股票；上个月跌，这个月持有国库券。不计交易成本和税。
hold = np.where(up, nxt, rf[1:])
def stats(r, rfr):
ann = np.exp(np.log1p(r).mean() * 12) - 1 # 年化几何收益
ex = r - rfr
sharpe = ex.mean() / ex.std(ddof=1) * math.sqrt(12)
return ann, sharpe, float(np.prod(1 + r))
a1, s1, w1 = stats(nxt, rf[1:])
a2, s2, w2 = stats(hold, rf[1:])
print(f"\n三、一条规则：上月涨就持有股票，上月跌就持有国库券（没有交易成本、没有税）")
print(f" 买入并持有：年化 {a1:.2%}，夏普比率 {s1:.2f}，1 元变成 {w1:,.0f} 元")
print(f" 这条规则 ：年化 {a2:.2%}，夏普比率 {s2:.2f}，1 元变成 {w2:,.0f} 元；在股票上的时间占 {up.mean():.0%}")
# 四、这条规则的夏普比率，比买入并持有高 0.05；这是本事，还是运气？
# 把月份顺序打乱 5000 次，每次都用同一条规则，看"规则的夏普 − 买入持有的夏普"能随机地大到多少。
def sharpe_gap(m, r):
up_ = m[:-1] > 0
rule = np.where(up_, m[1:], r[1:])
return stats(rule, r[1:])[1] - stats(m[1:], r[1:])[1]
gap = s2 - s1
rng = np.random.default_rng(38)
idx = np.arange(n)
cnt = 0
n_perm = 5000
for _ in range(n_perm):
p = rng.permutation(idx) # 月份（收益和对应的无风险利率）一起被打乱
cnt += sharpe_gap(mkt[p], rf[p]) >= gap
print(f"\n四、夏普比率之差 = {gap:+.3f}；打乱月份顺序 {n_perm} 次，随机得到不小于它的比例 = {cnt / n_perm:.3f}")
for lo, hi in ((192701, 196212), (196301, 202512)):
sel = [i for i, r in enumerate(rows) if lo <= r[0] <= hi]
m_, r_ = mkt[sel], rf[sel]
up_ = m_[:-1] > 0
rule = np.where(up_, m_[1:], r_[1:])
_, sb, _ = stats(m_[1:], r_[1:])
_, sr, _ = stats(rule, r_[1:])
print(f" {lo}–{hi}：买入持有夏普 {sb:.2f}，规则夏普 {sr:.2f}，之差 {sr - sb:+.2f}")
# 五、好处从哪来？看"上月涨 / 跌之后"，下个月的波动（标准差）是否一样
sd_up, sd_dn = nxt[up].std(ddof=1), nxt[~up].std(ddof=1)
print(f"\n五、下个月的标准差：上月涨之后 {sd_up:.2%}，上月跌之后 {sd_dn:.2%}（后者是前者的 {sd_dn / sd_up:.2f} 倍）")
cnt = 0
rng = np.random.default_rng(38)
for _ in range(n_perm):
sh = rng.permutation(mkt)
u = sh[:-1] > 0
cnt += abs(sh[1:][~u].std(ddof=1) / sh[1:][u].std(ddof=1) - 1) >= abs(sd_dn / sd_up - 1)
print(f" 打乱月份顺序 {n_perm} 次，比例之差不小于它的占 {cnt / n_perm:.4f}：波动是可以预测的，收益的方向，这点证据弱得多")
输出：
数据：美国股市（市值加权），192701 至 202512，共 1188 个月
月平均收益 0.96%，月标准差 5.31%
一、月度收益的自相关（如果完全没有可预测性，大约 95% 的值会落在 ±0.058 之内）
滞后 1 个月：+0.090 ← 超出
滞后 2 个月：-0.026
滞后 3 个月：-0.084 ← 超出
滞后 4 个月：+0.015
滞后 5 个月：+0.057
滞后 6 个月：-0.040
一阶自相关，192701–196212（432 个月）：+0.132（±0.096）
一阶自相关，196301–202512（756 个月）：+0.037（±0.073）
二、上个月涨 / 跌之后，下个月的平均收益
上月涨（746 次）之后：1.11%；上月跌（441 次）之后：0.70%；差 +0.41%
打乱月份顺序 20000 次，差的绝对值不小于 0.41% 的比例（排列 p 值）= 0.198
三、一条规则：上月涨就持有股票，上月跌就持有国库券（没有交易成本、没有税）
买入并持有：年化 10.28%，夏普比率 0.45，1 元变成 15,920 元
这条规则 ：年化 9.21%，夏普比率 0.50，1 元变成 6,118 元；在股票上的时间占 63%
四、夏普比率之差 = +0.047；打乱月份顺序 5000 次，随机得到不小于它的比例 = 0.011
192701–196212：买入持有夏普 0.44，规则夏普 0.46，之差 +0.02
196301–202512：买入持有夏普 0.46，规则夏普 0.56，之差 +0.09
五、下个月的标准差：上月涨之后 4.70%，上月跌之后 6.21%（后者是前者的 1.32 倍）
打乱月份顺序 5000 次，比例之差不小于它的占 0.0004：波动是可以预测的，收益的方向，这点证据弱得多
逐段看：
- 自相关很小，但不是 0：滞后 1 个月，+0.090，超出了 ±0.058；滞后 3 个月，−0.084，也超出了。其余的，都在区间里。要小心：我们看了 6 个滞后，纯靠运气，至少有 1 个超出的概率，是 1 − 0.95^6 ≈ 26%，所以，超出一两个，不稀奇。
- 分时期看：1927–1962，一阶自相关 +0.132（区间 ±0.096），超出；1963–2025，+0.037（±0.073），落回区间内。早期更强。为什么，这里没有检验；常见的猜测，有数据的构造方式、市场的摩擦、后来交易的成本和速度的变化；都只是猜测。
- 上个月涨了，下个月呢？ 涨之后，下个月平均 1.11%；跌之后，0.70%；差 +0.41 个百分点。可是，把月份顺序，打乱 20000 次，随机得到这么大的差的，有 19.8%：不显著。
- 一条规则：“上个月涨，这个月持有股票；上个月跌，持有国库券”（不计成本）。买入并持有：年化 10.28%，夏普比率 0.45，1 元，变成 15,920 元。这条规则：年化 9.21%，夏普比率 0.50，1 元，变成 6,118 元，在股票里的时间，占 63%。（夏普比率 0.45，和第 37 讲的 0.44，略有不同：那里，用的是日历年度的数据，这里是月度数据，年化。）赚得更少，夏普比率，略高。
- 这点夏普比率的优势，是运气吗？ 差 +0.047；打乱月份顺序 5000 次，随机得到不小于它的，只有 1.1%。分时期：1927–1962 之差 +0.02；1963–2025，+0.09。
- 好处，从哪里来？ 上个月涨了之后，下个月的标准差，是 4.70%；上个月跌了之后，是 6.21%：高 1.32 倍；随机，几乎不可能做到（比例 0.0004）。也就是说，规则的好处，很可能，主要来自躲开了波动大的月份，而不是预测对了涨跌的方向。
最后这一点，是这一节，最重要的结论：收益的方向，几乎不可预测；风险（波动），是可以预测的。 这和有效市场假说，不矛盾：它谈的，是"预期的收益"，没有说，波动，不能预测（第 37 讲：风险，本来就是要补偿的东西）。
三个提醒：（1）我只试了一条规则。 如果，试几百条，挑最好的，这样的 p 值，就不能这么读了：这叫"多重检验"：试的次数多了，总会碰到"显著"的；它也是第 4 讲（研究结果可靠吗）里，“重复出来的效应，往往比原来小"的一个常被提到的原因；（2）没有交易成本，没有税；（3）这是整个美国股市，一个指数，不是单只股票。实验 79，会把这一节，扩展成更严格的检验（方差比、游程检验、带成本的回测）。
四、运气和技能
4.1 回到那个连赢 5 年的经理
现在，回答第一节的问题。
import math
import numpy as np
rng = np.random.default_rng(38)
# 一、1 万个"基金经理"，每年有 50% 的概率跑赢市场，完全靠运气（抛硬币），各年、各人彼此独立。看 10 年。
n_mgr, n_years = 10000, 10
win = rng.random((n_mgr, n_years)) < 0.5
# 每个人"从第 1 年起，连续跑赢了几年"
streak = np.zeros(n_mgr, dtype=int)
alive = np.ones(n_mgr, dtype=bool)
for y in range(n_years):
alive &= win[:, y]
streak += alive
print("一、全靠抛硬币的 1 万个基金经理，前 10 年里，从第 1 年起连续跑赢市场的人数")
print(f" {'连赢年数':<8}{'模拟人数':>8}{'理论期望':>10}")
for k in (3, 5, 7, 10):
sim = int((streak >= k).sum())
exp = n_mgr / 2 ** k
print(f" ≥ {k:<5d}{sim:>10d}{exp:>12.1f}")
# 前 5 年都跑赢的人，第 6 年呢？
five = win[:, :5].all(axis=1)
print(f"\n 前 5 年连赢的有 {int(five.sum())} 人；其中第 6 年继续跑赢的占 {win[five, 5].mean():.1%}（运气没有'惯性'：还是约 50%）")
# 二、如果真有技能呢？要多少年的数据，才分得清？
# 一个真有技能的经理：每年比基准多赚 alpha = 2%；每年相对基准的"跟踪误差"（上下波动）= 6%。
alpha, te = 0.02, 0.06
print("\n二、一个每年真的多赚 2%（扣费后）、跟踪误差 6% 的经理，要观察几年，才能让 t 值（均值 ÷ 标准误）到 2？")
for t_years in (3, 5, 10, 20, 36, 50):
t_mean = alpha / (te / math.sqrt(t_years))
print(f" 观察 {t_years:>2d} 年：t 值的平均水平 = {t_mean:.2f}")
need = (2 * te / alpha) ** 2
print(f" t 值的平均水平要到 2，需要 {need:.0f} 年")
# 三、一个有"技能"的人群里，挑出"t > 2"的，真有技能的占多大比例？
# 1 万个经理，其中 5% 真有技能（alpha=2%），95% 零技能（扣费后）；都观察 10 年，各年的超额收益 ~ N(alpha, 6%)
n_skill = int(0.05 * n_mgr)
true_alpha = np.zeros(n_mgr)
true_alpha[:n_skill] = alpha
excess = rng.normal(true_alpha[:, None], te, size=(n_mgr, n_years))
t_stat = excess.mean(axis=1) / (excess.std(axis=1, ddof=1) / math.sqrt(n_years))
flag = t_stat > 2
print(f"\n三、1 万个经理，5% 真有技能，其余零技能；观察 10 年后，t 值 > 2 的人：")
print(f" 真有技能被挑出：{int(flag[:n_skill].sum())} 人（占技能者的 {flag[:n_skill].mean():.1%}）")
print(f" 零技能却被挑出：{int(flag[n_skill:].sum())} 人（占零技能者的 {flag[n_skill:].mean():.1%}）")
print(f" 被挑出的 {int(flag.sum())} 人里，真有技能的只占 {flag[:n_skill].sum() / flag.sum():.1%}")
输出：
一、全靠抛硬币的 1 万个基金经理，前 10 年里，从第 1 年起连续跑赢市场的人数
连赢年数 模拟人数 理论期望
≥ 3 1215 1250.0
≥ 5 314 312.5
≥ 7 96 78.1
≥ 10 12 9.8
前 5 年连赢的有 314 人；其中第 6 年继续跑赢的占 50.6%（运气没有'惯性'：还是约 50%）
二、一个每年真的多赚 2%（扣费后）、跟踪误差 6% 的经理，要观察几年，才能让 t 值（均值 ÷ 标准误）到 2？
观察 3 年：t 值的平均水平 = 0.58
观察 5 年：t 值的平均水平 = 0.75
观察 10 年：t 值的平均水平 = 1.05
观察 20 年：t 值的平均水平 = 1.49
观察 36 年：t 值的平均水平 = 2.00
观察 50 年：t 值的平均水平 = 2.36
t 值的平均水平要到 2，需要 36 年
三、1 万个经理，5% 真有技能，其余零技能；观察 10 年后，t 值 > 2 的人：
真有技能被挑出：95 人（占技能者的 19.0%）
零技能却被挑出：370 人（占零技能者的 3.9%）
被挑出的 465 人里，真有技能的只占 20.4%
逐段看：
- 全靠抛硬币的 1 万个人，前 5 年，连赢的，有 314 人（理论期望，312.5）；连赢 10 年的，有 12 人（理论，9.8）。所以，你看到一个"连赢 5 年"的经理，这件事，本身，几乎，说明不了什么：只要经理够多，一定有人。
- 运气，没有惯性：这 314 人里，第 6 年继续跑赢的，50.6%：还是一半。
- 分清技能，要很久：一个真的每年多赚 2%（扣费后）、上下波动 6% 的经理，要观察 36 年，t 值的平均水平，才到 2。我们的一生，也就这么长。
- 挑出来的人，多半，是运气：1 万个经理，5% 真有技能，其余零技能。观察 10 年，t 值大于 2 的，有 465 人：其中，只有 95 个，是真有技能的（占 20.4%）；370 个，是零技能的，被运气，选了出来（零技能者里，有 3.9% 被选中：这比正态分布的 2.3% 高，因为，只有 10 个样本，用样本标准差算 t 值，t 分布，尾巴更厚）。技能者里，也只有 19.0% 被选中：真有技能的，大多数，还没被看出来。
这和第 20 讲的"柠檬”，有点像：你看到的，是一个被筛选过的结果。
4.2 真实的证据
- Michael Jensen 1968 年（Journal of Finance，23 卷 2 期，389–416 页）：研究了 1945 到 1964 年的 115 只共同基金，发现，平均来说，它们的预测能力，不足以跑赢"买入并持有市场"，即使不扣除管理费，也是这样；也很少有基金，比"碰运气"，更好。
- Eugene Fama 和 Kenneth French 2010 年（《共同基金收益的横截面：运气与技能》，Journal of Finance，65 卷 5 期，1915–1947 页）：把所有主动管理的美国股票基金，合在一起，持有的，差不多，就是整个市场；可是，高成本，让投资者，得到的收益，更低。用自助法模拟，发现，只有很少的基金，在基准调整之后，预期的收益，足够覆盖成本；如果，把费用，加回去，在分布的两个极端，既有"差得显著"的，也有"好得显著"的证据。（后来，有研究批评，这个方法，可能会低估技能，如 Harvey 和 Liu 2022；我没有逐项核对。）
- Brad Barber 和 Terrance Odean 2000 年（Journal of Finance，55 卷 2 期，773–806 页）：6.6 万多个，美国一家折扣券商的家庭账户，1991–1996 年；据摘要，家庭的平均收益，16.4%，市场，17.9%；交易最频繁的那一组，11.4%。作者认为，是过度自信（第 39 讲会讲）。（批评：样本，只来自一家券商；也有人，提出了不同的解释。）
注意措辞：这些，是一般的模式，不是对每一只基金、每一个人的判断。
4.3 为什么，平均来说，一定是这样：主动管理的算术
William Sharpe 1991 年，写了一篇三页的文章（《主动管理的算术》，Financial Analysts Journal，47 卷 1 期，7–9 页）。想法很简单：
把市场上的人，分成两类：被动的（买下整个市场，不动），主动的（其余所有人）。两类人，加起来，就是整个市场。被动的，扣费前，恰好，赚到市场的收益；所以，主动的人，作为一个整体，扣费前，也，必然，恰好，赚到市场的收益：他们中，有人，赢了别人，有人，输给别人，合起来，是零和的。扣费之后：主动的成本，更高，所以，主动的整体，扣费后，一定，少于被动的。
# 一、主动管理的算术（Sharpe, 1991）：一个只有两种人的市场
# "被动"的人，买下整个市场；"主动"的人，剩下的所有人。两类人加起来，就是整个市场。
market_return = 0.07 # 假设：扣费之前，整个市场每年赚 7%
cost_passive, cost_active = 0.001, 0.015 # 假设：被动每年总成本 0.1%，主动每年总成本（管理费、交易成本等）1.5%
w_passive = 0.3 # 假设：市场里，被动持有者占 30% 的钱
# 被动的人，扣费前恰好赚到市场的收益（因为他们买的就是市场）。所以主动的人"合起来"扣费前，也必然恰好赚到市场的收益。
active_before = (market_return - w_passive * market_return) / (1 - w_passive)
print("一、一个只有两类人的市场（假设：市场扣费前年收益 7%，被动 0.1% 成本，主动 1.5% 成本）")
print(f" 被动的人，扣费前 {market_return:.2%}，扣费后 {market_return - cost_passive:.2%}")
print(f" 主动的人，作为一个整体：扣费前 {active_before:.2%}（和市场一样，其中有人赢，有人输），扣费后 {active_before - cost_active:.2%}")
print(f" 不管被动占多少钱：主动的整体，每年都比被动少赚 {cost_active - cost_passive:.2%}（= 成本之差）")
# 二、费用的复利
print("\n二、10 万元，每年毛收益 7%，只差每年的费用，30 年后")
base = 100000 * 1.07 ** 30
print(f" {'年费用':<8}{'30 年后':>12}{'比 0 费用少':>12}")
for fee in (0.0, 0.001, 0.005, 0.01, 0.02):
v = 100000 * (1 + 0.07 - fee) ** 30
print(f" {fee:<8.1%}{v:>12,.0f}{1 - v / base:>12.1%}")
输出：
一、一个只有两类人的市场（假设：市场扣费前年收益 7%，被动 0.1% 成本，主动 1.5% 成本）
被动的人，扣费前 7.00%，扣费后 6.90%
主动的人，作为一个整体：扣费前 7.00%（和市场一样，其中有人赢，有人输），扣费后 5.50%
不管被动占多少钱：主动的整体，每年都比被动少赚 1.40%（= 成本之差）
二、10 万元，每年毛收益 7%，只差每年的费用，30 年后
年费用 30 年后 比 0 费用少
0.0% 761,226 0.0%
0.1% 740,169 2.8%
0.5% 661,437 13.1%
1.0% 574,349 24.5%
2.0% 432,194 43.2%
逐段看：
- 算术，不依赖，谁聪明：不管被动的人，占多少钱，主动的整体，每年，都比被动的，少赚"成本之差"：这里，是 1.40 个百分点。
- 费用，是复利的：每年，只差 1%，30 年后，少了 24.5%；每年差 2%，少了 43.2%。
- 这个算术，有前提：被动的人，持有的，是整个市场，并且，不动。后来，也有人，讨论放宽前提的情形（例如，Lasse Pedersen 2018 年，Financial Analysts Journal）。
4.4 这对你，意味着什么（描述，不是投资建议）
如果上面的结论，大体成立：
- 你能控制的，是费用，不是市场；费用的差别，是确定的，复利的；
- “过去的业绩”，是一个很弱的信号（4.1 节：运气，没有惯性）；
- 交易得多，不等于赚得多（4.2 节：Barber–Odean）；
- 第 37 讲的结论，仍然成立：你选择的，主要是，风险的大小，不是，“哪个基金经理，更聪明”。
以上，是在讲一个一般的模式，不是针对任何一个人的建议。你的处境（收入、年龄、需要用钱的时间），是你自己的事。
五、风险，被"定价"了吗：CAPM 的预测
5.1 预测是什么
第 37 讲说：分散，可以免费地，消除特有风险；所以，市场，不会因为你承担了特有风险，而补偿你；只有系统性风险，才会被补偿。
William Sharpe 1964 年（Journal of Finance，19 卷 3 期，425–442 页）的资本资产定价模型（CAPM），把它，写成了一个具体的公式：
一项资产的预期超额收益 = β × 市场的预期超额收益（“超额”，是减去无风险利率）。
β，是这项资产的收益，对市场收益的敏感度：市场涨 1%，它平均涨 1.2%，β 就是 1.2。β 高，意味着，系统性风险大。CAPM 的预测，是：
- 预期收益，和 β，成正比（线性，过原点）；
- 除了 β，没有别的东西（规模、估值、特有风险），能解释预期收益。
5.2 在真实的数据里检验
我们用美国 49 个行业，1970 年到 2025 年的月度收益（Kenneth French 数据库），和整个市场的收益，估计每个行业的 β，看它，能不能解释，各个行业的平均收益。
import io, math, urllib.request, zipfile
import numpy as np
# 数据：Kenneth French 数据库的 49 个行业组合（市值加权，月度），和三因子文件里的市场收益、无风险利率。
BASE = "https://mba.tuck.dartmouth.edu/pages/faculty/ken.french/ftp/"
def read_zip(name, member):
raw = urllib.request.urlopen(BASE + name, timeout=60).read()
return zipfile.ZipFile(io.BytesIO(raw)).read(member).decode("latin-1").splitlines()
# 市场（Mkt-RF）与无风险利率（RF）
fac = {}
for line in read_zip("F-F_Research_Data_Factors_CSV.zip", "F-F_Research_Data_Factors.csv"):
p = [x.strip() for x in line.split(",")]
if len(p) == 5 and len(p[0]) == 6 and p[0].isdigit():
fac[int(p[0])] = (float(p[1]), float(p[4]))
# 49 个行业，月度、市值加权的第一张表
lines = read_zip("49_Industry_Portfolios_CSV.zip", "49_Industry_Portfolios.csv")
start = next(i for i, l in enumerate(lines) if "Average Value Weighted Returns -- Monthly" in l)
names = [x.strip() for x in lines[start + 1].split(",")[1:]]
ind = {}
for l in lines[start + 2:]:
p = [x.strip() for x in l.split(",")]
if not (len(p) == len(names) + 1 and len(p[0]) == 6 and p[0].isdigit()):
break
ind[int(p[0])] = [float(x) for x in p[1:]]
months = [m for m in sorted(ind) if 197001 <= m <= 202512]
R = np.array([ind[m] for m in months]) # 月 × 行业，单位 %
mk = np.array([fac[m][0] for m in months]) # 市场超额收益（%）
rf = np.array([fac[m][1] for m in months])
ok = (R > -99).all(axis=0) # 去掉在这段时间里有缺失值的行业
names = [nm for nm, k in zip(names, ok) if k]
X = R[:, ok] - rf[:, None] # 各行业的超额收益
print(f"{months[0]}–{months[-1]}，{len(months)} 个月；49 个行业里，数据完整的有 {len(names)} 个")
def betas_and_means(x, m):
mc = m - m.mean()
beta = (mc[:, None] * (x - x.mean(axis=0))).sum(axis=0) / (mc @ mc)
return beta, x.mean(axis=0)
def slope(beta, mean):
bc = beta - beta.mean()
return float((bc * (mean - mean.mean())).sum() / (bc @ bc))
# 一、同一段数据里：β 和平均超额收益
beta, mean = betas_and_means(X, mk)
s = slope(beta, mean)
print(f"\n一、全样本：{len(names)} 个行业的 β 范围 {beta.min():.2f}–{beta.max():.2f}，平均 {beta.mean():.2f}")
print(f" 市场的平均月超额收益 = {mk.mean():.2f}%（CAPM 的预测：行业的平均月超额收益 = β × {mk.mean():.2f}%，即直线的斜率应该是这个数）")
print(f" 实际：平均月超额收益对 β 的回归斜率 = {s:.2f}%/月，相关系数 {np.corrcoef(beta, mean)[0, 1]:.2f}")
# 二、对月份做自助重抽样（bootstrap）：β 和平均收益每次一起重新估计，看斜率有多不确定
rng = np.random.default_rng(38)
sl = []
for _ in range(2000):
idx = rng.integers(0, len(months), len(months))
b, mm = betas_and_means(X[idx], mk[idx])
sl.append(slope(b, mm))
lo, hi = np.percentile(sl, [2.5, 97.5])
print(f" 自助法 2000 次，斜率的 95% 区间 = [{lo:.2f}, {hi:.2f}]%/月；CAPM 预测的 {mk.mean():.2f}% {'在' if lo <= mk.mean() <= hi else '不在'}区间里；0 {'在' if lo <= 0 <= hi else '不在'}区间里")
# 三、更严格：用前半段（1970–1997）估 β，看后半段（1998–2025）的收益
half = len(months) // 2
b1, _ = betas_and_means(X[:half], mk[:half])
_, mean2 = betas_and_means(X[half:], mk[half:])
order = np.argsort(b1)
groups = np.array_split(order, 5)
print(f"\n二、用 {months[0]}–{months[half - 1]} 估计 β，把行业按 β 分成 5 组，看 {months[half]}–{months[-1]} 的平均月超额收益")
print(f" {'组':<4}{'前半段 β':>9}{'后半段平均超额收益(%/月)':>24}")
for k, g in enumerate(groups, 1):
print(f" {k:<4}{b1[g].mean():>9.2f}{mean2[g].mean():>24.2f}")
mk2 = mk[half:].mean()
print(f" 后半段市场平均月超额收益 = {mk2:.2f}%；CAPM 预测，第 5 组应是第 1 组的 {b1[groups[4]].mean() / b1[groups[0]].mean():.1f} 倍，实际是 {mean2[groups[4]].mean() / mean2[groups[0]].mean():.1f} 倍")
输出：
197001–202512，672 个月；49 个行业里，数据完整的有 49 个
一、全样本：49 个行业的 β 范围 0.52–1.48，平均 1.04
市场的平均月超额收益 = 0.62%（CAPM 的预测：行业的平均月超额收益 = β × 0.62%，即直线的斜率应该是这个数）
实际：平均月超额收益对 β 的回归斜率 = 0.01%/月，相关系数 0.02
自助法 2000 次，斜率的 95% 区间 = [-0.54, 0.55]%/月；CAPM 预测的 0.62% 不在区间里；0 在区间里
二、用 197001–199712 估计 β，把行业按 β 分成 5 组，看 199801–202512 的平均月超额收益
组 前半段 β 后半段平均超额收益(%/月)
1 0.82 0.66
2 1.02 0.70
3 1.09 0.84
4 1.20 0.76
5 1.37 0.75
后半段市场平均月超额收益 = 0.68%；CAPM 预测，第 5 组应是第 1 组的 1.7 倍，实际是 1.1 倍
逐段看：
- β 的范围，不大：从 0.52 到 1.48（公用事业，最低；软件，最高）。平均，1.04。
- 斜率，几乎是 0：CAPM 预测，行业的平均月超额收益，等于 β × 0.62%，所以，斜率应该，是 0.62；实际是 0.01%/月，相关系数 0.02。图里，蓝线，几乎是水平的；红色虚线，是 CAPM 的预测。烟草，β 只有 0.63，平均收益，是 49 个行业里，最高的。
- 有多不确定：自助法 2000 次，斜率的 95% 区间，[−0.54, 0.55]。CAPM 预测的 0.62，刚好，在区间外面一点点；0，在区间里面。也就是说，这些数据，既不支持"斜率是 0.62"，也不能排除，斜率，其实不大；我们不能说，β 一点用，也没有。
- 用前半段估 β，看后半段的收益：按前半段（1970–1997）的 β，分成 5 组，后半段（1998–2025）的平均月超额收益，从最低 β 组，到最高 β 组，是 0.66、0.70、0.84、0.76、0.75。CAPM 预测，最高组，是最低组的 1.7 倍；实际，是 1.1 倍。有一点，向上的趋势，但，远没有预测的那么陡。
5.3 这说明了什么，不说明什么
- 说明：在这套数据里，“β，是唯一的、被补偿的风险"这个说法，没有被支持。Fama 和 French 1992 年（Journal of Finance，47 卷 2 期，427–465 页），用更多股票的数据，得到相似的结论：β 和平均收益的关系，是平的；规模和账面市值比，解释得更多。更早的一些检验（例如，Fama 和 MacBeth 1973 年，Journal of Political Economy，81 卷 3 期，607–636 页），常被引用，作为相对更支持 CAPM 的证据；后来的数据，让情况，变了。
- 不说明：“风险，没有被定价”。它说明的，是这一个模型（只有一个因子：市场 β），太简化。后来，Fama 和 French，把规模、价值，加进模型（1993 年，三因子模型）；也有人，提出了别的因子。
- 要小心：（1）这里，只有 49 个行业，β 的范围，又不大；（2）β，是估计出来的，有误差；（3）“市场”，在 CAPM 里，应该是，所有的财富（股票、债券、房产、人力资本……），我们用的，只是美国的股票指数：Richard Roll 1977 年，（只写年份，没有核对期刊信息）指出，这使得，CAPM，几乎没法被严格地检验；（4）这里，没有检验，“特有风险，不被补偿"这一半：49 个行业，本来，就已经是分散过的组合。
- 后来常被提到的现象：“低 β"的股票，收益，不比高 β 的低，甚至更高（例如，Frazzini 和 Pedersen 2014 年，Journal of Financial Economics）。这又引出了，下一节的问题：这是风险的补偿，还是市场的错误？
六、一个有争议的问题：市场，有效吗
按"理论预测 → 证据与局限 → 分歧在哪 → 价值判断留给读者"来写。
6.1 理论预测什么
有效市场假说，加上，一个"预期收益该是多少"的模型（比如，CAPM），可以得到，具体的、能被检验的预测：
- 预期收益，只取决于风险；
- 没有任何，公开的信息，可以，系统地，让你赚到超出风险补偿的收益；
- 价格的变化，不可预测；价格，围绕"基本价值”，随机地波动。
这里，藏着一个，最难绕开的问题：联合假设。你检验的，永远是，“市场有效”，加上“我的预期收益模型，是对的”。如果，检验失败了，你不知道，是市场，不有效，还是你的模型，错了。Fama 自己，在 1991 年的综述（Journal of Finance，46 卷 5 期，1575–1617 页）里，谈到过这一点：（据对原文的转述）因为联合假设，“市场有效”，本身，没法被检验。
6.2 证据怎么说
（一）异象，和它们的"衰减”。 研究者，找到过很多，不符合 CAPM 的规律：小公司，平均收益，更高（规模）；账面市值比高的"价值股”，平均收益，更高（价值）。我们，看看，它们，在不同的时期，表现如何。
import io, math, urllib.request, zipfile
import numpy as np
# 数据：Kenneth French 数据库，三因子（月度）。SMB = 小公司减大公司，HML = 高账面市值比（"价值股"）减低账面市值比（"成长股"），单位 %。
URL = "https://mba.tuck.dartmouth.edu/pages/faculty/ken.french/ftp/F-F_Research_Data_Factors_CSV.zip"
raw = urllib.request.urlopen(URL, timeout=60).read()
text = zipfile.ZipFile(io.BytesIO(raw)).read("F-F_Research_Data_Factors.csv").decode("latin-1")
rows = []
for line in text.splitlines():
p = [x.strip() for x in line.split(",")]
if len(p) == 5 and len(p[0]) == 6 and p[0].isdigit():
rows.append((int(p[0]), float(p[1]), float(p[2]), float(p[3])))
rows = [r for r in rows if 192701 <= r[0] <= 202512]
dates = np.array([r[0] for r in rows])
fac = {"市场超额收益": np.array([r[1] for r in rows]),
"规模 SMB": np.array([r[2] for r in rows]),
"价值 HML": np.array([r[3] for r in rows])}
# 三个时期。1963–1990 年，是 Fama–French（1992）当年所用数据的大致范围；1927–1962 在他们的样本之前；1993 年以后，在论文发表之后。
periods = [("1927–1962", 192701, 196212), ("1963–1992", 196301, 199212), ("1993–2025", 199301, 202512)]
print("平均月收益（%）、年化（月均值×12）、t 值（均值 ÷ 标准误）")
print(f" {'因子':<8}{'时期':<11}{'月数':>5}{'月均值':>8}{'年化':>8}{'t 值':>7}")
for name, x in fac.items():
for label, lo, hi in periods:
sel = (dates >= lo) & (dates <= hi)
v = x[sel]
t = v.mean() / (v.std(ddof=1) / math.sqrt(len(v)))
print(f" {name:<8}{label:<11}{len(v):>5d}{v.mean():>8.2f}{v.mean() * 12:>7.1f}%{t:>7.2f}")
# 把"规模"和"价值"在整个 99 年里的累计表现，也看一眼：1 元投 SMB、HML 多空组合（每月全部再投入，不计成本）
print("\n多空组合的累计：1927 年初的 1 元，到 1962 / 1992 / 2025 年底")
for name in ("规模 SMB", "价值 HML"):
g = np.cumprod(1 + fac[name] / 100)
outs = []
for end in (196212, 199212, 202512):
outs.append(g[np.where(dates == end)[0][0]])
print(f" {name}：{outs[0]:.2f} → {outs[1]:.2f} → {outs[2]:.2f}")
# 近十年的 HML：近年的"价值"，好不好？
for label, lo, hi in (("2007–2025", 200701, 202512), ("2007–2020", 200701, 202012)):
sel = (dates >= lo) & (dates <= hi)
v = fac["价值 HML"][sel]
print(f" HML {label}：月均值 {v.mean():.2f}%，t 值 {v.mean() / (v.std(ddof=1) / math.sqrt(len(v))):.2f}")
输出：
平均月收益（%）、年化（月均值×12）、t 值（均值 ÷ 标准误）
因子 时期 月数 月均值 年化 t 值
市场超额收益 1927–1962 432 0.84 10.1% 2.65
市场超额收益 1963–1992 360 0.43 5.2% 1.83
市场超额收益 1993–2025 396 0.76 9.1% 3.42
规模 SMB 1927–1962 432 0.21 2.6% 1.31
规模 SMB 1963–1992 360 0.27 3.2% 1.76
规模 SMB 1993–2025 396 0.03 0.4% 0.21
价值 HML 1927–1962 432 0.43 5.2% 2.04
价值 HML 1963–1992 360 0.45 5.4% 3.33
价值 HML 1993–2025 396 0.16 2.0% 0.98
多空组合的累计：1927 年初的 1 元，到 1962 / 1992 / 2025 年底
规模 SMB：2.00 → 4.51 → 4.23
价值 HML：4.39 → 19.43 → 29.93
HML 2007–2025：月均值 -0.15%，t 值 -0.68
HML 2007–2020：月均值 -0.44%，t 值 -1.99
逐段看：
- 价值溢价（HML）：1927–1962，年化 5.2%（t 值 2.04）；1963–1992，5.4%（t 值 3.33）；1993–2025，2.0%（t 值 0.98）。1963–1992，大致，是 Fama–French 1992 年当时，用的数据；1927–1962，是他们的样本之前，可以当作一个"样本外"的检验：价值溢价，仍然是正的。
- 规模溢价（SMB）：2.6%（t 值 1.31）→ 3.2%（1.76）→ 0.4%（0.21）。
- 最近这段，弱了很多。可是：统计上，我们不能说，它"消失"了：1993–2025 年，价值溢价的 95% 区间，大约是 −2% 到 +6%，既包含 0，也包含，之前的 5%。
- 结论，对起止点，很敏感：2007–2025，HML 的月均值，−0.15%（t 值 −0.68）；2007–2020，−0.44%（t 值 −1.99）。多加了 5 年，差别很大。
这和一个，更大的研究，是一致的：David McLean 和 Jeffrey Pontiff 2016 年（Journal of Finance，71 卷 1 期，5–32 页）：研究了 97 个，被学术论文，发现的、能预测股票收益的变量，样本外的收益，低了 26%，论文发表之后，低了 58%（据摘要）。他们的解读：26%，是"数据挖掘"的上限；多出来的 32%，是，知情的投资者，从论文里学会了，并且，把它，交易掉了。
（二）估值，和长期收益。 如果价格，只是随机的，那么，价格"贵不贵"，应该，对未来的收益，没有预测力。Robert Shiller 的数据，可以检验：周期调整市盈率（CAPE）：价格，除以，过去 10 年，平均的、剔除通胀的盈利。用 1881 年到 2023 年的数据，看：CAPE 高的时候，之后 10 年的收益，是不是更低？
import math
import numpy as np
# 年份：1881–2023，每年 1 月的数据；cape = 周期调整市盈率（价格 ÷ 过去 10 年平均的、剔除通胀的盈利）；
# tr = 剔除通胀后的"含股息再投资的价格指数"，以 1881 年 1 月 = 1。数据来自 Robert Shiller 网站公布的 ie_data.xls（美国股市，2023 年 9 月更新）。
years = list(range(1881, 2024))
cape = [
18.47, 15.68, 15.27, 14.43, 13.13, 16.69, 17.51, 15.36, 15.8, 17.22, 15.43, 19.02,
17.66, 15.74, 16.52, 16.58, 17.03, 19.25, 22.93, 18.67, 20.98, 22.34, 20.32, 15.86,
18.46, 20.13, 17.22, 11.9, 14.76, 14.55, 14.05, 13.79, 13.15, 11.64, 10.36, 12.54,
10.99, 6.64, 6.1, 5.99, 5.12, 6.29, 8.15, 8.07, 9.69, 11.34, 13.19, 18.81, 27.08, 22.31,
16.71, 9.31, 8.73, 13.03, 11.5, 17.09, 21.62, 13.51, 15.6, 16.38, 13.9, 10.1, 10.15,
11.05, 11.96, 15.62, 11.47, 10.42, 10.25, 10.75, 11.9, 12.53, 13.01, 12.0, 15.99, 18.29,
16.72, 13.79, 17.98, 18.34, 18.47, 21.2, 19.26, 21.63, 23.27, 24.06, 20.43, 21.51,
21.19, 17.09, 16.46, 17.26, 18.71, 13.53, 8.92, 11.19, 11.44, 9.24, 9.26, 8.85, 9.26,
7.39, 8.76, 9.89, 10.0, 11.72, 14.92, 13.9, 15.09, 17.05, 15.61, 19.77, 20.32, 21.41,
20.22, 24.76, 28.33, 32.86, 40.58, 43.77, 36.98, 30.28, 22.9, 27.66, 26.59, 26.47,
27.21, 24.02, 15.17, 20.53, 22.98, 21.21, 21.9, 24.86, 26.49, 24.21, 28.06, 33.31,
28.38, 30.99, 34.51, 36.94, 28.33
]
tr = [
1.0, 0.93, 0.98, 1.0, 0.98, 1.32, 1.48, 1.4, 1.51, 1.7, 1.56, 1.97, 1.94, 1.82, 1.97,
2.03, 2.16, 2.53, 3.22, 2.86, 3.54, 4.13, 4.08, 3.54, 4.57, 5.54, 5.34, 4.14, 5.58,
5.86, 6.07, 6.35, 6.35, 5.92, 5.54, 7.07, 6.8, 4.63, 4.64, 4.74, 4.14, 5.13, 6.66, 6.82,
8.67, 10.55, 12.04, 16.7, 24.94, 22.59, 18.78, 11.64, 12.1, 18.53, 16.55, 25.27, 32.82,
22.13, 26.33, 27.33, 24.55, 20.05, 22.65, 27.19, 31.82, 43.36, 32.29, 30.07, 32.53,
39.07, 48.65, 56.84, 64.94, 66.16, 97.87, 125.72, 130.47, 118.61, 164.2, 174.94, 183.27,
216.81, 208.44, 248.6, 285.61, 312.79, 282.98, 317.04, 335.96, 289.36, 295.55, 326.25,
371.02, 283.98, 200.52, 261.55, 276.54, 235.56, 250.64, 257.82, 290.64, 248.86, 312.26,
360.79, 376.15, 457.7, 592.82, 556.22, 626.86, 732.97, 688.02, 884.88, 923.3, 1006.02,
989.96, 1304.13, 1612.12, 2030.27, 2626.24, 2954.46, 2699.66, 2309.55, 1798.04, 2268.3,
2336.38, 2474.7, 2749.12, 2598.75, 1672.31, 2171.46, 2486.73, 2498.39, 2858.2, 3534.33,
4014.31, 3823.65, 4517.98, 5532.65, 5189.47, 6488.96, 7542.63, 8576.65, 7092.03
]
cape, tr = np.array(cape), np.array(tr)
H = 10 # 往后看 10 年
start = np.arange(len(years) - H) # 起点：1881 … 2013
fwd = (tr[start + H] / tr[start]) ** (1 / H) - 1 # 之后 10 年的年化实际总收益
x = np.log(cape[start])
print(f"样本：起点 {years[0]}–{years[start[-1]]}，共 {len(start)} 个起点（但相邻起点的 10 年窗口大量重叠，彼此远不独立：约 {len(start) / H:.0f} 个互不重叠的窗口）")
print(f" 之后 10 年年化实际收益：平均 {fwd.mean():.2%}，最低 {fwd.min():.2%}（{years[int(fwd.argmin())]} 年起），最高 {fwd.max():.2%}（{years[int(fwd.argmax())]} 年起）")
# 一、回归：之后 10 年的收益 = a + b × ln(CAPE)
def ols(x, y):
xc = x - x.mean()
b = (xc * (y - y.mean())).sum() / (xc @ xc)
a = y.mean() - b * x.mean()
res = y - a - b * x
r2 = 1 - (res @ res) / (((y - y.mean()) ** 2).sum())
return a, b, r2, res, xc
a, b, r2, res, xc = ols(x, fwd)
n = len(x)
se_naive = math.sqrt((res @ res) / (n - 2) / (xc @ xc))
# Newey–West 标准误（滞后 10 个起点），考虑重叠窗口带来的相关
u = xc * res
S = (u @ u)
for L in range(1, 11):
S += 2 * (1 - L / 11) * (u[L:] @ u[:-L])
se_nw = math.sqrt(S) / (xc @ xc)
print(f"\n一、全样本：之后 10 年年化实际收益 = {a:.3f} + ({b:.3f}) × ln(CAPE)，R² = {r2:.2f}，相关系数 {np.corrcoef(x, fwd)[0, 1]:.2f}")
print(f" 斜率的 t 值：朴素算法 {b / se_naive:.1f}；考虑重叠（Newey–West，滞后 10）{b / se_nw:.1f}")
# 二、分三档看：开始时 CAPE 低 / 中 / 高
order = np.argsort(cape[start])
print("\n二、按起点的 CAPE，分成 3 档，看之后 10 年的年化实际收益")
for name, g in zip(("最低 1/3", "中间 1/3", "最高 1/3"), np.array_split(order, 3)):
print(f" {name}：CAPE {cape[start][g].min():.1f}–{cape[start][g].max():.1f}，平均之后 10 年 {fwd[g].mean():.2%}（最差 {fwd[g].min():.2%}，最好 {fwd[g].max():.2%}）")
# 三、前一半 vs 后一半样本，关系稳不稳？
mid = n // 2
for label, sl in ((f"{years[0]}–{years[mid - 1]} 起点", slice(0, mid)), (f"{years[mid]}–{years[n - 1]} 起点", slice(mid, n))):
_, bb, rr, _, _ = ols(x[sl], fwd[sl])
print(f" {label}：斜率 {bb:.3f}，R² = {rr:.2f}")
# 四、样本外：站在每一年，只用"那时已经知道的 10 年结果"，预测下一个 10 年；对比"只用历史平均"
sse_m = sse_0 = 0.0
cnt = 0
for t in range(30 + H - 1, n): # 至少有 30 对"起点–10年结果"才开始预测
known = np.arange(0, t - H + 1) # 起点 s 的 10 年结果，要到 s+10 年才知道
a_, b_, _, _, _ = ols(x[known], fwd[known])
pred_m = a_ + b_ * x[t]
pred_0 = fwd[known].mean()
sse_m += (fwd[t] - pred_m) ** 2
sse_0 += (fwd[t] - pred_0) ** 2
cnt += 1
print(f"\n三、样本外：{years[30 + H - 1]}–{years[n - 1]} 起点共 {cnt} 个预测，用 CAPE 的回归 vs 用历史平均")
print(f" 样本外 R² = 1 − SSE(回归) / SSE(历史平均) = {1 - sse_m / sse_0:.3f}（> 0 才说明回归比历史平均更好）")
输出：
样本：起点 1881–2013，共 133 个起点（但相邻起点的 10 年窗口大量重叠，彼此远不独立：约 13 个互不重叠的窗口）
之后 10 年年化实际收益：平均 6.65%，最低 -4.41%（1999 年起），最高 18.31%（1919 年起）
一、全样本：之后 10 年年化实际收益 = 0.258 + (-0.070) × ln(CAPE)，R² = 0.29，相关系数 -0.53
斜率的 t 值：朴素算法 -7.2；考虑重叠（Newey–West，滞后 10）-5.8
二、按起点的 CAPE，分成 3 档，看之后 10 年的年化实际收益
最低 1/3：CAPE 5.1–13.2，平均之后 10 年 9.82%（最差 0.48%，最好 18.31%）
中间 1/3：CAPE 13.5–18.5，平均之后 10 年 6.08%（最差 -3.75%，最好 15.40%）
最高 1/3：CAPE 18.5–43.8，平均之后 10 年 3.99%（最差 -4.41%，最好 13.13%）
1881–1946 起点：斜率 -0.070，R² = 0.32
1947–2013 起点：斜率 -0.087，R² = 0.38
三、样本外：1920–2013 起点共 94 个预测，用 CAPE 的回归 vs 用历史平均
样本外 R² = 1 − SSE(回归) / SSE(历史平均) = 0.076（> 0 才说明回归比历史平均更好）
逐段看：
- 有关系，而且，不弱：CAPE 最低的 1/3，之后 10 年，年化实际收益，平均 9.82%；中间 1/3，6.08%；最高的 1/3，3.99%。回归的 R²，0.29。前一半样本（1881–1946 起点）和后一半（1947–2013 起点）的斜率，接近：−0.070 和 −0.087。
- 要小心统计：相邻起点的 10 年窗口，重叠，所以，133 个起点，只相当于，约 13 个独立的窗口；朴素的 t 值，−7.2，考虑重叠之后（Newey–West），−5.8；别把这样的 t 值，当作，很强的证据。
- 样本外：站在每一年，只用，那时已经知道的结果，预测下一个 10 年：样本外 R² = 0.076，> 0，比"只用历史平均"，好一点；但，只有一点。
- 极端的例子：1999 年 1 月，CAPE 是 40.6；之后 10 年，年化实际收益，−4.41%。1929 年 1 月，CAPE，27.1；之后，+0.54%。
这和几个，有名的结果，是一个方向：Shiller 1981 年（《股票价格的波动，是不是，大过了后来股息的变化，所能解释的？》，American Economic Review，71 卷 3 期，421–436 页）：价格的波动，比，用后来的股息，算出的"合理价格"的波动，大得多；Fama 和 French 1988 年（Journal of Financial Economics，22 卷 1 期，3–25 页）：股息率，对股票收益的预测力，随着期限变长，增强。2013 年的诺贝尔经济学奖，同时，给了 Fama、Shiller 和 Lars Hansen，奖励的是，“对资产价格的实证分析”；据瑞典皇家科学院的说明，短期的价格，没法预测，但是，长期的大方向，可以。
可是，另一方面，Amit Goyal 和 Ivo Welch 2008 年（Review of Financial Studies，21 卷 4 期，1455–1508 页）重新检验了，一大批，被用来预测股票收益的变量，结论（据摘要）是：它们中的许多，不论，样本内、还是样本外，30 年来，表现都很差，并且，不稳定。我们这里，只有一个变量、美国一个国家，样本外的 R² 是正的，不能，推广成，“估值，可以用来择时”。
（三）泡沫。 价格，会不会，远远偏离，基本价值？1990 年代末，美国的科技股，涨到了很高的位置，之后，大跌。这是不是泡沫？
- 事后的低收益（上面的 1999 年），两派，都能解释：泡沫，破了；或者，是投资者，当时，对这些公司的未来，很不确定，要求更高的价格，来补偿"高增长的可能性"，后来，没有实现。
- Lubos Pástor 和 Pietro Veronesi 2006 年，（Journal of Financial Economics，81 卷 1 期，61–100 页），问：《1990 年代末，纳斯达克，有泡沫吗？》，答案，是"不一定"：他们的模型认为，对未来利润的不确定性，越大，公司的价值，反而越高，而 1990 年代末，这种不确定性，很高；他们，并没有说，一定没有泡沫，只是说，泡沫，不是唯一的解释。
- 据评论，Fama，怀疑"泡沫"这个词，有没有被清楚地定义；Shiller，认为，一些资产的价格，确实，被泡沫，抬高了。（这里的概括，来自对两位的评论，不是他们的原话。）
6.3 分歧在哪
两派，在事实上，其实，有不少，共同的地方：
- 短期（天、周、月）的收益，几乎没法预测；
- 主动管理的基金，平均，扣费之后，跑不赢市场；
- 价格，不是随便定的。
分歧，主要在，怎么解释，剩下的那些规律（异象、长期的可预测性、泡沫）：
| 有效市场一派（Fama 一路） | 行为金融一派（Shiller 一路） | |
|---|---|---|
| 异象，是什么 | 风险的补偿（模型，不完整）；或，数据挖掘 | 错误定价（投资者的偏差） |
| 估值，能预测长期收益 | 预期收益，随时间变化：经济差的时候，人们更怕风险，价格更低，之后的收益更高 | 情绪、过度反应、均值回归 |
| 泡沫 | 事前，很难识别；名词，不清楚 | 存在，在某些情形，部分可识别 |
| 为什么，错误，没被套利掉 | 其实，被套利了（异象，发表后衰减） | 套利，是有限的：见下 |
三个，让分歧，很难解决的原因：
- 联合假设：同一个数据，同时，符合两种解释：CAPE 高的时候，之后的收益低，既可以说，是"价格，太高，之后回落"，也可以说，是"人们，这时候，更不怕风险，所以，要求的补偿，更低"。没有一个，独立的"预期收益"的模型，没法，分开。
- 套利，有限度：Andrei Shleifer 和 Robert Vishny 1997 年（《套利的限度》，Journal of Finance，52 卷 1 期，35–55 页）：真实世界的套利，需要资本，也有风险，而且，通常，是少数专业人士，用别人的钱，来做。当价格，进一步，偏离基本价值的时候，他们，可能，被迫，平仓。这和第 35 讲的"贱卖"，是同一个逻辑。所以，价格，可以错，并且，错得，比你能撑的时间，更久。
- 数据，太少：美国一个国家，99 年；约 13 个互不重叠的 10 年；研究者，又在同一份数据上，不断地，试各种变量（多重检验，见第三节）；第 4 讲说过，研究的结果，要经得起重复。
6.4 价值判断（留给你）
有效市场假说，本身，是一个关于"价格如何形成"的描述，不含价值判断。涉及价值的，是它在现实中，引出的选择：
- 金融交易，该有多大的规模？ 事实问题：市场的价格发现，有多大的社会价值；大量的短线交易，消耗了多少资源。价值问题：该不该，限制、或者，对短线交易征税？你怎么，权衡"价格更准"和"资源的消耗"？
- 该不该，保护"普通的投资者"？ 如果，主动管理，平均，不如被动，是否，应该把低成本的指数基金，设为养老金的默认选项？这样，是保护，还是家长主义（第 36 讲的默认选项）？
- 泡沫时，监管者，该不该干预？ 如果，泡沫，事前，很难识别，央行，该不该，去管资产的价格（第 31 讲的泰勒规则，和房地产泡沫的争论）？
经济学，能告诉你：每一种选择，大约，有什么后果；你更看重哪一个后果，是你的价值判断。
七、局限、常见误用
7.1 局限
- 数据：全部，来自美国；时期，是 1927–2025（或 1881–2023）；美国，是 20 世纪的赢家（第 37 讲）；
- 检验：月度数据，市场指数，行业组合；没有，单只股票、日内数据、交易成本；
- CAPE 的部分：窗口重叠，独立的窗口，约 13 个；样本外，只有一个变量；
- 基金：只引用了研究的摘要，没有，自己重做；
- 这一讲没有讲：中国股市的证据（我没有查到，可以核对的数据），衍生品和高频交易，事件研究（公告之后，价格多快调整），行为金融的解释（第 39 讲会讲）；
- 本讲，不是投资建议。
7.2 常见的误用
| 误用 | 正确的想法 |
|---|---|
| “有效市场，意味着价格永远正确” | 它只说，你很难系统地，比价格，知道得更多；价格，可以错 |
| “市场有效，所以，没人需要研究” | Grossman–Stiglitz：没人研究，价格，就不反映信息；有效，是靠有人研究，才得到的 |
| “随机游走，就是，什么规律也没有” | 收益的方向，很难预测；波动，是可以预测的（第三节） |
| “这个经理，连赢了 5 年，所以，他有本事” | 经理够多，就一定有人；运气，没有惯性（第四节） |
| “指数基金，一定，比主动基金好” | 平均来说，扣费后，主动的整体，少于被动的（算术）；不是每一只；也不是对你的建议 |
| “历史回测，显示有效，所以，一定能赚钱” | 样本内，没有成本，发表后会衰减（McLean–Pontiff） |
| “崩盘，证明市场无效” | 事后的下跌，不等于，事前，可以识别；联合假设 |
| “CAPM 失败了，所以，风险不被定价” | 失败的，是这个模型（只有市场 β）；风险，仍然，可能被定价 |
| “CAPE 高，所以，明年要跌” | 之后 10 年的平均，有关系；对某一年的预测，几乎没有用 |
八、小结
这一讲有六个想法，请带走：
- 有效市场假说：价格，已经反映了可得的信息，价格的变化，来自"意外"，所以，不可预测；分为弱式、半强式、强式；它不说，价格永远正确。
- 悖论：完全有效，不可能（Grossman–Stiglitz）：均衡，是"几乎有效"，信息，越便宜，越有效。
- 随机游走：美国股市月度收益的自相关，很小；收益的方向，几乎，不可预测；波动，是可以预测的。
- 运气和技能：1 万个靠抛硬币的经理，前 5 年连赢的，有 314 个；要分清技能，需要几十年；主动管理，作为整体，扣费后，一定少于被动的；费用，是复利的。
- CAPM：预测，只有市场 β，被补偿；在 49 个行业里，斜率约 0（预测，0.62）；这个模型，太简化，不等于，风险不被定价。
- 有争议：异象、估值对长期收益的预测、泡沫；两派，分歧，在怎么解释：风险的补偿，还是错误；联合假设，让它，很难被检验。
下一讲，我们问：如果，市场的价格，有系统的"错误"，那是谁的错？ 人，是不是，一台理性的计算机？我们会看，前景理论、过度自信、框架效应，和第 36 讲留下的"现在偏向"的证据。下一讲：第 39 讲：行为经济学：人不是理性计算机。
思考题
1. 1000 个经理，每年各有 50% 的概率，跑赢市场，彼此独立。5 年连赢的人数，期望是多少？8 年呢？如果，一家基金公司，同时，发起 20 只基金，每只，每年有 50% 的概率，跑赢市场，彼此独立，至少有一只，连赢 5 年的概率，是多少？
提示：1000 ÷ 2^5 = 31.25 人；1000 ÷ 2^8 ≈ 3.9 人。一只基金，连赢 5 年的概率，是 1/32；20 只里，至少有一只，是 1 − (31/32)^20 ≈ 47.0%；如果是 100 只，95.8%。这就是，“成立很多基金，只宣传最好的那只”，为什么，不说明什么。
2. 一个经理，每年，扣费后，多赚 1%，上下波动（跟踪误差）4%。要观察多少年，t 值的平均水平，才到 2？如果，是每年多赚 3%，波动 6%，呢？
提示：年数 = (2 × 跟踪误差 ÷ 每年多赚的)²。第一个：(2 × 4 ÷ 1)² = 64 年。第二个：(2 × 6 ÷ 3)² = 16 年。多赚得越少、波动越大，越分不清楚。
3. 10 万元，毛收益每年 7%，持有 40 年。年费用 0、年费用 1.5%，分别，变成多少？费用，让最后的钱，少了多少？
提示：0 费用：10 万 × 1.07^40 ≈ 149.7 万；1.5% 费用：10 万 × 1.055^40 ≈ 85.1 万；少了 1 − 85.1 ÷ 149.7 ≈ 43.1%。一年，只差 1.5 个百分点，40 年，差了快一半。
4. 你只有 25 年（300 个月）的数据，算出，月度收益的一阶自相关，是 +0.09。显著吗？为什么，1188 个月的数据里，同样的数，是显著的？
提示：300 个月的区间，±2 ÷ √300 ≈ ±0.115；0.09，在区间里面，不显著。1188 个月，区间 ±0.058；0.09 在外面。样本越大，越小的差别，也能被看出来；不显著，不等于没有，可能，只是数据，不够。
5. （开放题）用第 2.4 节的小模型：如果，随着技术进步，收集信息的成本，从 2 万元，降到 0.5 万元，市场，会变得更有效、还是更没效？这对"个人投资者，该不该自己选股"，意味着什么？从中，分出哪些，是事实，哪些，是价值判断。
提示：事实部分：均衡，λ = 1 − c ÷ 10：c = 2 → 80%；c = 0.5 → 95%；信息，越便宜，价格，反映的信息越多，每个知情的人，能多赚的越少。注意，这是示意的小模型，不是真实的估计。含义：靠"信息优势"选股，越来越难（事实，在这个模型里）。价值判断部分：个人，有没有权利，把钱，用在自己选的股票上？该不该，因为平均不赚钱，就限制？你愿意，为"我自己选的"，付多少代价？
参考与延伸
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