39 行为经济学：人不是理性计算机

这一讲要回答六个问题：

1. 标准模型里的"理性人"，和真实的人，差在哪里？行为经济学，在做什么？
2. 人怎么判断？（过度自信、锚定）
3. 人怎么偏好？（前景理论：参照点、损失厌恶、概率加权）
4. 人怎么对待时间？（现在偏向的证据，默认选项为什么有力量）
5. 人怎么看待公平？
6. 这些发现，有多可靠？该不该用它来"助推"人们？（有争议）

前面，我们留下了很多问题：第 2、11 讲，说人们常忽视机会成本、被沉没成本绊住；第 10 讲，说钱不是可以互相替代的；第 13 讲，出租车司机；第 18 讲，对不公平的反感；第 24 讲，杯子的实验；第 36 讲，“现在偏向"的证据；第 37 讲，期望效用只是一个基准；第 38 讲，异象，究竟是风险的补偿，还是人的错误。这一讲，把它们，接起来。

一、三个小问题

先停一下：请先凭直觉，回答下面三个问题。

问题 1： 抛一枚公平的硬币：正面，你赢 120 元；反面，你输 100 元。你玩吗？

问题 2： 今天拿 100 元，还是 1 个月后拿 110 元？再问：1 年后拿 100 元，还是 1 年零 1 个月后拿 110 元？

问题 3： 有人给你和一个陌生人 10 元钱。由他决定怎么分，你只能说"接受"或"拒绝”；拒绝，两个人，都拿不到钱。他说：他自己留 8 元，给你 2 元。你接受吗？

先别急着算。我们记下你的直觉，往后，一个一个回来。

• 问题 1：期望收益是 +10 元（0.5 × 120 − 0.5 × 100），按第 37 讲的期望效用，赌注这么小，几乎该接受；可是，多数人拒绝（第四节）。
• 问题 2：很多人，第一问选"今天 100 元"，第二问选"晚一个月、多 10 元"：这和第 36 讲的"现在偏向"，是同一种模式（第五节）。
• 问题 3：纯自利的回应者，2 元也比 0 元好，该接受；可是，不少人拒绝（第六节，和第 18 讲）。

二、行为经济学，在做什么

2.1 标准模型的假设

前面，我们用的"标准模型"，大致，假设：

行为经济学（behavioral economics）的做法：把心理学里，观察到的、系统的、可以预测的偏离，放进模型里。

注意"系统的"这三个字。偶尔的、随机的错误，经济学家，早就知道：它们会互相抵消，不改变平均的结果。行为经济学关心的，是方向一致的偏差：很多人，在同一个情境，往同一个方向错。只有这样的偏差，才会改变市场、政策的结果。

2.2 它是怎么来的

Daniel Kahneman 和 Amos Tversky 1974 年（《不确定性下的判断：启发法和偏差》，Science，185 卷 4157 期，1124–1131 页），说明了：人们在不确定的情形下，常用几种简化的"启发法"来判断（比如，代表性、可得性、锚定和调整）；它们大体有效，可是，会带来系统的、可预测的错误。1979 年，两人（Econometrica，47 卷 2 期，263 页起）提出前景理论。2002 年，Kahneman，因"把心理学研究的成果，用到经济学里，特别是人们在不确定下的判断和决策”，和 Vernon Smith（因把实验室实验，确立为经济学的实证工具）分享了诺贝尔经济学奖；2017 年，Richard Thaler，因把有限的理性、社会偏好、缺乏自控，纳入经济分析，获奖。（Tversky 1996 年去世，没有获奖的机会。）

2.3 研究的方法

• 实验：实验室里，控制变量，看人们怎么选（比如，咖啡杯、最后通牒）。优点，是因果清楚；缺点，是被试常常是学生，赌注小，场景是人造的。
• 田野数据：用真实的交易记录、合同（比如，券商的账户、健身房的会员）。优点，是真实；缺点，是别的因素，难以排除。
• 田野实验：在真实的环境里，随机分组（第 4 讲讲过随机分组）。

Stefano DellaVigna 2009 年的综述（《心理学与经济学：来自田野的证据》，Journal of Economic Literature，47 卷 2 期，315–372 页），把偏离，分成三类：非标准的偏好、非标准的信念、非标准的决策。这一讲，也按这个顺序。

三、信念：过度自信和锚定

3.1 过度自信

第 38 讲，我们看到：美国一家券商的家庭账户，交易最频繁的那一组，收益，比市场低得多（Barber 和 Odean 2000）。他们认为，原因之一，是过度自信：人们高估了自己的信息和判断的精度，于是，交易得过多。

注意，“过度自信”，是一个判断上的偏差，不是偏好。它的含义，是：如果你问人们，“你对这个答案，有九成把握”，实际，答对的，可能，只有七成。（这里，没有引用具体的实验数字。）

3.2 锚定

Tversky 和 Kahneman 1974 年的一个有名的实验：让被试，转一个轮盘（被设计成，停在 10 或 65），然后，问：非洲国家，在联合国的成员里，占多大比例？据二手的转述，轮盘停在 10 的那一组，估计的中位数，约 25%；停在 65 的那一组，约 45%。一个明显无关的数字，拉动了估计。

Dan Ariely、George Loewenstein 和 Drazen Prelec 2003 年（《连贯的任意性》，Quarterly Journal of Economics，118 卷 1 期，73–105 页）的实验：让学生，先写下，自己社保号码的末两位，当作一个"价格"，问愿不愿意，按这个价格，买某件东西；再问，最多愿付多少钱。据摘要：随后的出价，被这个任意的数字，拉动，可是，同时，出价，又和商品的质量、数量的差别，保持一致，所以，它看起来，像是稳定的偏好。他们的结论是：从市场数据里估计出来的需求曲线，不一定，反映真实的偏好。

回到第 5 讲：“愿付价没有那么固定”：你刚看到的价格，会改变你愿意付多少。这里，就是证据。

四、偏好：前景理论

4.1 三个想法

前景理论（Kahneman 和 Tversky，1979；累积版，Tversky 和 Kahneman，1992，Journal of Risk and Uncertainty，5 卷 4 期，297–323 页）的三个想法：

1. 参照点：人们感受到的，不是"财富的水平"，而是，相对于参照点的得和失（比如，相对于你现在拥有的，你的期望，别人的所得）。
2. 损失厌恶：损失，比同样大小的收益，更痛。价值函数，在参照点的两边，不对称，损失一侧更陡（陡的倍数，记作 λ）。
3. 概率加权：人们，不是按真实的概率，决策，而是按一个"被扭曲的权重"：小概率，被高估，大概率，被低估。

我们用 Tversky 和 Kahneman 1992 年估计的中位数参数（据二手来源列出的数值：曲度 0.88，损失厌恶 2.25，概率加权 0.61 和 0.69），来算一下。这些，只是一个研究里的估计，不是自然常数（第八节会讨论）。

import math

# 前景理论（累积版）：参数取 Tversky 和 Kahneman 1992 年估计的中位数（二手来源列出的数值），只作演示
ALPHA = 0.88          # 价值函数的曲度（收益和损失一样）
LAM = 2.25            # 损失厌恶系数
GAMMA, DELTA = 0.61, 0.69   # 概率加权：收益用 GAMMA，损失用 DELTA

def v(x):             # 价值函数：参照点 = 0
    return x ** ALPHA if x >= 0 else -LAM * (-x) ** ALPHA

def v_inv(y):         # 价值函数的反函数：把"价值"换回"钱"
    return y ** (1 / ALPHA) if y >= 0 else -((-y / LAM) ** (1 / ALPHA))

def w(p, g):          # 概率加权函数：高估小概率，低估大概率
    return p ** g / (p ** g + (1 - p) ** g) ** (1 / g)

print("一、一个 50% 赢 G、50% 输 100 元的赌局，要 G 多大，你才愿意玩？")
def V_mixed(G, L):    # 一个混合赌局：50% 赢 G，50% 输 L
    return w(0.5, GAMMA) * v(G) + w(0.5, DELTA) * v(-L)
lo, hi = 100.0, 1000.0
for _ in range(60):   # 二分法找 V = 0 的 G
    mid = (lo + hi) / 2
    lo, hi = (mid, hi) if V_mixed(mid, 100) < 0 else (lo, mid)
print(f"  只有损失厌恶（λ = {LAM}，不做概率加权，α = 1）：G = {LAM * 100:.0f} 元")
print(f"  前景理论（曲度 + 概率加权）：G ≈ {hi:.0f} 元（比 2.25 倍还多，因为：50% 在这里被当作约 {w(0.5, GAMMA):.2f}（赢）和 {w(0.5, DELTA):.2f}（输））")
print(f"  G = 120 元、L = 100 元：前景价值 V = {V_mixed(120, 100):.1f} < 0，拒绝；期望收益 = {0.5 * 120 - 0.5 * 100:+.0f} 元")

print("\n二、四重模式：同一个'期望值'，人们对收益和损失、大概率和小概率，态度不同")
print(f"  {'情形':<26}{'期望值':>8}{'确定性等价':>12}  态度")
cases = [("5% 赢 100 元", 0.05, 100), ("95% 赢 100 元", 0.95, 100),
         ("5% 输 100 元", 0.05, -100), ("95% 输 100 元", 0.95, -100)]
for name, p, x in cases:
    ev = p * x
    V = w(p, GAMMA if x > 0 else DELTA) * v(x)
    ce = v_inv(V)
    attitude = "偏好冒险" if ce > ev else "回避风险"
    print(f"  {name:<24}{ev:>+9.1f}{ce:>+12.1f}  {attitude}")

print("\n三、Rabin（2000）的论证：只靠'效用函数是凹的'，解释不了小赌局上的拒绝")
# 效用 u(w) = -exp(-a w)（CARA，所有财富水平下态度一样）。接受"50% 赢 G，50% 输 L"，当且仅当 exp(a L) + exp(-a G) < 2
def accepts(a, L, G):
    return math.exp(a * L) + math.exp(-a * G) < 2
lo, hi = 1e-6, 0.1
for _ in range(80):   # 找出刚好拒绝'输 100 / 赢 110'的 a
    mid = (lo + hi) / 2
    lo, hi = (mid, hi) if accepts(mid, 100, 110) else (lo, mid)
a = hi
print(f"  让一个人刚好拒绝'50% 输 100 元、50% 赢 110 元'：a = {a:.6f}")
print(f"  这个人，会拒绝所有'50% 输 L 元、50% 赢任意金额'的赌局，只要 L > ln2 / a = {math.log(2) / a:.0f} 元")
for L, G in ((500, 10 ** 9), (800, 10 ** 9), (1000, 10 ** 9)):
    print(f"    输 {L} 元 / 赢 {G:,} 元：{'接受' if accepts(a, L, G) else '拒绝'}")

输出：

一、一个 50% 赢 G、50% 输 100 元的赌局，要 G 多大，你才愿意玩？
  只有损失厌恶（λ = 2.25，不做概率加权，α = 1）：G = 225 元
  前景理论（曲度 + 概率加权）：G ≈ 274 元（比 2.25 倍还多，因为：50% 在这里被当作约 0.42（赢）和 0.45（输））
  G = 120 元、L = 100 元：前景价值 V = -30.4 < 0，拒绝；期望收益 = +10 元

二、四重模式：同一个'期望值'，人们对收益和损失、大概率和小概率，态度不同
  情形                             期望值       确定性等价  态度
  5% 赢 100 元                   +5.0       +10.0  偏好冒险
  95% 赢 100 元                 +95.0       +76.9  回避风险
  5% 输 100 元                   -5.0        -8.3  回避风险
  95% 输 100 元                 -95.0       -83.1  偏好冒险

三、Rabin（2000）的论证：只靠'效用函数是凹的'，解释不了小赌局上的拒绝
  让一个人刚好拒绝'50% 输 100 元、50% 赢 110 元'：a = 0.000908
  这个人，会拒绝所有'50% 输 L 元、50% 赢任意金额'的赌局，只要 L > ln2 / a = 763 元
    输 500 元 / 赢 1,000,000,000 元：接受
    输 800 元 / 赢 1,000,000,000 元：拒绝
    输 1000 元 / 赢 1,000,000,000 元：拒绝

逐段看：

• 回答问题 1：50% 赢 G、50% 输 100，要 G 多大，才愿意玩？只有损失厌恶（λ = 2.25），G = 225；再加上概率加权（“50%"，在赢的一侧，被当作约 0.42，在输的一侧，约 0.45），G ≈ 274。所以，“赢 120，输 100”（期望 +10），前景价值是 −30.4，拒绝。这不是"算错了”，是在参照点上，损失，更重。
• 四重模式：同样是期望值 5 元的"小概率赢 100"，确定性等价是 +10：偏好冒险（彩票）；“大概率赢 100”（95%），确定性等价 76.9，低于 95：回避风险；“小概率输 100”，确定性等价 −8.3，比 −5 更差：愿意花钱避免（保险）；“大概率输 100”，确定性等价 −83.1，比 −95 更好：宁愿赌一把，也不愿接受几乎确定的损失。这解释了第 37 讲留下的，Friedman–Savage 的"又买保险、又买彩票"。
• Rabin 的论证（Matthew Rabin 2000 年，Econometrica，68 卷 5 期，1281–1292 页）：这里，用一个最简单的凹的效用（常绝对风险厌恶，CARA）来演示：让一个人，刚好拒绝"50% 输 100、50% 赢 110"，他的参数，a = 0.000908；这个人，会拒绝"输 800 元、赢 10 亿元"的赌局。这不合常理。Rabin 的定理更一般（据转述：对任何凹的效用函数，只要这个人，在所有的财富水平上，都拒绝那个小赌局，就会，拒绝"输 1000、赢任意金额"）。所以，小赌局上的拒绝，不能靠"效用是凹的"来解释；更自然的解释，是损失厌恶（对"输"这件事本身的反感）。

4.2 参照点，在真实的数据里

• 出租车司机（第 13 讲）：Camerer 等人的"收入目标"，和后来的争论，其实，就是：参照点是什么，要不要，写进模型。那里，我们，没有下结论（“这个争论，至今没有一个让所有人都满意的结论”），这里也不下。
• 高尔夫球：Devin Pope 和 Maurice Schweitzer 2011 年（《泰格·伍兹，是损失厌恶的吗？》，American Economic Review，101 卷 1 期，129–157 页），用 2004–2009 年美国职业高尔夫巡回赛的 250 万次推杆，发现：职业选手，推"保帕"的球，比推"小鸟"的球，更容易进（据二手转述，差约 2 个百分点，要读原文核对）。因为，对每个洞，“标准杆”（par），是一个参照点：推小鸟，是"收益"；推保帕，是"避免损失"。（这是高额奖金、高度熟练、竞争激烈的场景，所以，常被当作，“偏差不会被经验消除"的证据。）
• 禀赋效应（第 24 讲）：拿到杯子的人，更舍不得。同时，John List 2003 年（Quarterly Journal of Economics，118 卷 1 期，41–71 页）在体育卡片交易会上的田野实验发现：经验最丰富的交易商，没有这种交易的不对称；据后续文献的转述，每月交易 6 次以上的，才消失。所以，禀赋效应，可能会被市场经验，磨掉一部分。这是第八节要讨论的。
• 沉没成本（第 2、11 讲）：承认放弃，就把"账面上的亏”，变成"确定的亏"。损失厌恶，是一个常被提到的解释，不是唯一。
• 心理账户（第 10 讲）：Richard Thaler 1985 年（Marketing Science，4 卷 3 期，199–214 页）提出：人们，把钱，分在不同的"账户"里，各有各的预算；Hastings 和 Shapiro 2013 年（第 10 讲）的汽油数据，支持了这一点。

4.3 回到股市：短视的损失厌恶

第 37 讲，我们留下了"股权溢价之谜"。Shlomo Benartzi 和 Richard Thaler 1995 年（《短视的损失厌恶和股权溢价之谜》，Quarterly Journal of Economics，110 卷 1 期，73–92 页）给了一个解释：损失厌恶，加上"看得太勤"。

想法是：一个有损失厌恶的人，如果每个月，都看一次账户，他会看到，股票，经常，亏钱，所以，要求很高的补偿，才肯持有；如果，他十年看一次，股票，几乎不亏，就不需要那么高的补偿。我们用真实的数据，来试一试。

import io, urllib.request, zipfile
import numpy as np

# 数据：Kenneth French 数据库，美国股市月度收益（Mkt-RF + RF）和一个月国库券利率，1927-01 至 2025-12
URL = "https://mba.tuck.dartmouth.edu/pages/faculty/ken.french/ftp/F-F_Research_Data_Factors_CSV.zip"
text = zipfile.ZipFile(io.BytesIO(urllib.request.urlopen(URL, timeout=60).read())).read("F-F_Research_Data_Factors.csv").decode("latin-1")
rows = []
for line in text.splitlines():
    p = [x.strip() for x in line.split(",")]
    if len(p) == 5 and len(p[0]) == 6 and p[0].isdigit() and 192701 <= int(p[0]) <= 202512:
        rows.append((float(p[1]), float(p[4])))
stock = np.array([(r[0] + r[1]) / 100 for r in rows])      # 股票的月度总收益
bill = np.array([r[1] / 100 for r in rows])                # 国库券的月度收益

ALPHA, LAM = 0.88, 2.25                                    # 前景理论：曲度 0.88，损失厌恶 2.25（只用价值函数，不做概率加权）
def v(x):
    x = np.asarray(x)
    return np.where(x >= 0, np.abs(x) ** ALPHA, -LAM * np.abs(x) ** ALPHA)

# 一个"评价期"为 h 个月的人：每隔 h 个月，看一次"股票比国库券，多赚（或少赚）了多少"，并用前景价值函数打分。
# 用所有（重叠的）h 个月窗口，算平均的前景价值（单位：把收益差，当作"每 1 元本金"的得失）。
print(f"数据：{len(stock)} 个月；股票比国库券，每月平均多赚 {np.mean(stock - bill):.2%}")
print(f"  {'评价期':>8}{'窗口数':>8}{'股票输给国库券的窗口占比':>20}{'平均超额收益':>12}{'前景价值（平均）':>16}  结论")
for h, label in ((1, "1 个月"), (3, "3 个月"), (12, "1 年"), (24, "2 年"), (60, "5 年"), (120, "10 年")):
    cs, cb = np.cumprod(1 + stock), np.cumprod(1 + bill)
    cs, cb = np.concatenate([[1.0], cs]), np.concatenate([[1.0], cb])
    diff = (cs[h:] / cs[:-h]) - (cb[h:] / cb[:-h])         # 每个窗口里，股票比国库券多赚多少
    val = float(v(diff).mean())
    print(f"  {label:>6}{len(diff):>9d}{(diff < 0).mean():>18.1%}{diff.mean():>14.1%}{val:>18.4f}  {'偏好股票' if val > 0 else '不愿持有股票'}")

# 找一找：前景价值刚好为 0 的评价期（粗略）
for h in range(1, 121):
    cs, cb = np.concatenate([[1.0], np.cumprod(1 + stock)]), np.concatenate([[1.0], np.cumprod(1 + bill)])
    val = float(v((cs[h:] / cs[:-h]) - (cb[h:] / cb[:-h])).mean())
    if val > 0:
        print(f"\n  按这个简化的算法，评价期至少 {h} 个月（约 {h / 12:.1f} 年），股票的前景价值才为正")
        break

输出：

数据：1188 个月；股票比国库券，每月平均多赚 0.69%
       评价期     窗口数        股票输给国库券的窗口占比      平均超额收益        前景价值（平均）  结论
    1 个月     1188             39.3%          0.7%           -0.0177  不愿持有股票
    3 个月     1186             36.1%          2.1%           -0.0137  不愿持有股票
     1 年     1177             29.7%          8.9%            0.0360  偏好股票
     2 年     1165             23.6%         18.4%            0.1333  偏好股票
     5 年     1129             20.0%         53.8%            0.4622  偏好股票
    10 年     1069             13.7%        155.1%            1.3464  偏好股票

  按这个简化的算法，评价期至少 6 个月（约 0.5 年），股票的前景价值才为正

逐段看：

• 看得越勤，越难受：评价期 1 个月，股票输给国库券的窗口，占 39.3%；10 年，只有 13.7%。平均的前景价值，从 −0.018（1 个月）、−0.014（3 个月），变成 +0.036（1 年），+1.346（10 年）。
• 按这个简化的算法，评价期，至少要 6 个月，股票，才有正的前景价值。（原论文，据摘要，估计的"等价的评价期"，约为一年；我这个版本，更简单：只用价值函数，不做概率加权，用"股票比国库券多赚多少"来评价，所以，数字，和原文，不同，方向，相同。）
• 要小心：（1）这是一个解释，不是唯一；（2）评价期，是怎么，被决定的，这里没有解释；（3）窗口重叠，美国的一个国家。

五、时间：现在偏向，和默认选项

5.1 证据

第 36 讲，我们演示了：如果人们"现在偏向"，会出现，计划和行动不一致，并说，证据，要等到这一讲。现在，来看。

• 健身房：Stefano DellaVigna 和 Ulrike Malmendier 2006 年（《花钱，不去健身房》，American Economic Review，96 卷 3 期，694–719 页），用三家美国健身房，7752 个会员，三年的数据：选了"每月固定 70 多美元"的会员，平均每月去 4.3 次；为每一次预期的光顾，平均，付了 17 美元以上，而他们本来，可以买"10 次票"，每次 10 美元；平均，在会员期间，多花了约 600 美元。他们认为，主要的解释，是对自己未来的自控、或者未来的效率，过度自信（高估自己以后会去，高估自己会取消）。
• 默认选项：Brigitte Madrian 和 Dennis Shea 2001 年（《暗示的力量》，Quarterly Journal of Economics，116 卷 4 期，1149–1187 页）：一家公司，把 401(k) 退休计划，从"自己申请加入"，改成"自动加入、想退出自己申请"，新员工的参与率，大幅上升；据对论文的引述，提高了约 48 个百分点（不同转述的基线不一样，约从 40%~50%，升到 85% 左右，请读原文）。
• 明天多存一点：Thaler 和 Benartzi 2004 年（“Save More Tomorrow”，Journal of Political Economy，112 卷 S1 期，S164–S187 页）：让员工，现在，承诺，将来加薪的时候，把一部分，加到储蓄里；据转述，加入的员工，储蓄率，从 3.5% 升到 13.6%。（批评：这是和"没加入的人"比，有选择偏差，因果的证据，不强。）

5.2 拖延的模型：默认，为什么有力量

O’Donoghue 和 Rabin 1999 年（《现在做，还是以后做》，American Economic Review，89 卷 1 期，103–124 页）区分了两类现在偏向的人：天真的（以为将来的自己，不会有现在偏向），清醒的（知道将来的自己，也有现在偏向）。对"现在要付出成本，以后才有好处"的事（办理储蓄计划、锻炼），天真的人，会一再拖延。

我们用第 36 讲的 β–δ，来建一个小模型，也检验一个常见的说法：“默认选项的力量，来自纠正拖延”。

import numpy as np

# 一件"麻烦事"：办理一个自动储蓄计划。办成之后，从下个月起，每个月多得 b 元，一直到第 T 个月。
# 每个月，办手续的"麻烦程度"c 是随机的（这个月有多忙），在 0 到 R 元之间均匀分布，办的时候一次性付出。
# 你每个月看一眼 c：办，还是等下个月（也许那时更闲）？
T, b, delta = 24, 10.0, 0.99          # 24 个月；每月多得 10 元；每月折现 0.99（虚构数字，只做演示）
BETA = 0.7                            # 现在偏向（第 36 讲）：未来的好处，打 7 折

def pv_benefit(t):                    # 第 t 月办成，从 t+1 月到 T 月的好处，在 t 月的现值
    return sum(b * delta ** k for k in range(1, T - t + 1))

def solve(R):
    def value(theta, bd, cont):       # 以阈值 theta 行动（c ≤ theta 就办）：从"长远的眼光"看的价值
        p = min(max(theta / R, 0.0), 1.0)
        return p * (bd - min(theta, R) / 2) + (1 - p) * delta * cont

    # 1) 理性（指数折现）：倒推，每个月的阈值 = 办成的好处 − 等一个月的价值
    V = np.zeros(T + 1); th_exp = np.zeros(T)
    for t in range(T - 1, -1, -1):
        bd = pv_benefit(t); th_exp[t] = bd - delta * V[t + 1]; V[t] = value(th_exp[t], bd, V[t + 1])
    # 2) 天真：以为"下个月的我"是理性的，所以等一个月的价值按 V 算；但今天的她，把未来的好处打 BETA 折
    th_naive = np.array([BETA * (pv_benefit(t) - delta * V[t + 1]) for t in range(T)])
    Wn = np.zeros(T + 1)
    for t in range(T - 1, -1, -1):
        Wn[t] = value(th_naive[t], pv_benefit(t), Wn[t + 1])
    # 3) 清醒：知道"下个月的自己"也有现在偏向，用那个自己的真实行为，来算等待的价值
    Ws = np.zeros(T + 1)
    for t in range(T - 1, -1, -1):
        bd = pv_benefit(t); Ws[t] = value(BETA * (bd - delta * Ws[t + 1]), bd, Ws[t + 1])

    def wait(th):                     # 平均几个月办成；没办成的，按 T 个月计
        alive, e, done = 1.0, 0.0, 0.0
        for t in range(T):
            p = min(max(th[t] / R, 0), 1); e += alive * p * t; done += alive * p; alive *= 1 - p
        return done, e + alive * T
    return V[0], Wn[0], Ws[0], wait(th_exp), wait(th_naive)

print(f"自动储蓄计划：{T} 个月，办成后每月多得 {b:.0f} 元（折现后总好处 {pv_benefit(0):.1f}）；每月的'麻烦'均匀分布在 0–R 元")
print("价值，都是从'长远的眼光'（只用 δ 折现）来评价的")
print(f"  {'R':>4}{'理性':>8}{'天真':>8}{'清醒':>8}{'现在偏向的损失':>14}{'默认比天真多':>12}{'理性办成要':>10}{'天真办成要':>10}{'天真 24 月内办成':>16}")
for R in (100, 200, 500):
    Ve, Wn, Ws, (_, te), (dn, tn) = solve(R)
    print(f"  {R:>4}{Ve:>8.1f}{Wn:>8.1f}{Ws:>8.1f}{Ve - Wn:>14.1f}{pv_benefit(0) - Wn:>12.1f}{te:>9.2f}月{tn:>9.2f}月{dn:>16.1%}")
print("  （默认 = 第 0 个月自动加入，没有办手续的麻烦，价值 = 总好处）")

输出：

自动储蓄计划：24 个月，办成后每月多得 10 元（折现后总好处 212.2）；每月的'麻烦'均匀分布在 0–R 元
价值，都是从'长远的眼光'（只用 δ 折现）来评价的
     R      理性      天真      清醒       现在偏向的损失      默认比天真多     理性办成要     天真办成要      天真 24 月内办成
   100   178.0   175.3   175.9           2.7        36.9     1.29月     2.27月          100.0%
   200   160.3   156.6   157.4           3.7        55.6     2.27月     3.69月           99.2%
   500   127.0   122.0   122.9           5.0        90.2     4.49月     6.77月           92.1%
  （默认 = 第 0 个月自动加入，没有办手续的麻烦，价值 = 总好处）

逐段看：

• 拖延，是有的：理性的人，平均 1.29 个月，办成；天真的人，2.27 个月；麻烦越大（R 越大），差距越大（4.49 月 vs 6.77 月）；R = 500 时，天真的人，24 个月内，还有 7.9% 没办成。
• 可是，损失不大：现在偏向，造成的损失（理性 − 天真），只有 2.7、3.7、5.0 元，相对于总好处 212 元，是 1.3%~2.4%。清醒的人（175.9），略好于天真的人（175.3）。
• 默认，好处很大：默认自动加入，比天真地自己去办，多 36.9、55.6、90.2 元。这些，绝大部分，来自"省掉了办手续的麻烦本身"，不是纠正拖延，因为，对理性的人，默认，也有同样的好处。
• 所以，不能，只用现在偏向，来解释默认选项的力量。别的常被提到的原因：注意力（“没想起来”）、复杂（选项太多，不知道怎么选）、现状偏好（Samuelson 和 Zeckhauser 1988 年，Journal of Risk and Uncertainty，1 卷 1 期，7–59 页）、默认，被当作了"推荐"。这个模型，是虚构的数字，只用来显示，两种力量的相对大小，要靠数据，不能靠故事。

六、公平：不只是自己的所得

6.1 回答问题 3

第 18 讲，最后通牒游戏：纯自利的回应者，该接受任何大于 0 的数；实验里，低的提议，常被拒绝。那里，我们，留下了一个价值判断：该不该，把"对不公平的反感"，当作"非理性"？

Ernst Fehr 和 Klaus Schmidt 1999 年（《公平、竞争和合作的理论》，Quarterly Journal of Economics，114 卷 3 期，817–868 页），给了一个办法：把对不平等的反感，写进效用函数（“厌恶不平等”）：自己拿得比别人少，每少 1 元，扣 A 的不快；（自己拿得比别人多，也扣一点，这里省略，因为，我们只看回应者）。

# 把"对不公平的反感"写进收益里：Fehr–Schmidt 型的偏好（只看回应者一方）
# 一个 10 元的蛋糕，提议者给回应者 s 元，自己留 10 − s。回应者的效用：
#   U = s − A × max((10 − s) − s, 0)      （如果自己拿得比对方少，每少 1 元，就扣 A 的不快；A = 对"吃亏"的反感程度）
# 接受，当且仅当 U ≥ 0（拒绝，双方都是 0）。A = 0 就是第 18 讲里，纯自利的回应者。
PIE = 10.0
types = [(0.0, 0.30), (0.5, 0.30), (1.0, 0.30), (4.0, 0.10)]     # (A, 占比)：虚构的分布，只做演示

def accepts(A, s):
    return s - A * max((PIE - s) - s, 0) >= -1e-9

print("一、不同的回应者，最低愿意接受多少？（A 越大，越反感'吃亏'）")
for A, share in types:
    s_min = PIE * A / (1 + 2 * A) if A > 0 else 0.0
    print(f"  A = {A:<4}（占 {share:.0%}）：最低接受 {s_min:.2f} 元，即蛋糕的 {s_min / PIE:.1%}")

print("\n二、一个纯自利的提议者：他知道回应者里，各类人的比例，该给多少？")
best = (0, 0, 0)
for k in range(0, 501):
    s = k / 100
    p_acc = sum(share for A, share in types if accepts(A, s))
    pay = (PIE - s) * p_acc
    if pay > best[2]:
        best = (s, p_acc, pay)
print(f"  {'给 s 元':>8}{'被接受的概率':>12}{'提议者的期望所得':>14}")
for s in (0.5, 1.0, 2.0, 2.5, 3.0, 3.34, 4.0, 4.45, 5.0):
    p_acc = sum(share for A, share in types if accepts(A, s))
    print(f"  {s:>8.2f}{p_acc:>12.0%}{(PIE - s) * p_acc:>14.2f}")
print(f"  最优：给 {best[0]:.2f} 元（{best[0] / PIE:.1%}），被接受的概率 {best[1]:.0%}，期望所得 {best[2]:.2f} 元")
print(f"  对比：如果，所有回应者都是纯自利的（A = 0），最优的给法，是接近 0 元（只要给一点点，就会被接受）：期望所得，接近 {PIE:.0f} 元")

输出：

一、不同的回应者，最低愿意接受多少？（A 越大，越反感'吃亏'）
  A = 0.0 （占 30%）：最低接受 0.00 元，即蛋糕的 0.0%
  A = 0.5 （占 30%）：最低接受 2.50 元，即蛋糕的 25.0%
  A = 1.0 （占 30%）：最低接受 3.33 元，即蛋糕的 33.3%
  A = 4.0 （占 10%）：最低接受 4.44 元，即蛋糕的 44.4%

二、一个纯自利的提议者：他知道回应者里，各类人的比例，该给多少？
     给 s 元      被接受的概率      提议者的期望所得
      0.50         30%          2.85
      1.00         30%          2.70
      2.00         30%          2.40
      2.50         60%          4.50
      3.00         60%          4.20
      3.34         90%          5.99
      4.00         90%          5.40
      4.45        100%          5.55
      5.00        100%          5.00
  最优：给 3.34 元（33.4%），被接受的概率 90%，期望所得 5.99 元
  对比：如果，所有回应者都是纯自利的（A = 0），最优的给法，是接近 0 元（只要给一点点，就会被接受）：期望所得，接近 10 元

逐段看：

• 最低接受的份额，是 10A/(1+2A)：A = 0.5 → 2.5 元；A = 1 → 3.33 元；A = 4 → 4.44 元。（分布，是我虚构的，只做演示。）
• 一个纯自利的提议者，只要，知道回应者里，有这样的人，他的最优，不是 0，而是 3.34 元（约 1/3）：被接受的概率，90%，期望所得 5.99；如果给 2 元，只有 30% 的人接受。公平，是"写进收益里"的东西，不是"非理性"：它改变了，最优的策略。
• 这和第 18 讲，Güth 等人的结果（众数对半分，平均给约 37%），方向一致；不是证明。
• 问题 3，你的回答，也许，是"拒绝"：8 比 2，你得到 20%，在上面这个模型里，A > 1/3 的人，会拒绝（因为，A = 1/3 时，最低接受 10 × (1/3) ÷ (1 + 2/3) = 2 元）。

6.2 市场里的公平

Daniel Kahneman、Jack Knetsch 和 Richard Thaler 1986 年（《公平，作为对追求利润的约束》，American Economic Review，76 卷 4 期，728–741 页），在多伦多和温哥华，做电话调查：一家五金店，大雪之后的早晨，把铲雪铲子的价格，从 15 美元，提到 20 美元，你觉得公平吗？据后来的转述，约 82% 的人，认为不公平。他们的结论是：企业，在成本上升时提价，被看作公平；利用需求的上升提价，被看作不公平。（一个批评：也可能，是因为，那是人们遭难的时候。）

这就回到了第 15 讲：“我们假设，顾客不会反感”：价格歧视、涨价，如果被看作"不公平"，企业，可能，为此付出声誉的代价，所以，常把价差，包装成"会员价"、“优惠券”。

七、行为金融：回到第 38 讲的问题

第 38 讲，我们留了一个问题：异象，到底是风险的补偿，还是人的错误？这里，有两个例子。

7.1 处置效应

Terrance Odean 1998 年（《投资者，不愿意卖出亏损的股票吗？》，Journal of Finance，53 卷 5 期，1775–1798 页），用一家折扣券商，约 1 万个账户（1987–1993），发现：投资者，更愿意卖出，赚钱的股票，更不愿意卖出，亏钱的股票（“处置效应”，这个词，来自 Shefrin 和 Statman 1985 年）；作者检验了，卖出，并不是因为，再平衡、交易成本；而且，除了 12 月（税收），这样做，并没有，被之后的收益证明是对的。这是"损失厌恶"，加上"卖出，才算实现"的心理账户。

7.2 动量

动量：过去 12 个月（不含最近 1 个月）涨得多的股票，之后，倾向于，继续涨；Narasimhan Jegadeesh 和 Sheridan Titman 1993 年（Journal of Finance，48 卷 1 期，65–91 页）：买过去的赢家、卖过去的输家，在 3 到 12 个月，有显著的正收益，不能用系统性风险解释。我们看看，在 1927–2025 年的数据里，它长什么样。

import io, math, urllib.request, zipfile
import numpy as np

# 数据：Kenneth French 数据库。动量因子 Mom：过去 12 个月（不含最近 1 个月）涨得多的股票，减去涨得少的股票，每月重新排；单位 %。
BASE = "https://mba.tuck.dartmouth.edu/pages/faculty/ken.french/ftp/"
def read(name, member):
    return zipfile.ZipFile(io.BytesIO(urllib.request.urlopen(BASE + name, timeout=60).read())).read(member).decode("latin-1").splitlines()

mom = {}
for line in read("F-F_Momentum_Factor_CSV.zip", "F-F_Momentum_Factor.csv"):
    p = [x.strip() for x in line.split(",")]
    if len(p) == 2 and len(p[0]) == 6 and p[0].isdigit():
        mom[int(p[0])] = float(p[1])
fac = {}
for line in read("F-F_Research_Data_Factors_CSV.zip", "F-F_Research_Data_Factors.csv"):
    p = [x.strip() for x in line.split(",")]
    if len(p) == 5 and len(p[0]) == 6 and p[0].isdigit():
        fac[int(p[0])] = float(p[1])                       # 市场超额收益
months = [m for m in sorted(mom) if m in fac and 192701 <= m <= 202512 and mom[m] > -99]
d = np.array(months); x = np.array([mom[m] for m in months]); mk = np.array([fac[m] for m in months])

def t_stat(s):
    return s.mean() / (s.std(ddof=1) / math.sqrt(len(s)))

print(f"动量因子（Mom），{months[0]}–{months[-1]}，{len(x)} 个月")
print(f"  {'时期':<11}{'月数':>6}{'月均值%':>9}{'年化%':>8}{'t 值':>7}{'年化波动%':>10}")
for label, lo, hi in (("全样本", 192701, 202512), ("1927–1962", 192701, 196212), ("1963–1992", 196301, 199212), ("1993–2025", 199301, 202512), ("2009–2025", 200901, 202512)):
    sel = (d >= lo) & (d <= hi); s = x[sel]
    print(f"  {label:<10}{len(s):>6d}{s.mean():>9.2f}{s.mean() * 12:>8.1f}{t_stat(s):>7.2f}{s.std(ddof=1) * math.sqrt(12):>10.1f}")

# 一、"崩溃"：最差的 5 个月，和最好的 5 个月
order = np.argsort(x)
print("\n一、动量因子最差的 5 个月：")
for i in order[:5]:
    print(f"  {d[i]}：动量 {x[i]:+.1f}%，同月市场超额收益 {mk[i]:+.1f}%")
print("  最好的 5 个月：" + "、".join(f"{d[i]}（{x[i]:+.1f}%）" for i in order[::-1][:5]))
print(f"  最差月份的损失，是全样本月标准差的 {abs(x.min()) / x.std(ddof=1):.1f} 倍（正态分布下，这几乎不可能发生）")

# 二、市场大跌之后，动量怎么样？（"恐慌状态"）：以过去 24 个月的市场累计收益 < 0 为界
cum = np.array([np.prod(1 + mk[max(0, i - 24):i] / 100) - 1 if i >= 24 else np.nan for i in range(len(mk))])
bear = cum < 0
print("\n二、以过去 24 个月的市场累计超额收益是否为负，分两种状态，看之后一个月的动量：")
for name, sel in (("之前市场下跌", bear), ("之前市场上涨", ~bear & ~np.isnan(cum))):
    s = x[sel]
    print(f"  {name}：{len(s)} 个月，月均值 {s.mean():+.2f}%，月标准差 {s.std(ddof=1):.2f}%，最差月 {s.min():+.1f}%")

# 三、动量能不能，被"市场 β"解释？
mc = mk - mk.mean(); beta = (mc * (x - x.mean())).sum() / (mc @ mc); alpha = x.mean() - beta * mk.mean()
res = x - alpha - beta * mk; se_a = res.std(ddof=2) * math.sqrt(1 / len(x) + mk.mean() ** 2 / (mc @ mc))
print(f"\n三、对市场做回归：β = {beta:.2f}，月 α = {alpha:.2f}%（t = {alpha / se_a:.2f}）：市场 β，几乎解释不了动量")

输出：

动量因子（Mom），192701–202512，1188 个月
  时期             月数     月均值%     年化%    t 值     年化波动%
  全样本         1188     0.61     7.3   4.51      16.2
  1927–1962    432     0.64     7.7   2.44      19.0
  1963–1992    360     0.82     9.8   4.54      11.8
  1993–2025    396     0.39     4.7   1.65      16.4
  2009–2025    204    -0.10    -1.2  -0.32      15.5

一、动量因子最差的 5 个月：
  193208：动量 -52.6%，同月市场超额收益 +37.1%
  193207：动量 -45.6%，同月市场超额收益 +33.6%
  200904：动量 -34.4%，同月市场超额收益 +10.2%
  193909：动量 -31.4%，同月市场超额收益 +16.9%
  200101：动量 -25.4%，同月市场超额收益 +3.2%
  最好的 5 个月：200002（+18.1%）、200006（+16.6%）、193803（+15.8%）、198011（+15.2%）、193502（+14.5%）
  最差月份的损失，是全样本月标准差的 11.2 倍（正态分布下，这几乎不可能发生）

二、以过去 24 个月的市场累计超额收益是否为负，分两种状态，看之后一个月的动量：
  之前市场下跌：275 个月，月均值 -0.11%，月标准差 7.73%，最差月 -52.6%
  之前市场上涨：889 个月，月均值 +0.81%，月标准差 3.24%，最差月 -12.6%

三、对市场做回归：β = -0.30，月 α = 0.82%（t = 6.39）：市场 β，几乎解释不了动量

逐段看：

• 长期，很强：全样本，年化 7.3%，t 值 4.51。分时期：1927–1962，7.7%（t 2.44）；1963–1992，9.8%（4.54）；1993–2025，4.7%（1.65）；2009–2025，−1.2%（−0.32）。（2009 年这个起点，是我挑的，在崩溃之后，起止点，影响很大。）
• 崩溃，非常惊人：最差的月份，1932 年 8 月，−52.6%（同月，市场超额收益 +37.1%）；1932 年 7 月，−45.6%；2009 年 4 月，−34.4%。最差的月份，是月标准差的 11.2 倍。崩溃，都发生在，市场大跌之后的，大反弹。
• 之前市场下跌（过去 24 个月）：动量，月均值 −0.11%，月标准差 7.73%；之前市场上涨：+0.81%，3.24%。
• 市场 β，解释不了它：对市场回归，β = −0.30，月 α = 0.82%（t = 6.39）。

两派的解释：

• 行为的解释：Nicholas Barberis、Andrei Shleifer 和 Robert Vishny 1998 年（Journal of Financial Economics，49 卷 3 期，307–343 页）：投资者，对新闻，反应不足（保守），之后，才逐步调整；Kent Daniel、David Hirshleifer 和 Avanidhar Subrahmanyam 1998 年（Journal of Finance，53 卷 6 期，1839–1885 页）：过度自信、自我归因，短期，产生动量，长期，回落。
• 风险的解释（或者，至少，是"一个更复杂的故事"）：Kent Daniel 和 Tobias Moskowitz 2016 年（《动量崩溃》，Journal of Financial Economics，122 卷 2 期，221–247 页）：动量，有偶发的、持续的崩溃，主要发生在市场恐慌、波动大、市场反弹的时候；输家组合，在崩溃时，有类似"期权"的收益。他们发现，崩溃，部分，是可以预测的，一个，根据预测，调整敞口的策略，据摘要，几乎，把夏普比率，翻了一倍。

这还是，联合假设的问题：同一份数据，行为的故事，和风险的故事，都讲得通。

八、一个有争议的问题：这些发现，有多可靠，该怎么用

按"理论预测 → 证据与局限 → 分歧在哪 → 价值判断留给读者"来写。

8.1 理论预测什么

行为经济学，预测：在一些情境下，系统的偏差，会改变选择，从而，改变市场的结果和政策的效果：损失厌恶，会让人持有亏损的股票；默认选项，会改变储蓄；公平的感受，会约束价格。

8.2 证据与局限

（一）损失厌恶，稳健吗？ Alexander Brown、Taisuke Imai、Ferdinand Vieider 和 Colin Camerer 2024 年（Journal of Economic Literature，62 卷 2 期，485–516 页）的元分析，汇集了 150 篇文章里的 607 个估计，据摘要，平均的损失厌恶系数，约 1.96（95% 区间，约 1.82–2.10），低于Tversky 和 Kahneman 1992 年的 2.25。另一方面，David Gal 和 Derek Rucker 的批评（Journal of Consumer Psychology，2018，据摘要）认为：现有的证据，不支持"损失，总体上，比收益更有影响"这样的强的说法；许多被归为损失厌恶的现象，有别的解释（比如，惯性）。两边，用的是不同的文献、任务和模型。

（二）实验室，推得到真实世界吗？ 上面，John List 的田野实验：有经验的交易商，没有禀赋效应；Pope–Schweitzer：职业选手，仍有偏差。两种方向的证据，都有。

（三）研究，能重复吗？ 第 4 讲，Camerer 等人 2016 年的重复研究：18 项实验室经济学实验里，11 项，得到了方向一致、显著的结果，平均的效应，约为原来的 66%。行为经济学的实验，也受这样的检验；有一些，名气很大的发现，在后来的重复里，变小了。对每一个发现，要问：样本多大？重复了吗？实际的赌注多大？

（四）偏差，会不会，被市场磨掉？ 弗里德曼式的论点：不理性的人，会被市场淘汰，或者，被套利者纠正。第 38 讲，我们看到，套利，是有限度的（Shleifer–Vishny 1997）；List 的结果，说明，经验，可以磨掉一部分；动量、处置效应，显示了，有一些，没有被磨掉。

8.3 分歧在哪

• “偏差”，是不是"错误"？ 人们对损失敏感，是"非理性的偏差"，还是"有道理的偏好"？这取决于，你用什么标准，来判断"对"。
• 模型，该多复杂？ 前景理论，参数多，能解释很多，也容易"事后拟合"：同一个人，在不同的情境下，λ 不一样。
• 用处，是描述，还是预测？ 在某些情境下，很好的描述，不等于，有稳定的预测。

8.4 价值判断（留给你）

行为经济学，有一个，很具体的政策用法：助推（nudge）。Richard Thaler 和 Cass Sunstein 2008 年的书 Nudge：不禁止任何选择，也不大幅改变经济激励，只是，改变选项的呈现方式（比如，默认选项），来帮助人们，作出他们"自己也会认可"的选择。

事实问题：默认选项，能提高参与率吗？（能，证据很强，第五节）。价值问题：

1. 默认，该由谁设定？ 设定默认的人，其实，就是在替你选；你，认为谁该有这样的权力？雇主？政府？
2. 助推，是保护，还是家长主义？ 如果，“自动加入、可以退出”，在你看来，保留了自由；还是，认为，人们不该被"推"，而该被充分告知？第 36 讲，我们也留过同一个问题。
3. 公平的感受，该不该，写进政策？ 如果，人们对"涨价"的反感，是真实的，应该，限制"大雪之后的涨价"吗？（第 9 讲，我们讨论过价格上限，和第 7 讲，价格传递信息。）这里，没有一个，“经济学的答案”：它，取决于，你更看重，价格的信息功能，还是人们感受到的公平。
4. “非理性”，该不该，被用来，否定人们的选择？ 如果，一个人，拒绝了 2 元，你，怎么看他：他错了，还是，他在乎的，不只是钱？

经济学，能告诉你：每一种做法，大约，有什么后果；你更看重自由，还是保护，是你的价值判断。

九、局限、常见误用

9.1 局限

• 参数，是来自某些实验的估计（λ = 2.25，等等），不是常数；
• 模型，是示意：拖延模型、公平模型，用的是虚构的数字；
• 数据：美国股市（1927–2025）；动量，用的是 Kenneth French 的因子；
• 文献：多数，只引用了摘要，没有自己重做；
• 这一讲没有讲：生物、神经科学的证据，群体和文化的差别，“有限注意力"的细致模型，行为金融的更多的现象，中国的证据（没有查到，可以核对的数据）；
• 本讲，不是投资建议。

9.2 常见的误用

十、小结

这一讲有六个想法，请带走：

1. 行为经济学：把心理学里系统的偏离，放进模型；关键，是"系统的”，方向一致。
2. 信念：过度自信、锚定；愿付价，不是固定的数。
3. 前景理论：参照点、损失厌恶、概率加权；赢 120 输 100 的赌，要赢到约 274，才愿意玩；小赌局上的拒绝，不能靠"凹的效用"解释。
4. 短视的损失厌恶：评价期越短，股票，越难受；至少 6 个月，才有正的前景价值（简化的版本）；是对股权溢价之谜的一个解释。
5. 时间：现在偏向，有证据（健身房、401(k)）；默认选项的力量，大部分，来自省掉的麻烦，不只是纠正拖延。
6. 公平：对"吃亏"的反感，写进收益里，改变了，最优的策略（提议者，给约 1/3）；有争议：损失厌恶有多稳健，实验能否推广，助推，是否家长主义。

下一讲，我们离开"个人"和"金融"，回到国家之间的贸易：第 3 讲，我们讲了比较优势，现在，要看，在真实的世界里，它还成立吗，谁赢，谁输，该不该设关税？下一讲：第 40 讲：国际贸易：比较优势的再审视。

思考题

1. 用 Tversky–Kahneman 的参数（α = 0.88，λ = 2.25，只用价值函数，不做概率加权）：你有一个赌局，50% 赢 G，50% 输 50 元。要 G 多大，才愿意玩？

提示：价值 = 0.5 × G^0.88 − 0.5 × 2.25 × 50^0.88 = 0；所以，G^0.88 = 2.25 × 50^0.88，G = 2.25^(1/0.88) × 50 ≈ 2.51 × 50 ≈ 126 元。也就是说，只要赢的部分，约是输的 2.5 倍，就愿意玩（只有损失厌恶、没有曲度时，是 2.25 倍：112.5 元）。

2. 拿 5 年的美国股市月度数据，评价期，选 1 个月、1 年，股票的前景价值，会怎么变？为什么，评价期越长，股票，越有吸引力？

提示：评价期越长，窗口里"输给国库券"的比例，越低（39% → 30% → 14%），而且，收益差越大，平均的前景价值，越高。损失厌恶的人，看得越少，越不会被"短期的下跌"吓到。可是，要小心：这只是，一个国家、一个历史时期。

3. 一家公司，打算把员工的退休计划，改成"自动加入"。在第 5.2 节的模型里，如果，办手续的麻烦，变成 0–500 元，默认选项带来的好处，是多少？其中，有多少，是"纠正现在偏向"？

提示：默认比天真地自己去办，多 90.2 元；现在偏向的损失，是 5.0 元，相当于默认的好处的约 5.5%。**大部分，是省掉的麻烦。**这说明，要区分"默认选项有用"和"现在偏向，是主要原因"这两件事。

4. 第 6.1 节的模型里，如果，回应者的分布，变成：A = 0 占 60%，A = 1 占 40%（其余，没有），提议者，该给多少？

提示：只有两类：A = 0 的人，接受任何 ≥ 0 的；A = 1 的人，最低接受 3.33 元。给 3.34：被接受的概率，100%，期望所得 6.66；给 0：只有 60% 接受，期望所得 6.0；给 2：60%，4.8。所以，最优，给 3.34 元左右（刚好，够 A = 1 的人接受），期望所得约 6.66。回应者里，“在乎公平"的人，只要，占得足够多，就会改变，自利提议者的行为。（要核对这个结论，把代码里的 types 改成 [(0.0, 0.6), (1.0, 0.4)]。）

5. （开放题）一个国家，想提高人们的养老储蓄，考虑三种办法：（a）自动加入、可以退出；（b）强制缴纳；（c）只做宣传，让人们自己决定。从事实和价值判断，两个方面，比较它们。

提示：事实的部分：（a）能提高参与率（Madrian–Shea），它的好处，大部分，来自省掉的麻烦；（b）参与率最高，可是，没有选择的余地；（c）通常，参与率最低。证据，有限：Save More Tomorrow 的证据，有选择的偏差。价值判断的部分：自由，和保护，怎么权衡；设定默认的人，有多大的权力；谁，承担"缴多了、或缴少了"的后果；不同的人（收入低、需要现金的人），受影响，是否一样。

参考与延伸

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