这一讲要回答六个问题：
- 财政政策有哪些工具？什么是自动稳定器？
- 乘数是什么？为什么政府多花 1 元，GDP 多的不是 1 元？
- 价格、利率、预期，怎样让乘数变小？
- 乘数到底有多大？（有争议）
- 政府债务怎样滚动？为什么 r 和 g 的差这么重要？
- 政府债务多高会出问题？（有争议）
前两讲，我们讲了通胀和周期。这一讲，是政府的另一件工具：财政政策，也就是政府的收支：花多少钱，征多少税，借多少债。第 31 讲，我们讲了央行怎样用利率稳定经济；这一讲，讲政府怎样用收支。第 4 讲问过的两个问题：“央行该不该加息”，和"一个国家的政府债务多高会出问题"，这一讲回答后一个。
一、100 亿元的高铁站
衰退里，失业率在上升。政府决定，额外花 100 亿元，修一座高铁站。
先停一下：这 100 亿元花出去以后，整个经济的 GDP，最后会增加多少？是不到 100 亿，正好 100 亿，还是超过 100 亿？
想一想这 100 亿元去了哪里：一部分，付给了施工的工人和供应商，他们有了收入，会拿去买东西，花在饭馆、超市，饭馆的老板和员工又有了收入……这就是第 32 讲开头那个小镇：你的支出，是别人的收入。每一轮，都有一部分被花掉，一部分被存起来、交了税、买了进口货。
我们这一讲，要把这个"一轮一轮传下去"的故事，算清楚。
二、财政政策：工具和自动稳定器
2.1 政府的收支
政府的账，有几个基本概念：
- 政府购买（G）：政府买商品和服务：修路、造桥、国防、公务员的工资。它直接是 GDP 的一部分（第 27 讲：C + I + G + NX）。
- 转移支付：政府给个人的钱，不换回任何商品和服务：养老金、失业救济、补贴。它不是 GDP 的一部分，但会改变人们的收入。
- 税收（T）：政府从个人和企业那里拿走的钱。
- 预算赤字 = 政府的支出（购买、转移支付、利息）− 税收。每年的赤字，累积起来，就是政府债务。
- 基本赤字：不含利息的赤字（本讲第四节会用到）。
2.2 自动稳定器
有些财政项目，不用任何人做新的决定，就会在衰退时，自动地增加赤字，在繁荣时，自动地减少赤字，这叫自动稳定器：
- 税收：收入下降时，税基缩小，累进的所得税，收得更少；
- 失业救济和社会保障：失业的人多了，领救济的人就多了。
自动稳定器，缓和了收入的波动；而政府额外做的主动的财政刺激，是自由裁量的（需要立法或批准）。
2.3 代码验证：衰退时赤字变大吗
import numpy as np
# 财政赤字，在衰退时会自动变大吗？美国联邦政府，1949–2024 财年。
# 来源：美联储圣路易斯分行 FRED（FYFSGDA188S：联邦盈余/赤字占 GDP 的比例；GDPC1：实际 GDP），2026 年 10 月下载后我算好的。
# 每项：年份: (实际 GDP 增长率 %，联邦赤字占 GDP 的比例 %，赤字为正)。注意：财年是上年 10 月到当年 9 月，和日历年的增长率，并不完全对齐。
data = {
1949: (-0.56, -0.21), 1950: (8.69, 1.04), 1951: (8.04, -1.76), 1952: (4.08, 0.41),
1953: (4.69, 1.67), 1954: (-0.58, 0.30), 1955: (7.13, 0.70), 1956: (2.13, -0.88),
1957: (2.11, -0.72), 1958: (-0.74, 0.58), 1959: (6.93, 2.46), 1960: (2.57, -0.06),
1961: (2.57, 0.59), 1962: (6.13, 1.18), 1963: (4.36, 0.75), 1964: (5.76, 0.86),
1965: (6.50, 0.19), 1966: (6.60, 0.45), 1967: (2.74, 1.01), 1968: (4.91, 2.67),
1969: (3.12, -0.32), 1970: (0.18, 0.26), 1971: (3.29, 1.98), 1972: (5.26, 1.83),
1973: (5.65, 1.05), 1974: (-0.54, 0.40), 1975: (-0.21, 3.16), 1976: (5.39, 3.94),
1977: (4.62, 2.58), 1978: (5.54, 2.52), 1979: (3.17, 1.55), 1980: (-0.26, 2.58),
1981: (2.54, 2.46), 1982: (-1.80, 3.83), 1983: (4.58, 5.72), 1984: (7.24, 4.59),
1985: (4.17, 4.89), 1986: (3.46, 4.83), 1987: (3.45, 3.08), 1988: (4.18, 2.96),
1989: (3.67, 2.71), 1990: (1.89, 3.71), 1991: (-0.11, 4.37), 1992: (3.52, 4.45),
1993: (2.75, 3.72), 1994: (4.03, 2.79), 1995: (2.68, 2.15), 1996: (3.77, 1.33),
1997: (4.45, 0.26), 1998: (4.48, -0.76), 1999: (4.79, -1.30), 2000: (4.08, -2.30),
2001: (0.96, -1.21), 2002: (1.70, 1.44), 2003: (2.80, 3.30), 2004: (3.85, 3.38),
2005: (3.48, 2.44), 2006: (2.78, 1.80), 2007: (2.00, 1.11), 2008: (0.11, 3.10),
2009: (-2.58, 9.76), 2010: (2.70, 8.60), 2011: (1.56, 8.33), 2012: (2.29, 6.62),
2013: (2.12, 4.03), 2014: (2.52, 2.75), 2015: (2.95, 2.42), 2016: (1.82, 3.11),
2017: (2.46, 3.39), 2018: (2.97, 3.77), 2019: (2.58, 4.57), 2020: (-2.08, 14.48),
2021: (6.27, 11.69), 2022: (2.43, 5.27), 2023: (2.92, 6.07), 2024: (2.95, 6.20)
}
recessions = [1949, 1954, 1958, 1974, 1975, 1980, 1982, 1991, 2009, 2020] # 第 32 讲：实际 GDP 下降的年份
ys = list(data)
g = np.array([data[y][0] for y in ys]); d = np.array([data[y][1] for y in ys])
print(f"一、{len(ys)} 个财年：赤字 = {np.polyfit(g, d, 1)[1]:.2f} + ({np.polyfit(g, d, 1)[0]:.2f}) × 增长率，相关系数 {np.corrcoef(g, d)[0, 1]:.2f}")
print(f" GDP 增长每低 1 个百分点，赤字平均多 {-np.polyfit(g, d, 1)[0]:.2f} 个百分点（占 GDP）")
rec = [data[y][1] for y in recessions]; other = [data[y][1] for y in ys if y not in recessions]
print(f" GDP 下降的 {len(recessions)} 年，平均赤字 {np.mean(rec):.2f}%；其他年份，平均 {np.mean(other):.2f}%")
print("\n二、几个年份：")
for y in (1982, 2001, 2007, 2009, 2010, 2019, 2020, 2021, 2022):
print(f" {y}：GDP 增长 {data[y][0]:+5.2f}%，赤字 {data[y][1]:6.2f}% GDP")
big = sorted(ys, key=lambda y: -data[y][1])[:4]
print("赤字最大的 4 个财年：" + "；".join(f"{y}（{data[y][1]:.2f}%）" for y in big))
print(" 赤字大，有'自动'的部分（税收随收入下降，失业救济随失业上升），也有'主动'的部分（政府额外的刺激）：这张表分不开它们")
输出：
一、76 个财年：赤字 = 3.61 + (-0.30) × 增长率，相关系数 -0.24
GDP 增长每低 1 个百分点，赤字平均多 0.30 个百分点（占 GDP）
GDP 下降的 10 年，平均赤字 3.92%；其他年份，平均 2.48%
二、几个年份：
1982：GDP 增长 -1.80%，赤字 3.83% GDP
2001：GDP 增长 +0.96%，赤字 -1.21% GDP
2007：GDP 增长 +2.00%，赤字 1.11% GDP
2009：GDP 增长 -2.58%，赤字 9.76% GDP
2010：GDP 增长 +2.70%，赤字 8.60% GDP
2019：GDP 增长 +2.58%，赤字 4.57% GDP
2020：GDP 增长 -2.08%，赤字 14.48% GDP
2021：GDP 增长 +6.27%，赤字 11.69% GDP
2022：GDP 增长 +2.43%，赤字 5.27% GDP
赤字最大的 4 个财年：2020（14.48%）；2021（11.69%）；2009（9.76%）；2010（8.60%）
赤字大，有'自动'的部分（税收随收入下降，失业救济随失业上升），也有'主动'的部分（政府额外的刺激）：这张表分不开它们
逐段看：
- 第一部分：赤字占 GDP 的比例 = 3.61 − 0.30 × 增长率。GDP 增长每低 1 个百分点，赤字平均多 0.30 个百分点（占 GDP）。GDP 下降的 10 个年份，平均赤字 3.92% GDP；其他年份，平均 2.48%。
- 第二部分：2009 年（金融危机），GDP −2.58%，赤字 9.76% GDP；2020 年（疫情），GDP −2.08%，赤字 14.48% GDP，是这 76 个财年里最大的。2021 年，GDP 已经增长 6.27%，赤字还有 11.69%：政府的支出，没有立刻收回。
- 两件事要小心：（1）这张表分不开"自动"和"主动"：赤字大，有税收下降、救济上升的自动部分，也有政府额外的刺激。（2）财年和日历年不一致：美国联邦政府的财年，是上年 10 月到当年 9 月，而增长率是日历年的，所以，2010 年的 8.60%，也是危机刺激的延续。
小结： 财政政策：政府购买、转移支付、税收。自动稳定器，让赤字在衰退时自动变大。美国 1949 到 2024 年：GDP 每低 1 个百分点，赤字多约 0.3 个百分点（占 GDP）。
三、乘数
3.1 一轮一轮地算
回到那个故事。假设：政府多花 ΔG；每个人，每多赚 1 元，花掉其中的 c（边际消费倾向）；税收是收入的 t（税率）；进口占收入的 m（花在外国商品上的，不会变成本国的需求）。那么，每一轮，新增的收入，会有 c(1 − t) − m 变成下一轮本国的需求：
新增 GDP = ΔG × [1 + (c(1−t) − m) + (c(1−t) − m)² + ……] = ΔG ÷ (1 − c(1−t) + m)
这个 1 ÷ (1 − c(1−t) + m)，就是乘数。
# 乘数：政府多花 100，GDP 最后多出多少？
# 模型：Y = C + I + G + NX；C = c × (Y - T)；T = t × Y（税收随收入）；进口 = m × Y；I 和出口不变。
# c：边际消费倾向；t：税率；m：进口占收入的比例。每一轮，新增的收入里，有 c(1-t) 被花掉，其中 m 流向国外，剩下 c(1-t) - m 变成下一轮的国内需求。
def multiplier(c, t, m):
return 1 / (1 - c * (1 - t) + m)
def rounds(dG, c, t, m, n=500):
total, new = 0.0, dG
for _ in range(n):
total += new
new *= c * (1 - t) - m
return total
print("一、政府购买增加 100：GDP 增加多少？")
cases = [("c = 0.9，没有税、没有进口", 0.9, 0.0, 0.0), ("c = 0.8，没有税、没有进口", 0.8, 0.0, 0.0), ("加上税率 25%", 0.8, 0.25, 0.0),
("再加上进口 10%", 0.8, 0.25, 0.10), ("进口占 30%（很开放的小国）", 0.8, 0.25, 0.30)]
for label, c, t, m in cases:
print(f" {label}：逐轮加总 {rounds(100, c, t, m):6.2f}，公式 100 ÷ (1 - c(1-t) + m) = {100 * multiplier(c, t, m):6.2f}（乘数 {multiplier(c, t, m):.2f}）")
c, t, m = 0.8, 0.25, 0.10
print(f"\n二、同样的 100，换成别的工具（c={c}，t={t}，m={m}）：")
print(f" 政府购买 +100：GDP +{100 * multiplier(c, t, m):.1f}")
print(f" 减税（定额）100：GDP +{c * 100 * multiplier(c, t, m):.1f}（第一轮，只有 {c * 100:.0f} 被花掉，其余 {100 - c * 100:.0f} 被存起来）")
print(f" 增加转移支付 100：效果和定额减税一样：GDP +{c * 100 * multiplier(c, t, m):.1f}")
print(f" 平衡预算：购买 +100，同时增税 100：GDP +{(100 - c * 100) * multiplier(c, t, m):.1f}（没有税率、进口时，是 +100，乘数为 1）")
c0 = 0.8
print(f" 没有税率、没有进口时的平衡预算乘数：{(100 - c0 * 100) / (1 - c0):.0f} ÷ 100 = 1.0")
print("\n三、乘数是'在价格不变时'的数。把第 32 讲的 AD–AS 加进来：需求每年多 10（A 从 150 提高到 160，并且一直保持），物价会涨，产出能保持多久？")
Ystar, b = 100.0, 0.5
def sustained(k, T=20):
out, Pe = [], 100.0
for t_ in range(T):
A = 160.0 if t_ >= 1 else 150.0
P = (Pe + k * (A - Ystar)) / (1 + k * b); Y = A - b * P
out.append(Y - Ystar); Pe = P
return out
for k in (0.25, 1.0, 4.0):
path = sustained(k)
print(f" k={k:>4}（{'价格很黏' if k < 1 else '有些黏' if k == 1 else '较灵活'}）：产出高出潜在水平：第 1 年 {path[1]:+.2f}，第 3 年 {path[3]:+.2f}，第 10 年 {path[10]:+.2f}，第 19 年 {path[19]:+.2f}")
print(" 需求多了 10，第 1 年产出最多多出 6.67（k=1）：物价涨了，吃掉了一部分；长期里，产出回到 100，全部变成了物价")
print("\n四、挤出效应：政府借钱，利率上升（第 31 讲的可贷资金：S = 100 + 20r，I = 300 − 30r，单位万亿元）")
r0 = (300 - 100) / (20 + 30); I0 = 300 - 30 * r0
r1 = (300 - 80) / (20 + 30); I1 = 300 - 30 * r1
print(f" 赤字让公共储蓄减少 20：利率 {r0:.2f}% → {r1:.2f}%，私人投资 {I0:.0f} → {I1:.0f}（少了 {I0 - I1:.0f}，是政府多借的 20 的 {(I0 - I1) / 20:.0%}）")
print(" 这是'充分就业'时的结果：产出已经在潜在水平，政府多用的，是私人少用的；衰退时，有闲置的资源，挤出就小得多（下面的证据）")
输出：
一、政府购买增加 100：GDP 增加多少？
c = 0.9，没有税、没有进口：逐轮加总 1000.00，公式 100 ÷ (1 - c(1-t) + m) = 1000.00（乘数 10.00）
c = 0.8，没有税、没有进口：逐轮加总 500.00，公式 100 ÷ (1 - c(1-t) + m) = 500.00（乘数 5.00）
加上税率 25%：逐轮加总 250.00，公式 100 ÷ (1 - c(1-t) + m) = 250.00（乘数 2.50）
再加上进口 10%：逐轮加总 200.00，公式 100 ÷ (1 - c(1-t) + m) = 200.00（乘数 2.00）
进口占 30%（很开放的小国）：逐轮加总 142.86，公式 100 ÷ (1 - c(1-t) + m) = 142.86（乘数 1.43）
二、同样的 100，换成别的工具（c=0.8，t=0.25，m=0.1）：
政府购买 +100：GDP +200.0
减税（定额）100：GDP +160.0（第一轮，只有 80 被花掉，其余 20 被存起来）
增加转移支付 100：效果和定额减税一样：GDP +160.0
平衡预算：购买 +100，同时增税 100：GDP +40.0（没有税率、进口时，是 +100，乘数为 1）
没有税率、没有进口时的平衡预算乘数：100 ÷ 100 = 1.0
三、乘数是'在价格不变时'的数。把第 32 讲的 AD–AS 加进来：需求每年多 10（A 从 150 提高到 160，并且一直保持），物价会涨，产出能保持多久？
k=0.25（价格很黏）：产出高出潜在水平：第 1 年 +8.89，第 3 年 +7.02，第 10 年 +3.08，第 19 年 +1.07
k= 1.0（有些黏）：产出高出潜在水平：第 1 年 +6.67，第 3 年 +2.96，第 10 年 +0.17，第 19 年 +0.00
k= 4.0（较灵活）：产出高出潜在水平：第 1 年 +3.33，第 3 年 +0.37，第 10 年 +0.00，第 19 年 +0.00
需求多了 10，第 1 年产出最多多出 6.67（k=1）：物价涨了，吃掉了一部分；长期里，产出回到 100，全部变成了物价
四、挤出效应：政府借钱，利率上升（第 31 讲的可贷资金：S = 100 + 20r，I = 300 − 30r，单位万亿元）
赤字让公共储蓄减少 20：利率 4.00% → 4.40%，私人投资 180 → 168（少了 12，是政府多借的 20 的 60%）
这是'充分就业'时的结果：产出已经在潜在水平，政府多用的，是私人少用的；衰退时，有闲置的资源，挤出就小得多（下面的证据）
逐段看第一、二部分：
- 只有消费（c = 0.9，没有税，没有进口）：乘数 = 1 ÷ (1 − 0.9) = 10：这正是第 32 讲开头那个小镇：一户少花 10 元，最后全镇少 100 元。
- 每一种"漏出"，都让乘数变小：c 降到 0.8，乘数 5；加上 25% 的税，2.5；再加上 10% 的进口，2.0；一个很开放的小国（进口占 30%），只有 1.43。现实里的乘数，比教科书里的"10"小得多。
- 换成别的工具：同样是 100：政府购买 +100，GDP +200；定额减税 100，只有 +160（因为第一轮，只有 80 被花掉，其余 20 被存起来）；转移支付，效果同减税。
- 平衡预算乘数：购买 +100 的同时，增税 100：GDP +40（在没有税率、没有进口的简化里，是 +100，乘数正好是 1）。
3.2 乘数会变小的几个原因
上面算的，是价格不变、利率不变、资源有闲置时的乘数。现实里，有几股力量会让它变小。
第一，物价上涨。用第 32 讲的 AD–AS：需求每年多 10（一直保持）。代码第三部分：
- 价格有些黏（k = 1）：第 1 年产出多出 6.67，第 3 年 2.96，第 10 年 0.17，第 19 年，0：长期里，产出回到潜在水平，多出来的需求，全变成了物价。
- 价格很黏（k = 0.25）：第 1 年 +8.89，第 10 年 +3.08，第 19 年还有 +1.07：效果更大、更久；
- 价格较灵活（k = 4）：第 1 年只有 +3.33，第 3 年就几乎消失了。
第二，利率上升（挤出效应）。第 31 讲的可贷资金：政府借钱，公共储蓄减少，利率上升，私人投资减少。代码第四部分：赤字让公共储蓄少 20，利率从 4.00% 升到 4.40%，私人投资从 180 降到 168：少了 12，是政府多借的 20 的 60%。这是"产出已经在潜在水平"时的结果：政府多用的，是私人少用的。衰退时，有闲置的资源（失业的工人、闲置的设备），挤出就小得多。
第三，央行的反应。如果央行看到需求上升、通胀上升，就加息（第 31 讲的泰勒规则），会抵消一部分财政刺激。反过来，如果利率已经在零（第 31 讲：零利率下限），央行加不了息，也降不了，财政刺激的效果，就不会被利率抵消。
第四，预期：李嘉图等价。如果人们看到，今天借债减税，预期明天要还，那么，今天减下来的税，不会花掉，而是存起来，准备交以后的税。这叫李嘉图等价（Robert Barro 1974 年，《政府债券是净财富吗？》，Journal of Political Economy，82 卷 6 期）。它依赖很强的假设：人们是永远活着的家族（有代际的利他）、资本市场完美、政府支出路径固定。（据二手概述；多数经济学家把它当作一个理论的基准，不当作现实的描述。我没有逐篇核对后来的实证研究。）
3.3 一个有争议的问题：乘数到底有多大
按"理论预测 → 证据与局限 → 分歧在哪 → 价值判断留给读者"来写。
理论预测什么：乘数的大小，取决于：边际消费倾向、税率、进口、价格黏性、央行反应、经济是否有闲置资源。没有一个"天生"的乘数。
证据怎么说：
- Olivier Blanchard 和 Roberto Perotti 2002 年（Quarterly Journal of Economics，117 卷 4 期）用美国的数据，估计税收和政府支出冲击对产出的影响，发现，估计的乘数，通常较小，增税和增加政府支出，都会降低私人投资。
- Valerie Ramey 2019 年（Journal of Economic Perspectives，33 卷 2 期）总结了金融危机后十年的研究：政府支出乘数的估计，大多数在 0.6 到 1 之间；税收变化的乘数，−2 到 −3（即，增税 1 元，产出减少 2 到 3 元）；同时，她指出，在一些情形里，乘数会超出这个范围。
- Christina Romer 和 David Romer 2010 年（American Economic Review，100 卷 3 期）读历史文件，找出"外生"的税收变化（不是为了应对经济状况），发现，用这个办法，增税的负面影响，更大：据他们的工作论文摘要，增加 1% GDP 的税，实际 GDP 约降低 2% 到 3%（我没有核对正式版的措辞）。
- Emi Nakamura 和 Jón Steinsson 2014 年（American Economic Review，104 卷 3 期）用美国各地区军事开支的差异，估计出一个**“开放经济的相对乘数”，约 1.5**。这是地区之间的相对比较，不等于全国的乘数：因为货币政策、税收，是全国统一的，在比较里"抵消"了。
- Alan Auerbach 和 Yuriy Gorodnichenko 2012 年（American Economic Journal: Economic Policy，4 卷 2 期）发现，乘数在衰退时，比扩张时大得多（财政政策在衰退时更有效），军事支出的乘数，在细分的支出里最大。
局限：（1）识别很难：政府支出常常是因为经济不好才增加（反向因果）；而且，人们常常提前知道政策（预期），所以，政策"落地"的时间，不是经济反应的时间。（2）地区乘数和全国乘数不同（Nakamura 和 Steinsson 自己强调）。（3）状态依赖：乘数随经济状况（衰退或繁荣、利率是否在零）而变，不同的研究，采用的样本和方法不同，结论不同。（4）上面几项，各自用的方法不同，不能直接比较。
分歧在哪：
- 事实上的分歧：全国的乘数，到底是 0.6 到 1，还是更大？衰退或者零利率时，是不是显著更大？
- 没有分歧的部分：几乎没有人认为乘数是 10；也几乎没有人认为，财政政策在任何情形下都完全无效。
价值判断（留给你）：
- 衰退时，该不该用财政刺激：刺激能缩短衰退，代价是更多的债务，也可能是更高的通胀。你更怕哪一个？
- 钱花在哪：政府购买、减税、转移支付，乘数不同，受益的人也很不同（基建的工人、纳税人、困难家庭）。你怎么权衡"效果最大"和"最需要帮助的人"？
- 政府的规模：用自动稳定器，还是主动的刺激？政府在经济里，该有多大？
经济学能告诉你：每一种工具，大约有多大的效果、多大的代价；该选哪一种，是你的价值判断。
3.4 回到上一讲的问题：2021 年的财政救助，和通胀
第 33 讲留下一个问题：疫情期间的大规模财政救助，是不是推高了通胀？
- 事实：美国 2021 年 3 月 11 日，签署了 1.9 万亿美元的《美国救援计划法案》（American Rescue Plan Act）。
- 一项估计：Òscar Jordà、Celeste Liu、Fernanda Nechio 和 Fabián Rivera-Reyes 2022 年（旧金山联储经济快报）认为，应对疫情的财政支持措施（不是这一项法案单独），可能让美国到 2021 年底的通胀，高出约 3 个百分点，这是美国的通胀，比其他发达国家更高的原因之一（他们的估计，据摘要）。
- 回到第 33 讲：Bernanke 和 Blanchard 认为，财政政策，主要是通过推高对商品和供给有限的物品的消费需求，来推高通胀；Giannone 和 Primiceri 把"异常扩张的财政政策"，列为需求强劲的来源之一。
- 要小心：这是一个事后的、有争议的估计，用的方法不同，结论的大小不同。它不说明：救助不该做。 救助有保护收入的作用（第 3.3 节的价值判断），问题是：该做多少，代价怎样权衡。
小结： 乘数 = 1 ÷ (1 − c(1−t) + m)：漏出越多（税、进口、储蓄）越小：教科书里的"10"，在含税和进口的模型里，是 2 左右。价格上涨、利率上升、央行反应、预期，会让它更小。实证的支出乘数，多在 0.6 到 1 之间，在衰退时更大；这是个有争论的问题。
四、政府债务
4.1 债务怎么滚动
每年的赤字，会加到债务里。可是，债务占 GDP 的比例，不只看赤字：GDP 在增长，债务的实际价值，会被通胀"稀释"；而利息，会让债务自己"长大"。用实际值和占 GDP 的比例，写成：
d(下一年) = (1 + r) ÷ (1 + g) × d − pb
d 是债务占 GDP 的比例；r 是政府借钱的实际利率；g 是实际增长率；pb 是基本盈余占 GDP 的比例（不含利息的收支，盈余为正）。
要让 d 保持不变，需要的基本盈余是：pb* = (r − g) ÷ (1 + g) × d。一句话：r 高于 g，债务会自己滚大，要靠基本盈余来抵；r 低于 g，债务会被增长稀释。
# 政府债务怎么滚动：用实际值（扣掉通胀）和占 GDP 的比例来算。
# 债务/GDP 的变化：d(下一年) = (1 + r) ÷ (1 + g) × d - pb
# d：债务占 GDP 的比例；r：政府借钱的实际利率；g：实际 GDP 增长率；pb：基本盈余占 GDP 的比例（不含利息的收支，盈余为正）。
def path(d0, r, g, pb, years):
d, out = d0, [d0]
for _ in range(years):
d = (1 + r) / (1 + g) * d - pb
out.append(d)
return out
print("一、起点债务 100% GDP，每年基本收支平衡（pb = 0）：r 和 g 的差，决定债务的走向（%）")
for r, g in ((0.01, 0.03), (0.02, 0.02), (0.04, 0.02), (0.06, 0.02)):
p = path(100, r, g, 0, 30)
print(f" r = {r:.0%}，g = {g:.0%}（r − g = {r - g:+.0%}）：第 10 年 {p[10]:6.1f}，第 30 年 {p[30]:6.1f}")
print("\n二、要让债务/GDP 保持不变，每年需要的基本盈余：pb* = (r − g) ÷ (1 + g) × d")
for d, r, g in ((100, 0.02, 0.03), (100, 0.04, 0.02), (100, 0.06, 0.02), (200, 0.04, 0.02), (60, 0.04, 0.02)):
pb = (r - g) / (1 + g) * d
print(f" 债务 {d:>3}% GDP，r = {r:.0%}，g = {g:.0%}：需要基本盈余 {pb:+.2f}% GDP" + ("（负数：可以有基本赤字，债务仍不涨）" if pb < 0 else ""))
print("\n三、一次危机：债务 60% GDP，r = 3%，g = 2%。危机里，政府额外借了 20% GDP（债务 80%）。之后，每年基本盈余 pb，要多久回到 60%？")
for pb in (0.0, 1.0, 2.0, 3.0):
p = path(80, 0.03, 0.02, pb, 200)
back = next((t for t, x in enumerate(p) if x <= 60), None)
print(f" pb = {pb:.0f}% GDP：{'永远回不到 60%（第 200 年 ' + format(p[200], '.1f') + '%）' if back is None else '第 ' + str(back) + ' 年回到 60%'}")
print("\n四、利率上升，会怎样？同样是债务 100% GDP，g = 2%，pb = 0：r 从 2% 升到 5%")
for r in (0.02, 0.05):
print(f" r = {r:.0%}：债务/GDP 每年净增 {100 * ((1 + r) / 1.02 - 1):.2f} 个百分点（利息 {100 * r:.0f}% GDP，其中，增长'稀释'掉了一部分）")
输出：
一、起点债务 100% GDP，每年基本收支平衡（pb = 0）：r 和 g 的差，决定债务的走向（%）
r = 1%，g = 3%（r − g = -2%）：第 10 年 82.2，第 30 年 55.5
r = 2%，g = 2%（r − g = +0%）：第 10 年 100.0，第 30 年 100.0
r = 4%，g = 2%（r − g = +2%）：第 10 年 121.4，第 30 年 179.1
r = 6%，g = 2%（r − g = +4%）：第 10 年 146.9，第 30 年 317.1
二、要让债务/GDP 保持不变，每年需要的基本盈余：pb* = (r − g) ÷ (1 + g) × d
债务 100% GDP，r = 2%，g = 3%：需要基本盈余 -0.97% GDP（负数：可以有基本赤字，债务仍不涨）
债务 100% GDP，r = 4%，g = 2%：需要基本盈余 +1.96% GDP
债务 100% GDP，r = 6%，g = 2%：需要基本盈余 +3.92% GDP
债务 200% GDP，r = 4%，g = 2%：需要基本盈余 +3.92% GDP
债务 60% GDP，r = 4%，g = 2%：需要基本盈余 +1.18% GDP
三、一次危机：债务 60% GDP，r = 3%，g = 2%。危机里，政府额外借了 20% GDP（债务 80%）。之后，每年基本盈余 pb，要多久回到 60%？
pb = 0% GDP：永远回不到 60%（第 200 年 563.0%）
pb = 1% GDP：第 67 年回到 60%
pb = 2% GDP：第 16 年回到 60%
pb = 3% GDP：第 9 年回到 60%
四、利率上升，会怎样？同样是债务 100% GDP，g = 2%，pb = 0：r 从 2% 升到 5%
r = 2%：债务/GDP 每年净增 0.00 个百分点（利息 2% GDP，其中，增长'稀释'掉了一部分）
r = 5%：债务/GDP 每年净增 2.94 个百分点（利息 5% GDP，其中，增长'稀释'掉了一部分）
逐段看：
- 第一部分（债务 100% GDP，基本收支平衡）：r − g = −2%：债务降到第 10 年的 82.2%、第 30 年的 55.5%；r = g：不变；r − g = +2%：第 30 年 179.1%；+4%：317.1%。同一笔债务，r 和 g 的差，决定它是被稀释，还是滚雪球。
- 第二部分：债务 100% GDP，r = 2%、g = 3%：不需要盈余，甚至可以有 0.97% GDP 的基本赤字，债务也不涨；r = 4%、g = 2%，需要 1.96% GDP 的基本盈余；r = 6%：3.92%；债务 200%：3.92%。债务越高，同样的 r − g，需要的盈余越多。
- 第三部分（一次危机，债务从 60% 到 80%）：r = 3%、g = 2%：如果每年基本收支平衡，永远回不到 60%（第 200 年，563.0%）；基本盈余 1%：67 年；2%：16 年；3%：9 年。
- 第四部分：r 从 2% 升到 5%（g = 2%），债务/GDP 每年净增 2.94 个百分点。利率上升，对高债务国家，更痛。
4.2 美国的数据：r − g
import numpy as np
# 美国：利率、增长，和政府债务。1970–2024 年。
# 来源：美联储圣路易斯分行 FRED（GS10：10 年期国债收益率；CPIAUCSL；GDPC1；FYGFGDQ188S：联邦政府由公众持有的债务占 GDP 的比例，取每年 10 月的季度值），2026 年 10 月下载后我算好的。
# 每项：年份: (10 年期国债收益率的年均值 %，当年 12 月 CPI 同比 %，实际 GDP 增长率 %，联邦债务（由公众持有）占 GDP %)。
data = {
1970: (7.35, 5.57, 0.18, 26.8), 1971: (6.16, 3.27, 3.29, 26.6), 1972: (6.21, 3.41, 5.26, 25.0), 1973: (6.84, 8.94, 5.65, 23.0),
1974: (7.56, 12.10, -0.54, 22.0), 1975: (7.99, 7.13, -0.21, 24.8), 1976: (7.61, 5.04, 5.39, 26.2), 1977: (7.42, 6.68, 4.62, 26.1),
1978: (8.41, 8.99, 5.54, 25.0), 1979: (9.44, 13.25, 3.17, 24.2), 1980: (11.46, 12.35, -0.26, 24.7), 1981: (13.91, 8.91, 2.54, 25.2),
1982: (13.00, 3.83, -1.80, 29.0), 1983: (11.11, 3.79, 4.58, 30.9), 1984: (12.44, 4.04, 7.24, 33.1), 1985: (10.62, 3.79, 4.17, 35.9),
1986: (7.68, 1.19, 3.46, 38.9), 1987: (8.38, 4.33, 3.45, 39.0), 1988: (8.85, 4.41, 4.18, 38.8), 1989: (8.50, 4.64, 3.67, 39.1),
1990: (8.55, 6.25, 1.89, 42.2), 1991: (7.86, 2.98, -0.11, 45.2), 1992: (7.01, 2.97, 3.52, 46.8), 1993: (5.87, 2.81, 2.75, 48.2),
1994: (7.08, 2.60, 4.03, 47.5), 1995: (6.58, 2.53, 2.68, 47.4), 1996: (6.44, 3.38, 3.77, 46.3), 1997: (6.35, 1.70, 4.45, 43.9),
1998: (5.26, 1.61, 4.48, 40.8), 1999: (5.64, 2.68, 4.79, 37.5), 2000: (6.03, 3.44, 4.08, 32.7), 2001: (5.02, 1.60, 0.96, 31.8),
2002: (4.61, 2.48, 1.70, 33.0), 2003: (4.01, 2.04, 2.80, 34.4), 2004: (4.27, 3.34, 3.85, 35.2), 2005: (4.29, 3.34, 3.48, 35.4),
2006: (4.79, 2.52, 2.78, 34.9), 2007: (4.63, 4.11, 2.00, 34.9), 2008: (3.67, -0.02, 0.11, 43.6), 2009: (3.26, 2.81, -2.58, 53.3),
2010: (3.21, 1.44, 2.70, 61.4), 2011: (2.79, 3.06, 1.56, 66.0), 2012: (1.80, 1.76, 2.29, 70.6), 2013: (2.35, 1.51, 2.12, 71.9),
2014: (2.54, 0.65, 2.52, 72.7), 2015: (2.14, 0.64, 2.95, 74.3), 2016: (1.84, 2.05, 1.82, 75.6), 2017: (2.33, 2.13, 2.46, 74.0),
2018: (2.91, 2.00, 2.97, 77.1), 2019: (2.14, 2.32, 2.58, 78.4), 2020: (0.89, 1.32, -2.08, 98.0), 2021: (1.44, 7.17, 6.27, 93.4),
2022: (2.95, 6.40, 2.43, 91.7), 2023: (3.96, 3.32, 2.92, 94.8), 2024: (4.21, 2.87, 2.95, 96.8)
}
ys = list(data)
r = {y: data[y][0] - data[y][1] for y in ys} # 事后的实际利率：10 年期收益率 - 实际发生的通胀（粗略；政府真正付的，是所有存量债务的平均利率）
g = {y: data[y][2] for y in ys}
print("一、r（实际利率）和 g（实际增长）：分年代的平均（%）")
for a, b in ((1970, 1979), (1980, 1989), (1990, 1999), (2000, 2009), (2010, 2019), (2020, 2024)):
yy = [y for y in ys if a <= y <= b]
rr = np.mean([r[y] for y in yy]); gg = np.mean([g[y] for y in yy]); n = sum(1 for y in yy if r[y] < g[y])
print(f" {a}–{b}：r {rr:6.2f}，g {gg:5.2f}，r − g {rr - gg:+6.2f}；{len(yy)} 年里，r < g 的有 {n} 年；期末债务/GDP {data[yy[-1]][3]:.1f}%")
n_all = sum(1 for y in ys if r[y] < g[y])
print(f" 全部 {len(ys)} 年里，r < g 的有 {n_all} 年（{n_all / len(ys):.0%}）")
print("\n二、联邦债务（由公众持有）占 GDP 的比例，几个年份：")
print(" " + "；".join(f"{y}：{data[y][3]:.1f}%" for y in (1970, 1980, 1990, 2000, 2007, 2010, 2019, 2020, 2024)))
输出：
一、r（实际利率）和 g（实际增长）：分年代的平均（%）
1970–1979：r 0.06，g 3.24，r − g -3.17；10 年里，r < g 的有 8 年；期末债务/GDP 24.2%
1980–1989：r 5.47，g 3.12，r − g +2.34；10 年里，r < g 的有 1 年；期末债务/GDP 39.1%
1990–1999：r 3.71，g 3.23，r − g +0.49；10 年里，r < g 的有 3 年；期末债务/GDP 37.5%
2000–2009：r 1.89，g 1.92，r − g -0.03；10 年里，r < g 的有 6 年；期末债务/GDP 53.3%
2010–2019：r 0.65，g 2.40，r − g -1.75；10 年里，r < g 的有 10 年；期末债务/GDP 78.4%
2020–2024：r -1.53，g 2.50，r − g -4.02；5 年里，r < g 的有 4 年；期末债务/GDP 96.8%
全部 55 年里，r < g 的有 32 年（58%）
二、联邦债务（由公众持有）占 GDP 的比例，几个年份：
1970：26.8%；1980：24.7%；1990：42.2%；2000：32.7%；2007：34.9%；2010：61.4%；2019：78.4%；2020：98.0%；2024：96.8%
逐段看：
- 债务：美国联邦政府由公众持有的债务，占 GDP 的比例：1970 年 26.8%，1980 年 24.7%，2007 年 34.9%，2010 年 61.4%，2019 年 78.4%，2020 年 98.0%，2024 年 96.8%（总的联邦债务，含政府内部持有的，更高：2024 年 10 月，约 121%）。
- r − g，分年代：1970 年代 −3.17（通胀的意外，抹掉了债务）；1980 年代 +2.34（沃尔克的高利率）；1990 年代 +0.49；2000 年代 −0.03；2010 年代 −1.75，十年里每一年，r 都低于 g；2020 到 2024 年 −4.02。全部 55 年里，r < g 的有 32 年（58%）。
- 要小心：（1）这里的 r，是用 10 年期国债收益率，减去事后的通胀，很粗略：政府真正付的，是所有存量债务的平均利率，当初借的时候的预期的通胀，不一样。（2）r < g 不是永恒的：1980 年代，r 比 g 高 2.34 个百分点。（3）利率和债务不独立：债务越高，投资者可能要求更高的利率（风险溢价），这时，r 不是外生的。所以，“r 低于 g，所以债务不要紧”，是一个有条件的、有争议的说法。
4.3 债务的代价
- 利息负担：债务越高，每年要付的利息越多，挤占其他的支出（或者要增税）。
- 挤出：3.2 节的第二点。
- 代际：今天借的债，明天的人还。这是一个公平问题（也可能不是：如果债务用来投资，让后代更富，他们也享受到了好处）。
- 脆弱性：高债务的国家，利率上升或者增长下降时，债务比例会快速上升（4.1 节第四部分）。
- 通胀或违约：如果一个国家的债务，是用本币借的，政府可以印钱（第 30 讲：铸币税，会带来通胀）；如果借的是外币，就没有这个办法，可能违约。（这里只讲逻辑，不涉及具体的国家案例。）
4.4 一个有争议的问题：政府债务多高会出问题
这个问题，第 4 讲提到过，说宏观问题几乎不能做实验。按四步来写。
理论预测什么：债务越高，利息、挤出、风险越大，长期增长可能越低。可是，理论不告诉你，阈值在哪里。
证据怎么说：
- Carmen Reinhart 和 Kenneth Rogoff 2010 年（《债务时代的增长》，American Economic Review 论文与会议录）：他们收集了很多国家、很长时间的数据，发现，债务超过 GDP 的 90% 时，增长明显更低：据对他们论文的概述，债务超过 90% 的国家，增长的中位数，比其他国家，约低一个百分点，增长的平均数，低好几个百分点。这个结果，被广泛引用，有人拿它来支持紧缩的政策。
- Thomas Herndon、Michael Ash 和 Robert Pollin 2013 年（后来发表在 Cambridge Journal of Economics，2014 年）重新计算，发现了问题：（1）电子表格的一个公式错误，漏掉了 5 个国家（澳大利亚、奥地利、比利时、加拿大、丹麦）；（2）选择性地剔除了一些年份的数据；（3）不同寻常的加权方法。他们重算后，债务超过 90% 的国家的平均增长，是 2.2%，不是 Reinhart 和 Rogoff 的 −0.1%。据报道，其中，公式错误的直接影响，只有约 0.3 个百分点，更大的影响，来自剔除年份和加权。
- Reinhart 和 Rogoff 的回应：据报道，他们承认了表格里的错误，同时说，批评者也同意他们的主要发现：高债务，和较低的增长，相关。
局限：（1）相关不是因果：增长低，也会让债务比例上升（反向因果）。（2）这是不同国家、不同年代、不同制度的混合。（3）“90%“是个整数的门槛，数据里，未必有这样一个清楚的断点。
我们用一个虚构的小例子，看"加权"怎么改变结论：
# 同一批数据，不同的平均办法，会得出不同的结论：一个虚构的例子（数字是我编的，只为演示'权重'）。
# 假设，样本里，债务超过 GDP 的 90% 的"国家—年份"，一共有 30 个，来自四个国家：
data = {"甲国": [2.4] * 19, "乙国": [-7.6], "丙国": [1.0] * 6, "丁国": [3.0] * 4} # 每个国家，高债务年份的增长率（%）
import statistics
allyears = [x for v in data.values() for x in v]
print(f"一共 {len(allyears)} 个国家—年份：")
for k, v in data.items(): print(f" {k}：{len(v)} 年，平均增长 {sum(v) / len(v):+.1f}%")
print(f"办法 1，每个'国家—年份'一票：平均增长 {sum(allyears) / len(allyears):+.2f}%；中位数 {statistics.median(allyears):+.2f}%")
country_avg = [sum(v) / len(v) for v in data.values()]
print(f"办法 2，每个'国家'一票（先算国家的平均，再平均）：平均增长 {sum(country_avg) / len(country_avg):+.2f}%；中位数 {statistics.median(country_avg):+.2f}%")
print(" 同一批数据，办法 1 说'增长还不错'，办法 2 说'增长是负的'：乙国只有 1 年，却和甲国的 19 年，一样重")
no_yi = {k: v for k, v in data.items() if k != "乙国"}
print(f"办法 2，去掉乙国：平均增长 {sum(sum(v) / len(v) for v in no_yi.values()) / len(no_yi):+.2f}%")
print(" 没有哪个办法'天生正确'：用什么权重、剔除什么年份，必须事先说清楚，并检验结论是否稳健")
输出：
一共 30 个国家—年份：
甲国：19 年，平均增长 +2.4%
乙国：1 年，平均增长 -7.6%
丙国：6 年，平均增长 +1.0%
丁国：4 年，平均增长 +3.0%
办法 1，每个'国家—年份'一票：平均增长 +1.87%；中位数 +2.40%
办法 2，每个'国家'一票（先算国家的平均，再平均）：平均增长 -0.30%；中位数 +1.70%
同一批数据，办法 1 说'增长还不错'，办法 2 说'增长是负的'：乙国只有 1 年，却和甲国的 19 年，一样重
办法 2，去掉乙国：平均增长 +2.13%
没有哪个办法'天生正确'：用什么权重、剔除什么年份，必须事先说清楚，并检验结论是否稳健
分歧在哪：
- 事实上的分歧：高债务和低增长的关系，有多强？有没有门槛？是哪个方向的因果？
- 方法上的分歧：怎么加权，怎么剔除数据；这一场争论，是科研透明度的一个著名案例：数据和代码公开，才能被检查。
- 没有争议的部分：电子表格的错误，是确实存在的；这并不等于"高债务没有问题”：批评者的结论，也只是"没有一个清楚的 90% 门槛”。
价值判断（留给你）：
- 代际公平：今天多借，明天的人多还；你认为，这样合理吗？还是要看借来的钱，用在了哪里？
- 紧缩的代价，落在谁身上：削减开支、增税，会伤害一部分人（失业救济、公共服务的使用者）；而债务的风险，是全社会的。你怎么权衡？
- 政府的规模：债务是支出的结果；你更愿意，用增税、削减支出，还是借债，来筹资？
五、中国的财政：几个事实
这一节，只说事实，注明了时间。数字来自当年的政府工作报告（据报道），请以财政部的预算和决算为准。
- 2020 年（疫情）：赤字率拟按 3.6% 以上安排，赤字规模比上年增加 1 万亿元（约 3.76 万亿元）；同时，发行 1 万亿元抗疫特别国债；地方政府专项债券 3.75 万亿元，比上年增加 1.6 万亿元。（也有媒体报道，执行结果是 3.7%；预算安排和执行的口径，要区分。）
- 2025 年：赤字率拟按 4% 左右安排，比上年提高 1 个百分点，赤字规模 5.66 万亿元；拟发行超长期特别国债 1.3 万亿元；地方政府专项债券 4.4 万亿元；另外，拟发行 5000 亿元特别国债，用于支持国有大型商业银行补充资本；新增政府债务总规模合计 11.86 万亿元。
- 2026 年：赤字率拟按 4% 左右安排，和上年持平，赤字规模 5.89 万亿元，比上年增加 2300 亿元；拟发行超长期特别国债 1.3 万亿元（和上年相同）；地方政府专项债券 4.4 万亿元（和上年相同）；另外，拟发行 3000 亿元特别国债，用于补充国有大型商业银行资本（上年是 5000 亿元）；新增政府债务总规模合计 11.89 万亿元，比上年的 11.86 万亿元，多约 300 亿元。（据媒体对 2026 年 3 月政府工作报告和预算草案的报道；这里的"总规模"，等于赤字加上这三类特别债券和专项债券：5.89 + 1.3 + 4.4 + 0.3。）把 2025 和 2026 放在一起看，赤字率和各项债券的规模，大体上持平，没有进一步加码；至于为什么这样安排，这样够不够，是有争议的（第 33 讲、第 32 讲都碰到过这类问题：需求不足，还是别的原因？），这里只给事实。
注意：官方"赤字率"，不包括特别国债和专项债券这些在赤字之外的融资，所以，看一个国家政府到底借了多少，不能只看赤字率；“政府债务"的统计口径，也有多种（中央、地方、广义），我这里没有查到足以做比较的、口径一致的数据，所以没有给出债务占 GDP 的比例，请不要拿美国的数字，直接类比。
六、局限、常见误用
6.1 局限
- 乘数模型是静态的：c、t、m 是常数；预期、利率、央行的反应，都被简化掉了。
- 参数是玩具数字：它们不对应任何一个国家。
- 美国的数据，不一定适用于别国：美国是大国、美元是储备货币，借钱的条件，和别的国家不一样。
- r − g 用的是事后的、粗糙的 r。
- 这一讲没有讲：税制设计（第 9 讲有一点）、供给侧的税收效应、主权债务危机的具体案例、中国地方债务的细节。
6.2 常见的误用
| 误用 | 正确的想法 |
|---|---|
| “政府多花 1 元，GDP 就多 10 元” | 乘数 = 1 ÷ (1 − c(1−t) + m)：有税和进口时，约 2 或更小；实证的支出乘数多在 0.6 到 1 之间 |
| “财政刺激总是有效” 或 “总是无效” | 取决于有没有闲置资源、央行怎么反应、是不是零利率；衰退时更有效 |
| “减税和增加支出，效果一样” | 同样的 100：购买更大（200 对 160），因为减税有一部分被存起来 |
| “赤字就是债务” | 赤字是每年的流量，债务是累积的存量；债务占 GDP 的比例，还看 r 和 g |
| “r 低于 g，所以债务不要紧” | 有条件：r 可能上升（1980 年代），债务高时，风险溢价可能升 |
| “债务超过 GDP 的 90%，增长就会下降” | 这个门槛，经不起重新计算；高债务和低增长之间的因果，也不清楚 |
| “政府借钱，一定挤出私人投资” | 充分就业时，挤出更大；衰退、有闲置资源时，挤出小得多 |
| “官方赤字率，就是政府借的全部” | 特别国债、专项债，不在官方赤字率里 |
七、小结
这一讲有六个想法，请带走：
- 财政政策：政府购买、转移支付、税收；自动稳定器，让赤字在衰退时自动变大（美国：GDP 每低 1 个百分点，赤字多约 0.3 个百分点占 GDP）。
- 乘数 = 1 ÷ (1 − c(1−t) + m)：税、进口、储蓄是"漏出”；c = 0.9 时 10，含税含进口，约 2。
- 乘数会变小：物价上涨（价格越黏，效果越大越久）、挤出（利率上升）、央行反应、预期（李嘉图等价）。
- 实证的支出乘数，多在 0.6 到 1 之间，衰退时更大；不是一个常数。这是一个有争论的问题。
- 债务的滚动：d(下一年) = (1 + r) ÷ (1 + g) × d − pb；r − g 决定走向；稳定债务需要的基本盈余是 (r − g) ÷ (1 + g) × d。美国 55 年里，r < g 的有 32 年，但不是永恒的。
- 债务多高会出问题：Reinhart–Rogoff 的 90% 门槛，被质疑；结论对加权和剔除数据很敏感；高债务和低增长的关系，没有清楚的门槛，也没有清楚的因果。
接下来，我们讲一个更戏剧性的话题：金融危机。银行为什么会被挤兑？为什么一家银行的问题，会变成整个经济的危机？下一讲：第 35 讲：金融危机与银行挤兑。 实验 78，会让你亲手跑一个挤兑模型。
思考题
1. c = 0.75，税率 t = 0.2，进口占 m = 0.15。政府购买增加 50，GDP 增加多少？
提示：乘数 = 1 ÷ (1 − 0.75 × 0.8 + 0.15) = 1 ÷ (1 − 0.6 + 0.15) = 1 ÷ 0.55 ≈ 1.82；GDP 增加 50 × 1.82 ≈ 90.9。
2. 同样的 c、t、m（第 1 题），定额减税 100，GDP 增加多少？和政府购买 100 相比？
提示：减税 100，第一轮，被花掉 c × 100 = 75：GDP 增加 75 × 1.82 ≈ 136.4；政府购买 100：181.8。减税的效果更小，因为一部分被存起来了。
3. 一个国家，债务 80% GDP，g = 2%。如果 r = 3%，要让债务占比不变，每年需要多少基本盈余？如果 r 升到 5% 呢？
提示：pb* = (r − g) ÷ (1 + g) × d：r = 3%：(0.01 ÷ 1.02) × 80 ≈ 0.78% GDP；r = 5%：(0.03 ÷ 1.02) × 80 ≈ 2.35% GDP。利率上升 2 个百分点，需要的盈余，增加到 3 倍。
4. 4.4 节虚构的例子里：如果乙国的 −7.6%，不是 1 年，而是 5 年，办法 1（每个国家—年份一票）的平均增长是多少？
提示：（19 × 2.4 + 5 × (−7.6) + 6 × 1.0 + 4 × 3.0）÷ 34 = (45.6 − 38 + 6 + 12) ÷ 34 = 25.6 ÷ 34 ≈ 0.75%。（总共 34 个国家—年份，不是 35。）乙国的年份越多，办法 1 的平均，就越接近它。权重，决定了结论。
5. （开放题）美国 2010 年代，十年里每一年，r 都低于 g。这是不是意味着，政府可以无限借钱？至少列出三个理由，说明不能这样想。
提示：（1）r < g 不是永恒的：1980 年代，r − g 是 +2.34；（2）r 不是外生的：债务越高，风险溢价可能越高，r 本身会上升；（3）这里的 r 是事后的、粗糙的，政府付的，是所有存量债务的平均利率；（4）g 也不是外生的，如果债务挤出了投资，g 会下降；（5）债务低的时候，r < g 能带来的，只是可以有基本赤字，不是没有限制；（6）还有通胀、汇率等其他风险。
参考与延伸
- Barro, R. J. (1974). Are Government Bonds Net Wealth? Journal of Political Economy, 82(6), 1095–1117.
- Blanchard, O., & Perotti, R. (2002). An Empirical Characterization of the Dynamic Effects of Changes in Government Spending and Taxes on Output. Quarterly Journal of Economics, 117(4), 1329–1368.
- Romer, C. D., & Romer, D. H. (2010). The Macroeconomic Effects of Tax Changes: Estimates Based on a New Measure of Fiscal Shocks. American Economic Review, 100(3), 763–801.
- Auerbach, A. J., & Gorodnichenko, Y. (2012). Measuring the Output Responses to Fiscal Policy. American Economic Journal: Economic Policy, 4(2), 1–27.
- Nakamura, E., & Steinsson, J. (2014). Fiscal Stimulus in a Monetary Union: Evidence from US Regions. American Economic Review, 104(3), 753–792.
- Ramey, V. A. (2019). Ten Years after the Financial Crisis: What Have We Learned from the Renaissance in Fiscal Research? Journal of Economic Perspectives, 33(2), 89–114.
- Reinhart, C. M., & Rogoff, K. S. (2010). Growth in a Time of Debt. American Economic Review: Papers and Proceedings, 100(2).
- Herndon, T., Ash, M., & Pollin, R. (2014). Does High Public Debt Consistently Stifle Economic Growth? A Critique of Reinhart and Rogoff. Cambridge Journal of Economics, 38(2).
- Jordà, Ò., Liu, C., Nechio, F., & Rivera-Reyes, F. (2022). Why Is U.S. Inflation Higher than in Other Countries? FRBSF Economic Letter, 2022-07.
- 美联储圣路易斯分行 FRED 数据库：FYFSGDA188S、FYGFGDQ188S、GFDEGDQ188S、GS10、CPIAUCSL、GDPC1（本讲的数据，2026 年 10 月下载）。
- 国务院：2020 年、2025 年、2026 年政府工作报告（据报道）。